כדי לסגור את עניין הקומפקטיות צריך גם קבוצות סגורות

אחד מהמשפטים הראשונים הנוגעים לפונקציות רציפות שסטודנטים לחדו”א נתקלים בהם הוא משפט - או יותר נכון, משפטי - ויירשטראס. המשפטים אומרים שלפונקציה רציפה בקטע סגור של הישר הממשי בהכרח יש נקודות מקסימום ומינימום (שהיא מקבלת, לא רק מתקרבת אליהן עד אינסוף). כלומר, הפונקציה “מתנהגת יפה” ולא בורחת לשום מקום - בהינתן מערכת צירים שמכווננת למינימום והמקסימום הזה, אפשר יהיה לצייר את “כל” הפונקציה בקטע.

המשפטים הללו חשובים למדי - מציאת נקודות קיצון של פונקציה היא עסק שימושי, וההבטחה שיש כאלו היא דבר טוב וחשוב. לכן טבעי לחפש הכללות של המשפטים הללו גם למרחבים אחרים. בדו מימד, למשל, הפונקציות הן דבר מסובך הרבה יותר - אפשר לחשוב עליהן בתור “גובה” של פני שטח - ועם זאת המשפטים עובדים גם שם, אך הקבוצות שעליהן הפונקציה צריכה להיות מוגדרת צריכות להיות מעט יותר מחוכמות מאשר “קטע סגור”, שכן בדו מימד כבר אין קטעים.

לא קשה לראות שהדרישה לקטע סגור - כלומר, שמכיל את שתי נקודות הקצה שלו - היא חיונית; למשל הפונקציה \( \frac{1}{x} \) אמנם רציפה בקטע \( (0,1) \) (כל המספרים הממשיים שבין 0 ו-1, לא כולל) אולם אין לה מקסימום בקטע זה, שכן ככל שהיא מתקרבת לאפס, ערכיה הולכים וגדלים. הבעיה נעוצה בכך שאפס אינו חלק מהקטע, ולכן הפונקציה יכולה “לברוח” ככל שהיא מתקרבת אליו, מבלי לפגום בהיותה רציפה, כי היא לא נדרשת “להתחייב” על שום ערך ספציפי שתקבל בו. גם פונקציות נחמדות בהרבה יכולות להסתבך אם נבחר לא נכון את התחום שבו אנו מתבוננים בהן - הפונקציה \( f(x)=x \) היא תמימה למראה, ובוודאי רציפה בכל מקום, אך אם התחום שבו מסתכלים בה הוא כל הישר הממשי, ודאי שאין לה מינימום ומקסימום.

אם כן, ישבו חכמים (ויירשטראס?) והצליחו למצוא את הדרישה המדוייקת מהתחום שעליו מוגדרת הפונקציה - עליו להיות קבוצה שהיא סגורה וחסומה, כש”חסומה” פירושו “מוכלת בתוך קטע גדול מספיק”, ו”סגורה” פירושו “מכילה כל גבול של סדרת נקודות מתוכה”. קטע שמכיל את נקודות הקצה שלו הוא דוגמה לקבוצה סגורה וחסומה; הקטע \( (0,1) \) הוא דוגמה לקבוצה שאינה סגורה, כי אפשר למצוא סדרה של נקודות מהקטע שתתכנס לאפס (\( \frac{1}{n} \) לכל \( n \) טבעי), אך אפס אינו שייך לקטע.

את שני המושגים הללו - “קבוצה סגורה” ו”קבוצה חסומה” אפשר להגדיר גם באמצעות פונקציות מרחק כלליות - מטריקות. כזכור, מטריקות איפשרו לנו לדבר על גבולות, ולכן אפשר להגדיר קבוצות סגורות; ואפשר להגדיר קבוצה חסומה כקבוצה שמוכלת בכדור גדול דיו (לא משנה סביב איזו נקודה). יתר על כן, מתברר שבין הקבוצות הפתוחות, שהגדרנו בפעם שעברה, ובין הקבוצות הסגורות יש קשר מעניין - קבוצה היא פתוחה אם ורק אם המשלימה שלה היא סגורה (המשלימה של קבוצה היא אוסף כל הנקודות במרחב שלא שייכות לה). זה לא מפליא כל כך אם זוכרים שקבוצה פתוחה, במובן מסויים, הייתה קבוצה שאין לה נקודות שפה, ואילו קבוצה סגורה חייבת להכיל את כל נקודות השפה שלה (כי תמיד אפשר למצוא סדרת נקודות שתתכנס לכל נקודת שפה).

