על מכפלות קרטזיות ושערים לא לוגיים

אחד הרעיונות הבסיסיים בטופולוגיה, ובמתמטיקה בכלל, הוא הרעיון של בניית אובייקט חדש מאובייקטים קיימים, כך שהתכונות של האובייקטים הקיימים “משרות” באופן מסויים תכונות על האובייקט החדש. כבר הצגתי כאן את הבניה של המספרים הרציונליים מהשלמים, של הממשיים מהרציונליים ושל המרוכבים מהממשיים; בכל אחד מהצעדים הללו, פעולות החיבור והכפל “הורשו” מהאובייקט הקודם לאובייקט החדש (למשל, אם מביטים בהגדרת החיבור של מספרים רציונליים, רואים שהיא מתבססת בצורה חזקה על כך שחיבור וכפל כבר הוגדרו עבור שלמים). יש דרכים רבות ושונות ליצור אובייקט חדש מאובייקטים קיימים, ואני אדבר כאן רק על אחת מהן (וללא ספק, אחת מהחשובות שבהן) - המכפלה.

למרות שהמילה “כפל” אכן די מתאימה לתיאור הפעולה, היא עשויה בתחילה לבלבל, ולכן אין לחשוב עליה כפשוטה, כפעולת כפל של איברים; מדובר כאן על פעולת כפל של קבוצות, שאינה קשורה ישירות לכפל שקיים עבור מספרים. המקרה הפשוט ביותר הוא מכפלה של שתי קבוצות - הקבוצה שהיא מכפלתן היא אוסף הזוגות של איברים, כך שהאיבר הראשון בזוג שייך לקבוצה הראשונה שהוכפלה, והאיבר השני שייך לקבוצה השנייה.

השם למכפלה כזו הוא “מכפלה קרטזית”, על שם רנה דקארט, ממציא הגאומטריה האנליטית. בגאומטריה האנליטית מתארים נקודות במרחב האוקלידי הדו ממדי באמצעות מה שנקרא “מערכת צירים קרטזית” - כל נקודה מאופיינת על פי המיקום שלה ביחס לציר x, והמיקום שלה ביחס לציר y, כששני הצירים הללו ניצבים זה לזה (יש דרכי אפיון אחרות - למשל, על פי זווית ומרחק מהראשית. לא אכנס לפרטים). דרך אחרת לחשוב על המערכת הזו היא כעל מכפלה קרטזית של שני הצירים - אם חושבים על ציר x כעל עותק של הישר הממשי \( \mathbb{R} \) וכך גם על ציר y, אז מערכת הצירים הקרטזית היא אוסף כל הזוגות שאבריהם הם מספרים ממשיים. נוהגים לסמן זאת \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \), או בקיצור \( \mathbb{R}^2 \).

השלב הבא הוא תלת מימד - המרחב התלת ממדי דומה מאוד למרחב הדו ממדי, פרט לכך שכעת משתמשים בשלושה מספרים כדי לייצג מיקום, ולכן המרחב הוא \( \mathbb{R}^3 \). כידוע, אם מתמטיקאי מסוגל לעשות משהו עבור 2 ועבור 3, הוא מייד רוצה לעשות זאת עבור כל מספר טבעי אפשרי, ולכן ממהרים לדבר על \( \mathbb{R}^n \) - מכפלה של \( n \) עותקים של הישר הממשי, כאשר \( n \) הוא מספר טבעי כלשהו. הרעיון הוא זהה: במקום זוג או שלישיה, יש לנו \( n \) מספרים ממשיים, שהסדר ביניהם חשוב (כלומר, (1,2,3,4) זה לא אותו הדבר כמו (4,3,2,1)). כך המתמטיקאים מצליחים לדבר בקלילות על מרחבים שיש בהם הרבה יותר משלושה מימדים, למרות שלא ניתן “לראות” כאלו בעין.

