אין גבול לפורמליזם

הבטחתי שאתאר את מושג הגבול בצורה פורמלית. הגיע הזמן לקיים. לטעמי, יש ערך כלשהו בכך שכל מי שמתעניין במתמטיקה, לא רק מי שלומד אותה, ידע את המושג הזה, ולו כדי לראות איך מפרמלת המתמטיקה מושג שנשמע על פניו מעורפל למדי. מכיוון שכבר הצגתי את האינטואיציה קודם, אקפוץ ישר לפורמליזם.

אז יש לנו סדרה, \( a_1, a_2, a_3,\dots \). אנחנו אומרים על מספר \( A \) שהוא הגבול שלה אם לכל מספר ממשי חיובי \( \varepsilon>0 \) קיים מקום בסדרה, \( N \), כך שהחל ממנו, דהיינו לכל \( n>N \) מתקיים \( |a_n-A|<\varepsilon \), ובמילים - המרחק בין האיבר \( a_n \) ובין \( A \) קטן מ-\( \varepsilon \). הסימון המקובל לכך הוא \( \lim_{n\to\infty}a_n=A \).

הדרך הטובה ביותר לדעתי להמחיש זאת היא עם נקודות במישור. “סדרה” היא פשוט אוסף של נקודות במישור שלכל אחת מהן יש מספר טבעי. הגבול הוא גם כן נקודה במישור, והוא זוכה להיקרא הגבול של הסדרה אם מתקיימת התכונה הבאה: לכל עיגול שנצייר סביבו, ולא משנה באיזה רדיוס (כל עוד הרדיוס חיובי), כל נקודות הסדרה יהיו בתוך העיגול הזה, פרט אולי למספר סופי של נקודות בהתחלת הסדרה. מעתה אגיד “כמעט כל אברי הסדרה” כשהכוונה שלי תהיה “כולן פרט למספר סופי” - זוהי טרמינולוגיה מתמטית מקובלת, ונוחה יותר לשימוש.

עוד דרך לחשוב על הגדרת הגבול היא בתור “משחק” ביני לבין איזה שהוא יריב ערמומי. אני מתחיל את המשחק בכך שאני מצהיר ש-A כלשהו הוא גבול הסדרה; כעת היריב מציב לי אתגר בדמות \( \varepsilon \) (ה”עיגול” סביב הנקודה שהצהרתי עליה). כעת מחובתי לספק \( N \) טבעי בתור מענה ל-\( \varepsilon \) של היריב (בפרט, התשובה שלי תהיה שונה עבור ערכים שונים של \( \varepsilon \)); כעת הכדור חוזר לידיים של היריב. אם הוא מצליח למצוא נקודה כלשהי \( a_n \) שמקיימת \( n>N \) וגם \( |a_n-A|\ge \varepsilon \), הוא ניצח; אחרת, אני ניצחתי, ו”הוכחתי” ש-\( A \) הוא אכן גבול הסדרה.

כל זה, כמובן, הוא טענה פורמלית לחלוטין. נתונה לי סדרה, ואני מתאים לה מספר שמקיים כללים מסויימים. אני לא טוען שהמספר הזה “שייך” לסדרה, וגם לא שהוא האיבר האחרון שלה (בסדרה אינסופית אין איבר אחרון) או כל דבר דומה. אפשר, כמובן, להתאים לגבול משמעויות פילוסופיות, אבל לפני שעושים זאת כדי לראות מה עוד נובע מההגדרה.

