הקרב נפתח ביריית חץ

בעבר נהגתי לתאר את הפרדוקסים של זנון לכל דורש בהתלהבות רבה. עם השנים (בפרט, ככל שלימודי המתמטיקה התקדמו) גיליתי שקשה לי יותר ויותר לתאר אותם, ואני נזהר יותר ויותר בניסוחים שלי. לבסוף הגעתי למצב שבו אני יכול אולי לומר איך אחרים מתארים את הפרדוקסים, אבל אני עצמי לא רואה בהם שום בעיה פרט לכך שהם לא מנסחים היטב את המושגים שעליהם הם מדברים. אנסה להדגים זאת על כל פרדוקס לחוד, ואתחיל בפוסט הזה מפרדוקס החץ דווקא.

אקח את הניסוח שזאב בכלר (שכבר הזכרתי בפוסט הקודם) מציג לו, ב”שלוש מהפכות קופרניקניות”. הוא מתחיל מהמסקנה שלנקודה הגיאומטרית אין אורך (מקובל עלי לחלוטין, למרות שיצא לי להיות לא מזמן בהרצאה שדיברה על ייחוס מושג של מימד פרקטלי גדול מאפס לנקודה ולמה זה לא רעיון כזה רע), ולכן:

“…טען זנון, הקו אינו יכול להיות בנוי מנקודות, משום שהסכום של מספר רב של לא-כלומים הוא לא-כלום. אפשר לענות ולטעון שאם כי אולי הרצף המתמטי אכן אינו בנוי מנקודות, אפשר שהרצף הפיסיקלי - דברים כמו מרחקים וקטעי זמן - כן בנוי מנקודות. זנון ענה, שאילו זה היה כך, לא היינו מסוגלים להבין ולבאר מהי תנועה וכיצד היא מתרחשת. משום שאז היה עלינו לומר שחץ הנמצא במעופו ולכן בתנועה בכל נקודת זמן (בכל "רגע") נמצא גם במנוחה "בכל רגע" כזה, כי "בכל רגע" הוא חופף קטע מרחב מוגדר היטב , ולכך בדיוק אנו קוראים מנוחה... זהו "פרדוקס" מן הסוג של סתירה: כי אם מנוחה היא ההפך מתנועה, הריש התנועה אינה יכולה להיות מורכבת ממנוחות.” (“שלוש מהפכות קופרניקניות, עמ’ 32).

הניסוח הזה הוא מעולה, לדעתי. לא רק שהוא מבהיר מה בדיוק הפרדוקס, הוא גם שם אותו בהקשר הרחב יותר, של מטרתו של זנון בהצגת הפרדוקסים - הטענה של זנון נגד פירוק היקום לנקודות נפרדות (הוא ניסה להגן על תפיסתו של מורהו, פרמנידס, לפיה לא קיים ריבוי של דברים בעולם). עוד דבר שמעולה בניסוח הוא שהוא חושף בגלוי את ההנחות הסמויות שבו - אמנם, את אלו שבכלר מניח; אבל אם לא ניקח אותן, נישאר עם לא-כלום.

ההנחה הראשונה היא “הסכום של מספר רב של לא-כלומים הוא לא-כלום”. הטענה הזו נשמעת אינטואיטיבית, כמובן, וגם אני נוטה להסכים איתה (סכום של אפסים, אפילו אינסופי, הוא עדיין אפס) אבל הבעיה כאן היא בזהות שהטענה יוצרת בין “נקודה” ובין “לא-כלום”. אמנם, אין לנקודה אורך (האורך שלה נחשב ל-0) אך אין שום סיבה להקיש מכך שהאורך של אובייקט שמורכב כולו מנקודות שווה פשוט לסכום אורכי הנקודות ותו לא, רק בגלל שזו האינטואיציה היומיומית שלנו. הכשל המרכזי באינטואיציה היומיומית הזו היא שביומיום אנחנו לא רואים אובייקטים שמורכבים מאינסוף נקודות, ממש כשם שאיננו רואים את המכונית שלנו מבצעת מינהור דרך דלת המוסך, או שאיננו רואים את הסרגל שלנו מתקצר כשאנו משליכים אותו במהירות.