השלב הבא הוא זה שבו הדברים מתחילים להשתגע. מה יקרה אם נרצה ש-n שלנו יהיה “אינסוף”? מה שנקבל יהיה סדרה של אינסוף מספרים ממשיים - מושג שקל לחשוב עליו וכל סטודנט לחדו”א מכיר היטב, ועם זאת קשה לנו לחשוב על משמעות גאומטרית שניתן לייחס לו. בנוסף, קצת פחות ברור איך להגדיר אותו בצורה פורמלית, והפתרון הטוב ביותר הוא בעזרת פונקציה: חושבים על סדרה אינסופית של ממשיים בתור פונקציה שמקבלת מספרים טבעיים ומחזירה מספרים ממשיים - ובסימון פורמלי, \( f:\mathbb{N}\to\mathbb{R} \). הרעיון הוא שהפונקציה מקבלת מספר שמייצג מקום בסדרה, ואומרת מי האיבר שנמצא במקום הזה. הסימון של כל הסדרות האפשריות של ממשיים הוא \( \mathbb{R}^\mathbb{N} \) - סימון שמתאים לא רע לסימונים שראינו עד כה, וגם מתאים לא רע לסימון המקובל מתורת הקבוצות, שם באופן כללי \( A^B \) כאשר \( A,B \) קבוצות פירושו “אוסף כל הפונקציות מ-\( B \) אל \( A \)”.

השלב הבא הוא זה שבו לכאורה הטירוף עולה עוד מדרגה, אבל למעשה אנחנו מגיעים למשהו עוד יותר פשוט ומוכר - המכפלה \( \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \). למה לכאורה זה מטורף? שכן אנו כופלים כאן מספר שאינו בר מניה של ישרים ממשיים זה בזה. אם קודם היינו יכולים לחשוב על “סדרה אינסופית”, עכשיו אפילו זה נלקח מאיתנו. מה כן נשאר לנו? התיאור של פונקציה. אלא שכאן, כפי שקל לראות, זו פונקציה “סטנדרטית” במיוחד - המכפלה הזו היא בסך הכל מרחב כל הפונקציות הממשיות, כלומר כאלו שמקבלות מספר ממשי (שהוא ה”אינדקס” של המקום במכפלה שאנו “קוראים”) ומחזירות מספר ממשי (מה שהיה במקום שאותו “קראנו”).

אם כן, אלו הן המכפלות הקרטזיות. העיסוק הבסיסי בהן שייך לתורת הקבוצות, וכאן אני מנסה לומר משהו על טופולוגיה, ולכן ברור שאנחנו רחוקים מסוף הסיפור. השלב הבא הוא לראות כיצד ניתן להגדיר טופולוגיה על מכפלה של מרחבים טופולוגיים, כך שניתן יהיה לחשוב על הטופולוגיה החדשה כאילו היא “הושרתה” מהטופולוגיות הישנות (ולכן היכרות עם התכונות של הטופולוגיות המקוריות תלמד אותנו משהו על הטופולוגיה החדשה). כאן, כמו קודם, הבעיה שלנו אינה של הוכחת משפט אלא של מציאת הגדרה - איך נכון להגדיר טופולוגיה מושרית שכזו?

מתברר שיש מספר דרכים, והדרך המועילה ביותר (תועלת שגם אנחנו ניווכח בה עם הוכחת משפט הקומפקטיות) היא לא הדרך האינטואיטיבית ביותר. הדרך האינטואיטיבית ביותר היא זו: כדי להגדיר טופולוגיה על מרחב, מספיק להגדיר עבורה “בסיס” - אוסף קטן יחסית של קבוצות פתוחות, כך שכל הקבוצות הפתוחות במרחב ניתנות להצגה כאיחוד שלהן (למשל, על הישר הממשי, הבסיס לטופולוגיה הוא אוסף כל הקטעים הפתוחים). כעת, נניח כי אנו כופלים את המרחבים \( X_1,X_2,\dots \) (אני מציג כאן מכפלה בת מניה כי קל לכתוב אותה במפורש - אותו הגיון מתקיים גם במכפלות שאינן בנות מניה), אז נגדיר איבר בסיס במרחב \( X_1\times X_2\times\dots \) פשוט בתור קבוצה שהיא עצמה מכפלה של קבוצות פתוחות מכל המרחבים, כלומר קבוצה מהצורה \( A_1\times A_2\times\dots \), כאשר \( A_i\subseteq X_i \) היא קבוצה פתוחה.

