תורת גלואה - מה הרעיון הבסיסי בה?

בפוסט הקודם דיברתי על “מהן משוואות ממעלה חמישית ולמה הן לא פתירות”. לא סתם הכנסתי את המשוואות הללו לתמונה - הן מה שסיפק לגלואה את המוטיבציה לפיתוח התורה שלו (שאותה המציא פחות או יותר בגיל 16). עם זאת, לעת עתה נעזוב את המשוואות ונדבר באופן קצת יותר כללי על מה הולך כאן בכלל.תורת גלואה היא המשך טבעי של העיסוק בהרחבת שדות, שכבר הזכרתי בעבר בפוסט בהקשר של בעיות בניה בסרגל ומחוגה. לא אחזור על הכל מחדש, אבל בכל זאת אתן תזכורת קצרה. “שדה” הוא הכללה של אובייקטים מתמטיים כמו המספרים הרציוונליים, הממשיים והמרוכבים - אוסף איברים שסגור לארבע פעולות החשבון (“סגור” פירושו שאם אנו מבצעים פעולה על איברים מתוך האוסף, התוצאה היא גם איבר מהאוסף - למשל, מכפלת שני מספרים רציונליים גם היא מספר רציונלי). כשאני אומר “פעולות החשבון” מובלעת בזה ההנחה שהם מקיימים את התכונות ה”רגילות” של פעולות החשבון: למשל, \( a+b=b+a \). כאמור - לא אציין כאן במפורש את התכונות המדוייקות ששדה צריך לקיים.

הרחבת שדות היא התהליך שבו בהינתן שדה \( F \), מגדילים אותו ומקבלים שדה חדש, \( E \), שמכיל את \( F \) כתת-שדה שלו. הסוג היחיד של הרחבות שאדבר עליו בהקשר של תורת גלואה יהיה הרחבות סופיות - הרחבות שבהן המימד של \( E \) מעל \( F \) הוא סופי. גם מושג זה הוסבר בעבר - הרעיון הבסיסי הוא שאם המימד של \( E \) מעל \( F \) הוא \( n \), אז אפשר לתאר כל איבר ב-\( E \) באופן יחיד באמצעות סדרה של \( n \) איברים שונים של \( F \). דוגמה פשוטה: נניח שאנחנו לוקחים בתור \( F \) את \( \mathbb{Q} \) - אוסף הרציונליים - מוסיפים לאוסף זה את המספר הלא רציונלי \( \theta=\sqrt[3]{2} \), ואז “סוגרים” את האוסף כך שיהיה סגור לפעולות החשבון (למשל, אם \( \theta \) בפנים גם \( 2\theta \) יהיה בפנים). ניתן להראות כי האיבר הכללי של השדה שיתקבל (שמסומן בתור \( E=F\left(\theta\right) \)) הוא מהצורה \( a+b\theta+c\theta^{2} \), כש-\( a,b,c\in F \) שלושתם. כלומר, כל איבר ב-\( E \) ניתן לתיאור באמצעות שלשה מהצורה \( \left(a,b,c\right) \). את המימד של \( E \) מעל \( F \) סימנו ב-\( \left[E:F\right] \), והוא שיחק תפקיד מכריע בכל ענייני הסרגל ומחוגה - הראינו אז שאם מספר \( \theta \) ניתן לבניה בעזרת סרגל ומחוגה, אז \( \left[\mathbb{Q}\left(\theta\right):\mathbb{Q}\right]=2^{k} \) עבור \( k \) כלשהו - ולכן, למשל, \( \theta=\sqrt[3]{2} \) אינו ניתן לבניה בעזרת סרגל ומחוגה (זה הראה שלא ניתן להכפיל את הקוביה בעזרת סרגל ומחוגה).

עוד הנחה שאני הולך לדבוק בה בהמשך היא שהשדה \( F \) הוא ממציין 0, כלומר שאם מחברים את \( 1 \) לעצמו אף פעם לא מתקבל 0. תכונה זו לא מתקיימת, למשל, בשדה \( \mathbb{Z}_{7} \), של המספרים השלמים \( 0,\dots,6 \) עם פעולות חיבור וכפל מודולו 7. תורת גלואה מטפלת גם בשדות ממציין שונה מאפס, אך איני זקוק להם בשביל לדבר על משוואות ממעלה חמישית, ואין צורך להיכנס לפרטים הטכניים הנוספים שהטיפול במקרים אלו מכתיב.

