הקרב האחרון - סכום נגד “סכום”

בשעה טובה הגעתי לתיאור (שהבטחתי כבר לפני אלפי פוסטים) של המתקפה של זאב בכלר בספרו “שלוש מהפכות קופרניקניות” על מושג הסכום של טור אינסופי כפי שהציע אותו קושי (למעשה, קודם הוא תוקף את מושג הגבול, וגם את זה אתאר - אלא שההתקפה על הסכום היא בעייתית עוד יותר שכן נראה לי שבכלר סותר במהלכה את עצמו - אתאר זאת בהמשך). אין לי מושג עד כמה בכלר מייצג את יחס הפילוסופיה למתמטיקה; אני מקווה שמדובר ב”עוף מוזר” ונדיר. עם זאת, הספר זכה לתשבוחות מקיר לקיר, כך שאולי הוא כן מייצג מגמה כללית יותר.

נתחיל מכך שאני ממש לא הוגן. בכלר טורח בספרו לתקוף את קאנט (שעל פיו הוא זה שהתחיל את כל הצרה הזו, של “ריקון המתמטיקה מתוכן”). לתקוף את הילברט (המייצג המובהק ביותר שלה) ולתקוף עוד הרבה מאוד חבר’ה אחרים בצורה מאוד מפורטת ומנומקת, ואני מתעלם מרוב זה (רק אמרתי משהו על המתקפה שלו על ראסל) ובמקום זה בוחר להתמקד במתקפה שלו על הגדרת הגבול של קושי. הסיבה לכך, בראש ובראשונה, היא היסטורית - כאשר רק התחלתי לקרוא את ספרו של בכלר וראיתי את טענתו על כך שהפרדוקסים של זנון לא נפתרו מעולם (ובפרט, את העירוב שלו של אנליזה לא-סטנדרטית בהכרח לפתרונם), תהיתי מה יש לו להגיד על הגדרת הגבול של קושי, וקפצתי לעמוד המתאים; מה שקראתי שם כל כך הרגיז אותי שהפסקתי לקרוא את הספר.

רק כעבור מספר שנים עלה בידי לחזור אליו ולקרוא קצת יותר, אך לא מצאתי שם תובנות חדשות שאינן מבוססות על מה שנראה לי כאותה גישה בדיוק. לכן אני סבור שהמתקפה על קושי היא התמצות הטוב ביותר של העמדה של בכלר. מכיוון שלא הצלחתי לסיים את הספר (וגם איני מעוניין במיוחד לעשות זאת) אני מסתכן בכך שאיני הוגן במיוחד, ובוודאי שאין לי ודאות לוגית שאכן הבנתי מה הוא מנסה לומר; עם זאת, אני חושב שיש לי ודאות “של שוק” (מושג שבכלר משתמש בו בספרו). אם אני טועה, אשמח לקבל מראי מקום בספר שמעמידים אותי על טעותי ואנסה אולי להתייחס אליהם בפוסט אחר; לעת עתה, הפוסט הזה מטרתו לסיים את הסאגה הזו ולחזור לעולם שבו ניתן לעסוק במתמטיקה מבלי שהפילוסופים יציצו מעבר לכתף כל הזמן ויתלוננו שאנחנו לא אומרים כלום.

אם כן, מה בכלר אומר? אין מנוס מציטוט חלק קטן מההקשר, מה שיוביל לציטוט ארוך מהרגיל - אך זה חשוב ואף מעניין, לדעתי, שכן זוהי עמדה שלא נשמעת לעתים קרובות כל כך בקרב המתמטיקאים עצמם:

“קאנט קרא להבנה שאני מבין את כוונתי באומרי משהו - אינטואיציה, ונדמה לי שאין שום מפלט מן ההודאה בכך שיש לנו הכושר הזה להבין את עצמנו. אם-כי פעמים רבות כוונתו היתה ל"דמיון" ול"תמונות בדמיון", הכרחי להניח גם אינטואיציה שאינה דמיון ואינה תמונתית כדי להבין איך אנו מבינים את עצמנו. אלא שהנחה כזו היא גם ההודאה בכך שאפשר שהאקסיומות שקריות, מבלי שנרגיש בכך ולמרות בטחוננו באינטואיציה. ולהודות בכך פירושו לערער את ודאות המתמטיקה, כי אז אפשר שכולה מבוססת על יסודות שקריים.

