אכילס והצב יוצרים דיכוטומיה בין המודלים האפשריים לתנועה

כמו בפרדוקס החץ של זנון, כך גם בפרדוקס הדיכוטומיה, אני מעדיף, כשאני מציג את ה”פתרון” שלי לפרדוקס, להתבסס על ניסוח שאינו שלי אלא של מישהו שסבור שהפרדוקסים לא נפתרו - דהיינו, זאב בכלר:

“לו היה הקו רציף, הוא היה ניתן לחלוקה אינסופית... אך בהנחה זו, כיצד תיתכן התנועה? כדי להגיע לקצה הקו יש להגיע קודם עד אמצעיתו, וקודם עד אמצע האמצע שנשאר, וקודם עד אמצע האמצע של האמצע שנשאר. ולכן, אם התנועה היא תהליך של חלוקת המרחק, אז החלוקה הזו היא אינסופית, כפי שראינו. ומכיוון שכך הרי שאין לה סוף - ולכן כיצד יכולה התנועה להסתיים, אם הקו רציף?... אם התנועה התחילה, היא אינה יכולה להסתיים, אך כיצד היא יכולה להתחיל? שהרי כדי להגיע עד לאמצע המרחק יש להגיע קודם עד אמצע האמצע הזה - וכן הלאה עד אינסוף. ולכן, לא יכול להיות צעד ראשון, ובסיכום - תנועה אינה יכולה להסתיים אך היא גם אינה יכולה להתחיל, אם נניח שדברים כמו מרחב וזמן הם רציפים.” (“שלוש מהפכות קופרניקניות”, עמ’ 33).

לא ניכנס כרגע לשאלה מדוע הקו רציף וניתן לחלוקה אינסופית (בכלר מסביר זאת יפה) משום שאין לי בעיה עם הטענה הזו. מבחינה מתמטית, הישר הממשי הוא אכן כזה. אמנם, ייתכן שעולמנו איננו כזה ולא ניתן לבצע בו חלוקות אינסופיות, אך הפרדוקסים ממילא אינם תוקפים את עולמנו (שבו, כידוע, התנועה מתקיימת) אלא עולם מתמטי בדיוני, שבו לכאורה התנועה אינה יכולה להתקיים.

כמו בפרדוקס החץ, כך גם כאן, הבעיה המהותית לדעתי היא שמושג ה”תנועה” בעולם זה פשוט לא הוגדר היטב, ועם זאת הוא נטען במשמעויות רבות ושונות, וב”ציפיות” שונות ומשונות שהאינטואיציה שלנו מציגה. בניסוח פרדוקס הדיכוטומיה, בכלר מספק מעין הגדרה לתנועה - “תהליך של חלוקת המרחק”. כמובן שההגדרה הזו סותמת יותר מאשר היא מפרשת - מה זה תהליך? האם תהליך מורכב ממספר אינסופי של פעולות? ואם מספר אינסופי, האם הוא בן מניה או שאינו בן מניה? ואיך מגדירים את סוף התהליך, אם הוא אינסופי? ומה הכוונה ב”חלוקת המרחק”? בקיצור - עם הגדרות רופפות כאלו לא הולכים למכולת (או שמא, ל”שוק”). הרי אם אתה לא טורח להסביר במפורש למה אתה מתכוון כשאתה משתמש במילה זו או אחרת, אולי תהיה לך אינטואיציה טובה למשמעותה אבל לאחרים - הרבה פחות. דווקא מפילוסוף שמקדש את האינטואיציה מול “הפורמליזם הריקני” של המתמטיקה הייתי מצפה לקפדנות רבה יותר.

