אז מתי אפשר לבנות מצולע משוכלל עם סרגל ומחוגה, ומה הקשר למספרי פרמה?

כעת אני מגיע לפואנטה שחתרתי אליה בפוסטים האחרונים שבהם דיברתי על שורשי היחידה - קריטריון שלפיו ניתן לדעת מתי מצולע משוכלל ניתן לבניה באמצעות סרגל ומחוגה (מהי בדיוק בניה בסרגל ומחוגה תיארתי בפוסט עוד יותר מוקדם). בדומה לבעיות של ריבוע העיגול, שילוש הזווית והכפלת הקוביה, כך גם כאן אנו עוברים די בזריזות מהעולם הגאומטרי לעולם אלגברי של הרחבת שדות. במקרה שלנו, בניית מצולע משוכלל עם \( n \) צלעות שקולה לבניית הנקודות שהן קודקודיו של מצולע בעל “רדיוס” מאורך 1 סביב הראשית, וזה שקול לבניית הנקודות שהן שורשי היחידה מסדר \( n \) (שכזכור, אם חושבים עליהם כעל נקודות במישור, הם בדיוק הקודקודים של מצולע משוכלל בעל \( n \) צלעות). לכן השאלה היא מתי ניתן לבנות נקודות שכאלו.

בניית נקודה שקולה לבניית המספרים שהם קוארדינטות ה-\( x \) וה-\( y \) שלה. מספיק לדבר כאן על קוארדינטת ה-\( x \), כי הטיפול ב-\( y \) דומה. קוארדינטת ה-\( x \) של נקודה שאותה אנו מייצגים כמספר מרוכב \( x+iy \) היא בדיוק החלק הממשי שלו, שסימנו בהתאם בתור \( x \). אם כן, הצטמצמנו לשאלה - מהו החלק הממשי של \( \zeta_n \) ומתי ניתן לבנות אותו?

באופן כללי, אם \( z=x+iy \) הוא מספר מרוכב ו-\( \overline{z}=x-iy \) הוא הצמוד שלו, אז החלק הממשי של \( z \) שווה בדיוק ל-\( \frac{z+\overline{z}}{2} \) (זהו חשבון פשוט להיווכח בכך). במקרה של \( \zeta_n \), הצמוד שלו הוא פשוט \( \zeta_n^{-1} \) (הדרך הפשוטה ביותר שאני מכיר כדי לראות זאת היא לכתוב את \( \zeta_n^{-1} \) בתור סכום של קוסינוס וסינוס - כן, כן, ההצגה שלפני רגע קט, בפוסט קודם, הטפתי כנגדה - ולהשתמש בכך ש-\( \cos(-x)=\cos(x) \) ו-\( \sin(-x)=-\sin(x) \)). אם כן, כדי לבנות את המצולע המשוכלל עלינו לבנות את \( \alpha = \frac{\zeta_n+\zeta_n^{-1}}{2} \).

כעת אפשר להכניס את התוצאות שכבר קיבלנו קודם של תורת השדות. כזכור, אמרנו שאם \( \alpha \) ניתן לבניה, אז מימד ההרחבה \( \mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q} \) הוא חזקה של 2. לכן כל שנותר לנו לעשות הוא לקבל מושג טוב יותר לגבי מהו מימד ההרחבה הזו. זאת נעשה בעזרת מה שכבר ידוע לנו על ההרחבה הציקלוטומית, כלומר על \( \mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q} \); כזכור, טענתי בפוסט הקודם (ללא הוכחה) שמימד ההרחבה הזו הוא \( \varphi(n) \).

במבט ראשון, מפתה להגיד ש-\( \mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\zeta_n) \), כלומר שהשדה שמתקבל כשמוסיפים לרציונליים את שורש היחידה, והשדה שמתקבל כשמוסיפים לרציונליים את החלק הממשי שלו, זה אותו שדה. עם זאת, קל להיווכח בכך שזה לא נכון - ב-\( \mathbb{Q}(\alpha) \) אין מספרים מרוכבים (אלא רק ממשיים) ואילו ב-\( \mathbb{Q}(\zeta_n) \) דווקא יש (שורש היחידה עצמו). מצד שני, בבירור השדה \( \mathbb{Q}(\zeta_n) \) מכיל את \( \mathbb{Q}(\alpha) \) ולכן הוא הרחבה שלו - אבל מאיזה מימד? התשובה לכך מיידית - שימו לב ש-\( \zeta_n \) הוא שורש של הפולינום \( x^2-2\alpha x+1 \) שהוא פולינום ממעלה שניה, ולכן מימד ההרחבה הוא 2. למי שתוהה מאיפה המצאתי את הפולינום הזה לפתע פתאום - זהו פשוט הפולינום ששורשיו הם \( \zeta_n \) ו-\( \overline{\zeta_n} \); באופן כללי פולינומים ממעלה שניה ששני שורשיהם הם מספר מרוכב והצמוד שלו הם ממשיים (למי שבאמת סקרן - זה נובע מנוסחאות וייטה).

