האם יש לנו ודאות לוגית שיש אינפורמציה במתמטיקה?

לפני מספר שנים התגלגל לידי ספר בשם “שלוש מהפכות קופרניקניות” מאת זאב בכלר, פרופסור לפילוסופיה של המדע, שעוסק, על פי מה שכתוב בכריכתו האחורית, ב-

“סיפור דילדולה של המחשבה הפילוסופית והידרדרותה מאז השיא שהגיעה אליו עם המהפכה הקופרניקנית והמדע הניוטוני. הידרדרות זו החלה כמרד נגד המדע הניוטוני, מרד שהתגבש בראשונה ב"מהפכה הקופרניקנית" של קאנט. קיצו של המרד היה המהפכה הקופרניקנית השלישית - זו המתחוללת מאז תחילת המאה ה - 20 במדע ובפילוסופיה של המדע. במהפכה השלישית הופיעה צורתה הבשלה של המודרניות בפילוסופיה של הראש הקטן ושל המיקרו - צ'יפ, של הריקות המתחזה לעומק ושל צידוק הרשע בשם היחסות.”

מה נגיד? נשמע טוב. התחלתי לקרוא בהתלהבות, אך נתקעתי די מהר, משתי סיבות. האחת, כנראה שאיני מורגל לסגנונם של ספרי פילוסופיה, או אפילו לספרי סקירה של פילוסופיה. אני רגיל, כשאני קורא ספרות עיון, לספרות מדע פופולרי, או לספרות מתמטית. ההבדל בין הספר הזה לבין שניהם היה רב מאוד. ייתכן שזה לכשעצמו לא היה מפריע לי להיאבק בו כי היו בו מספר דברים מעניינים; אבל אז נכנסו לתמונה הפרדוקסים של זנון. לאחר תיאורם, הוסיף בכלר כי:

“הפרדוקסים של זנון לא נפתרו עד ימינו. היום נמצא להם פתרון מסוים (בעזרת מתמטיקה הקרויה "לא-סטנדרטית") אך אפשר לומר כבר כאן שזנון היה מעדיף להישאר עם הפרדוקסים מאשר לקבל את הפתרון הזה. אם-כי אין יותר סתירות, הרי שזנון היה טוען שהמתמטיקה הפותרת אותן עוסקת ביצורים הקרויים "אינפיניטסימלים", שהם גדלים סתירתיים בפני עצמם, משום שהם גדלים הקטנים מכל מספר ממשי אך גדולים מאפס. המתמטיקה עוסקת, לכן, במספרים "בלתי מוגבלים", שהם מספרים הגדולים מכל מספר טבעי אך הם סופיים. זנון היה טוען, מן הסתם, שהוא אינו רואה מה הרווח בהנחת סתירות חדשות כדי לפתור סתירות ישנות. לישנות לפחות התרגלנו כבר.” (“שלוש מהפכות קופרניקניות”, עמ’ 33).

הפסקה הזו הותירה אותי בהלם. לא נפתרו? מתמטיקה לא סטנדרטית? הרי (כך חשבתי), החשבון האינפיניטסימלי הציע פתרון לפרדוקסים כבר לפני מאות שנים, בעוד שהמתמטיקה הלא סטנדרטית (הנחתי אז, ועודני מניח, שהכוונה למה שמכונה “אנליזה לא סטנדרטית”) היא המצאה של עשרות השנים האחרונות. יתר על כן, אמנם הפתרון המקורי של החשבון האינפיניטסימלי, זה של ניוטון, דרש את קיומו של יצור בשם “אינפיניטסימל”, שאכן היה מושג סתירתי ומוזר ביותר - כשהתחשק לו, ניוטון חשב עליו כמספר גדול מאפס (כזה שאפשר לחלק בו) - ואחר כך, כשהחשק עבר, ניוטון חשב עליו כעל אפס (ולכן אפשר “להעלים” אותו מהנוסחה).

