זמן לפתוח את הדיון על הקבוצה הפתוחה

בפוסט הקודם ניסיתי לדבר על הצורה שבה מושג ה”מרחק” מאפשר לנו להגדיר מושגים כמו רציפות והתכנסות. לקראת הסוף גררתי מושג חדש לדיון - “סביבה”. אני רוצה לנסח עכשיו את הגדרות ההתכנסות והרציפות תוך שימוש במושג הזה בלבד, בלי לדבר על מרחק. הנה נסיון:

נניח שיש לנו סדרה \( x_n \). נאמר שהיא מתכנסת לנקודה \( x \) אם לכל סביבה של \( x \) יש מקום בסדרה שהחל ממנו, כל הנקודות בסדרה שייכות לסביבה.

מי שמכיר את הגדרת הגבול ה”רשמית” יראה שהחלפתי את ההגדרה המסורבלת עם אפסילונים שבדרך כלל משתמשים בה, בהגדרה “נקייה”, אך גם חסרת משמעות לחלוטין - כי מה זו בעצם “סביבה”?

אז בחדו”א מגדירים “סביבה” בתור “כל הנקודות שמרחקן מ-\( x \) לא עולה על אפסילון” - כלומר, משתמשים במרחק כדי להגדיר מעין “כדור” סביב \( x \) ולקחת את כל הנקודות בו. האם באמת כדאי להגביל את עצמנו רק ל”כדורים” סימטריים ויפים שכאלו? האם אפשר לפשט עוד קצת את הדרישות כדי שנקבל אוסף יותר גדול של קבוצות שנוכל לחשוב עליהן בתור “סביבה” ועדיין ייתנו לנו את אותם גבולות? התשובה חיובית, ופשוטה למדי: אפשר לחשוב על “סביבה” בתור כל קבוצה שמכילה בתוכה כדור שכזה שמכיל את \( x \).

השלב הבא הוא לדבר על רציפות. כדי ש-\( f \) כלשהי תהיה רציפה בנקודה \( x \) צריך, על פי ההגדרות שלנו מהפעם שעברה, שלכל סביבה A של \( f(x) \) (כלומר, הנקודות ש-\( x \) “רואה קרוב אליה” אחרי שהזזנו אותה עם \( f \)) תהיה סביבה B של \( x \) שכולה עוברת לתוך A, כלומר \( f(B)\subseteq A \). זו עדיין לא הגדרה קלה ודי מבלבלת, אבל לטעמי היא הרבה יותר אלגנטית וציורית מאשר ההגדרה הסטנדרטית, עם אפסילונים ודלתות.

מה הבעיה? שההגדרה הזו היא “נקודתית”. במקום לדבר על הרציפות של \( f \) באופן כללי, אנחנו מדברים על הרציפות שלה בנקודה מסויימת, \( x \), ואז אומרים “\( f \) רציפה אם היא רציפה בכל נקודה”. האם קיים קריטריון אחר, שידבר מראש על “כל” הנקודות, במקום לדבר פרטנית על כל נקודה?

קריטריון שכזה, אם קיים, יצטרך לדבר על קבוצות של נקודות, והצורה ש-\( f \) מתנהגת על כולן “בבת אחת”. בינתיים הצגתי רק סוג אחד של קבוצת נקודות שעשוי להיות רלוונטי - “סביבה”. עם זאת, סביבה הוגדרה עבור נקודה ספציפית, כך ששימוש בה לא יפתור את הבעיה; אבל אולי אפשר לדבר על סוג אחר של קבוצה, שהיא סביבה עבור כל הנקודות שבתוכה?

הדרישה מקבוצה כזו היא פשוטה: שלכל נקודה שבתוכה, יהיה כדור שמכיל את הנקודה, ומוכל כולו בתוך הקבוצה. הדוגמה הפשוטה ביותר לקבוצה שכזו היא מה שמכונה “כדור פתוח ברדיוס \( r \) סביב \( x \)”, כלומר כל הנקודות שמרחקן מ-\( x \) קטן ממש מ-\( r \); סביב כל נקודה כזו, אפשר למצוא כדור עוד יותר קטן כך שכל הנקודות בו עדיין יהיו רחוקות מ-\( x \) לא יותר מאשר \( r \). בעוד קצת עבודה אפשר להראות שכל קבוצה שעונה לקריטריון שלי ניתנת להצגה בתור איחוד של כדורים פתוחים שכאלו (אולי מספר אינסופי מביניהם). כך ניתן להגדיר, באמצעות מושג ה”מרחק”, את מה שיהפוך מעתה ואילך למושג המרכזי ביותר בדיון שלנו - קבוצה פתוחה.