תורת גלואה מרחיבה את מה שניתן לומר על הרחבות, באמצעות הכנסה לתמונה של מושג חדש - אוטומורפיזמים. אוטומורפיזם של שדה היא פונקציה ש”מערבבת” את אברי השדה, באופן כזה ששומר על מבנה השדה. פורמלית, \( \varphi:E\to E \) היא פונקציה שלכל איבר ב-\( E \) מתאימה איבר אחר ב-\( E \), כך שמתקיימות שלוש תכונות: ראשית, אין שני איברים שמתמפים לאותה תוצאה, כלומר אם \( \varphi\left(x\right)=\varphi\left(y\right) \) בהכרח \( x=y \) - פונקציה שמקיימת זאת היא “חד-חד ערכית”. שנית, כל איבר ב-\( E \) מתקבל כפלט של הפעלת \( \varphi \) על איבר כלשהו ב-\( E \), כלומר לכל \( y\in E \) קיים \( x\in E \) כך ש-\( \varphi\left(x\right)=y \). שלישית, לכל \( x,y\in E \) מתקיים ש-\( \varphi\left(x+y\right)=\varphi\left(x\right)+\varphi\left(y\right) \) ו-\( \varphi\left(xy\right)=\varphi\left(x\right)\varphi\left(y\right) \). כלומר, אם יש לנו שני איברים, אין הבדל בין הפעלת האוטומורפיזם עליהם בנפרד ואז ביצוע חיבור או כפל של התוצאות, ובין ביצוע חיבור או כפל קודם, והפעלה של האוטומורפיזם אחר כך.

כאן מתבקש לתת דוגמה לאוטומורפיזם, ולכן בואו נסתכל לרגע על השדה \( \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) \) - השדה שמתקבל מהרחבת הרציונליים על ידי הוספת \( \sqrt{2} \). האיברים בשדה הזה הם מהצורה \( a+b\sqrt{2} \), כאשר \( a,b\in\mathbb{Q} \). אוטומורפיזם טריוויאלי של השדה הזה הוא האוטומורפיזם שמעביר כל איבר לעצמו - \( \varphi\left(x\right)=x \). קל לראות שזה אוטומורפיזם. בנוסף לכך, יש לנו אוטומורפיזם אחד נוסף - \( \varphi\left(a+b\sqrt{2}\right)=a-b\sqrt{2} \). בדקו שזה אכן אוטומורפיזם!

האם יש אוטומורפיזמים נוספים? התשובה היא לא, וכדי לראות זאת, הבה ונחשוב לרגע על תכונות בסיסיות של אוטומורפיזמים של שדה כללי, \( E \). בראש ובראשונה, מהו \( \varphi\left(1\right) \)? אני רוצה להראות שזה בדיוק \( 1 \). כדי להראות זאת, מספיק להראות כי לכל \( y\in E \) מתקיים \( \varphi\left(1\right)\cdot y=y \), שכן האיבר היחיד שמקיים זאת הוא 1 (מדוע?). אם כן, מכיוון ש-\( \varphi \) הוא אוטומורפיזם, קיים \( x\in E \) כך ש-\( \varphi\left(x\right)=y \). אבל כעת, \( y=\varphi\left(x\right)=\varphi\left(1\cdot x\right)=\varphi\left(1\right)\varphi\left(x\right)=\varphi\left(1\right)y \), כפי שרצינו.

כעת, אם \( \varphi\left(1\right)=1 \), אז גם \( \varphi\left(2\right)=\varphi\left(1+1\right)=\varphi\left(1\right)+\varphi\left(1\right)=1+1=2 \); ובאופן כללי לכל מספר טבעי \( n \) יתקיים \( \varphi\left(n\right)=n \). אבל קל להראות גם כי \( \varphi\left(-1\right)=-1 \) (כי \( 0=\varphi\left(0\right)=\varphi\left(1-1\right)=\varphi\left(1\right)-\varphi\left(-1\right) \)), ולכן מקבלים כי \( \varphi\left(-n\right)=-n \); ובאופן דומה, מכיוון שאוטומורפיזם משמר גם את פעולת הכפל, אפשר להראות שלכל \( a\in\mathbb{Q} \) מתקיים \( \varphi\left(a\right)=a \). בקיצור, אוטומורפיזם של כל שדה שמרחיב את הרציונליים (וכבר אמרתי בעבר שכל שדה ממציין אפס מכיל את הרציונליים כתת שדה), לא משנה בשום צורה את הרציונליים (ובפרט - האוטומורפיזם היחיד של שדה הרציונליים הוא הזהות). על אוטומורפיזם כזה אומרים שהוא משמר את הרציונליים - ובאופן כללי, אם יש לנו הרחבת שדות \( E/F \) (\( E \) מרחיב את \( F \)), ואם \( \varphi:E\to E \) הוא אוטומורפיזם של \( E \) כך ש-\( \varphi\left(a\right)=a \) לכל \( a\in F \), אז אומרים ש-\( \varphi \) משמר את השדה \( F \). כשחוקרים את ההרחבה \( E/F \), האוטומורפיזם המעניינים יהיו בדיוק האוטומורפיזמים של \( E \) שמשמרים את \( F \), שכן במובן מסויים אלו האוטומורפיזמים שמכילים מידע גם על \( E \) אבל גם על \( F \).