בואו ניזכר בטענה כללית וחשובה שראינו: אם \( E \) מרחיב את \( K \) ואילו \( K \) מרחיב את \( F \), אז הקשר בין המימדים של ההרחבות הוא של מכפלה פשוטה: \( [E:F]=[E:K][K:F] \). כשמציבים את הפרמטרים שעליהם דיברתי בפסקאות האחרונות במשוואה הזו, מקבלים \( \varphi(n)=2\cdot 2^k \). במילים אחרות, כל הדיון עד כה מסתכם באבחנה הבאה: כדי שניתן יהיה לבנות את המצולע המשוכלל בעזרת סרגל ומחוגה, \( \varphi(n) \) חייב להיות חזקה של 2.

הכיוון ההפוך גם הוא נכון - אם \( \varphi(n) \) הוא חזקה של 2, אז ניתן לבנות את המצולע המשוכלל בעזרת סרגל ומחוגה. זה משהו שטרם ראינו - עד כה כל ההוכחות שראינו היו של חוסר יכולת לעשות משהו, ואז הטיעון המספרי ה”פשוט” הספיק לנו - אם משהו לא יצא חזקה של 2, נגמר הסיפור. הכיוון ההפוך הוא באופן טבעי מורכב יותר - איך מהיות \( \varphi(n) \) חזקה של 2 נובע שניתן לבנות את המצולע?

בשביל להסביר בדיוק מדוע זה נובע, אזדקק לתוצאות מתורת גלואה, שאין סיכוי להיכנס אליהן כעת. רק אגיד בזריזות את הרעיון הכללי - לכל הרחבת שדות ניתן להתאים חבורה (“חבורת גלואה של ההרחבה”), כך שבין ההרחבה ובין החבורה מתקיים הקשר היפהפה הבא: מספר האיברים בחבורה הוא כמימד ההרחבה, ויש התאמה חד חד ערכית ועל בין תת החבורות של חבורת הגלואה ובין “שדות הביניים” של ההרחבה (השדות שניתן לדחוף “באמצע”, בין שני השדות שמהווים את ההרחבה), כך שגודל כל תת חבורה שווה למימד הרחבת הביניים שמתאימה לה, ויחסי ההכלות בין תת החבורות מתאימים ליחסי ההכלות בין ההרחבות.

במקרה שלנו, החבורה של ההרחבה המדוברת היא חבורה אבלית שמספר האיברים בה הוא חזקה של 2. בעזרת מה שידוע על המבנה של חבורות אבליות סופיות (וגם זה נושא לדיון נפרד) אפשר להראות “שרשרת” של תת-חבורות בתוך החבורה הזו, כך שמתאימה להם שרשרת של הרחבות, שמתחילה ב-\( \mathbb{Q} \) ומסתיימת ב-\( \mathbb{Q}(\alpha) \), כך שכל איבר בשרשרת מתקבל על ידי הרחבה ריבועית של קודמו - כלומר, בדיוק סוג ההרחבה שניתן לבצע עם סרגל ומחוגה. זהו הרעיון הכללי, אך הפרטים הקטנים כמובן הכרחיים לצורך הבנה של מה שבאמת הולך שם.

אם כן, הגענו לקריטריון שנראה יחסית מספק - \( \varphi(n) \) הוא חזקה של 2. עם זאת, ניתוח של \( \varphi \) מאפשר להגיע לקריטריון עוד יותר פשוט וברור, שמערב מספרים שנראים לחלוטין לא קשורים - מספרי פרמה.