ראינו שקאנט עקף איום זה על-ידי התיזה שכל אקסיומות המתמטיקה הן הגדרות ובניות הקובעות באופן שרירותי את עצמיה, וכך ודאות האקסיומות מקורה בכך שהן הגדרות בנייה שרירותיות המתחפשות לטענות אינפורמטיביות. קאנט קבע בכך את כיוונה של המחשבה המתמטית במשך המאה ה-19. אם-כי החל מרימן, האינטואיציה הלכה ונעלמה ככושר שבתוכו נוצרת המתמטיקה, הרי רעיון ההגדרה הבונה שרירותית הלך והשתלט, ועימו נעלמה כול שארית של אינפורמטיביות מן המתמטיקה. ואולם, מה שהופיע במקומה, כפי שכל קאנטיאן היה יכול לצפות, היא הצורה הטהורה שלה - הצורה הלוגית. זו היתה תוכנית ה"פורמליזציה" - טיהורה של המתמטיקה מכל תוכן, וזאת על ידי הפיכתה לצורה בלבד, לשפת סימנים נטולת פשר.”  (“שלוש מהפכות קופרניקניות”, עמ’ 194).

הפסקת ביניים. אני בהחלט מסכים עם הגישה שלפיה בגלל האינטואיציה שלנו, האקסיומות עשויות להיות “שקריות” אם “שקר” פירושו “לא מתאים לעולם שלנו”. למשל, אם רוצים להשתמש בגאומטריה כדי לתאר את העולם שלנו, עלינו להחליט אם אנו מעוניינים בגאומטריה האוקלידית או בגאומטריה לא-אוקלידית, וכאן אנו עלולים לטעות, אם ההנחה היא שרק אחת מהגאומטריות אכן מתארת את עולמנו כהלכה. אינטואיטיבית, הגאומטריה האוקלידית היא הנכונה; אלא שאם אני מבין נכון, על פי תורת היחסות הכללית (שכמובן, אין לנו ודאות לוגית בנכונותה, ולי יש ודאות לוגית בכך שאני לא מבין בה כלום) דווקא הגאומטריה הרימאנית (הלא-אוקלידית) היא שמתארת את העולם נאמנה. בכלר תוקף גם את איינשטיין, הסירו דאגה מליבכם; אבל לא התעמקתי בחלק הזה של דבריו ולא אוכל להתייחס אליו כרגע.

אבל כאן אני גם חולק על בכלר בצורה הקיצונית ביותר - אני לא סבור שאפשר, נכון, ראוי, רצוי או כדאי להגדיר “אמת” או “שקר” של אקסיומות על פי התאמתן לעולם שלנו. למעשה, אני חושב שמדובר באקט אימפוטנטי להחריד, שהוא-הוא הריקון האמיתי של המתמטיקה מתוכן. כבר הסברתי בפוסט קודם שלטעמי כוחה של המתמטיקה ביכולתה לתאר אמיתות שהן נכונות בכל העולמות; אבל מכיוון שתמיד חייבים להתבסס על אקסיומות כלשהן, הטענות הנכונות הללו תמיד יהיו מהצורה “אם מקבלים את זה שכך כך, אז נובע מכך שכך וכך” (בפרט, צריך לקבל גם את כללי ההיסק, אחרת אין על מה לדבר - רואים זאת בכל דיון עם טרחן כפייתי). דהיינו, הדבר היחיד שחשוב במתמטיקה הוא אם בני האדם שמדברים עליה מסכימים זה עם זה לגבי מהות הדבר שעליו הם מדברים; אין שום צורך להכניס גם את היקום למשחק.