תכונה מהותית של גבול של סדרה היא היחידות שלו - לסדרה יכול להיות או גבול אחד, או שום גבול, אבל לא ייתכן שיהיה יותר מגבול אחד. אני צריך לסייג את עצמי ולהגיד שבהגדרה הכללית יותר (ה”טופולוגית”) של גבול זה כבר לא נכון, אבל אין טעם להיכנס לכך כעת. ההוכחה של הטענה הזו היא פשוטה למדי (במובן של “לא משתמשת ביותר מדי רעיונות” - בשום פנים ואופן איני טוען שמי שלא מכיר מתמטיקה יצליח להבין אותה בקלות), ומהווה הזדמנות לא רעה לראות איך עובדים עם גבולות. הרעיון הבסיסי הוא להניח בשלילה שיש שני גבולות, לצייר סביב שניהם “עיגולים” שהם קטנים מספיק כך שאינם חותכים האחד את השני, ואז הסתירה מגיעה מייד - כי כמעט כל אברי הסדרה נמצאים בשני העיגולים גם יחד, אבל שני העיגולים לא נחתכים ולכן זה בלתי אפשרי.

מבחינה פורמלית זה מה שקורה: נניח שיש שני גבולות, \( A_1\ne A_2 \). נגדיר \( \varepsilon=\frac{|A_1-A_2|}{2} \) (כלומר, אנחנו לוקחים בתור אפסילון חצי מהמרחק בין שתי הנקודות - זה מבטיח ששני ה”עיגולים”  שנצייר סביבם לא ייחתכו). כעת, על פי הגדרת הגבול, קיימים \( N_1,N_2 \) כך שלכל \( n>N_1 \) מתקיים \( |a_n-A_1|<\varepsilon \) ולכל \( n>N_2 \) מתקיים \( |a_n-A_2|<\varepsilon \). כעת אני נוקט בתעלול פשוט מאוד - מתבונן באברי הסדרה שהאינדקס שלהם גדול גם מ-\( N_1 \) וגם מ-\( N_2 \), דהיינו בוחר \( N=\max\left\{N_1,N_2\right\} \), ולכן לכל \( n>N \) מתקיים גם \( |a_n-A_1|<\varepsilon \) וגם \( |a_n-A_2|<\varepsilon \).

כבר הגענו לסתירה שלנו, ורק נותר להראות זאת במפורש. ניקח אם כן \( n>N \) ונראה כי \( a_n \) הוא סתירתי במהותו, כי הוא נאלץ להיות בשני מקומות שונים בעת ובעונה אחת (ובמתמטיקה, בניגוד לתורת הקוונטים, זה לא קורה - אלא אם רוצים להמציא סוג חדש של מתמטיקה, ולרוב בנסיונות כאלו מקבלים מתמטיקה “ישנה” בתחפושת מסובכת). ההוכחה עצמה היא תעלול חשבוני לא מורכב מדי, שהחלק העמוק ביותר בו הוא שימוש באי שוויון המשולש, \( |a+b|\le |a|+|b| \). אי שוויון המשולש הוא התכונה החשובה והמהותית ביותר של ערך מוחלט - בלעדיו כל התורה הייתה קורסת.

אם כן, הנה החישוב:

\( 2\epsilon=|A_1-A_2|=|(A_1-a_n)+(a_n-A_2)|\le|A_1-a_n|+|a_n-A_2|<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon \)

קיבלנו כאן סתירה: לא ייתכן ששני אפסילון קטנים ממש משני אפסילון (זה סותר את הגדרת יחס הסדר עבור המספרים הממשיים), ולכן ההנחה שלנו לפיה יש שני גבולות התבררה כשגויה.

סגנון ההוכחה הזה אופייני לרוב ההוכחות בחשבון אינפיניטסימלי; הוא טכני ו”מדוייק” מאוד, ואיכשהו אומר משהו על התמונה הגדולה דווקא באמצעות התבוננות בפרטים הקטנים. יחד עם זאת, למרות הטכניות הרבה שלו, הטיעון הזה משכנע. אני, לפחות, בטוח אחרי שקראתי אותו שלא ייתכן שלסדרה יהיו שני גבולות. נכון, אפשר להגדיר את מושג הגבול באופן שונה לגמרי, ואז אולי יהיו שני גבולות; ואפשר אולי להעלות שאלות פילוסופיות של “מה זו אמת? מה זה בטוח?” ולפקפק בהכל; אבל כל עוד לא הולכים לקיצוניות הזו (שלטעמי היא אימפוטנטית לחלוטין), ההוכחה עובדת. בארגז החול שלה, המתמטיקה היא נכונה ומדוייקת. הוכחות הן לא “בערך” נכונות - הן נכונות לגמרי. חשוב להדגיש את זה, כי כשעוסקים בפילוסופיה של המתמטיקה התמונה מתהפכת לגמרי.

