בניות בסרגל ומחוגה

בפוסט הקודם שלי הזכרתי את בעיית ריבוע העיגול בהקשר של פאי; כעת אני רוצה לעסוק בה בהקשר הרחב יותר שלה, של בעיות בניה בסרגל ומחוגה. אעשה זאת מנקודת מבט שהיא בעיקר פורמלית ולא היסטורית; אני מניח שההיסטוריה של בניות בסרגל ומחוגה היא נושא מרתק בפני עצמו, מכיוון שמדובר בתחום שקיים כבר אלפיים שנה.

ובכן, מה זה בכלל? שדה המשחק שלנו הוא המרחב הדו ממדי הרגיל - דף נייר אם תרצו - “המרחב האוקלידי” (על שם הגאומטריה האוקלידית, הגאומטריה של המישור שכולם אמורים להיתקל בה בבית הספר). אצל אוקלידס האובייקטים הבסיסיים הם נקודות וישרים, שאת משמעותם האינטואיטיבית אני מקווה שאנו מכירים (כי מבחינה אקסיומטית אין להם משמעות של ממש - אחד מהדברים היפים בגאומטריה היא שגם עבור משמעויות שונות של המושגים “נקודה” ו”ישר”, כל תוצאות הגאומטריה עדיין תקפות) - נקודה היא פשוט מקום בתוך המרחב האוקלידי, וישר הוא אוסף כל הנקודות שמתקבל כשמתחילים בנקודה כלשהי, בוחרים כיוון והולכים עד אין קץ באותו כיוון - ואחר כך חוזרים בחזרה והולכים עד אין קץ לכיוון ההפוך.

מתוך ההגדרות הללו, אפשר לבנות מושגים מורכבים יותר. למשל, קטע הוא חלק מישר שתחום על ידי שתי נקודות שעל הישר. זה בעצם מה שאנחנו מציירים תמיד, כי אי אפשר לצייר ישרים אינסופיים. אני משתמש לרוב במילה “קו” כשאני רוצה לדבר על קטעים - איני בטוח שהשימוש הזה הוא מדוייק. הדבר הבא אחרי קו הוא קו שבור, שהוא בעצם סדרה של קווים כך שנקודת ההתחלה של האחד היא נקודת הסיום של קודמו. בעזרת קווים שבורים אפשר להגדיר מצולעים כמו משולשים וריבועים - מצולע הוא קו שבור שלא חותך את עצמו ושנקודת הסיום של הקו האחרון בו היא נקודת ההתחלה של הקו הראשון בו (אומרים על קו כזה שהוא “קו שבור סגור”).

כעת אפשר לדבר על משולשים, ומרובעים, ומחומשים וכדומה. בין המשולשים מוכר במיוחד המשולש שווה הצלעות. בין המרובעים מוכר במיוחד הריבוע (מרובע שכל הצלעות בו מאותו האורך וכל הזוויות בו שוות). באופן כללי, מצולע בעל n צלעות שכולן מאותו אורך וכל זוויותיו שוות נקרא מצולע משוכלל.

אה, וחוץ מכל אלו, יש גם מעגלים. מגדירים מעגל בתור אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסויימת (“המרכז”)  הוא מספר קבוע (“הרדיוס”). אחלה - הכרנו את כל השחקנים העיקריים של הגאומטריה. כעת נשאלת השאלה הפשוטה - איך לעזאזל מציירים אותם?

יש אנשים שהשאלה הזו חסרת תוכן עבורם. לא אני. בכל פעם שבה אני מנסה לצייר מעגל, יוצא לי תפוח אדמה מעוך. בכל פעם שבה אני מנסה לצייר קו ישר, יוצא לי מעגל. כנראה שגם ליוונים היו קשיים דומים, והם המציאו כלים שיעזרו להם בשרטוטים - סרגל ומחוגה (אין לי מושג היכן הומצאו הכלים הללו מבחינה היסטורית). כאן כדאי להתעכב ולהסביר בדיוק מהם שני הכלים הללו.

הסרגלים שאנו מכירים הם לרוב כלים ישרים עם שנתות שמצויירות עליהן ומאפשרות למדוד אורך. באנגלית קוראים לסרגל שכזה Ruler. ניתן להשתמש בסרגל כדי למדוד מרחקים, וכדי להעביר קו ישר. אלא שכאן מתעוררת שאלת ביצה ותרנגולת - איך מי שבנה את הסרגל ידע כיצד לסמן עליו את המרחקים? (הדבר דומה לשאלה שטרי פראצ'ט שואל - איך אלו שכותבים את המילון יודעים מה האיות של המילים?)