כעת, אוטומורפיזמים אפשר “להרכיב” זה על זה - להפעיל קודם אחד, ואז את השני. אם \( \varphi,\tau \) הם שני אוטומורפיזמים של שדה, אפשר להגדיר פונקציה חדשה, שתסומן \( \varphi\circ\tau \), ומוגדרת באמצעות \( \varphi\circ\tau\left(x\right)=\varphi\left(\tau\left(x\right)\right) \). לא קשה להוכיח שהפונקציה הזו היא אוטומורפיזם בעצמה. האבחנה המרכזית כאן היא שפעולת ההרכבה הזו הופכת את אוסף האוטומורפיזמים של \( E \) לחבורה. גם זה מושג שכבר הופיע בבלוג פעמים רבות, אבל נזכיר אותו בקיצור שוב.

חבורה היא אוסף של איברים עם פעולה בינארית ביניהם (כלומר, בהינתן שני איברים, מפעילים עליהם את הפעולה ומקבלים איבר חדש השייך לאוסף). יש שלוש דרישות שנדרשות מהפעולה הבינארית: ראשית, שתתקיים אסוציאטיביות. כלומר, אם \( G \) היא חבורה ו-\( a,b,c\in G \), אז \( \left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot\left(b\cdot c\right) \). זה מתקיים עבור פעולת ההרכבה של אוטומורפיזמים אבל לא אראה זאת.

שנית, צריך להיות בחבורה איבר יחידה \( e\in G \), שעבורו \( a\cdot e=e\cdot a=a \) לכל \( a\in G \). בחבורת האוטומורפיזמים מקיים את התפקיד הזה אוטומורפיזם הזהות (בדקו!).

שלישית, לכל \( a\in G \) צריך להיות בחבורה איבר “הופכי”, \( b\in G \) שמקיים \( a\cdot b=b\cdot a=e \). במקרה של חבורת האוטומורפיזמים, אם \( \varphi \) הוא אוטומורפיזם, אפשר להגדיר אוטומורפיזם \( \tau \) באופן הבא: בהינתן \( x\in E \), ידוע שקיים \( y\in E \) יחיד כך ש-\( \varphi\left(y\right)=x \); אז נגדיר \( \tau\left(x\right)=y \) (במילים: \( \tau \) על \( x \) מחזיר את המקור של \( x \) על פי האוטומורפיזם \( \varphi \)). קל לראות כי \( \tau \) הנ”ל הוא אכן ההופכי של \( \varphi \). לכן אוסף האוטומורפיזמים של \( E \) הוא חבורה. יותר מכך - בהינתן הרחבת שדות \( E/F \) גם אוסף האוטומורפיזמים של \( E \) שמשמר את \( F \) הוא חבורה. זו בדיוק החבורה שבה אנו מתעניינים. נסמן אותה ב-\( \mbox{Gal}\left(E/F\right) \).

המשפט היסודי של תורת גלואה קושר בין המבנה של \( \mbox{Gal}\left(E/F\right) \) ובין המבנה של \( E/F \). בפרט, הוא מראה שהגודל של החבורה הוא בדיוק מימד ההרחבה, כלומר \( \left[E:F\right]=\left|\mbox{Gal}\left(E/F\right)\right| \); והוא מראה שלכל תת חבורה של \( \mbox{Gal}\left(E/F\right) \) מתאים “שדה ביניים” \( K \) שמקיים \( F\subseteq K\subseteq E \) (כלומר - \( K \) מרחיב את \( F \), ובתורו מורחב בעצמו על ידי \( E \)) ושההתאמה הזו יוצרת זהות בין המבנה הפנימי של החבורה (אילו תת חבורות מכילות אילו תת חבורות אחרות) ובין המבנה של הרחבת השדות. עם זאת, לפני שארחיב על המשפט אין מנוס מלהתייחס לכך שהוא בכלל לא נכון, באופן כללי, ולדבר על התנאים שצריך שיתקיימו כדי שהמשפט כן יהיה נכון.