לסיום, אציג את ההרחבה הראשונה של מושג הגבול, הרחבה חשובה כנראה אף יותר מהמושג שהצגתי עד כה, שעסק בסדרות - גבול של פונקציות ממשיות. הרעיון דומה, אך כעת לא מדברים על “הגבול של הפונקציה”, אלא על הגבול שלה בנקודה מסויימת, וזאת לכל נקודה ממשית. הרעיון הוא כזה: הגבול של פונקציה בנקודה כלשהי הוא הערך שנראה כאילו הפונקציה מתקרבת אליו ככל שהערכים שהיא מקבלת מתקרבים אל הנקודה הזו. אין זה אומר שבנקודה עצמה הפונקציה תקבל את ערך הגבול הזה; אם הערך שלה בנקודה שונה מערך הגבול שלה בנקודה, אומרים שהנקודה הזו היא נקודת אי רציפות (ואכן, אם נצייר את גרף הפונקציה הזו, נראה שיש “חור” בנקודת אי הרציפות).

אם כן, ההגדרה הפורמלית היא כדלהלן: לפונקציה \( f(x) \) יש גבול \( L \) בנקודה \( x_0 \) אם לכל \( \varepsilon>0 \) קיים \( \delta>0 \) כך שאם \( 0<|x-x_0|<\delta \) אז \( |f(x)-L|<\varepsilon \) (שימו לב שלא דורשים שהערך של הפונקציה בנקודה \( x_0 \) עצמה יהיה קרוב ל-\( L \). הסימון המקובל במקרה זה הוא \( \lim_{x\to x_0}f(x)=L \). מה זה אומר? אם בסדרות דיברנו על “כל אברי הסדרה החל ממקום מסויים”, כאן אנחנו מדברים על “כל הנקודות שקרובות ל-\( x_0 \) עד כדי רמה מסויימת”. הרעיונות דומים, אך הדלתא מסבך קצת יותר את ההבנה - לכן לרוב מעדיפים להתחיל מדיבורים על גבול של סדרות.

למעשה, קיים ניסוח שקול להגדרת הגבול של פונקציות שאינו משתמש בדלתא, אלא במושג הגבול הקיים של סדרה. ל-\( f(x) \) יש גבול \( L \) בנקודה \( x_0 \) אם לכל סדרת ממשיים \( a_1,a_2,a_3,\dots \) ששואפת ל-\( x_0 \), הסדרה \( f(a_1),f(a_2),f(a_3),\dots \) שואפת אל \( L \).

אם כן, זהו המושג הבסיסי בחשבון האינפיניטסימלי, ואחד מהמושגים הבסיסיים במתמטיקה בכלל. מה עושים איתו? ובכן, בתור התחלה אפשר להגדיר באמצעותו את מושג הנגזרת, וגם את מושג האינטגרל, שני המושגים החשובים שבהם עוסק החשבון האינפיניטסימלי (עם זאת, עבור אינטגרל לא “חייבים” את מושג הגבול). כמו כן ניתן להגדיר באמצעותו את מושג הרציפות של פונקציה, שאותו ניתן לתאר כבר עכשיו - פונקציה היא רציפה אם בכל נקודה ערכה שווה לערך שהגבול “מבטיח” - \( f(x_0)=\lim_{x\to x_0}f(x) \). פונקציות רציפות הן כנראה הסוג הנחקר ביותר של פונקציות, מכיוון שהרציפות הופכת אותן ל”נחמדות” הרבה יותר - בעלות יותר תכונות טובות.

אבל מה עוד אפשר לעשות עם מושג הגבול? להתווכח עליו, כמובן! ועל כך - בהמשך.