אם כן, פורמלית, כשיש לנו מטריקה, קבוצה פתוחה מוגדרת בתור אוסף נקודות כך שלכל נקודה בתוכו קיים כדור פתוח שמכיל אותה ומוכל בקבוצה. הגדרה אלטרנטיבית, ואולי ברורה יותר, היא של קבוצה פתוחה כקבוצה ללא נקודות שפה, כשנקודת שפה של הקבוצה היא נקודה שכל כדור פתוח שמכיל אותה מכיל לפחות איבר אחד שאינו של הקבוצה, ולפחות איבר אחד שכן שייך לקבוצה.

כעת ניתן להכליל את מושג הרציפות באמצעות דיבורים על קבוצות פתוחות בלבד, בלי לערב בכלל את מושג ה”מרחק” במשחק. לרוע המזל, ההגדרה אינה אינטואיטיבית כפי שניתן היה לקוות. אולי היינו שמחים לקבל הגדרה בסגנון “\( f \) רציפה אם לכל קבוצה פתוחה \( A \) מתקיים שגם \( f(A) \) (כלומר, הקבוצה שמתקבלת מהפעלת \( f \) על כל האיברים ב-\( A \)) פתוחה”. אלא שההגדרה הזו פשוט לא “עובדת”; היא לא מסתדרת עם מושג הרציפות ה”קלאסי” שלנו.

מה שכן עובד הוא ההגדרה ה”הפוכה” - פונקציה היא רציפה אם המקור על פיה של קבוצה פתוחה, הוא קבוצה פתוחה. בסימון: \( f^{-1}(A) \) היא קבוצה פתוחה לכל קבוצה פתוחה \( A \) בטווח של הפונקציה. “מקור” הוא פשוט אוסף כל האיברים שכשמפעילים עליהם את \( f \), נכנסים לתוך \( A \).

זה תרגיל נחמד (לא קשה למי שכבר שיחק קצת עם המושגים, אבל לא טריוויאלי למי שטרם התרגל) להראות שההגדרה החדשה הזו של רציפות שקולה לישנה, עבור מושג הקבוצה הפתוחה שהגדרנו באמצעות המרחק. במילים אחרות - מצאנו דרך לדבר על מושג הרציפות בצורה “לא נקודתית”, ובלי להזכיר באופן מפורש את מושג המרחק, אלא רק באופן מובלע. בנקודה הזו מגיעה הקפיצה הרעיונית הגדולה לשלב הבא - זריקת מושג המרחק לחלוטין. מפסיקים לדבר על מרחבים שיש בהם מרחק, ומדברים במקום זה על מרחבים שמאופיינים על ידי הקבוצות הפתוחות שבהם: למרחב שכזה קוראים “מרחב טופולוגי”, ולאוסף הקבוצות הפתוחות קוראים “טופולוגיה”, וזהו.

אז מה שראינו עד כה הוא שכל מרחב מטרי משרה טופולוגיה מסויימת; אלא שאפשר להגדיר על המרחב עוד טופולוגיות רבות אחרות. למעשה, ניתן היה לחשוב שכל בחירה של תת קבוצות שנקרא להן “פתוחות” תהיה לגיטימית; בפועל אין כמעט טעם בהגדרה הזו ולא מגיעים ממנה למשהו מעניין. צריך תמיד לכפות דרישה כלשהי על הקבוצות הפתוחות כדי שהמשחק שנקבל יזכיר במשהו את המשחק המקורי, זה שהשארתו באה מהמרחבים המטריים. אני משער שבמרוצת השנים שיחקו מעט עם ההגדרות האפשריות השונות; בסופו של דבר ההגדרה סוכמה בשלוש דרישות לא מסובכות:

אם \( X \) היא קבוצה, אז אוסף תת קבוצות שלה \( T \) הוא “טופולוגיה” אם:

1. \( X \) עצמה והקבוצה הריקה שייכים אליו.
2. כל קבוצה שהיא איחוד של מספר כלשהו (אולי אינסופי) של קבוצות מתוכו גם כן שייכת אליו.
3. כל קבוצה שהיא חיתוך של שתי קבוצות מתוכו גם כן שייכת אליו.

אפשר לשאול “למה דווקא התכונות הללו?” וזו שאלה לגיטימית, אבל קשה להסביר מבלי “ללכלך את הידיים” בהוכחות פורמליות של תכונות שונות ומשונות של מרחבים טופולוגיים, שבהן רואים מייד איפה בדיוק משתמשים בהנחות הללו. לא אכנס לכאן כעת, כי אני ממהר להגיע אל מושג הקומפקטיות - שכעת, משהסברנו (נניח…) מהם מרחבים טופולוגיים ומהן קבוצות פתוחות, אפשר לתאר.