אם כן, אולי כדי לשמור על הפשטות של הבניות ולהניח כמה שפחות הנחות מוקדמות עליהן, היוונים לא מדברים על סרגל מסומן. השימוש היחיד של הסרגל הוא בהעברת קווים ישרים (ארוכים כרצוננו) דרך נקודות קיימות, לא יצירת נקודות חדשות באמצעות מדידת מרחקים. לסרגל כזה יש שם שונה באנגלית - Straightedge. לרוע המזל, בעברית ההבחנה בין שני סוגי הסרגלים אינה קיימת.

אם כן, סרגל הוא הכלי האחד. אבל עם סרגל אי אפשר לשרטט מעגלים - ומעגלים הם חלק בסיסי מהגאומטריה האוקלידית - ובהמשך אני מקווה שיתבהר קצת יותר מדוע ויתור עליהם מיידית גורר ויתור על רוב הכוח של בניות בסרגל ומחוגה. כאן נכנסת המחוגה (באנגלית Compass; הפעם זו האנגלית שמערבת שני מכשירים שונים - מחוגה ומצפן - באותה מילה) לתמונה. מחוגה מבוססת על שתי רגליים שניתן להגדיל ולהקטין את הזווית ביניהן. מנחים רגל אחת, שלרוב יש בה שפיץ שדוקר את כל מי שמנסה להוציא את המחוגה מהקלמר, על נקודה שמייצגת מרכז של מעגל; את הרגל השנייה שמים על הנייר ומתחילים לסובב אותה - לאחר סיבוב שלם יתקבל מעגל, שרדיוסו הוא המרחק הנוכחי בין שתי רגלי המחוגה. זה הכל.

כעת אפשר להסביר במפורש את “כללי המשחק” של בניות בסרגל ומחוגה. כאמור, שדה המשחק שלנו הוא המישור האוקלידי. בתוך המישור יש שלושה סוגי יצורים - נקודות, קווים ומעגלים. כללי המשחק הם כאלו: מתחילים משתי נקודות שרירותיות, שהמרחק ביניהן ייחשב ל-1 (כל המדידות יבוצעו ביחס למרחק הזה). כעת, ניתן לעשות את הדברים הבאים:

1. למתוח ישר העובר בשתי נקודות קיימות (ולכאורה ממשיך עד אינסוף).
2. לצייר מעגל שרדיוסו הוא המרחק בין שתי נקודות קיימות, ומרכזו בנקודה קיימת (כלומר - אפשר קודם כל להניח את המחוגה כך שכל אחת משתי רגליה על נקודה אחרת כדי לקבל רוחב פיסוק - רדיוס - מסויים, ואז להרים אותה, לשים אותה על נקודה אחרת ולשרטט מעגל שהנקודה הזו במרכזו).
3. להוסיף נקודה חדשה במקום שבו נחתכים שני ישרים, שני מעגלים, או ישר ומעגל.

זה הכל. עם סרגל מעבירים ישרים, עם מחוגה מציירים מעגלים, ונקודות חדשות צצות על ידי חיתוך של ישרים ומעגלים קיימים. עם כללי המשחק הזה אפשר לנסות ולפתור בעיות רבות ושונות - בניית מצולע משוכלל היא אחת מהן, אבל יש עוד, שלכאורה אינן קשורות כל כך במהודק אלו לאלו. הנה שלוש מהבעיות המפורסמות ביותר, שהמשותף להן הוא שכולן לא נפתרו במשך אלפיים שנה לערך, ואז הוכח שהן לא ניתנות לפתרון:

1. ריבוע המעגל - בנייה של ריבוע ששטחו פאי (באופן כללי - בהינתן מעגל שכבר בנינו, בניית ריבוע ששטחו זהה לשטח המעגל הזה).
2. חלוקת זווית לשלושה חלקים שווים - כלומר, בהינתן שני קווים שמחוברים זה לזה בקצה אחד שלהם, העברת שני קווים נוספים ביניהם כך שהזווית שביניהם תחולק לשלושה חלקים שווים.
3. הכפלת נפח של קובייה - שוב, בהינתן קובייה נתונה, בנייה של קובייה שנפחה כפול מנפח הקובייה המקורית.

בשלב הזה חדי העין מתחילים לצעוק: “אה! אבל אמרת שהכל זה גאומטריה של המישור! אם כן, מה הקשר לנפח של קוביה, שהיא אובייקט תלת ממדי?”