הקשר הזה בין הקבוצות הסגורות והפתוחות מאפשר להכליל את מושג הקבוצה הסגורה גם למרחבים טופולוגיים כלליים - מגדירים קבוצה סגורה כקבוצה שמשלימתה פתוחה, וחסל. לכן, מספיק לדעת את הקבוצות הפתוחות שבמרחב - כלומר, את הטופולוגיה שלו - כדי לדעת מי הן הקבוצות הסגורות. למעשה, ניתן לעשות גם בדיוק ההפך - להגדיר קודם קבוצות סגורות (שגם עליהן יהיו כמה דרישות, בדומה לקבוצות הפתוחות) ובאמצעותן להגדיר את הקבוצות הפתוחות. לפעמים זה בדיוק מה שעושים.

כעת אפשר בשמחה ובששון להכליל את התכונה המעניינת של קטעים סגורים וחסומים גם למרחבים טופולוגיים כלליים; אלא ששוד ושבר, מתגלה (ולא ניכנס לעובי הקורה כאן) שהסגירות+חסימות הזו כבר איבדה את הרלוונטיות שלה. ראשית, חסימות היא מושג מטרי ולא טופולוגי - אפשר להראות כי לכל מטריקה קיימת מטריקה שקולה לה (כלומר, שמגדירה את אותה הטופולוגיה - אותן קבוצות פתוחות) שבה כל קבוצה היא חסומה. לכן התכונה הזו הופכת לחסרת משמעות במרחבים טופולוגיים כלליים. שנית, סגירות של קבוצה כבר לא מבטיחה, במרחב טופולוגי כללי, את התכונות הנחמדות שהזכרנו כאן. לכן צריך לחפש אפיון אחר - אפיון שמן הסתם יהיה שקול לאפיון של “סגור וחסום” על הישר הממשי.

החיפוש הזה לקח זמן רב והוליד מספר הגדרות; אני אדבר לעת עתה רק על התוצר הסופי - ההגדרה ה”מודרנית” יחסית של התכונה הנחמדה שציינתי כאן - קומפקטיות.

יש שתי דרכים להגדיר קומפקטיות של קבוצה - אחת באמצעות קבוצות פתוחות, ואחת באמצעות קבוצות סגורות. שתי ההגדרות נראות לא קשורות לכלום, ובטח שלא האחת לשנייה; אבל אני אציג את שתיהן, כי זו של הקבוצות הפתוחות היא המקובלת יותר, וזו של הקבוצות הסגורות היא זו שחשובה יותר לענייננו. כשקוראים את ההגדרות חשוב להבין שמטרתן אינה להיות אינטואיטיביות, אלא “לתפוס” כמה שיותר במדוייק את המושג החמקמק שקמצוץ מהרדיפה אחריו הצגתי כאן. עם זאת, קשה להפריז בחשיבות התכונה הזו - קיימים משפטים חזקים רבים שדורשים אותה כהנחה, ומצד שני היא אינה חזקה “מדי” כדי שכמעט כלום לא יקיים אותה. אומרים שמתמטיקאי מחפש לא הוכחה, אלא הגדרה; מושג הקומפקטיות הוא דוגמה נאה לכך.