כמובן, מרגע שהמשחק בעיצומו ויש לנו הרבה תורות מתמטיות שונות, עם מערכות שונות של אקסיומות, אפשר ואפילו כדאי לנסות ולהתאים חלק מהן ליקום, כאלו שעושה רושם שהאקסיומות שלהן אכן “אמיתיות” ביקום שלנו, כי אז האינפורמציה שהתורה המתמטית מכילה (משפטים שאולי נובעים לוגית מהאקסיומות השרירותיות ואין בהם את הסתירתיות שעל פי בכלר חיונית לקיום אינפורמציה, אבל בהחלט לא טריוויאלי להגיע אליהם) תתורגם לאינפורמציה על היקום. זה אחלה של דבר אם מצליחים לעשות את זה, אבל זו לא מטרתה של המתמטיקה, אם בכלל יש לה מטרה, וזה לא מה שקובע אם המתמטיקה אינפורמטיבית או לא.

קדימה לקושי. כזכור, בכלר סיים את דבריו על קאנט בכך שבמתמטיקה של המאה ה-19 החלו ב”פורמליזציה” שפירושה “טיהורה של המתמטיקה מכל תוכן וזאת על-ידי הפיכתה לצורה בלבד, לשפת סימנים נטולת פשר”. המשך דבריו:

“צעדים ראשונים נעשו כבר במחצית הראשונה של המאה ה-19, בעיקר בביסוס הלוגי של החשבון האינפיניטסימלי. הרעיון המרכזי היה להיפטר מן האינסוף האקטואלי שעליו בנה ניוטון את החשבון ושלפיו קיימת מהירות (במובן הרגיל) בנקודת זמן ויש סכום (במובן הרגיל) לסדרה של אינסוף איברים. מאז ביקורתו הקטלנית של ברקלי על המתמטיקה הזו, היה ברור שהיא חסרת-בסיס וכי אם אין אינפיניטסימלים ואינסוף אקטואלי, אז היא מלאת סתירות.“  (שם, עמ’ 194).

ברקלי הוא הבישוף ג'ורג' ברקלי - פילוסוף מפורסם בן המאה ה-18 שקטל בצורה מרשימה את כל החשבון האינפיניטסימלי של ניוטון, בשל התבססותו של הלה על המושג הסתירתי של אינפיניטסימל. הביקורת הזו הייתה אחד מהמניעים של המתמטיקאים להגדיר מחדש את החשבון האינפיניטסימלי בלעדי האינפיניטסימל, בעזרת מושג הגבול שהצגתי כאן קודם.

הבעיה האמיתית בפסקה של בכלר שציטטתי היא שאין לי מושג על מה הוא מדבר שם. הוא מדבר על מהירות “במובן הרגיל” ועל סכום “במובן הרגיל” לסדרה של אינסוף איברים; קראתי את הפרק על ניוטון ועדיין אין לי שמץ של מושג מהם הדברים הללו, מהו “המובן הרגיל”. בכלר מתאר, כמובן, את הרעיון של ניוטון, להגיד שסדרות מתכנסות “משיגות” את האיבר שאליו הן מתכנסות (ולכן, באופן אינטואיטיבי, הוא הופך להיות “חלק” מהסדרה, האיבר שמופיע בסופה), אך האם זה אומר שזהו “סכום במובן הרגיל”? לא. לא מתואר בשום מקום מהו המובן הרגיל.

כמקודם, אם מישהו יאתר לי את ההגדרה האבודה ויביא מראה מקום מדוייק, אהיה אסיר תודה - ההגדרה הזו תשפוך אור חדש על כל דבריו של בכלר. ההנחה המרכזית שלי בהמשך הפוסט הזה היא שבכלר לא טורח להגדיר בשום מקום מהו סכום; רק שהוא חושב שהגישה של ניוטון, לפיה סדרה “משיגה” את הגבול שלה, מייצגת אותו בצורה כלשהי. מהי מהות ה”השגה” הזו מבחינה מתמטית - גם פה, אין לי מושג ולא מצאתי הסבר של בכלר.