הבה ננסה בכל זאת לשחק את המשחק: נחשוב על תנועה בתור “תהליך של חלוקת המרחק” במשמעות של “תהליך שבו מסמנים על נקודות מהמרחב תגית של “הזמן שבו הייתי בנקודה הזו” ובכך יוצרים חלוקה שלו לקטעים שבין הנקודות המסומנות”. ובכן, לפי התיאור של בכלר אכן אין מנוס מחלוקה אינסופית של המרחב, כי אם אנחנו מנסים להגיע מהנקודה 0 לנקודה 1, אז צריך לסמן תגיות על \( \frac{1}{2} \) ועל \( \frac{1}{4} \) וכן הלאה. טוב ויפה, אבל למה לעצור כאן? הרי בהתבסס על האינטואיציה שלנו ברור לנו לחלוטין שבמודל המתמטי ה”רציף” שלנו, גם התנועה צריכה להיות רציפה, היינו שאם עברתי מנקודה \( a \) לנקודה \( b \), אז גם עברתי בכל נקודה שבין לבין. אם כן, למה להתעסק רק בחצי-רבע-שמינית? צריך לשים סימנים על אינסוף נקודות! אינסוף לא בן מניה של נקודות! ולכן השאלה היחידה היא - מה הבעיה עם זה, בעצם?

הנה דרך פשוטה ונאה “לשים סימנים” כך: \( f(t)=t \). הפונקציה הזו אומרת, לכל זמן \( 0\le t\le 1 \) איפה הייתי באותו הזמן. מכיוון ש-\( t \) הוא מספר ממשי, בעזרת הסימון הקטן והקומפקטי הזה הצלחתי לבצע מספר לא בן מניה של סימונים, פשוט כי סיפקתי דרך לחשב את כולם. ב”עולם האמיתי” אין שום הכרח שהפונקציה שמתארת את התנועה תהיה ניתנת לחישוב, כמובן; אבל לעת עתה, כדי להקל על האינטואיציה, סיפקתי אותה. כעת השאלה האמיתית היא - מדוע הפונקציה הזו לא יכולה לתאר תנועה?

אני מודה שאני משוחד וקשה לי לתקוף את הרעיון הזה - לדעתי (ולדעת הפיזיקאים והמתמטיקאים) הפונקציה הזו מתארת תנועה מצויין. אנסה בכל זאת לאמץ את הגישה הפילוסופית. הפילוסוף יגיד: “אה, כדי להגיע לסוף הדרך, אתה חייב קודם כל לעבור באמצע” ואני אגיד “אחלה, עברתי באמצע בזמן \( t=\frac{1}{2} \). ואז יגיד הפילוסוף: “נכון, אבל כדי להגיע לאמצע אתה צריך לעבור קודם כל באמצע שלו”, ואני אגיד “נו, בוודאי, ועשיתי את זה קודם - עוד בזמן \( \frac{1}{4} \). ואז יציק הפילוסוף שוב ויגיד “אבל לפני זה היית חייב לעבור באמצע שלו, ומתי תעשה את זה?” ואני אגיד “בזמן \( \frac{1}{8} \)”, וכן הלאה וכן הלאה. הבנתם את העיקרון - שניים יכולים לשחק במשחק הזה. אם הוא מחלק לי את המרחב אינסוף פעמים, אני מחלק את הזמן אינסוף פעמים, ובכל פעם שכזו אני מראה ש”יש לי זמן” להגיע לנקודה החדשה בחלוקה שהוא יצר. אם כן, אולי לא ברור לי עדיין מה הבעיה כן, אבל ברור לי מה היא לא - היא לא שנדרש לי אינסוף זמן כדי לעבור בין נקודות. לא באופן התיאור הנוכחי שלי. אם אני מסוגל להראות שעל פי התיאור הזה, אני נמצא בכל נקודה בדרך בזמן סופי, הרי שלא לקח לי זמן אינסופי לבצע את התנועה וכל נסיון לטעון אחרת מבוסס על חוסר הבנה של התיאור או על פסילתו.

לדעתי בשלב הזה הפילוסוף יכול לפנות רק להתקפה אפשרית אחת נוספת מבלי שייאלץ להגיד באופן ישיר שהוא אינו מקבל את התיאור - שאלת הצעד הראשון. הוא יגיד משהו בסגנון “אה, אבל איך התנועה יכולה להתחיל בכלל אם אתה לא מסוגל להגיד לי מה הצעד הראשון שאתה עושה?”