בעיה מספר 1, אם כן: חסרה לנו הגדרה מסודרת למושג “אורך”. במתמטיקה יש למושג הזה הגדרה פשוטה למדי, כאשר הקבוצה שבה אנחנו עוסקים היא פשוטה - “קטע”. קטע ניתן לתיאור באמצעות שני מספרים ממשיים, \( a,b \), בתור “כל הנקודות שגדולות מ-\( a \) וקטנות מ-\( b \). אפשר ש-\( a,b \) עצמם יהיו שייכים לקטע, אפשר שלא, ואפשר שרק אחד מהם יהיה שייך. בכל המקרים הללו מגדירים את אורך הקטע להיות פשוט המרחק בין \( a \) ו-\( b \) (כש”מרחק” בין שתי נקודות מוגדר בתור \( |a-b| \) - מספר שמוגדר היטב מבחינה מתמטית).

ההגדרה הזו תקפה מבחינה מתמטית, בוודאי; השאלה היא האם היא גם מתאימה למה שקוראים לו “אורך”. אלא שלא ברור איך מישהו מגדיר את המושג האינטואיטיבי הזה בכלל. אצל בכלר אין הגדרות, והדבר הכי קרוב להגדרה שמצאתי הוא אמירתו ש-“הפיתגוראים שיחקו ברעיון שהקו בנוי מנקודות ולכן בכל קו יש מספר מסוים של נקודות וזהו בהכרח מספר שלם” - רעיון שגם מבחינה מתמטית קל להוכיח שהוא בלתי אפשרי (כי בין כל שתי נקודות ממשיות אפשר למצוא עוד אחת, ולכן אם היה לנו מספר סופי של נקודות לא ייתכן שהוא היה מרכיב קטע כי היינו מוצאים לו “חור” באמצע).

ב”הרצאות פיינמן על פיזיקה” מנסה פיינמן להגדיר את מושג ה”זמן”. הוא פותח מילון, מוצא הגדרות מעגליות, מוותר ומחליט במקום לנסות בחוסר תוחלת להגדיר את המושג, פשוט לדבר על איך מודדים אותו. כשמגיעים לאורך הוא כבר מדבר ישר על המדידה. אם כן, נשארנו עם הצורה שבה מודדים אורך ב”עולם האמיתי”. ברמה הבסיסית ביותר עושים זאת באמצעות סרגל, שהוא דוגמה פיזיקלית לקטע (אובייקט רציף, בלי חורים באמצע, וישר) ואורכו נחשב למרחק שבין קצותיו. נראה לי שההגדרה המתמטית מתאימה היטב להגדרה ה”פיזיקלית” הזו.

נשאר רק להבין מהן השלכותיה של ההגדרה המתמטית - ואחת מהן היא שאין מניעה שקו בעל אורך יהיה מורכב מנקודות שאינן בעלות אורך לכשעצמן, בדיוק בגלל ה”רציפות” שהן משרות, העובדה שלא ניתן למצוא בין שתי נקודות בקטע נקודה שלישית שאינה בקטע (למעשה, זה עדין מעט יותר - גם לא קיימת סדרה של נקודות בקטע שמתכנסת “בתוך הקטע” אבל גבולה לא שייך לקטע - אם היינו מנסים לבנות את הקטע ממספרים רציונליים בלבד ומתעלמים מקיומם של הממשיים היינו נתקלים בבעיה הזו בדיוק, ואז היה לנו בקטע “חור” שקשה להתעלם מקיומו).

ההגדרה הזו ל”אורך” היא מודרנית במובן זה שהיא מסתמכת על מושג המספרים הממשיים, שהוא מושג מורכב (ובעייתי) לכשעצמו. בוודאי שבימי היוונים הקדמונים לא חשבו עליה, ואפילו לא בימי ניוטון ולייבניץ, מייסדי החשבון האינפיניטסימלי. עם זאת, בלי ההגדרה הזו, מה נשאר לנו? טענה שרירותית על “סכום של נקודות לא יכול להרכיב קו” ומחסור בהגדרה ל”אורך”.