זה נכון - לכן כדאי להציג גישה יותר כללית למה שאנחנו עושים ב”משחק” הזה - בשורה התחתונה אפשר לחשוב על כל המשחק בתור נסיון לייצר קטעים מאורכים מסויימים. דרך המחשבה הזו היא גם מה שמוביל בסופו של דבר להוכחת האי אפשרות, שעליה ארצה לדבר בהמשך. בהקשר של הקובייה. האתגר יהיה לייצר קו שאורכו מתאים לאורך הצלע של הקוביה.

אמרנו שמתחילים משתי נקודות שרירותיות. נסמן אחת מהן ב-0 ואת השניה ב-1. הקו שעובר דרכן יהיה ציר x שלנו; בקצת מאמץ (זה תרגיל נחמד - אני ממליץ לשחק קצת עם תוכנת גאומטריה דוגמת kig ללינוקס כדי לקבל את התחושה) אפשר לבנות אנך לציר הזה ולסמן אותו בתור ציר y; קיבלנו את מערכת הצירים הקרטזית ה”רגילה”. כעת, נשים לב שכל קו שכבר נבנה (כלומר, בנינו את שתי נקודות הקצה שלו) ניתן “להעתיק” באמצעות המחוגה אל ראשית הצירים (כלומר, אל הנקודה שאנו מסמנים כ”אפס”) פשוט על ידי כך שנשים את רגלי המחוגה על שתי קצותיו, ואז נשרטט מעגל שמרכזו בראשית הצירים - בפרט, נקבל על ציר x נקודה חדשה, שמרחקה מהראשית היא המרחק ש”העתקנו”. לכן אפשר לצמצם את כל הדיון שלנו לשאלה “אילו נקודות אנו מסוגלים לייצר על ציר x?”

האלגברה מתחילה להשתלט בשלב הזה. ראשית, די ברור שאם כבר יש לנו שתי נקודות a,b על ציר x אפשר לבנות את הנקודות a+b ו-a-b: נעתיק עם המחוגה את המרחק מראשית הצירים אל b, ונשרטט מעגל שזהו רדיוסו ועובר בנקודה a - שתי נקודות החיתוך של המעגל הזה עם ציר x יהיו בדיוק a+b ו-a-b.

בנייה של ab ו-a/b היא מסובכת קצת יותר ומתבססת על כך שבהינתן קו, אפשר לבנות קו שמקביל לו (ועובר דרך נקודה נתונה). כעת בנייה של ab ושל a/b היא יחסית פשוטה - מציירים את b על ציר ה-x ואת a מציירים על ישר בזווית חדה כלשהי עם ציר ה-x (קל לעשות את זה - לבנות ישר בזווית חדה זה לא מסובך מדי, ואז פשוט חותכים את הישר עם מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו a). כעת מחברים את הנקודה 1 על ציר ה-x עם הנקודה של a על הישר שבזווית, ומעבירים לקו שקיבלנו קו מקביל, שעובר דרך הנקודה b בציר ה-x. הנקודה שבה הוא ייחתך עם הישר של a תהיה בדיוק הנקודה ab. הנה איך שכל זה נראה בציור:

הסיבה שאכן קיבלנו את המכפלה נובעת מדמיון משולשים - הביטו במשולש הקטן שאורך שתי צלעותיו הן a ו-1, וכעת הביטו במשולש הגדול שנוצר מהעברת הקו המקביל - אורך צלעו האחת היא b, והיחס בינה לבין הצלע הזהה לה במשולש הקטן (שהייתה 1) הוא b, ולכן זהו היחס גם עבור הצלע השניה - כלומר, היא גדולה מ-a בדיוק פי b, ומכאן שהיא שווה ל-ab. באותה טכניקה בדיוק ניתן לחלק את a ב-b, רק שכעת יש לבצע היפוך תפקידים קטן - מחברים את הנקודה של a עם הנקודה של b, מעבירים לקו שהתקבל מקביל שעובר דרך הנקודה 1 בציר x, והוא יחתוך את הישר הזוויתי בנקודה a/b.

אם כן, במקום “להסתבך” עם גאומטריה, אפשר לשחק את המשחק בצורה אלגברית לגמרי - מתחילים מ-1, וכעת מנסים לבנות את המספרים שמעניינים אותנו באמצעות פעולות של חיבור, חיסור, כפל וחילוק. את 2 בונים על ידי החישוב 1+1; את 1/2 כעת ניתן לקבל מחלוקת 1 ב-2, וכן הלאה. אוסף המספרים שניתן לבנות כך הוא בדיוק אוסף המספרים הרציונליים: בהינתן מספר רציונלי כללי a/b, די לנו בחישוב a ו-b על ידי חיבור 1 לעצמו כמספר הדרוש של פעמים, ואז חישוב a/b באמצעות פעולת החלוקה. די משעמם, עד כה - אפילו לא נזקקנו לחיסור ולכפל.