את פייר דה-פרמה אין צורך להכיר, ולו בזכות הפרסום האדיר שלו זכה “המשפט האחרון” שלו. עם זאת, פרט לכתיבת הערות שוליים שרודפות את העולם המתמטי במשך מאות שנים, פרמה עשה עוד דברים רבים, ונחשב בצדק לאחד מאבות תורת המספרים. בין ההשערות הרבות שהעלה הייתה גם זו הקשורה למספרי פרמה שאציג כעת. פרמה ככל הנראה (אין לי מושג מה קרה במדוייק מבחינה היסטורית) חיפש דרך “לייצר” ראשוניים באופן סדרתי בעזרת נוסחה, משאת נפשם של מתמטיקאים רבים. נוסחה “טבעית” למדי שעולה לראש היא \( 2^n+1 \) - הרי כל ראשוני גדול מ-2 הוא אי זוגי, ולכן כדי לייצר ראשוני צריך להוסיף 1 למספר זוגי; למה לא לעשות זאת למספר זוגי פשוט ככל הניתן, שיש לו רק גורם ראשוני אחד - 2 עצמו?

קל מאוד לראות (איך?) שאם \( n \) הוא אי זוגי, המספר שיתקבל יתחלק ב-3, כך ש-\( n \) חייב להיות זוגי אם רוצים לקבל מספר ראשוני. אם כן, צריך להגביל את \( n \) בצורה מסויימת. כדי לקבל מגבלה קטלנית בהרבה, צריך להתבסס על הזהות הבאה:

\( a^{m}-b^{m}=\left(a-b\right)\left[a^{m-1}+a^{m-2}b+a^{m-3}b^{2}+\dots+ab^{m-2}+b^{m-1}\right] \)

הנוסחה אולי נראית קצת מפחידה, אבל היא בסך הכל מתקבלת מטור טלסקופי פשוט, די בדומה לפיתוח הסכום של סדרה הנדסית שהראיתי בפוסט הקודם. אין צורך להתעמק בנוסחה אלא רק במסקנה שלה - \( a-b \) מחלק את \( a^m-b^m \). כעת, נניח שניתן לכתוב את \( n \) בתור מכפלה \( n=xy \) כך ש-\( x \) הוא אי זוגי. אז אם נציב במשוואה את \( a=2^y,b=-1,m=x \) נקבל כי \( 2^y+1 \) מחלק את \( 2^n+1 \), כלומר \( 2^n+1 \) לא יכול להיות ראשוני (מבחן עירנות - למה בעצם הכרחי ש-\( x \) יהיה אי זוגי?). מכאן שאם יש לנו תקווה כלשהי ש-\( 2^n+1 \) יהיה ראשוני, חייבים לדרוש של-\( n \) לא יהיה מחלק אי זוגי - כלומר, שהוא יהיה חזקה של 2. כלומר, ראשוני פרמה (כעת כבר אפשר להשתמש בשם הזה) חייב להיות מהצורה \( F_t=2^{2^t}+1 \)

פרמה לא התעצל והציב ערכים של \( t \) בנוסחה הזו. הנה מה שהוא קיבל:

\( F_0=2^1+1=2+1=3 \)

\( F_1=2^2+1=4+1=5 \)

\( F_2=2^4+1=17 \)

\( F_3=2^8+1=256+1=257 \)

\( F_4=2^{16}+1=65537 \)

וכאן נמאס לפרמה. הוא ראה שכל המספרים שקיבל עד כה היו ראשוניים, התלהב, וטען שמכאן ואילך כל שאר המספרים גם כן יהיו ראשוניים. אפשר להבין אותו - המספר הבא בסדרה הוא 42,94,967,297 ולפני שהיו מחשבים, למי היה כוח להוכיח שמשהו כזה הוא ראשוני? זה היה מקובל למדי אצל פרמה, לטעון טענות כלליות שכאלו ללא הוכחה, או עם הוכחה מעורפלת - לרוב המתמטיקאים שברו את הראש עד שהצליחו להוכיח את הטענה, אבל תמיד התגלו דברים מעניינים בדרך. לרוע המזל, כאן הוא טעה; אוילר (שהקדיש מאמצים לא מעטים למהומות שפרמה השאיר אחריו) הצליח להוכיח שהמספר הזה הוא פריק דווקא; ומאז המשיכו לעסוק במספרים מהצורה \( 2^{2^t}+1 \), בתחילה באופן ידני ולאחר מכן בעזרת מחשב ואלגוריתמים מחוכמים, עד לימינו, שבהם משתמשים על המספרים הללו באלגוריתמי הפירוק לגורמים המשוכללים ביותר הקיימים.