עם זאת, במאה ה-19 (כך חשבתי) באו קושי ווירשטראס וחבריהם, פירמלו את החשבון האינפיניטסימלי, המציאו את מושג הגבול וסילקו את האינפיניטסימל מהמתמטיקה. נכון, האנליזה הלא-סטנדרטית מנסה להחזיר אותו למשחק והפעם כחבר של כבוד, על ידי חיפוש ניסוח פורמלי וריגורוזי שלו, אבל כיצד ניתן לכתוב משהו על פתרונם או אי פתרונם של הפרדוקסים של זנון מבלי להזכיר את מושג הגבול? ואם כבר מזכירים את האנליזה הלא סטנדרטית, איך אפשר לקרוא לאובייקטים שהם עוסקים בה “סתירתיים”? הרי כל מהותה היא לתאר את האובייקטים הללו (שאצל ניוטון היו סתירתיים) בצורה שתהיה חסרת סתירה - מבלי סתם “להניח” את קיומם כפי שבכלר אומר, אלא ממש לבנות אותם.

לב הבעיה, כך חשתי, היה בדוגמטיות כלשהי מצד בכלר, לפיה “קטן מכל מספר ממשי אך גדול מאפס” הוא מושג סתירתי, וזהו. אין ויכוח. מן הסתם לא מצאתי אצל בכלר נימוק כלשהו לטענה הזו, ולכן גם אין לי מושג למה, בעצם, הוא חושב כך. מבחינה מתמטית אין בעיה עקרונית עם “גודל שהוא קטן מכל מספר ממשי אך גדול מאפס” - כאמור, האנליזה הלא-סטנדרטית מנסה להגדיר בדיוק את הדבר הזה, ויש גם גישות אחרות - אני מכיר את גישתו הפשוטה והנאה של ג’ון קונווי, שהמציא הכללה למספרים הממשיים - “מספרים סוריאליסטיים” (השם אינו שלו) ובה קיימים גדלים שהם קטנים מהמספרים הממשיים אך גדולים מאפס. אם כן, כבר כאן מתקבל הרושם שהויכוח של בכלר הוא עם המתמטיקה בכללותה, וש”סתירתי” עבורו, ככל הנראה, פירושו “מנוגד לאינטואיציה”. הוא סבור שזנון לצידו ולא היה מקבל את המתמטיקה המודרנית, וייתכן שהוא צודק; אך אין זאת בגלל פגם פנימי של המתמטיקה, אלא בגלל שבכלר מתנגד למתמטיקה שהיא חסרת אינטואיציה.

כל זה היה יכול להיות רק בגדר ניחוש פרוע והסקת מסקנות חפוזה, אולם מקריאה לא מעמיקה של המשך הספר - ואני מצהיר כאן מראש שלא קראתי את כולו ואיני מסוגל לעשות זאת - קיבלתי את הרושם שזו בדיוק התיזה של בכלר; התנגדות עזה למתמטיקה המודרנית, ה”פורמלית”, מכיוון שהיא אינה אומרת שום דבר על כלום. כדי להבין זאת, צריך להציג את מושג ה”אינפורמציה” כפי שבכלר מתייחס אליו. לרוע המזל, קשה לעשות זאת מבלי לצטט דפים שלמים שבהם מסביר בכלר את עמדתו ואת הצורה שבה היא באה לידי ביטוי בפילוספיה. למרות זאת, אנסה לצטט את מה שאני מבין בתור העיקר.

ראשית, בכלר מדבר על ההבדל בין ודאות מוחלטת, לוגית, ובין מה שהוא מכנה ודאות מורלית. מבחינת בכלר, ודאות מוחלטת היא חסרת ערך - “כל שאלה בדבר ודאותו של פתרון מדעי היא מעניינת רק בתנאי שכוונתה לוודאות של ענייני היומיום, ודאות מורלית. וברגע שאנו דורשים מן המדע ודאות רבה יותר, שניתן לקרוא לה מוחלטת או אלוהית, השאלה מאבדת עניין, ולא רק עבור המדע. כי התשובה עליה טריוויאלית בהתאם: שום דבר אינו ודאי באופן מוחלט.” (שם, עמ’ 29).