אם כן, בלי הגדרה, מה נותר לנו? האינטואיציה של בכלר, שכנראה חושב על משהו מאוד ספציפי כשהוא חושב על “סכום של אינסוף איברים” אבל כלל לא מבהיר מהו. אני עצמי כבר ניסיתי להבהיר כאן בעבר את האינטואיציה שלי, שאותה הגדרת הגבול מפייסת היטב; בכלר מביא את אותה הגדרה, בניסוח של קושי עצמו:

“כאשר הערכים של משתנה אחד מתקרבים בזה אחר זה ללא גבול אל מספר קבוע, ומסיימים בכך שהם שונים ממנו בהפרש קטן ככל שנחפוץ, אזי המספר הקבוע הזה ייקרא הגבול של היתר.”

זה, כמובן, לא הניסוח המתמטי המדוייק שהבאתי כאן, אבל הרעיון הבסיסי, המהותי, נמצא פה: “הפרש קטן ככל שנחפוץ”. זהו האפסילון (\( \varepsilon \)) שהופיע בניסוח המתמטי שלי.

בכלר מפרש: “הגדרה זו נראית כאילו היא מדברת על "הסוף" (המספרים של הסדרה "מסיימים" בכך שהם וכו') אך "הסוף" עכשיו אינו התאפסות ההפרש. "הסוף" של קושי אינו באמת סוף, הוא אינו שונה ממה שהיה "קודם" - ההפרש "בסוף" הולך וקטן ככל שנחפוץ, אך הוא הולך וקטן כל הזמן, בתור הקטע המכיל את הגבול.” (שם, עמ’ 195).

עד כאן - הכל אמת. זה גם בדיוק הרעיון - לא לדבר על התאפסות ההפרש (שלא הולכת לקרות) אלא לדבר על תכונה של התהליך עצמו. זה חוסך מאיתנו לדבר על האיבר האחרון בסדרה שאין בה איבר אחרון, וכו’. אם כן, מה הבעיה?

“מה שהפך הגדרה זו של קושי למבשרת תקופה חדשה היה, העובדה שהיא הציעה הגדרה מילולית גרידא. המילה המכרעת בה היא "ייקרא" - המספר הקבוע המקיים תנאי זה וזה ייקרא מעתה "גבול". קושי לא התיימר כאן אפילו לתאר עובדות אובייקטיביות בדבר סדרות והתנהגויותיהן. הוא אמר רק זאת - אם יש סדרה שמקיימת תנאי זה - אז הבה נאמר ש"יש לה גבול שאליו היא שואפת". קושי לא יכול היה לטעות מכיוון שהוא לא ניסה לתאר עובדה. ניוטון עסק בעובדות בעולם הסדרות, ולכן מה שהוא הציע היתה היפותיזה, טענה שאפשר שהיא אמיתית ואפשר שהיא שקרית. אולי תימצא יום אחד סדרה המתקרבת אל מספר על-פי התנאי של ניוטון אך אינה נוגעת בו אף פעם. ואולי לא.” (שם, עמ’ 195).

וכאן נשארתי בהלם. כן, בוודאי שקושי אמר “ייקרא”. איך אפשר להמנע מכך? איך אפשר אחרת? איך אתה יכול להגדיר משהו, לתת משמעות למילה כלשהי, מבלי להחביא “ייקרא” מאחורי ההגדרה? איך אתה מגדיר סכום “במובן הרגיל” בלי “ייקרא”? כל עוד יש לך מילה שאין לה פשר לכשעצמה (דוגמת “סכום”), אתה חייב לתת לה משמעות על ידי “ייקרא”. אם כך, מה אתה רוצה מקושי המסכן? למה אתה אומר שהוא לא מתאר עובדות אובייקטיביות? הרי הוא כן! מה שהוא עושה הוא בדיוק לתאר עובדה בדבר סדרות והתנהגויותיהן: יש סדרות שמתנהגות על פי ההגדרה של קושי, ויש סדרות שלא. כתוצאה מכך אפשר לחלק את כל הסדרות בעולם להרבה מחלקות שונות על פי ההתנהגות האובייקטיבית שלהן: כאלו שמתכנסות, וכאלו שלא. כאלו שמתכנסות לאפס, כאלו שמתכנסות לפאי, כאלו שלא מתכנסות כי הן “שואפות לאינסוף” וכאלו שלא מתכנסות כי הן מזגזגות בין ערכים. האם אין כאן תיאור אובייקטיבי של סדרות והתנהגויותיהן? האם זוהי הגדרה חסרת אינפורמציה? איך ייתכן שאין כאן אינפורמציה, אם בסופו של יום אנחנו משיגים הבחנה מהותית בין סוגים שונים של סדרות, הבחנה שהיא קריטית לכל המשך החשבון האינפיניטסימלי?

