אז מהו שדה המספרים ה-p-אדיים?

בפוסט הקודם דיברתי על משוואות דיופנטיות, והפעם אגש ישר לעניין. נניח שמבקשים מאיתנו לפתור את המשוואה \( x^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7\right) \). אפשר לשאול למה בכלל ידוע שיש למשוואה הזו פתרון, ואפשר לדבר על דרכים כלליות לפתור אותה, אבל לא אכנס לכך כרגע - רק אעיר שבגלל ש-\( 7 \) ראשוני, יש דרכים שיטתיות לעשות זאת - אריתמטיקה מודולרית היא פשוטה יותר כשאנחנו מודולו מספר ראשוני. במקרה שלנו אפשר לראות ששני הפתרונות (כשאנחנו מגבילים את עצמנו לתחום \( 0,\dots,6 \), שכל מספר שלם אחר שקול לאיבר מתוכו מודולו 7) הם \( x=3,4 \) (אין זה מקרה ש-\( 3+4=7 \); אפשר לחשוב על \( 4 \) גם בתור \( -3 \), ולכן כשמעלים אותו בריבוע מקבלים אותו דבר כמו \( 3 \) בריבוע).

האתגר הבא שלנו, כפי שכתבתי בפוסט הקודם, הוא לפתור את המשוואה מודולו \( 7^{n} \), עבור כל \( n\ge2 \). אם אצליח למצוא שיטה כללית לעשות זאת (ולא רק עבור 7 אלא עבור כל ראשוני), אוכל להשתמש במשפט השאריות הסיני כדי לפתור כל משוואה מודולו כל מספר שלם. אם כן, נתחיל מלנסות ולפתור את המשוואה מודולו \( 7^{2} \). האבחנה הראשונה היא שאם \( a^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7^{2}\right) \), אז \( a\equiv3,4\left(\mbox{mod 7}\right) \) - כלומר, מודולו 7, \( a \) נראה בדיוק כמו אחד הפתרונות של המשוואה המקורית. מדוע? כי אם \( a^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7^{2}\right) \) אז המשמעות של כך, ממש מן ההגדרה, היא \( 7^{2}|a^{2}-2 \), כלומר \( 7^{2} \) מחלק את ההפרש בין \( a^{2} \) ובין 2, כשחושבים על שניהם כמספרים שלמים. אם \( 7^{2} \) מחלק את ההפרש, ודאי שגם \( 7 \) מחלק את ההפרש, ולכן \( a^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7\right) \), כלומר מודולו 7 \( a \) הוא אחד מהפתרונות של המשוואה המקורית, וכבר אמרנו שהם \( 3,4 \).

אם כן, בואו נחפש את כל הפתרונות ששקולים ל-3 מודולו 7. אפשר לומר שהצורה הכללית של פתרון \( a \) שכזה היא \( a=3+7\cdot k \), כאשר \( k \) הוא מספר שלם כלשהו. בואו נציב את זה למשוואה המקורית ונראה מה קורה: \( 2\equiv a^{2}\equiv\left(3+7k\right)^{2}\equiv3^{2}+14bk+7^{2}k^{2}\equiv9+14\cdot3k\left(\mbox{mod }7^{2}\right) \) (\( 7^{2}k \) נעלם כשלוקחים את הכל מודולו \( 7^{2} \)). אחרי העברת אגפים נקבל ש-\( 7+14\cdot3k\equiv0\left(\mbox{mod }7^{2}\right) \), כלומר \( 7^{2}|7+14\cdot3k \); אבל אפשר להוציא מאגף שמאל את הגורם המשותף 7, ולכן נקבל ש-\( 7|1+6k \), או \( 1+6k\equiv0\left(\mbox{mod 7}\right) \), וממשוואה זו קל לחלץ את \( k \): \( k\equiv1\left(\mbox{mod }7\right) \). אם כן, איזה פתרון חדש קיבלנו? את \( a=3+7=10 \) (עבור הערך הבא של \( k \), \( k=8 \), נקבל \( a=3+7\cdot8=59\equiv10\left(\mbox{mod }7^{2}\right) \)). השיטה שלנו עבדה.

אפשר מן הסתם להמשיך עם השיטה הזו עוד, ועוד, ועוד, כשעל כל פתרון ישן אנחנו מקבלים פתרון חדש. בואו ננסה לתאר את זה בצורה מסודרת: התחלנו ממספר \( a_{1} \) שמקיים \( a_{1}^{2}\equiv2\left(\mbox{mod 7}\right) \), ובנינו ממנו מספר \( a_{2} \) שמקיים \( a_{2}^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7^{2}\right) \); ואותו מספר קיים בנוסף ש-\( a_{2}\equiv a_{1}\left(\mbox{mod }7\right) \). באופן כללי, בהינתן \( a_{n} \) שמקיים \( a_{n}^{2}\equiv2\left(\mbox{mod 7}^{n}\right) \), אפשר לבנות \( a_{n+1} \) שמקיים \( a_{n+1}^{2}\equiv2\left(\mbox{mod 7}^{n+1}\right) \), ובנוסף לכך \( a_{n+1}\equiv a_{n}\left(\mbox{mod }7^{n}\right) \). אפשר לחשוב על המידע על אוסף הפתרונות הזה כאילו הוא מקודד בתור סדרה, \( a_{1},a_{2},\dots \).