אם כן, מהי אינפורמציה? על פי בכלר, היא משהו על העולם שניתן לדעת בודאות מורלית שכזו. הדוגמה הנאה שהוא מביא היא של דף שנכתב בכתב סתרים (למשל, צופן קיסר) - אם ננחש פתרון לצופן ונפענח את הדף, נקבל ג’יבריש כמעט תמיד - אבל אם פתאום נקבל טקסט קוהרנטי ובעל משמעות, יהיה לנו ברור (בודאות מורלית, או כפי שבכלר מכנה אותה, ודאות “של שוק”) שזה אכן הפתרון הנכון. את הרעיון הזה בכלר מחיל גם על מדעי הטבע, אם כי אני מודה שאיני מבין בדיוק איך (בכלר נמנע, במפורש, מהגדרות, כך שאין דרך להבין במדוייק על מה הוא מדבר ולמה הוא מתכוון - ובפרט, איפה נגמרים הפילוסופים עליהם הוא מדבר והוא מתחיל), וטוען שהעולם הפיזיקלי הוא כתב סתרים שכזה והמשמעות שהוא מכיל בתוכו היא האינפורמציה שתופעות הטבע (שהן הקשר שלנו עם העולם) נושאות.

הבעיה בהחלה הזו היא שה”ודאות של שוק” הזו היא בעייתית מאוד כשמגיעים לעולם המופלא של הפיזיקה הלא אינטואיטיבית - הדוגמה הקלאסית היא כמובן תורת הקוונטים, שעליה מדבר בכלר בחלק אחר של הספר. אפשר (ואולי אף ראוי) להזכיר גם את הצורה שבה האנלוגיה של בכלר נשברת - כאשר מצפינים משהו באמצעות פנקס חד פעמי, כל הפענוחים האפשריים הם שווי הסתברות. לכן, פענוח שמוביל לטקסט קריא וקוהרנטי לא אומר כלום על הודאות של אותו פענוח. באנלוגיה של בכלר מסתתרת ההנחה שהעולם אינו כזה, ואולי זה נכון; אך איני רואה שום סיבה עקרונית להניח שלעולם יש “פיענוח” אחד ויחיד שייראה הגיוני - וחמור מכך, לא ברור שהפתרון שנראה אינטואיטיבית “הכי נכון” הוא אכן הפתרון האמיתי (מן הסתם שאלת האמפיריות לא משחקת כאן תפקיד - אם “פיענוח” לא עומד במבחן המציאות ודאי שלא נדון בו).

אל מושג האינפורמציה בכלר מוסיף את מושג “צורת האינפורמציה”, שהיא צורתה של תיאוריה אינפורמטיבית - תיאוריה שחושפת את האינפורמציה. בבסיסה, צורת האינפורמציה היא “צורתו של פרדוקס… קישור של דברים זרים זה לזה”. יתר על כן, “מכיוון שהאינפורמציה היא הקישור הפרדוקסלי, הקישור בין דברים זרים, לא רק שלא תיתכן אינפורמציה ודאית (יותר ממורלית) אלא שלא תיתכן אינפורמציה רציונלית”. (שם, עמ’ 31). כשמדברים על פיזיקה ושאר מדעי הטבע, הטענה לפיה לא תיתכן אינפורמציה ודאית נשמעת לי מובנת מאליה, אפילו טריוויאלית, ובוודאי שאינה זקוקה לדיבורים על “פרדוקסליות” (איני חושב שקישור בין שני דברים זרים הוא פרדוקסלי במהותו, אבל אולי לא הבנתי על מה בכלר מדבר). הבעיה מתחילה כשמנסים להחיל את הגישה הזו גם על המתמטיקה.