הלאה, אל פרדוקס החץ עצמו. הבעיה המהותית בו, כצפוי, היא בסוף הניסוח: “הוא חופף קטע מרחב מוגדר היטב , ולכך בדיוק אנו קוראים מנוחה”. כמו קודם, יש כאן הגנבה בדלת האחורית של “הגדרה” למושג המרכזי ביותר בפרדוקס, שיוצרת זהות בין מיקום שהוא מוגדר היטב, ובין מנוחה. אביא מייד את ההגדרה האינטואיטיבית שלי ל”מנוחה” - אובייקט הוא במנוחה בפרק זמן מסויים אם המיקום שלו לא משתנה בפרק הזמן הזה. ב”פרק זמן” כוונתי רק לקטעים של זמן, כלומר לתקופה שבה אפשר למדוד שינוי. זה חייב להיות קטע רציף, כי אחרת אפשר יהיה להגניב תנועה “בדלת האחורית”.

חשבו על זה כך - נניח שאנחנו מצלמים מישהו בהפרשי זמן של דקה. בכל צילום הוא נעמד בדיוק באותה נקודה ובאותה תנוחה, ומצטלם, ואחר כך מתחיל להשתולל - עומד על הראש, קופץ, עושה גלגלונים וכו’. בסיום הדקה הוא שב לאותה תנוחה ואותו מקום ושוב מצטלם. אנחנו רואים רק את הצילומים וממהרים להסיק שהאדם היה “במנוחה” במשך כל הזמן הזה - אבסורד, כמובן. לכן אפשר לעשות רק אחד משניים - או להגיד רק שהאדם נמצא “במנוחה” בנקודת הזמן שבה נלקח הצילום, או להגיד שהתמונות לא מספיקות כדי לקבוע חד משמעית אם הוא היה במנוחה בפרק הזמן שהצילומים מנסים לתאר.

מה שפרדוקס החץ מראה לנו בבהירות הוא שמושג ה”מנוחה” של התבוננות בנקודת זמן בודדת ומושג ה”מנוחה” הכללי, האינטואיטיבי, זה שהוא (כדברי בכלר) “ההפך מתנועה” אינם אותו דבר. למעשה, איני רואה כיצד הם יכולים להיות אותו דבר. הרי “תנועה” היא משהו שאין שום דרך להגדירו מבלי לדבר על שני פרקי זמן לפחות. אם כן, שורש הבעיה הוא בכך שהפרדוקס (לפחות בניסוח של בכלר) מתעקש לדבר על “תנועה רגעית”, תנועה שמוגבלת לרגע בודד, ואז לגלות למרבה התדהמה שהיא שונה מתנועה בניסוח הרגיל שלה, שמדבר על שינוי במיקום במעבר בין שתי נקודות זמן. מזעזע.

לסיכום, יש לנו כאן מיש-מש הגדרתי של המושגים של “תנועה” ושל “מנוחה”. יש תנועה שנמדדת ביחס לשתי נקודות, ויש תנועה שרוצים למדוד רק ביחס לנקודה אחת. אין מניעה לנסות ולהגדיר תנועה רק ביחס לנקודה אחת, אבל חשוב להבין שאלו אינם אותם מושגים; בפרט, לטעון שאם “מחברים” בצורה כלשהי את כל התנועות הרגעיות, הרי שנובעת מכך התנועה ה”לא רגעית” זה חסר ביסוס; הרי זה תלוי בדיוק בצורה שבה נגדיר את התנועה הרגעית, ואת החיבור של כל התנועות הרגעיות! זו טענה שצריך להוכיח, לא להניח!

התרומה האדירה של החשבון האינפיניטסימלי לכל הערבוביה הזו היא בדיוק בכך שהוא מציע הגדרה נפלאה לאותה תנועה רגעית. הגדרה שממנה אכן נובע שניתן לתאר את התנועה הלא רגעית (כלומר, את המרחק שעובר החץ בפרק זמן נתון) בתור מעין סכום של התנועות הרגעיות (לסכום הזה קוראים “אינטגרל”). יתר על כן, הוא מציע דרך פשוטה להסיק את התנועה הרגעית הזו בכל רגע ורגע מתוך התיאור של המיקום של החץ בכל רגע ורגע, באמצעות המושג המרכזי השני שלו, הנגזרת. בכך הוא מציע מודל נהדר לתיאור התנועה בעולם - מודל כמותי שניתן לבצע בו חישובים ולהגיע לתוצאות.