הדוגמה הקלאסית היא ההרחבה \( \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) \). זוהי הרחבה ממימד 3 של \( \mathbb{Q} \), ועם זאת גודל חבורת האוטומורפיזמים שלה (שמשמרים את \( \mathbb{Q} \), אבל כבר אמרנו שכל אוטומורפיזם משמר את \( \mathbb{Q} \)) הוא 1 - רק הזהות. מדוע? ובכן, איבר כללי של ההרחבה הזו הוא \( a+b\theta+c\theta^{2} \) עם \( \theta=\sqrt[3]{2} \); ואם \( \varphi \) אוטומורפיזם של השדה, אז \( \varphi\left(a+b\theta+c\theta^{2}\right) = \varphi\left(a\right)+\varphi\left(b\right)\varphi\left(\theta\right)+\varphi\left(c\right)\varphi\left(\theta^{2}\right)=a+b\varphi\left(\theta\right)+c\varphi\left(\theta\right)^{2} \)

דהיינו, מה ש-\( \varphi \) עושה לאיבר כללי תלוי אך ורק במה שהוא עושה ל-\( \theta \). מכאן שהשאלה היא - לאן \( \varphi \) יכול להעביר את \( \theta \) בכלל? כאן נכנסת לתמונה אבחנה כללית חשובה נוספת: אם \( E/F \) היא הרחבה, ו-\( f\left(x\right) \) הוא פולינום שמקדמיו ב-\( F \), ו-\( \varphi \) אוטומורפיזם של \( E \) אשר משמר את \( F \), ו-\( \theta\in E \) הוא שורש של \( f\left(x\right) \) - אז גם \( \varphi\left(\theta\right) \) הוא שורש של \( f\left(x\right) \). ההוכחה של טענה זו ישירה למדי - אם נסמן \( f\left(x\right)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \) אז \( \sum_{i=0}^{n}a_{i}\theta^{i}=0 \), ולכן גם \( \varphi\left(\sum_{i=0}^{n}a_{i}\theta^{i}\right)=0 \), ותוך שימוש בכל התכונות של האוטומורפיזם (ובפרט ש-\( \varphi\left(a_{i}\right)=a_{i} \)) נקבל \( \sum_{i=0}^{n}a_{i}\varphi\left(\theta\right)^{i}=0 \).

במקרה שלנו, \( \theta \) הוא שורש של הפולינום \( x^{3}-2 \), שכל מקדמיו רציונליים; לכן \( \varphi\left(\theta\right) \)חייב גם הוא להיות שורש של הפולינום הזה. אלא מה, שני שורשי הפולינום האחרים הם \( \rho\sqrt[3]{2} \) ו-\( \rho^{2}\sqrt[3]{2} \), כאשר \( \rho \) הוא שורש יחידה פרימיטיבי מסדר 3 - מספר מרוכב שמקיים \( \rho^{3}=1 \) (ושונה מ-1 בעצמו). אם מתעקשים על הגדרה קונסטרוקטיבית של \( \rho \) אז \( \rho=e^{\frac{2\pi i}{3}} \), אבל אני מניח שזה לא יהיה הכרחי. הפואנטה כאן היא ששני השורשים האחרים של \( x^{3}-2 \) הם מספרים מרוכבים. ככאלו, הם בכלל לא שייכים לשדה \( \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) \). לכן \( \theta \) יכול לעבור רק לעצמו באמצעות אוטומורפיזם של השדה הזה, ומכיוון שפעולת האוטומורפיזם של \( \theta \) קובעת אותו ביחידות, קיים רק אוטומורפיזם אחד כזה - הזהות.