אז בכלר כבר עונה - קושי לא ניסה לתאר עובדה, להבדיל מניוטון, שכן ניסה. אבל כאן אני נתקע שוב, כי לא הבנתי מה בעצם העובדה שניוטון תיאר. בכלר אומר רק שהפרכה אפשרית היא “סדרה המתקרבת אל מספר על פי התנאי של ניוטון אך אינה נוגעת בו אף פעם”. קריאה חוזרת של הפרק על ניוטון לא שפכה אור רב על האפשרות “לבדוק” משהו כגון זה, ובוודאי שאין התייחסות לסדרות כמו \( \frac{1}{n} \) שאף אחד מאיבריהן לא “נוגע” באפס, למרות שהוא בבירור גבול הסדרה גם אצל ניוטון. אם כן, איך מגדירים את “לגעת”? זו כנראה הנקודה העדינה ביותר כאן. בכלר מפרש את ניוטון ואומר שעל פי ניוטון יש איבר אחרון לסדרה, טוב מאוד; אבל ה”נגיעה” הזו לא זוכה להסבר שיצא לי לקרוא.

אם כן, בכלר כועס על קושי, שלא מתיימר לספק אמיתות מוחלטות אלא פשוט משחק בהגדרות; אבל עד כמה שאני מצליח להבין, בלי ההגדרות הללו אין לנו כלום. בפרט, אין לנו שום הבנה על מה אנחנו מדברים, בעצם. אבל:

“החלפה זו של הדיבור הניוטוני האינפורמטיבי בדיבור ריק מאינפורמציה היא שפתחה תקופה חדשה במתמטיקה - תקופת הבנייה על-ידי הגדרות, ואירגון העצמים הנבנים על-פי שפה חדשה. למשל, על בסיס הגדרה זו של ה"גבול", המשיך קושי ובנה הגדרות נוספות, כמו הגדרת ה"סכום" של טור אינסופי. המושג "סכום" מכיל בתוכו את ההנחה שכל האיברים נכללים בתהליך הסכימה, אך איך אפשר לדבר על "כל" האיברים של קבוצה שאין שום מספר המונה את איבריה? קושי מצא דרך לדבר על הסכום הזה. הוא הגדיר מושג מתאים.” (שם, עמ’ 195).

כאן מגיע תיאור פורמלי ומדוייק של מושג הסכום החלקי (שהצגתי בפוסט שלי על הטורים), וסכום הטור מוגדר כגבול סדרת הסכומים החלקיים. בפסקה הזו בכלר יורה לעצמו ברגל, לדעתי, מכיוון שההגדרה של קושי אכן מצליחה, בדרך ערמומית ויפהפיה, לכלול את כל האיברים בתהליך הסכימה, אף על פי שבכל רגע היא מדברת רק על מספר סופי של איברים. הסיבה לכך היא שההגדרה מדברת על גבול סדרת הסכומים החלקיים, וכל איבר נכלל בכל הסכומים החלקיים החל ממקום מסויים. אם נשנה איבר כלשהו מתוך הסדרה, ולא משנה איפה הוא, אז הסכום של קושי ישתנה בהתאם (דהיינו, אם ערך האיבר השתנה ב-\( k \), אז גם הסכום כולו ישתנה ב-\( k \)). לכן אין שום בעיה עם התפיסה האינטואיטיבית שסכום של סדרה כולל את כל האיברים בתהליך הסכימה; ההגדרה של קושי מטפלת בתפיסה הזו באופן מבריק. אם כן, מה מונע מה”סכום” (במרכאות כפולות) של קושי להיות סכום באמת ובתמים? בשביל להסביר זאת חייבים להסביר מהו סכום ללא מרכאות ואיך הוא שונה מ”סכום” עם מרכאות. הנימוק האינטואיטיבי של “כל האיברים משתתפים בתהליך הסכימה” הוא הנימוק היחיד שהופיע עד כה, וכאמור - הוא חסר ערך לחלוטין.