לטופולוגיה שמתקבלת קוראים “טופולוגיית התיבה”. יתרונה הגדול בכך שהיא אינטואיטיבית; חסרונה הוא בכך שהרבה תכונות שהיינו רוצים/מצפים שיתקיימו בה, לא מתקיימות. לא הצגתי כאן את המושג הטופולוגי של קשירות - מרחב הוא קשיר, באופן אינטואיטיבי, אם אי אפשר להפריד אותו לשתי קבוצות פתוחות זרות - אבל בניגוד ל”תקווה” שלנו (ולמה שקורה במכפלות סופיות), ייתכן מאוד שמכפלה אינסופית של מרחבים קשירים כבר לא תהיה קשירה, כאשר הטופולוגיה של מרחב המכפלה היא טופולוגיית התיבה.

לכן אנו פונים ומחפשים הגדרה אחרת, שתיתן את מה שזכה לכינוי הקולע “טופולוגיית המכפלה”. ההגדרה הסופית אינה שונה בצורה דרסטית מטופולוגיית התיבה - היא מזדהה איתה על מכפלות סופיות, ודומה לה מאוד גם במכפלות אינסופיות. גם פה, איבר בסיס לטופולוגיה הוא מכפלה של קבוצות פתוחות מכל המרחבים; ההבדל הוא שדורשים שרק מספר סופי של קבוצות פתוחות שכאלו יהיה שונה מ-\( X_i \) עצמו.

כדאי להבהיר את פשר הלקיחה של \( X_i \) בתור איבר במכפלה. חשבו למשל על \( \mathbb{R}^2 \); המרחב הדו-ממדי. במרחב הזה, הקבוצה \( (0,1)\times(0,1) \) היא דוגמה לקבוצה פתוחה - ריבוע היחידה, שהתקבל מהכפלת שתי קבוצות פתוחות לא טריוויאליות. מה יקרה אם נחליף את אחת מהן במרחב כולו? נקבל את \( (0,1)\times\mathbb{R} \) - הדבר הזה הוא “רצועה” אנכית אינסופית. במילים אחרות, לא הגבלנו את קוארדינטת ה-y של הנקודות שנבחר מהקבוצה.

לפני שנעבור לעניין שלמענו התכנסנו פה - משפט טיכונוף ומשפט הקומפקטיות - הנה נסיון נוסף להמחיש את כל העסק הזה של טופולוגיית המכפלה מול טופולוגיית התיבה. הבה ונחזור למרחב \( \mathbb{R}^{\mathbb{R}} \) - אוסף כל הפונקציות הממשיות. איך נראית קבוצה פתוחה במרחב הזה? ובכן, נביט למשל בקבוצה הפתוחה שמתקבלת מהכפלת \( \mathbb{R} \) בכל קוארדינטה פרט לקוארדינטה שמתאימה למספר 0, ושם כופלים את הקבוצה \( (0,1) \). מה קיבלנו? קיבלנו את קבוצת כל הפונקציות הממשיות שיש עליהן את המגבלה הבודדת לפיה בנקודה 0 הן חייבות לקבל ערך שהוא בין 0 ל-1. בצורה פורמלית, \( \left\{f(x)|0<f(0)<1\right\} \). הדרך שבה אני אוהב לחשוב על זה היא כאילו שמנו מעין קיר אנכי בנקודה 0, ופתחנו בו שער קטן בין הגובה 0 לגובה 1, וכל פונקציה ששייכת לקבוצה הפתוחה חייבת לעבור דרך השער הזה.

כעת, ההבדל בין טופולוגיית התיבה לטופולוגיית המכפלה הוא זה: בטופולוגיית התיבה, ניתן להציב מספר אינסופי של שערים כאלו כאשר מגדירים קבוצה; בטופולוגיית המכפלה, מספר השערים חייב להיות סופי.

ולאן אני חותר עם כל זה? לכך שאפשר לחשוב על מרחב כל ההשמות האפשריות לפסוקים בתור מרחב טופולוגי - המרחב \( \left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}} \) - ולא סתם מרחב טופולוגי, אלא מרחב טופולוגי קומפקטי, ולכן כזה שניתן להשתמש בו בתכונת החיתוכים הסופיים. על כך - בפעם הבאה.