כל השיקולים הללו מבלבלים? אוהו, זה רק החימום של מה שקורה בהמשך. עם זאת, אני חושב שהשיקולים הללו הם יפים. יש בהם משהו אלגנטי מאוד. לכאורה, אוטומורפיזמים של שדות היו אמורים להיות יצורים מסובכים מאוד - הרי שדות הם אובייקטים ענקיים ומורכבים, לכאורה. ועם זאת, אנחנו מצליחים לצמצם את ציד האוטומורפיזמים לכמה שיקולים מאוד, מאוד בסיסיים. אכן, הרבה פעמים ניתן להשתמש בתורת גלואה והגישה שלה כדי לספק הוכחות פשוטות רעיונית (מרגע שהרעיונות הבסיסיים “עוכלו”) לטענות מורכבות.

חזרה אל \( \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) \). אמרנו שזו הרחבה ממימד 3, ועם זאת חבורת האוטומורפיזמים שלה היא מגודל 1, כלומר אין “מספיק” אוטומורפיזמים. מה הייתה הבעיה? ש”איבדנו” אוטומורפיזמים פוטנציאלים מכיוון שבהרחבה שלנו היו חסרים השורשים האחרים של הפולינום \( x^{3}-2 \). איך ניתן להכניס גם אותם למשחק? פשוט - להרחיב את \( \mathbb{Q}\left(\sqrt[3]{2}\right) \) על ידי הוספת \( \rho \) פנימה - את התוצאה מסמנים ב-\( \mathbb{Q}\left(\rho,\sqrt[3]{2}\right) \). זו הרחבה מסדר 6 של \( \mathbb{Q} \), ויש לה 6 אוטומורפיזמים. להראות את זה במפורש זה עניין טיפה טכני אז אקפוץ לסוף -אוטומורפיזם של \( \mathbb{Q}\left(\rho,\sqrt[3]{2}\right) \) נקבע באופן יחיד על ידי פעולתו על \( \sqrt[3]{2} \) ועל \( \rho \). את \( \sqrt[3]{2} \) אפשר להעביר לעצמו, ל-\( \rho\sqrt[3]{2} \) ול-\( \rho^{2}\sqrt[3]{2} \); ואת \( \rho \) (שהוא שורש של \( x^{3}-1=\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right) \)) אפשר להעביר לעצמו ול-\( \rho^{2} \) (השורש השלישי של הפולינום הוא 1, ואנחנו כבר יודעים ש-1 עובר לעצמו אז שום דבר אחר לא יכול לעבור אליו). אז נגדיר אוטומורפיזם \( \varphi \) שמקיים \( \varphi\left(\sqrt[3]{2}\right)=\rho\sqrt[3]{2} \) ו-\( \varphi\left(\rho\right)=\rho \); ונגדיר \( \psi\left(\sqrt[3]{2}\right)=\sqrt[3]{2} \) ו-\( \psi\left(\rho\right)=\rho^{2} \), וקיבלנו שני אוטומורפיזם שכל אחד מהם פועל על אחד משני ה”יוצרים” של ההרחבה בנפרד. כעת אפשר לקבל כל אוטומורפיזם אחר בתור מכפלה שלהם או של חזקות שלהם, ומכאן לא ארוכה הדרך לראות שיש שישה אוטומורפיזמים שונים בסך הכל (\( \varphi \) הוא מסדר 3 ו-\( \psi \) הוא מסדר 2, ולכן החבורה שהם יוצרים היא לכל היותר מסדר 6).

מכאן מגיעים להגדרה של “הרחבת גלואה”. הרחבה \( E/F \) היא הרחבת גלואה אם \( \left[E:F\right]=\left|\mbox{Gal}\left(E/F\right)\right| \). מסתבר שניתן לתת אפיון אחר ומעניין להרחבות הללו: הרחבה \( E/F \) היא הרחבת גלואה אם \( E \) הוא שדה פיצול של פולינום אי פריק כלשהו מעל \( F \). מהו שדה פיצול של פולינום? בפשטות, השדה הקטן ביותר שמכיל את כל שורשי הפולינום. למשל, שדה הפיצול של \( x^{2}-2 \) מעל \( \mathbb{Q} \) הוא \( \mathbb{Q}\left(\sqrt{2}\right) \), והשדה \( \mathbb{Q}\left(\rho,\sqrt[3]{2}\right) \) הוא שדה הפיצול של \( x^{3}-2 \) מעל \( \mathbb{Q} \) (כשעוסקים בהרחבות גלואה של שדות ממציין שונה מ-0 הפולינום צריך להיות גם ספרבילי; לא ארחיב על תכונה זו כעת).