התוצאה? עד היום הצליחו להכריע סופית את השאלה בעניין 12 מספרי פרמה, עד \( F_{11} \), ולהכריע חד משמעית אם הם ראשוניים או לא; וכולם, פרט לאלו שפרמה גילה, התגלו כפריקים. למספרי פרמה רבים נוספים התגלו גורמים, כך שגם הם פריקים. זה כנראה היה הניחוש הלא-מוצלח ביותר שפרמה ביצע בחייו.

הסיפור לא נגמר פה - למרות שטרם התגלה ראשוני פרמה נוסף, זה לא אומר שאין עוד כאלו - טרם ברור אפילו אם יש מספר סופי או אינסופי שלהם, לא כל שכן אם חמשת הראשוניים הם באמת כל מה שיש. גם לא התגלתה שום שיטה יעילה לבדוק ראשוניות של מספרים מהצורה הזו, ובגלל שקצב הגידול שלהם מסחרר, קשה להניח שיצליחו לטפל בהמשך הסדרה בזמן הקרוב. קשה להתאפק ולא להזכיר באותו הקשר את מספרי מרסן - מספרים מהצורה \( 2^n-1 \) שדומה מאוד לזו של מספרי פרמה, שעבורם דווקא כן ידוע אלגוריתם יעיל יחסית שבודק את הראשוניות שלהם (אלגוריתם לוקאס-להמר למספרי מרסן).

חזרה לענייננו. אמרנו שצריך ש-\( \varphi(n) \) יהיה חזקה של 2. כבר עסקתי בשעתו בחישוב של \( \varphi(n) \); המסקנה הסופית היא ש-\( \varphi(n) \) הוא כפולה של גורמים מהצורה \( p^{k-1}(p-1) \) על כל גורם ראשוני \( p^k \) של \( n \). כל היצורים הללו צריכים להיות חזקות של 2; הדרך היחידה שבה \( p^{k-1} \) יהיה חזקה של 2 כאשר \( p \) הוא אי זוגי היא שיתקיים \( k=1 \); וגם אז צריך לדרוש ש-\( p-1 \) יהיה חזקה של 2, כלומר שיתקיים \( p=2^n+1 \), כלומר ש-\( p \) יהיה ראשוני פרמה.

מכאן שכדי ש-\( n \) יקיים את הקריטריון, וניתן יהיה לבנות מצולע משוכלל עם \( n \) צלעות בעזרת סרגל ומחוגה, \( n \) צריך להיות מכפלה מהצורה \( 2^n\cdot p_1\cdots p_t \), כאשר כל \( p_i \) הוא ראשוני פרמה (וכל הראשוניים שונים זה מזה). כך למשל המצולעים עם 4,8,16 צלעות הם ניתנים לבנייה (וגם כל חזקה אחרת של 2); והמשולש ניתן לבניה כי 3 הוא ראשוני פרמה; והמחומש ניתן לבניה כי 5 הוא ראשוני פרמה; והמשושה ניתן לבניה כי 6 הוא מכפלה של 2 ושל 3, שהוא ראשוני פרמה; והמשובע דווקא לא ניתן לבניה כי 7 אינו מספר פרמה, וכו’ וכו’. מעניין במיוחד הוא המצולע עם 17 צלעות - הוא כן ניתן לבניה, שכן 17 הוא מספר פרמה, אך לא קל כלל וכלל למצוא בניה כזו; גאוס התפרסם בכך שבגיל 19 עלה בידו לגלות בניה שכזו (מבלי שידע, כמובן, על כל התורה שתיארתי כאן, שפותחה רק אחריו).

בכך באה על פתרונה המלא והיפה בעיית הבניה של מצולעים משוכללים, ולעת עתה גם תם העיסוק שלי בהרחבת שדות. מיותר לציין שבקושי גירדתי את קצה הקרחון והבאתי רק כמה מהיישומים הבסיסיים (אך ה”סקסיים”, במובן זה שהם פותרים בעיות עתיקות יומין ומפורסמות) של התורה היפה הזו.