כבר כאן, הרבה לפני שיתקוף את קאנט ואת הילברט ואת כל המתמטיקה של המאה ה-20 (מלבד גדל, כמובן), סותם בכלר את הגולל על כל אפשרות למתמטיקה שיש בה ודאות מוחלטת. מתמטיקה שכזו, על פי בכלר, לא תוכל להכיל אינפורמציה כי כל אינפורמציה פירושה סתירה, או לכל הפחות (וזה כנראה המובן של “סתירה” שהוא מתכוון אליו) קישור שרירותי בין שני דברים נפרדים. כך למשל המשפט “פונקציה גזירה היא רציפה” (משפט מתמטי תקין למהדרין ובעל הוכחה פשוטה) הוא חסר אינפורמציה כי הוא לא מקשר בין שני דברים נפרדים, אלא פשוט מביע טענת “זהות” (כשהזהות נובעת בדיוק מכך שמתחייב שפונקציה גזירה היא גם רציפה).

אותו הדבר בדיוק קורה גם לטענה “כל חבורה סופית מסדר אי זוגי היא פתירה”. מהי חבורה ומהי חבורה פתירה ומהו סדר אינם רלוונטיים כרגע, כי המשפט מובא רק בתור דוגמה למשפט “חסר אינפורמציה” כי כל מה שהוא אומר הוא טענת זהות; עם זאת, הוכחת המשפט הזה (“משפט פייט-תומפסון”) היא בת 250 עמודים, והוא נחשב לאחד מהמשפטים החשובים במאה ה-20, למשפט שגרם ללידתו של הפרוייקט המתמטי הגדול ביותר אי פעם - מיון כל החבורות הפשוטות הסופיות.

אם כן, ברור שיש במשפט הזה אינפורמציה, לפחות “אינפורמציה של שוק”, אינפורמציה של “הנה משהו שקודם לא ידעתי ועכשיו אני יודע, והמעבר בין שני המצבים הללו אינו טריוויאלי”, וברור שהשימוש של בכלר במילה “אינפורמציה” הוא מוגבל מאוד מלכתחילה. בשל כך, אני לא יכול להימנע מלגשת בספקנות רבה לכל מה שבכלר טוען מרגע זה והלאה על המתמטיקה; בפרט, ה”חשד” שלי הוא שבכלר אינו מתעניין במתמטיקה לכשעצמה, אלא רק במתמטיקה ככלי שרת של הפיזיקה, שאמור לתאר את העולם הפיזיקלי שלנו. לכן, לדוגמה, גאומטריה אוקלידית שאינה מדברת על ישר ונקודה כפי שהם מובנים לנו אינטואיטיבית אלא על המושגים האבסטרקטיים של ישר ונקודה היא שיקוץ.

בציטוט אחר שאיני מוצא כעת אמר בכלר כי טענה שהיא “נכונה בכל העולמות” אינה אינפורמטיבית; אבל הרי זו בדיוק מטרתה של המתמטיקה שאנחנו מכירים ואוהבים - לזהות את הטענות שהן נכונות בכל העולמות, ואינן מושפעות מקבוע הגרביטציה, מכך שאנחנו צורות חיים עשויות פחמן, וכדומה. ייתכן שבעולמות אחרים, צורות החיים האחרות שחיות שם לא יתעניינו בכלל בחבורות פתירות; ייתכן שהן יקראו להן בשם שונה לגמרי וידברו עליהן במונחים שונים לגמרי; ייתכן גם שגישתם למושג ההוכחה תהיה שונה לגמרי ואצלם ההבנה שהמשפט נכון תדרוש מאמץ אינטלקטואלי זניח; ועדיין, המשפט עדיין יהיה נכון גם עבורם. האם אין כאן אינפורמציה? לדעתי, דווקא האינפורמציה הזו, שהיא ודאית לגמרי (ולא רק “מורלית”) היא הצורה המעניינת יותר של אינפורמציה.

אם כן, זירת הקרב נערכה. מצדה האחד - האינטואיציה והודאות “של השוק” והאינפורמטיביות הסתירתית והדרישה שהכל יתאים לעולם שלנו. בצד השני - הפורמליזם, האבסטרקציה, הודאות הלוגית וה”ריקנות” שמתחייבת מהם. בפוסט הבא נראה כיצד שני אלו מתנגשים בהגדרתו של קושי לסכום של טור אינסופי.