האם בכלר בוחר לתאר מהו סכום ללא מרכאות? לא. תחת זאת הוא ממשיך באותה מתקפה שהחל בה קודם:

“ושוב לפנינו אותו פטנט: קושי אינו מדבר על עובדות ואינו שואל כיצד ייתכן שלטור אינסופי יהיה סכום, ואם זה ייתכן אז באיזה תנאים דבר כזה יכול לקרות. הוא עוסק, במקום זה, בהגדרות - הוא מגדיר שתי מילים חדשות - "התכנסות" -"סכום". ולכן, הוא אינו עונה כלל לזנון. במקום לענות על שאלה אינפורמטיבית בעזרת סיפוק אינפורמציה, הוא פוטר אותה על ידי הנהגת שפה חדשה. ומובן שקל לראות שה"סכום" החדש שהוגדר אינו דומה כלל לסכום המופיע בבעיה של זנון - מכיוון שה"סכום" שקושי מגדיר משתמש במושג הסכום הרגיל, ז"א, סכום של מספר סופי של איברים, אך מה שהוא מגדיר הוא מושג אחר, חדש ושונה, כלומר משהו המתיימר לדבר על אינסוף של איברים. קיימת, לכן, הטעיה מובהקת בהגדרה זו: המילה "סכום" המופיעה בהתחלתה (כשמדובר על סכומים חלקיים, ג.א.) אינה מסמנת את אותו מושג שמוגדר בסוף.

במילים אחרות - נוצרה עתה שפה חדשה הבנויה כך שאפשר יהיה לנסח בה רק בעיות שהיא מסוגלת מראש לפתור. למשל, דבר שהשפה החדשה אינה מסוגלת לעשות, הוא לענות לזנון: איך מצליח אכילס להשיג את הצב? וזאת משום שבשפה החדשה אי-אפשר יהיה לנסח את השאלה הזו, ולכן מבחינת האנליזה שלאחר קושי, אין שאלה כזו בכלל”.

זו בדיוק הנקודה שבה טרקתי את הספר בזעם בפעם הראשונה. קשה לי להסביר עד כמה הציטוט הזה מקומם אותי.

נתחיל מה”הטעיה” של קושי, שלדעתי מלמדת על הטעיה של בכלר. הוא מתלונן על כך ש”הסכום הרגיל” הוא סכום של מספר סופי של איברים, ולכן מה שקושי מגדיר כסכום של אינסוף איברים חייב להיות שונה מהותית. אחלה, אבל אם כן - על מה לכל הרוחות אתה דיברת לפני רגע כשדיברת על “סכום (במובן הרגיל) לסדרה של אינסוף איברים”? הרי אם המובן הרגיל של סכום הוא של מספר סופי של איברים, ואתה פוסל את ההגדרה של קושי מלהיות סכום במובן הרגיל רק בגלל שהיא עוסקת במספר אינסופי של איברים, הרי שאתה שולל מראש את האפשרות שיהיה דבר כזה, “סכום (במובן הרגיל) לסדרה של אינסוף איברים”.