עם זאת, חשוב להבין שמדובר במודל מתמטי בלבד, במובן זה שאין לנו שמץ של מושג אם היקום אכן מתנהג בדיוק כמוהו - אין לנו יכולת לבצע מדידות בדרגת הדיוק שהוא דורש. במודל הזה, כדי להסיק את כל המידע על תנועת החץ אנחנו צריכים לדרך את המיקום המדוייק שלו בכל נקודת זמן; הבעיה המהותית היא בכך שיש אינסוף (ואינסוף לא בן מניה) של נקודות זמן אפשריות, אבל שמכשירי המדידה שלנו מוגבלים ומסוגלים לדגום את המיקום של האובייקט רק במספר סופי של נקודות זמן (וגם המיקום לא ימדד במדוייק, אבל נעזוב את זה). כלומר, המידע האמיתי שיש לנו בעולם הוא תמיד קירוב “בדיד” של תנועת החץ, להבדיל מהתיאור המתמטי שלה שהוא “רציף” (באותו מובן שבו קטע הוא רציף).

אם כן, המודל אינו “נכון” בשום רמת ודאות, אפילו לא מורלית. עם זאת, נוח מאוד לתאר בו דברים ולבצע חישובים, וכשמשתמשים בו הוא מניב תוצאות מדוייקות. לכן מדובר במודל מועיל וטוב (והכי חשוב מבחינתי - מעניין) גם אם מבחינה פילוסופית אין לנו דרך להכריע שום דבר לגביו.

וכעת נחזור לפילוסופיה. בהמשך הספר יוצא בכלר נגד ברטראנד ראסל. הלה הסיק מהגדרת הגבול של קושי וויירשטראס (שאל הויכוח עליה נגיע בהמשך) ש”אין דבר כזה, מהירות”, כי המהירות מוגדרת במודל של החשבון האינפיניטסימלי בתור נגזרת, ונגזרת היא גבול וגבול, כפי שראינו בהגדרתו הפורמלית, הוא מספר שמיוחס לסדרה/פונקציה, לא בהכרח מספר ש”קיים” אי שם, מהווה חלק מהסדרה/פונקציה וכו’. ראסל מגדיל ואומר ש”התנועה היא אך ורק הנוכחות בזמנים שונים בהתאם לרצף”, דהיינו שהדבר היחיד שקיים הוא הפונקציה של המיקום על פי הזמן, ושלפונקציה הזו אנחנו מסוגלים לצרף “פיקציות” כמו מהירות (הנגזרת הראשונה שלה) ותאוצה (הנגזרת השניה שלה) שמסייעות לתאר אותה.

לטעמי, גם גישתו של ראסל תמוהה למדי, שכן אני מקבל את הרושם שהוא מסיק מסקנות מהמודל המתמטי על מה שקורה “באמת”. שורש הבעיה היא בחוסר היכולת להפריד בין המודל ובין מה שהוא מתאר (למרבה האירוניה, הרושם שאני מקבל מחלקים אחרים של הספר הוא שבכלר מתנגד להפרדה הזו בכל לבו). אז יופי, התנועה ה”מתמטית”, הנגזרת של פונקצית המיקום, היא “פיקציה” - אבל איך מזה אפשר להגיע אל “דחיית המהירות והתאוצה כעובדות פיסיקליות”?

מילא, אפשר להאשים אותי בכך שאני לא באמת מבין את דבריו של ראסל, שכן אני קורא רק את מה שבכלר מצטט מהם. קרוב לודאי שאני אכן לא מבין את ראסל. לכן אני לא באמת מדבר על ראסל, אלא על הפרשנות שבכלר עצמו מספק את לדבריו: “"אין דבר כזה"" פירושו הוא שבעולם הפיסיקלי, ולכן במרחב הנפרד, אין מהירויות, ולכן אין מצב תנועה... אך, אם כך, במה עוסקת הפיסיקה?” (שם, עמ’ 223).

וכאן באמת איבדתי אותו. כי מה מונע מהפיסיקה לעסוק בחקר פונקציית התנועה, אפילו אם המהירות היא בסך הכל פיקציה שהמצאנו כדי להבין את אותה פונקציית תנועה טוב יותר? ונניח שמהירות היא פיקציה, האם זה מונע מהפיזיקאים שמשתמשים בה להנחית טילים על הירח? בוודאי שלא. אם כן, כנראה שבכלר אינו מוטרד מזה, אלא מההשלכות הפילוסופיות של הפיכת המהירות לפיקציה - וזוהי ארץ רחוקה שעל אנשיה איני יודע דבר.