אז הנה הקשר בין קומפקטיות ומשפט הקומפקטיות

בפוסט הקודם דיברתי על מרחבי מכפלה ועל טופולוגיית המכפלה שמגדירים עליהם. אמרתי שבטופולוגיה הטבעית יותר (“טופולוגיית התיבה”) יש תכונות שלא משתמרות - הדוגמה הייתה מרחבים קשירים שמכפלתם אינה קשירה יותר. כאשר משתמשים בטופולוגיית המכפלה, התכונה הזו אכן נשמרת, וההוכחה לכך אינה קשה.

הרבה פחות קל להוכיח שכאשר כל המרחבים קומפקטיים, גם מכפלתם קומפקטית; לתוצאה הזו קוראים “משפט טיכונוף”, והוא נחשב לאחד מהעמוקים שבין המשפטים שנלמדים בטופולוגיה קבוצתית בסיסית. לא אכנס כעת להוכחה שלו (למעשה, יש כמה וכמה הוכחות), אבל אציין שה”עוקץ” הוא שההוכחה למקרה הכללי דורשת את אקסיומת הבחירה. יותר מכך; המשפט שקול לאקסיומת הבחירה - דהיינו, אפשר להוכיח את אקסיומת הבחירה אם מניחים שמרחב המכפלה של מרחבים קומפקטיים הוא בעצמו מרחב קומפקטי.

המטרה שלי כעת היא להראות כיצד המשפט הזה משמש להוכחת משפט הקומפקטיות לתחשיב הפסוקים בלוגיקה, ולכן נזכיר על מה אנחנו מדברים: ה”עולם” שלנו מורכב מנוסחאות שבנויות ממשתנים \( x_1,x_2,x_3,\dots \) (אני מניח כי יש רק מספר בן מניה של כאלו, אם כי איני חושב שזה הכרחי) ומקשרים לוגיים (“או”, “וגם”, “לא” וכדומה). השמה לנוסחה כלשהי היא בחירת ערכים למשתנים שבה - ערכים שיכולים להיות “אמת” או “שקר” - ולצורך פשטות, 0 או 1. עם זאת, כשמדברים על השמות אין הכרח לחייב אותנו לעסוק רק במשתנים ששייכים לפסוק ספציפי; אפשר לתת ערך של 0 או 1 לכל אחד מאינסוף המשתנים הקיימים. במילים אחרות, אפשר לחשוב על השמה כעל סדרה אינסופית של 0 ו-1, כאשר המספר שבמקום ה-i מסמל את הערך שהמשתנה ה-i מקבל.

את הדבר הזה ראינו בדיוק בפוסט הקודם, כאשר עסקנו במרחבי מכפלה - “סדרה אינסופית” התאימה בדיוק לקבוצה שנכפלת בעצמה מספר בן מניה של פעמים. כאן הקבוצה היא פשוטה מאוד - הערכים שיכולים להתקבל הם רק 0 או 1, ולכן הקבוצה שנכפלת בעצמה היא \( \left\{0,1\right\} \), והתוצאה היא המרחב \( \left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}} \).

אחלה, אז יש לנו את מרחב כל ההשמות, אבל מה הטופולוגיה שלו? לשם כך יש להגדיר את הטופולוגיה של המרחבים שמהם הוא בנוי, כלומר של הקבוצה \( \left\{0,1\right\} \). כאן די לנו לקחת את הטופולוגיה הפשוטה ביותר שיש - “הטופולוגיה הדיסקרטית”, שבה כל קבוצה היא קבוצה פתוחה. מכיוון שהמרחב כל כך קטן, אין הרבה קבוצות - הקבוצה הריקה, הקבוצה שמכילה את 0, הקבוצה שמכילה את 1, והקבוצה שמכילה את 0 ו-1 גם יחד.

הטופולוגיה של המכפלה, לעומת זאת, היא סיפור שונה לגמרי. קבוצה פתוחה בסיסית נראית כך: \( A_1\times A_2\times A_3\dots \) כך שכל \( A_i \) יכול להיות אחד מארבע הקבוצות הפתוחות שבמרחב הבסיסי - או הקבוצה הריקה, או הקבוצה שמכילה רק את 0, או הקבוצה שמכילה רק את 1, או הקבוצה שמכילה את שניהם. יתר על כן, מכיוון שזוהי טופולוגיית המכפלה ולא טופולוגיית התיבה, רק מספר סופי של \( A_i \)-ים יכול להיות שונה מהקבוצה שמכילה גם את 0 וגם את 1. כעת, מה המשמעות של כל זה?