ושוב, התשובה שלי היא פשוט שההנחה שצריך להיות צעד ראשון היא שגויה ולא מתאימה לתיאור. כן, בתיאור שלי לפני כל צעד יש אינסוף צעדים אחרים. אז מה? מה זה משנה? האם במקום כלשהו נכתב באותיות של קידוש לבנה “לכל תנועה יש צעד התחלתי”? כי אם כן, אז אחלה, המודל נופל תכף ומייד, ואיתו הסברה שאפשר לבצע חלוקה אינסופית של המרחב, אך היכן הוא המקום שבו כתובים הדברים הללו, ולמה יש לייחס לו חשיבות?

תארו לעצמכם סרט של אדם בועט בכדור, שמתחיל בדיוק מהשניה שבה הרגל שלו פגעה בכדור. אם נציג את הסרט כשבין כל שני פריימים עוברת מאית שנייה, נראה תזוזה בכל אחד ואחד מהפריימים. אולי נתפתה לומר ש”הצעד הראשון” הוא התזוזה שהכדור ביצע במקומו בין הפריים הראשון לשני; אבל אז אפשר לקחת את הפריים הראשון, ובגלל שצילמנו עם מצלמה מצויינת, לפרק אותו למאה פריימים; וגם שם, בכל פריים נראה קצת תזוזה. אז האם המאית של המאית הראשונה היא “הצעד הראשון”, או שאפשר לפרק גם אותה? מדובר, כמובן, בשאלה פיזיקלית שתלויה מאוד באיכות מכשירי המדידה שלנו; אבל מבחינת האינטואיציה אני לא רואה שום מניעה להמשיך בפירוק הזה שוב ושוב, ולכן להגיע למסקנה שאין “צעד ראשון” לתנועה.

ואולי הבעיה היא בכלל בדיבור על “צעד”, שהוא מעבר “בדיד” בין שני מיקומים שונים, בלי שרואים במפורש את המעבר בכל הנקודות שביניהם. כל הדברים הללו מתאימים לאינטואיציה היומיומית שלנו, ואפשר לבנות להם מודל נחמד לכשעצמו (במשחקי מחשב, למשל, לרוב זה המודל שעליו יתבססו - מודל שבו יש “קפיצות” בדידות בין נקודות), אבל הם לא צו אלוהי ואין בהם הכרח לוגי (עד כמה שאני רואה).

לסיכום, פרדוקס הדיכוטומיה נוצר בגלל שמנסים להחיל על מודל “רציף” של העולם מודל בדיד של התנועה, לפיו היא חייבת להיות מורכבת מסדרה (סופית?) של צעדים. בוודאי שזה מעיד על כך שיש צורך במודל שונה של תנועה, דוגמת זה שהצעתי - זה שהחשבון האינפיניטסימלי מטפל בו היטב. הבעיה היחידה, בדומה למה שאמרתי בפוסט על פרדוקס החץ, היא שלא ברור אם המודל הזה הוא גם “אמיתי” ומתאר במדוייק את העולם. אני סבור שהשאלה הזו היא חסרת משמעות, משום שתפקידם של מודלים מתמטיים (לדעתי) אינו לתאר את העולם כמות שהוא, אלא לספק תיאור של העולם שנוח לנו לעבוד איתו ולהבין אותו. אם נקלע במקרה גם למהות ה”אמיתית” של העולם, מה טוב - אך ממילא לא ניתן לבדוק זאת; הדרך היחידה לבדוק עד כמה המודל שלנו מתאים לעולם היא לבצע ניסויים - וכמו שכבר הערתי בפוסט הקודם, ניסויי תנועה בעולם שלנו כרוכים בהכרח בדיסקרטיזציה שלו - במדידת תנועה רק במספר סופי של נקודות זמן. לכן אפילו “ודאות של שוק” לא תהיה לנו בכל הנוגע להתאמת מודל מתמטי - כל מודל מתמטי - לעולם. תהיה לנו רק ודאות שהמודל שלנו מתאר טוב את התופעות שאנו צופים בהן.