אלא שבאמצעות המחוגה ניתן לעשות עוד פעולה, קצת יותר מחוכמת מבחינה אלגברית - הוצאת שורש ריבועי. הבניה שבאמצעותה עושים זאת היא פשוטה ומקסימה, והרי היא לפניכם:

השורש של a יהיה אורך הקו d. בואו וננסה להבין מדוע: ראשית, מה שעשינו היה לקחת את a, להאריך אותו ביחידה 1 ואז לצייר מעגל כך שהקו שאורכו a+1 הוא קוטרו. לצורך כך עלינו לבנות את נקודת האמצע של a+1 ולחשב רדיוס שאורכו הוא חצי מ-a+1 אבל את כל זה כבר אמרנו שניתן לעשות.

כעת, לאחר שביצענו זאת, אנו מעבירים אנך בנקודה a עד שהוא חותך את המעגל. גם להעביר אנך אמרנו שניתן לבצע. לסיום, מחברים את נקודת החיתוך עם המעגל יחד עם שני קצוות הקו מאורך a+1. כל מה שנשאר הוא קצת גאומטריה וקצת משפט פיתגורס.

ראשית, צריך לשים לב שהמשולש הגדול שקיבלנו הוא משולש ישר זווית, וזאת על פי משפט מגאומטריה לפיו כל זווית במעגל שנשענת על קוטר היא בת 90 מעלות (הזווית, במקרה הזה, היא זו שבין הקווים x ו-y). לכן, על פי משפט פיתגורס, מתקיים:

\( x^2+y^2=(a+1)^2=a^2+2a+1 \)

כעת, האנך d מחלק את המשולש הזה לשני משולשים קטנים יותר, שגם הם ישרי זווית (שכן העברנו אנך). עבור אחד מהם x הוא היתר, ועבור השני y הוא היתר; בכל אחד מהם d הוא אחד מהצלעות, והצלע השנייה היא או 1 או a. משימוש במשפט פיתגורס על שני המשולשים הללו מקבלים את המשוואות:

\( x^2=d^2+a^2 \)

\( y^2=d^2+1 \)

אחרי שמציבים את שתי המשוואות הללו במשוואה המקורית מקבלים:

\( d^2+a^2+d^2+1=a^2+2a+1 \)

ואחרי העברת אגפים ופישוט מקבלים

\( d^2=a \)

כלומר, \( d=\sqrt{a} \), כפי שרצינו.

אמנם, זה לחלוטין לא ברור באופן מיידי, אך כאן בא המשחק האלגברי שלנו לסיומו. אין עוד פעולות אלגבריות שניתן לבצע באמצעות הגאומטריה ואיננו יכולים לעשות כבר כעת באמצעות מה שיש לנו. הסיבה לכך, בנפנוף ידיים זריז, היא שנקודות חדשות נוצרות רק על ידי חיתוך בין אובייקטים קיימים, והאובייקטים הקיימים הם ישרים ומעגלים. ישרים מיוצגים בידי משוואות ממעלה ראשונה, ואילו מעגלים מיוצגים על ידי משוואות ממעלה שנייה; בשל כך, נקודת החיתוך של שני ישרים היא פתרון של משוואה ממעלה ראשונה, ואילו נקודת החיתוך של שני מעגלים או של ישר ומעגל היא פתרון של משוואה ממעלה שנייה. הפתרון הכללי למשוואות ממעלה שנייה הוא מהצורה \( \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) (מי שלא זוכר מדוע, שיעיף מבט בפוסט שלי) - כלומר, בהינתן הערכים a,b,c ש”מגדירים את המשוואה” (כאמור, אני מנפנף כאן בידיים) ניתן להגיע לפתרון שלה באמצעות ביצוע פעולות של חיבור, חיסור, כפל, חילוק והוצאת שורש בלבד.

כל זה טוב ויפה, אבל האם זה מראה שלא ניתן לעשות פעולות מחוכמות כמו הוצאת שורש שלישי? לא מיידית. הצורה שבה מראים את זה, ובאותה הזדמנות גם מראים שהבעיות של היוונים לא פתירות, תהיה מה שאדבר עליו בפוסט הבא.