כדאי לחשוב על כל \( A_i \) במכפלה בתור “מגבלה” שניתן להשית על אוסף כל ההשמות. אם \( A_i \) הוא הקבוצה הריקה, פירוש הדבר שאין ערך חוקי שניתן לבחור למשתנה \( x_i \) בהשמות ששייכות לקבוצה - זה די אידיוטי, כי זה אומר שהמכפלה כולה היא פשוט הקבוצה הריקה, לכן לא נעסוק יותר במגבלה הזו.

לעומת זאת, אם \( A_i=\left\{0\right\} \) יש לזה משמעות מאוד ברורה: זו המגבלה “כל ההשמות ששייכות לקבוצה הפתוחה נותנות את הערך 0 למשתנה \( x_i \)”. אותו הדבר תקף עבור \( A_i=\left\{1\right\} \), רק שכאן הדרישה היא שההשמות יתנו את הערך 1 לאותו משתנה. לסיום, הדרישה \( A_i=\left\{0,.1\right\} \) היא פשוט מגבלה “מנוונת” - היא מרשה למשתנה \( x_i \) לקבל כל ערך חוקי (כי הערכים החוקיים היחידים הם 0 או 1).

נסכם - קבוצה פתוחה בסיסית היא קבוצת הצבות שהערכים של כולן זהים על תת-קבוצה סופית של משתנים. למשל - כל ההשמות שלמשתנה הראשון נותנים 0 ולשני נותנים 1 היא קבוצה פתוחה בסיסית.

ומהי קבוצה פתוחה כללית? איחוד כלשהו של קבוצות פתוחות בסיסיות שכאלו. צריך לשים לב שהאיחוד יכול להיות אינסופי, כך שהרבה פחות קל לתאר את קבוצה פתוחה כללית שלא באמצעות הקבוצות הפתוחות הבסיסיות - אבל היי, בשביל זה הן קיימות.

אלא שאנחנו לא מתעניינים בקבוצות פתוחות אלא דווקא בקבוצות סגורות, כי אנחנו רוצים להשתמש באפיון של קומפקטיות באמצעות קבוצות סגורות. כזכור, האפיון הלך כך: אם במרחב קומפקטי יש לנו אוסף של קבוצות סגורות שמקיים את תכונת החיתוך הסופי, אז החיתוך של כל הקבוצות אינו ריק. “תכונת החיתוך הסופי” פירושה שחיתוך של מספר סופי של קבוצות מהקבוצה אינו ריק.

קבוצה סגורה מוגדרת כקבוצה שמשלימתה פתוחה, אלא שדרך החשיבה הזו קצת תסבך אותנו אם ננסה מייד לדבר על משלים לקבוצה פתוחה כללית. נתחיל מהאבחנה שקבוצה פתוחה בסיסית היא גם קבוצה סגורה. למה? ובכן, נניח לרגע שאנחנו לוקחים משלים לקבוצה הפתוחה של כל ההשמות שהמגבלה היחידה עליהן היא שלמשתנה הראשון הן נותנות 0. מה נקבל? את כל ההשמות שלמשתנה הראשון נותנות 1.

“אה-הא!” אתם אומרים. “אז המשלים לקבוצה של ההשמות שלשני המשתנים הראשונים נותנות 0 זה אוסף כל ההשמות שלשני המשתנים הראשונים נותנות 1”. כמובן שאתם טועים (לא חוכמה, הכנסתי לכם שטויות לפה), אבל הייתם קרובים - המשלים במקרה הזה הוא הקבוצה של כל ההשמות שנותנות 1 לפחות לאחד משני המשתנים הראשונים - כלומר, לא נותנות 0 לשניהם. זו לא קבוצה פתוחה בסיסית, אבל היא איחוד של שתי קבוצות פתוחות בסיסיות - זו שבה מגבילים את המשתנה הראשון לקבל 1, וזו שבה מגבילים את המשתנה השני להיות 1. איחוד של קבוצה פתוחה בסיסית הוא קבוצה פתוחה, ולכן המשלים של קבוצה פתוחה בסיסית הוא בעצמו קבוצה פתוחה - ולכן קבוצה פתוחה בסיסית היא גם סגורה.