כאן אנחנו רואים בצורה המובהקת ביותר כיצד בכלר מצליח להשתמש בעמימות המתמדת שלו כמגן, ולכן לשבח את ניוטון (למרות שעל פניו, הוא מבטל א-פריורי את מושג הסכום שלו) ולהשמיץ את קושי, כשכל חטאו של קושי היה שהוא בוחר להמנע מעמימות ולהגדיר בצורה מפורשת את מה שהוא מדבר עליו. בכלר לא באמת מציג בשום מקום הגדרה לסכום של אינסוף איברים, ועם זאת הוא ממהר להכריז על ההגדרה של קושי כפסולה מכיוון שאינה מדברת על הסכום ה”אמיתי” של אינסוף איברים - אבל זה בדיוק המושג שעליו בכלר אינו יכול לדבר, כי הוא מעולם לא הסביר מהו! יש כאן מלכוד 22: אי אפשר לדבר על סכום בלי להגדיר על מה מדברים, אבל אם מגדירים אותו, בכלר אומר שזה בכלל לא סכום אלא “סכום”, ולכן אי אפשר לדבר עליו בתור סכום. מכאן שאם אנחנו רוצים לדבר על סכומים אנחנו נידונים לדיבור עמום, לדיבור על שום דבר. ובכלר מאשים את קושי בריקנות ובחוסר אינפורמציה?

בדבר אחד אני מסכים, והוא שיש הבדל בין ה”סכום” שמופיע בתחילת הגדרתו של קושי, כשהוא מדבר על סכומים חלקיים, ובין ה”סכום” שמופיע בסוף אותה הגדרה, ומייצג את הסכום של הסדרה האינסופית כולה. אלא שאין כאן הטעיה; מושג הסכום של הסדרה האינסופית מוגדר באמצעות הסכומים החלקיים; הוא מהווה הכללה שלהם, הרחבה שלהם לסדרה אינסופית. הוא תלוי בהם בצורה חזקה מאוד. שינוי של הגדרת הסכום של סדרה סופית ישנה גם את ההגדרה שלו. לכן השם “סכום” מתאים לו; מי שרוצה להתקומם נגד השם, יתכבד נא ויציע פירוש אחר, טוב יותר, למילה “סכום” בהקשר של אינסוף איברים (ויש פירושים אחרים); אם הוא אינו יכול, ישב נא בשקט בפינה. לקחת מונופול על המילה “סכום” ואז לאסור על שימוש בה עבור אינסוף איברים (או להרשות על שימוש כזה כל עוד לא מגדירים במדוייק את משמעותו) זו סתם אימפוטנציה מתמטית.

אם כן, נראה לי שגוי לגמרי לטעון שקושי אינו מדבר על עובדות; הוא מדבר על עובדות, אולי מהסוג שלא מעניין את בכלר, אבל כן מהסוג שמעניין את המתמטיקאים. העובדה היא בדיוק האם לטור אינסופי קיים מספר שלכל דבר ועניין הוא בעל תכונות דומות מאוד לאלו של המספר שאנו קוראים לו “סכום” עבור טור סופי; ואם קיים כזה מספר, מהן באמת התכונות שלו ואיך הוא משתנה אם משנים את אברי הטור (מתברר שיש כאן אנומליות לא קטנות - יש טורים שאם משנים את סדר הסכימה שלהם, ניתן לשנות כרצוננו את סכומם. מעניין איך ניוטון היה רואה זאת).

בכלר טוען שקושי לא שואל כיצד ייתכן שלטור אינסופי יהיה סכום (כזכור, אם הבנתי נכון את בכלר אין מנוס מכך שגישתו גורסת שלא יכול להיות סכום), ואולי הוא צודק, אבל זו בכלל לא השאלה הנכונה; השאלה הנכונה היא “אם נרצה למצוא עבור טורים אינסופיים מושג המקביל למושג הסכום עבור טורים סופיים, איך נעשה זאת ועד כמה שני המושגים אכן יהיו דומים?”. השאלה הראשונה היא פילוסופית; השאלה השניה היא מחקרית, ואפילו “אמפירית” במובן מסויים (אפשר להציע הגדרות שונות ומשונות ואז לבדוק איך הן עומדות במבחן הטורים השונים והמשונים שנזרוק עליהן). לי אישית נראה שהשאלה הראשונה בכלל לא מוגדרת היטב כל עוד לא הוגדר “סכום” היטב; ואז, אם מגבילים את “סכום” להיות “סכום של טור סופי”, אז התשובה לשאלה הראשונה טריוויאלית: “לא יכול להיות סכום לטור אינסופי. עכשיו, במקום לבכות, בואו נמצא מושג אחר שיהיה דומה ומועיל”.