כעת לפרדוקס אכילס והצב. בכלר מתייחס אליו כאל “מקרה פרטי” של פרדוקס הדיכוטומיה, וייתכן שמנקודת מבטו הוא צודק; אבל לטעמי, זה הפרדוקס היחיד מבין השלושה שיש בו בכלל טעם, בגלל אפקט הבלבול האינטואיטיבי שהוא יוצר אפילו עבור מי שמקבל את מודל התנועה הפשוט שהצעתי לעיל. את הפרדוקס כבר “פתרתי” בפוסט קודם שבו הראיתי איך, אם מקבלים את מודל התנועה שמתוארת באמצעות פונקציות ממשיות, אפשר לזהות את הנקודה המדוייקת בזמן שבה אכילס משיג את הצב. עם זאת, גם התיאור של זנון נשמע משכנע לחלוטין: בכל פעם, עד שאכילס יגיע לנקודה שבה הצב היה בפעם הקודמת, הצב כבר יתקדם “עוד קצת”, ולכן אכילס אף פעם לא ישיג את הצב. מה המלכוד כאן?

המלכוד פשוט: זנון מצליח בצורה ערמומית למדי לתאר רק חלק מהמירוץ, בצורה שנשמעת כאילו הוא מתאר את כולו. מה שזנון מתאר הוא בדיוק את כל מה שקורה במשך 11 שניות ותשיעית שנייה נוספת - עד הנקודה בזמן שבה אכילס משיג את הצב, שאליה התיאור פשוט לא מגיע. לכן יש פה (לפחות בניסוח שלי) שימוש ערמומי במילה “אף פעם” - הרי אם כל מה שאנחנו מתארים הוא את 11 ותשיעית השניות הראשונות של המירוץ, הרי ש”אף פעם” מתייחס רק למה שקורה במסגרת פרק הזמן הזה, ואז הטענה “אכילס אף פעם לא ישיג את הצב” היא מדוייקת לחלוטין.

אם הסרנו מעלינו את שכבת הבלבול הזו (שכאמור, היא לטעמי הסיבה שהפרדוקס הזה הוא המעניין והנאה מבין השלושה), אכן נותרנו עם פרדוקס שזהה באופיו לפרדוקס הדיכוטומיה. כמו בפרדוקס הדיכוטומיה כך גם כאן, הסיבה לבעייתיות היא הנסיון לתאר בצורה דיסקרטית מירוץ שהוא “רציף”. אנחנו מתמקדים בסדרה של צעדים, מראים שהסדרה אינסופית, ומסיקים מכך שהיא לעולם לא “תיגמר”. יש שתי דרכים לפתור את הקושי - או לעבור למודל תנועה “בדיד” שבו כבר לא ניתן להשתמש בתיאור המירוץ של זנון, כי תהיה בו נקודת זמן שבתחילתה אכילס נמצא מאחורי הצב, ובסופה אכילס עובר אותו; או להכיר בכך שאם אנחנו מתייחסים למודל התנועה שלנו כמודל תנועה רציף (ולכן, ניתן לחלוקה אינסופית) גם צריך לעבוד “באמת” עם מודל שכזה, דוגמת הפונקציה הממשית שהצעתי - ובמודל זה הבעיות פשוט לא קיימות.

אם כן, הצגתי את הפתרונות (שלי; יש גם אחרים, בהתאם למתקפות השונות שתומכי הפרדוקס יכולים להציע) לפרדוקסים של זנון. מה שמשונה כאן הוא שכלל לא נזקקתי למושג הטור האינסופי שמתקשר לעתים כל כך קרובות לפרדוקסים הללו. הסיבה לכך היא שאיני סבור שיש בו צורך כדי להתמודד עם הניסוח הנוכחי של הפרדוקסים, שהבעייתיות בו היא פשוט תיאור גרוע של “תנועה”; עם זאת, יש מתקפות אחרות (למשל - “אם אכילס עובר 1/2 ואז 1/4 ואז 1/8 וכן הלאה הוא חייב לעבור מרחק אינסופי”) שמכריחות את הוצאתו מהבוידם. אעיר על כך משהו בפוסט הבא, ואז גם אציג סוף סוף את המתקפה החזיתית של בכלר על הגדרתו של קושי לסכום של טור שכזה.