כעת אפשר לגשת סוף כל סוף לעניין עצמו. נניח כי נתון לנו פסוק \( \varphi \). אנו מסתכלים על אוסף כל ההשמות שמספקות אותו. איך נראה האוסף הזה? ובכן, נניח שיש רק השמה אחת למשתנים של \( \varphi \) (שימו לב - המשתנים הללו הם תת קבוצה סופית של אוסף כל המשתנים!) שמספקת אותו - למשל, ההשמה שנותנת 0 לכל המשתנים שלו. אז אוסף כל ההשמות שמספקות את \( \varphi \) הוא קבוצה פתוחה בסיסית - זו שבה יש מגבלה בדיוק על המשתנים של \( \varphi \), והמגבלה היא “כולם מקבלים 0”.

כעת, באופן כללי לפסוק יכולות להיות הרבה השמות למשתנים שלו שמספקות אותו, ולכן מה שנקבל הוא שאוסף כל ההשמות שמספקות אותו הוא איחוד של קבוצות פתוחות בסיסיות; אבל, מכיוון שפסוק מכיל רק מספר סופי של משתנים, האיחוד הזה יהיה סופי; ואיחוד סופי של קבוצות סגורות הוא קבוצה סגורה; ואמרנו כבר שקבוצות פתוחות בסיסיות הן גם סגורות; ולכן אוסף כל ההשמות שמספקות את \( \varphi \), שאותו אסמן כ-\( C_\varphi \), הוא קבוצה סגורה.

עכשיו, מרחב כל ההשמות הוא קומפקטי, כי הוא מכפלה של מרחבים קומפקטיים. אם אתם תוהים מדוע \( \left\{0,1\right\} \) הוא קבוצה קומפקטית, אפשר לבדוק פשוט שההגדרה מתקיימת - ההגדרה מדברת על “מכל כיסוי פתוח אפשר להוציא תת כיסוי סופי”, אבל במרחב עם מספר סופי של איברים, יש רק מספר סופי של קבוצות פתוחות - ולכן כל כיסוי הוא סופי. כלומר, המרחב קומפקטי באופן טריוויאלי; מה שלא טריוויאלי הוא שמרחב המכפלה האינסופי שמורכב מאינסוף עותקים של המרחב הקטן והסופי שלנו גם הוא קומפקטי, ובשביל זה יש את משפט טיכונוף.

כעת נצטט שוב את משפט הקומפקטיות: אם יש לנו אוסף פסוקים כך שניתן לספק כל תת קבוצה סופית של פסוקים, אז ניתן לספק את כל הפסוקים באוסף בו זמנית. איך אפשר לנסח אותו בעזרת המושגים החדשים שרכשנו?

ובכן, “ניתן לספק את \( \varphi \)” פירושו, פשוט מאוד, \( C_\varphi\ne\emptyset \) - כלומר, אוסף ההשמות שמספקות את \( \varphi \) אינו ריק. כעת, “ניתן לספק בו זמנית את כל הפסוקים \( \varphi_1,\dots,\varphi_k \) פירושו\( \bigcap_{i=1}^kC_{\varphi_i}\ne\emptyset \) - כלומר, קיימת השמה שמספקת כל אחד מהפסוקים בו זמנית.

אבל אם כן, מה יש לנו? יש לנו אוסף של קבוצות סגורות, במרחב קומפקטי, שמקיימות את תכונת החיתוך הסופי. מכאן שהחיתוך של כולן אינו ריק, כלומר קיימת השמה שמספקת את כולן בו זמנית, וסיימנו.

יה-בה-יה! כמה מילים להכביר על משפט כל כך פשוט? האם לא קיימות הוכחות פשוטות יותר? התשובה לכך היא כפולה: ראשית, קיימות הוכחות “ישירות” שאפשר לחשוב עליהן כפשוטות יותר; שנית, ההוכחה שהבאתי, למרות שזה אולי לא נראה כך, היא פשוטה מאוד. מה שמסובך בה הוא כל חומר הרקע וההכנה שנדרשת אליה - אבל חומר הרקע הזה עומד בפני עצמו, וכל סטודנט למתמטיקה נתקל בו במוקדם או במאוחר. יש לו שימושים רבים ומגוונים, ומשפט הקומפקטיות הוא רק שימוש אחד, לא חשוב עד כדי כך ואפילו קוריוזי.

ולפחות לטעמי, בהוכחה הזו יש יופי רב. אני מקווה שלפחות חלק מהקוראים הצליחו לראות אותו.