יש רק עוד טענה אחת בעלת משמעות בדבריו של בכלר: שקושי יצר שפה חדשה שבה אפשר לנסח רק בעיות שאפשר לפתור, ואת הפרדוקסים של זנון לא ניתן לפתור בה. כאן אנחנו מתקשרים לשני הפוסטים הקודמים שלי, שבהם הצעתי את הפתרון שלי לפרדוקסים. הבעיה שלי איתם, כזכור, הייתה שהפרדוקסים עצמם לא מנוסחים באופן ברור די הצורך ומערבבים בין שני סוגים אפשריים של “תנועה”. אם כן, הבעיה אינה בשפה שקושי יצר, אלא בשפה שבה זנון השתמש, שהייתה חסרת פשר וסתירתית. נכון הדבר שבשפה שקושי יצר הפרדוקסים טריוויאליים, אם מנסחים אותם בשפה הזו; אבל מה הטעם לנסח אותם בשפה אחרת? פרט להטעיה עצמית שלנו, מה יוצא לנו מכך?

כל זה מזכיר מאוד, ולא במקרה, את הפרדוקס של ראסל על קבוצות כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן. גם כאן הפתרון של הפרדוקס היה על ידי שינוי השפה; בתורת הקבוצות האקסיומטית כבר אי אפשר לנסח מושג כמו “קבוצות כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן” וממילא הפרדוקסליות פשוט נעלמה. מצד אחד, זוהי התחמקות מובהקת; מצד שני, זוהי פשוט הכרה בכך שהעובדה שהשפה הולידה פרדוקסים, משמעותה שהשפה פרדוקסלית. שיש בה כשלים פנימיים, ושצריך להפסיק לקשקש ולהתחיל לדבר ברור, אם רוצים להגיד דברים בעלי הגיון.

אני רוצה לסיים בציטוט נוסף של בכלר, ממקום אחר בספר, שמעיד גם הוא על התהום האדירה שפעורה בין גישתו ובין המתמטיקה של זמננו כפי שאני מכיר ואוהב אותה:

“דמיוננו הוא "בינארי" - אם גודל ניתן לציור בו, אז הוא סופי, ואם הוא אינו סופי, הוא אפס וגם אז אנו מסוגלים אולי לדמיין אותו, ז"א את אפסותו או את היעדרו. אך איננו מסוגלים לדמיין משהו שאינו אפס ואינו סופי. ואם התופעות הפיסיקליות ועובדות המתמטיקה דורשות שנניח את קיומו של גודל מיוחד כזה, פירוש הדבר פשוט - ההבנה של העולם הפיסיקלי ושל עולם המתמטיקה אינה יכולה להסתמך על יכולת הדמיון שלנו ולהיבנות עליו.” (שם, עמ’ 34).

שוב, הכוכב הראשי של הפסקה הוא השרירותיות האינטואיטיבית של בכלר: “איננו מסוגלים לדמיין משהו שאינו אפס ואינו סופי”. מי אמר? למה זה נכון? למה אין הבדלה בין “אינו סופי” ו”אינו ניתן לתיאור סופי”? האם איננו יכולים לדמיין את הסדרה האינסופית \( a_n=n \)? בכלר אולי התכוון כאן ל”שאיננו יכולים לצייר בראשנו את כולו בבת אחת”; ומצד שני, אולי לא. ככה זה כשאין הגדרות.