אם כן, הנה ההגדרה הראשונה, זו שמנוסחת באמצעות קבוצות פתוחות: קבוצה היא קומפקטית אם מכל כיסוי שלה על ידי קבוצות פתוחות (כלומר, אוסף של קבוצות פתוחות שהאיחוד שלהן מכיל אותה) אפשר להוציא תת כיסוי סופי. כלומר, לבחור רק מספר סופי של קבוצות מתוך הכיסוי, ועדיין להיוותר עם כיסוי. חשוב להבין שלא אומרים כאן “קבוצה היא קומפקטית אם אפשר לכסות אותה באמצעות מספר סופי של קבוצות פתוחות”; זה קל מדי, כי אפשר לכסות כל קבוצה במרחב \( X \) עם הקבוצה \( X \) (שעל פי הגדרה היא פתוחה). דורשים כאן דרישה עבור כל כיסוי פתוח שאיזה שהוא יריב ערמומי שמנסה להכשיל אותנו ייתן לנו.

סטודנטים לחדו”א אולי יזכרו (ואולי לא) משפט בשם “משפט היינה-בורל” שגם הוא מתקשר לקבוצות סגורות וחסומות בישר הממשי ואומר, במילים פשוטות, שהן קומפקטיות (רק ששם מדברים על “כיסוי באמצעות קטעים פתוחים” ברוב המקומות שבהם נתקלתי בו). אם כן, התכונה הזו לא מנותקת לגמרי מהמציאות; היא אכן מתאימה, בישר הממשי, למושג שאותו אנו מנסים לתפוס.

אם כן, זו הגדרה אחת. מה ההגדרה השנייה, השקולה? כאן נכנסות לתמונה הקבוצות הסגורות. ההגדרה הולכת כך: ראשית, אומרים על אוסף של קבוצות שהוא מקיים את “תכונת החיתוכים הסופיים” אם החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מתוכו אינו ריק (חיתוך של קבוצות הוא לקיחת האיברים ששייכים לכל הקבוצות גם יחד).

כעת, נניח לצורך פשטות שהקבוצה שאת הקומפקטיות שלה אנו בודקים היא המרחב כולו, \( X \). זה לא מגביל אותנו, שכן תמיד, בהינתן מרחב טופולוגי וקבוצה בתוכו, אפשר לחשוב על הקבוצה כתת מרחב של המרחב המקורי, ולהגדיר גם עליה טופולוגיה באמצעותו (הכלל פשוט מאוד - הקבוצות הפתוחות בתת המרחב הן החיתוך של הקבוצות הפתוחות במרחב המקורי, עם הקבוצה שאליה אנו מצטמצמים). כעת ניתן להגדיר את הקומפקטיות של \( X \) כך - הוא קומפקטי אם עבור כל אוסף של קבוצות סגורות בתוכו שמקיים את תכונת החיתוכים הסופיים, גם החיתוך של כל הקבוצות באוסף (חיתוך שעשוי להיות אינסופי) אינו ריק.

ההגדרה הזו נראית במבט ראשון שונה מהותית מזו “הפתוחה”. במבט שני, היא נראית דואלית אליה, כמעט הפוכה: שם מדברים על קבוצות פתוחות, כאן על סגורות. שם מדובר על כיסוי - כלומר, התכונה שמעניינת אותנו היא איחוד, ואילו כאן אנו מתעניינים בחיתוך. שם הנחנו משהו על מה שאינסוף מהקבוצות הללו עושות יחד (מכסות) והגענו למסקנה על משהו שמספר סופי מתוכן עושה (גם כן מכסה) ואילו כאן הנחנו משהו על מה שמספר סופי מתוכן עושה (בעל חיתוך לא ריק) והגענו למסקנה על משהו שכולן עושות (גם כן בעל חיתוך לא ריק). הדואלית הזו אינה מקרית, כמובן, כפי שיראה כל מי שמנסה להוכיח שאם אחת מהתכונות הללו מתקיימת, כך גם השנייה.

אם כן, כעת אנו מכירים (נניח) את מושג הקומפקטיות. האם ניתן להוכיח תכף ומייד את משפט הקומפקטיות? לא, שכן קודם כל צריך להזכיר את אחד המשפטים החשובים בטופולוגיה - משפט טיכונוף - ואת האובייקט הטופולוגי שעליו הוא פועל, ושיהיה קריטי גם עבורנו - מרחב המכפלה. בתקווה, אצליח להסביר זאת בפעם הבאה.