טוב, הבה ונתאר סוף סוף את המשפט המרכזי של תורת גלואה. לפני כן, תמונה אחת שווה אלף מילים:

מה הולך כאן? אין צורך להיכנס לפרטים; הנקודה היא שהדיאגרמה העליונה היא של חבורה ותת החבורות שלה; והדיאגרמה התחתונה היא של הרחבת שדות וכל שדות הביניים שם, כשקווים מציינים את כל ההכלות. כפי שהתמונה מראה, המבנה של החבורה והמבנה של ההרחבה הם זהים. זה הפאנץ’ הראשון, אבל יש עוד פאנצ’ים. ראשית, ההתאמה בין כל חבורה תת חבורה ובין כל שדה ביניים אינה מקרית: אם \( K \) הוא שדה ביניים של ההרחבה (כלומר \( F\subseteq K\subseteq E \)), אז תת החבורה שמתאימה לו היא אוסף כל האוטומורפיזמים של \( E \) שמשמרים אותו (וכך ל-\( F \) מתאימה החבורה כולה, כי מראש חבורת הגלואה מכילה רק אוטומורפיזמים שמשמרים את \( F \); ול-\( E \) מתאימה תת החבורה הטריוויאלית שמכילה רק את אוטומורפיזם הזהות, כי כל אוטומורפיזם אחר של \( E \) לא משמר אותו). בכיוון השני, אם נתונה תת חבורה כלשהי \( H \) של חבורת הגלואה \( G \), אז שדה הביניים שמתאים לה הוא תת השדה של \( E \) שמשתמר על ידי כל אברי \( H \) (צריך להראות שאוסף כל האיברים שמשתמרים תחת כל האוטומורפיזמים של \( H \) הוא שדה, אך זה לא קשה).

יתר על כן, אם \( H \) היא תת החבורה שמתאימה לשדה הביניים \( K \), אז \( \left[E:K\right]=\left|H\right| \), ובפרט גם \( E/K \) היא הרחבת גלואה, עם החבורה \( H \); ואילו \( K/F \) היא גלואה רק כאשר \( H \) היא תת חבורה נורמלית של \( G \), ובכל מקרה \( \left[K:F\right]=\left|G:H\right| \), כאשר \( \left|G:H\right| \) הוא האינדקס של \( H \) ב-\( G \), וחבורת הגלואה של \( K/F \) היא בדיוק חבורת המנה \( G/H \) במקרה זה. למי שהמושגים הללו לא אומרים לו כלום - לא נורא; זה מצריך ידע כלשהו בתורת החבורות שאיני רוצה להיכנס אליו כעת.

זה לא כל מה שאפשר להגיד, אבל לעת עתה אסתפק בכך.

טוב, אז מה היה לנו? קשר הדוק מאוד (ולטעמי, יפה מאוד) בין הרחבת שדות לחבורות. מכאן אפשר להתחיל לקטוף את הפירות ולהשתמש בקשר הזה כדי להפיק מידע על ההרחבות. לרוע המזל, כאן כבר נהיה חייבים לצלול לעומקים טכניים מסויימים ומי שאינו בקיא באלגברה עלול ללכת לאיבוד, לכן אחזור שוב על הנקודה העיקרית לפני שנמשיך: מה שעושים כעת, על מנת להוכיח כי המשוואה ממעלה חמישית אינה פתירה, הוא להסתכל על שדה הפיצול של פולינום “כללי” (כזה שאין יחסים בין המקדמים שלו - אי אפשר להגיד משהו בסגנון “המקדם השני גדול פי שניים מהראשון” וכדומה). אפשר להראות שהחבורה שמתאימה לשדה הפיצול הזה היא \( S_{5} \) - חבורת הפרמוטציות על חמישה איברים. בשלב הבא מראים שאם ניתן לפתור את המשוואה הכללית ממעלה חמישית באמצעות רדיקלים (כלומר, סדרה של הרחבות “פשוטות” במובן מסויים), אז החבורה שמתאימה להרחבה הרדיקלית הזו היא מה שמכונה “חבורה פתירה”, ומכך נובעת (לא מייד) הפתירות של \( S_{5} \); ועליה אפשר להוכיח בנפרד שאינה פתירה.

מסובך? כן, למדי. אם כן, חשבו על כך שהרעיונות הללו הומצאו מאפס (לפני שהיו מושגים כמו “הרחבת שדה” או “חבורה”) על ידי נער בן 16, שהצליח להרוג את עצמו בגיל 21 במה שהוא כנראה הבזבוז הגדול ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה.