לא ניתן להגדיר את ערכו האמיתי של פאי! (או לרבע את המעגל)

אתר Ynet עושה מלאכה טובה בהבאת כתבות מעיתוני מדע פופולרי ישראליים, ביניהם “אודיסאה”. אודיסאה, בתמורה, עושה עבודה טובה בכתיבת כתבות מדע פופולרי; וכך זכתה כתבת מדע פופולרי על הקבוע המספרי פאי, שמציין את היחס שבין היקף המעגל לקוטרו (“פיי” בכתבה; אני בדרך כלל כותב “פאי” אבל אין לי מושג מהי הדרך ה”תקנית”) להגיע למספר שניות לעמוד הראשי של Ynet. הכתבה היא ברובה מצויינת. היא מתארת כמה קוריוזים היסטוריים מעניינים הקשורים לפאי (פפירוס רינד; חוק פאי של אינדיאנה) וכמובן נותנת תיאור טוב של ההיסטוריה האמיתית שלו. אלא שכשהכתבה מגיעה לריבוע המעגל, מתחילה הבעיה שעליה אני רוצה לדבר כאן.

ראשית, מהו ריבוע המעגל? המילה “ריבוע” כאן היא פועל (Squaring the circle) והכוונה היא לבנייה של ריבוע ששטחו זהה לשטח של עיגול נתון (אני אומר “עיגול” כי “מעגל” הוא רק הקו שמקיף את העיגול; כשמדברים על שטח, זהו שטחו של העיגול - ולכן יותר מדוייק לדבר על “ריבוע העיגול”). לצורך העניין מספיק לדבר על מה שמכונה “מעגל היחידה” - מעגל שרדיוסו הוא בן יחידה אחת ולכן שטחו הוא בדיוק פאי (שטח עיגול שווה לרדיוסו בריבוע כפול פאי - עובדה שלא טריוויאלי להוכיח, אגב). לכן השאלה היא בעצם האם ניתן לבנות ריבוע ששטחו הוא פאי, כלומר שאורך צלעו הוא שורש פאי.

כמו שהצגתי אותה כרגע, השאלה אינה מוגדרת היטב - מה זה “לבנות”? ואכן, השאלה אם ניתן לרבע את המעגל או לא תלויה בפירוש המדוייק של המילה הזו. הפירוש הסטנדרטי והמקובל שלה, עוד מימי היוונים הקדמונים שהעלו את השאלה מלכתחילה, הוא של בניה באמצעות סרגל (לא מסומן) ומחוגה. מכיוון שמדובר בנושא מרתק שמקיף עוד בעיות פרט לריבוע המעגל, לא אתעכב עליו כעת אלא ארחיב עליו בפוסט נפרד. לעת עתה אסתפק בלומר שבעזרת הסרגל והמחוגה של היוונים הקדמונים פשוט לא ניתן לרבע את המעגל, ושהדבר נובע מטכניקה כללית שפותרת גם בעיות דומות של בניה בסרגל ומחוגה; ושהיא עובדת עבור ריבוע המעגל מכיוון שפאי הוא מספר טרנסצנדנטלי - מספר שאינו פתרון של אף משוואה פולינומית עם מקדמים רציונליים (משוואה פולינומית היא הכללה של משוואות ממעלה ראשונה, שנייה וכו’ למעלה כלשהי שהיא מספר טבעי). חשוב להבהיר שהיות פאי טרנסצנדנטלי היא overkill במידה מסויימת - למשל, בעיית “הכפלת הקוביה” של היוונים הקדמונים אינה ניתנת לפתרון בעזרת סרגל ומחוגה בגלל “תכונה רעה” של השורש השלישי של שתיים, שהוא מספר שאינו טרנסצנדנטלי כלל (כאמור, אפרט על כך בפוסט נפרד).

כעת לבעיית הניסוח של המאמר. הוא אומר:

השאלה שהציקה לפילוסופים היוונים הייתה: האם ניתן לצייר ריבוע, אשר שטחו שווה לשטח של מעגל? הבעיה היא שכדי לצייר ריבוע ששטחו זהה לשטח מעגל, צריך לדעת במדויק את שטחו של המעגל. שטח זה נתון לפי הנוסחה "פיי כפול ריבוע הרדיוס", משמע, חובה עלינו לגלות את ערכו של פיי.

בפוסט קודם שעסק בטיפול העיתונות באלגוריתם AKS התלוננתי על מה שנראה לי כבעייה כללית:

מדובר בשגיאה שהיא נפוצה מאוד בהקשרים ובמקומות שונים, לא רק בהקשר של הכתבה הזו. בניסוח כללי השגיאה הולכת בערך כך: “אני רוצה לעשות X. הדרך שאני חושב עליה כדי לעשות את X היא Y. קשה נורא לעשות Y. מסקנה - קשה לעשות את X”. בניסוח הזה הכשל ברור למדי - אולי יש דרך אחרת לעשות את X שאינה Y, ופשוט לא חשבתי עליה?

לצערי, זה בדיוק גם מה שקורה כאן - הכותב מניח שהדרך היחידה לרבע את המעגל (“לצייר ריבוע ששטחו שווה לשטח מעגל” הוא תיאור לא מדוייק, כי שטחו של כל ריבוע שווה לשטח עיגול כלשהו - החוכמה היא לבנות ריבוע ששטחו שווה לשטח עיגול נתון) היא “לדעת במדויק את שטחו של המעגל”.

לרוע המזל, הבעיה רק מתחילה כאן, כי לא ניתן להבין בשום דרך שהיא למה הכוונה ב”לדעת את שטחו של המעגל”. כיצד “יודעים” שטחים? כיצד “יודעים” מספרים?

טוב, נחכה עם זה לרגע עד שנגמור את הציטוטים. בהמשך הכתבה המאמר מתאר את אי הרציונליות של פאי:

המסמר הראשון בארון המתים של חידת ריבוע המעגל ננעץ בשנת 1761 כאשר יוהאן למברט - מתמטיקאי שוויצרי פורה, שתרם רבות לתחומי האסטרונומיה והאופטיקה – הצליח להוכיח כי פיי אינו מספר רציונלי. מספר רציונלי הוא מספר, שניתן לייצג כשבר. למשל, חמש שמיניות או רבע. אם לא ניתן לכתוב את פיי כשבר, כפי שהוכיח למברט, אזי הוא אינסופי: הספרות אחרי הנקודה ממשיכות וממשיכות עד לאין קץ.

זהו אמנם תיאור טוב של אי רציונליות, אבל יש בו שתי נקודות בעייתיות - הראשונה, אין קשר בין אי הרציונליות של פאי ובין ריבוע המעגל. שום קשר. אם ערכו של פאי היה באורח קסום כלשהו שורש שתיים (האי רציונלי למהדרין), עדיין היה ניתן לרבע את המעגל בקלי קלות. כמובן שהייתה להוכחה שפאי אי רציונלי חשיבות רבה - מדובר בעובדה שהמתמטיקאים שיערו במשך מאות שנים אבל לא עלה בידם להוכיח זאת (ולכן יש הממהרים לטעון כי הרמב”ם “התקדם בידע המתימטי מעבר לבני דורו” שכן הוא אמר במפורש שפאי אינו רציונלי - מבלי, כמובן, שיוכיח זאת).

הבעיה השניה בציטוט היא שגם מספרים רציונליים עשויים להיות ניתנים להצגה רק באופן אינסופי (כל עוד לא משנים בעבורם את בסיס הספירה) - למשל, בשיטה העשרונית, הספרות של שליש ממשיכות עד אחרי הנקודה לאין קץ. ההבדל המהותי נעוץ בכך שהספרות של שליש חוזרות על עצמן  (כלומר, החל ממקום מסויים כל הספרות שאנחנו רואים הן חזרה שוב ושוב על רצף סופי מסויים) ואילו של מספרים אי רציונליים - לא.

וכעת לציטוט המוזר והמקומם ביותר:

תעודת הפטירה לחידת ריבוע המעגל הגיעה כמאה שנים מאוחר יותר, בשנת 1882, כשהמתמטיקאי הגרמני פרדיננד פון–לינדמן הוכיח כי פיי הוא מספר טרנסצנדנטלי. מספר טרנסצנדנטלי הוא מספר שאי אפשר להגיע אליו בשיטות המקובלות של חיבור, חיסור, כפל או חילוק. משמע, אי אפשר לקחת מספר כלשהו וממנו להגיע, באמצעות חישוב, לערכו האמיתי של פיי. המשמעות העמוקה יותר היא שלא ניתן להגדיר את ערכו האמיתי של פיי. נתאמץ ככל שנרצה, נזיע על המחברות ונגלה נוסחאות חדשות - לעולם לא נגיע לערכו המספרי האמיתי של פיי, פשוט מכיוון שאין אנו יכולים להגדיר כזה. 

ההתחלה בסדר גמור. הבעיה מתחילה בהגדרה של מספר טרנסצנדנטלי, שהיא בעצם הגדרה של מספר אי רציונלי. פעולות של חיבור, חיסור, כפל או חילוק הן פעולות שניתנות כולן לייצוג על ידי משוואה לינארית (משוואה ממעלה ראשונה) - ה"כוח" שמוסיפות המשוואות הפולינומיות הוא שהן מאפשרות גם הוצאת שורשים מסדר כלשהו - כך למשל שורש 2 הוא מספר אי רציונלי, אבל יש משוואה פולינומית שהוא הפתרון שלה - \( x^2-2=0 \).

טוב, אז הכותב התבלבל. קורה. אלא שאז הוא מגיע לטיעון המחץ: “אי אפשר לקחת מספר כלשהו וממנו להגיע, באמצעות חישוב, לערכו האמיתי של פיי”. שימו לב לשתי מילות המפתח שצצו כאן - “חישוב” ו-“ערכו האמיתי”. נטפל בכל אחת בנפרד.

ראשית, ההנחה שמובלעת בדברי הכותב היא ש”חישוב” הוא משהו שמצומצם לארבע פעולות החשבון (שעליהן הוא דיבר במשפט הקודם - אחרת, מה הקשר בכלל?) למרות שזה כמובן לא נכון. גם אם נוסיף הוצאת שורשים, זה עדיין לא נכון. אפשר לחשב הרבה מאוד דברים גם באופן מחוכם יותר. זה אולי הלקח החשוב ביותר שכדאי להפיק מהמאמר - לזכור ש”חישוב” זו מילה כבדה, מאוד, ושאנשים רבים (בפרט, צ'רץ' וטיורינג) עבדו קשה כדי להעניק לה משמעות מתמטית קונקרטית - אי אפשר להתעלם מכך בקלות שכזו.

שנית, ערכו האמיתי של פאי. הכותב מסיים באמירה ש”אין אנו יכולים להגדיר כזה”. זוהי קפיצה משמעותית מ”לא ניתן לחשב כזה” - הרי יש במתמטיקה מספרים שאינם ניתנים לחישוב אך כן ניתן להגדיר אותם. הכותב לא מבצע הבדלה בין שני המושגים - וחמור מכך, הוא לא מנסה אפילו לרמוז מהי משמעותן של המילים הללו. למרות שזוהי הטענה המרכזית בכתבה שלו, הוא סומך על מילים מעורפלות ורב משמעיות שיעבירו לקורא את המסר הנכון. התוצאה? קורא פדנטי וטרחן כמוני מתעצבן; קורא הדיוט נהנה, עובר דף וממשיך הלאה עם מושג שגוי לחלוטין לגבי פאי.

טוב. אז אפסיק להיטפל לבחירת המילים של הכותב ואנסה להתייחס לתוכן - כלומר, למה שאני חושב שהוא ניסה להגיד. אני חושב שהוא ניסה לומר שלא ניתן לכתוב באופן מפורש את כל הספרות של פאי. זה נכון. מכיוון שיש אינסוף ספרות לפאי, ואין בהן מחזוריות, לא ניתן לכתוב את כולן על דף נייר, לא משנה כמה גדול יהיה. אלא שגם שורש שתיים סובל מאותה בעייה בדיוק, ונראה קצת מוזר להגיד שאין לשורש שתיים “ערך מספרי אמיתי”.

אני חושב שהגישה ל”ערך מספרי אמיתי” צריכה להיות שונה, “חישובית” במהותה. אנסה לתת דוגמה - נניח שיש לנו מספר רציונלי, שניתן להציג עם מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה - אלא שמספר הספרות הזה הוא עצום ורב ביותר - למשל, גוגול ספרות. אם על פי הכותב גם המספר הזה הוא חסר “ערך אמיתי” לא נראה לי שיש על מה לדבר (מספר שניתן לכתוב את הייצוג העשרוני שלו על נייר בשלמותו הוא בעל ערך אמיתי. נקודה) - אבל אם מסכימים שיש לו ערך אמיתי, איך זה מתבטא? ובכן, בוודאי שאיננו יכולים, כבני אדם, “לתפוס” את המספר כולו בו זמנית; אנחנו יכולים להסתכל רק על קבוצה קטנה של ספרות בו זמנית בכל רגע נתון. במילים אחרות, יש לנו דרך (“אלגוריתם”) שבהינתן מקום כלשהו במספר (“הספרה החמש-מאות ושלושים אחרי הנקודה”) מחזיר לנו את הספרה המתאימה. לי נראה שקיום אלגוריתם כזה הוא מספיק (אך לדעתי, ממש לא הכרחי) כדי לשכנע אותנו בקיום “ערך אמיתי” של מספר - הבחירה אם לקבל את הטענה הזו נתונה בידיכם. אם אינכם מסכימים, אשמח לקיים דיון על כך.

לאן אני חותר? לכך שקיים, כמובן, אלגוריתם דומה גם עבור פאי. יש שיטות רבות מאוד (שאולי ארחיב על חלקן בעתיד) לחשב את פאי, עד איזו רמת דיוק שרק נרצה - זה פשוט ייקח זמן. אם כן, במה פאי שונה מהותית ממספר עם ייצוג עשרוני סופי? ההבדל היחיד הוא שהייצוג הסופי של פאי אינו עשרוני - הוא נתון באמצעות אלגוריתם, שמקבל מספר (מספרה של הספרה שאחרי הנקודה שמעניינת אותנו) ומחזיר ספרה (הניסוח שאני נותן כאן הוא מעט נאיבי - יש מושג מעט יותר כללי ומחוכם שנקרא “מספר חשיב” שלא אכנס אליו כאן).

אני חושב שצריך להכיר גם במספרים שמוגדרים באמצעות אלגוריתמים בתור מספרים עם ערכים אמיתיים - די לאפלייה על בסיס עשרוני!