הבה ונעבור לרגע לדון במשוואה \( x^{2}=2 \) מעל המספרים הממשיים. הפתרון של המשוואה ניתן לכתיבה בתור \( \sqrt{2}=1.4142\dots \), כשהנקודות מציינות שהספרות ממשיכות וממשיכות עד אין קץ, ובלי שתהיה בהן מחזוריות קבועה - זו המשמעות של היות \( \sqrt{2} \) אי רציונלי. המספר שאנחנו כותבים בפועל הוא פשוט קירוב רציונלי ל-\( \sqrt{2} \) האי רציונלי. הבה ונכתוב את האיברים הראשונים בקירוב:

\( b_{0}=1,b_{1}=1.4,b_{2}=1.41,b_{3}=1.414,b_{4}=1.4142 \) וכן הלאה (התחלתי הפעם את המספור מ-0 לצורכי נוחות שיתבררו בקרוב).

אם נעלה את \( b_{4} \) בריבוע, נקבל את המספר המגוחך \( 1.99996164 \). ההפרש בינו לבין 2 הוא \( 0.00003836\dots \) - הפרש פצפון. ככל שנתקדם עוד יותר בסדרה נקבל הפרשים עוד יותר קטנים. כלומר, המרחק שבין אברי \( b_{n} \) ובין 2 הולך ושואף לאפס. נהוג לסמן זאת \( \lim_{n\to\infty}\left|2-b_{n}^{2}\right|=0 \), ובקיצור: \( \lim_{n\to\infty}b_{n}^{2}=2 \). על בסיס הרעיון הזה טבעי להגדיר את \( \sqrt{2} \) מלכתחילה בתור גבול הסדרה \( \lim_{n\to\infty}b_{n} \). זה כמובן מעלה את התמיהה מדוע צריך “להגדיר את \( \sqrt{2} \)” - האם הוא לא היה קיים מאז ומעולם? ובכן, תלוי בגישה שלנו לחיים; אם כל מי שאנחנו מכירים כרגע הוא מספרים רציונליים (שנבנו באופן מסודר מהשלמים, שנבנו באופן מסודר מהטבעיים, שאותם קיבלנו מאלוהים), אז לא - עדיין אין לנו בנמצא מספרים אי רציונליים ויש להגדיר אותם.

שימו לב לתכונה מעניינת נוספת של סדרת הקירובים \( a_{n} \). ההפרש בין שני איברים סמוכים מקיים \( \left|b_{n+1}-b_{n}\right|\le10^{-n} \), כלומר אם נחסר שני איברים סמוכים זה מזה, נקבל מספר עם הרבה אפסים בהתחלה (\( n+1 \) במספר). אפשר לומר ששני המספרים הללו קרובים זה לזה עד כדי חזקה קטנה של \( n \).

אם כן, נסכם: אפשר לחשוב על \( \sqrt{2} \) כאילו הוא מקודד סדרה של קירובים הולכים ומשתפרים עבור פתרון למשוואה \( b^{2}=2 \), כשהדרך שבה אנחנו מודדים קרבה היא על ידי הערך המוחלט של ההפרש. הסדרה הזו מקיימת את התכונות ש-\( \left|b_{n}^{2}-2\right|\le10^{-n} \) ובנוסף \( \left|b_{n+1}-b_{n}\right|\le10^{-n} \). נראה מוכר?

הפאנץ’ הוא שגם על סדרת המספרים שהצגתי קודם, זו שמקיימת \( a_{n}^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7^{n}\right) \) ו-\( a_{n+1}\equiv a_{n}\left(\mbox{mod }7^{n}\right) \) אפשר לחשוב בתור “סדרת קירובים שהולכים ומשתפרים” לפתרון של המשוואה \( x^{2}\equiv2 \) מודולו חזקות הולכות וגדלות של 7. יש הגיון רב בגישה הזו: הרי אם \( a_{n}^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7^{n}\right) \), אז גם \( a_{n}^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7^{k}\right) \) לכל \( k<n \) (מאותו נימוק שנתתי קודם, כי \( 7^{k} \) מחלק את \( 7^{n} \) ולכן מחלק כל מה שמתחלק על ידי \( 7^{n} \)), ולכן הפתרון \( a_{n} \) איכשהו כבר מקודד את כל הפתרונות הקודמים, בדומה לאופן שבו \( 1.4142 \) מקודד את כל הקירובים הקודמים של שורש 2. מן הסתם הסדרה \( a_{n} \) הזו לא נגמרת לעולם, כשם שסדרת הקירובים הרציונליים של \( \sqrt{2} \) שהצגתי לא נגמרת לעולם; אבל אם אפשר לחשוב על “מספר” ממשי, שאפילו מסומן בתור \( \sqrt{2} \), שמייצג את סדרת הקירובים הרציונליים כולה, למה לא לחשוב על מספר שמהווה גבול לסדרה \( a_{n} \) שלנו? אפשר להגדיר מספרים כאלו בדיוק באותו האופן שבו הגדרנו את המספרים הממשיים. ובכן, התשובה לשאלה “למה לא” היא פשוטה - אין סיבה לא לעשות זאת, ואכן עושים זאת, ולתוצאה, במקרה זה, קוראים מספרים \( 7 \)-אדיים.

מכיוון שכל הדיון הזה עסק במשוואה ספציפית, \( x^{2}\equiv2\left(\mbox{mod }7^{n}\right) \), התמונה הגדולה קצת התפספסה - מה התכונה המאפיינת של \( a_{n} \) שאינה קשורה למשוואה שאותה \( a_{n} \) באה לנסות ולפתור? ובכן, שמתקיים \( a_{n+1}\equiv a_{n}\left(\mbox{mod }7^{n}\right) \). אם כן, זה כל מה שנדרוש. הבה ונגדיר זאת פורמלית: שלם \( 7 \)-אדי הוא סדרה \( \left(a_{1},a_{2},\dots\right) \) שאבריה מקיימים \( a_{n+1}\equiv a_{n}\left(\mbox{mod }7^{n}\right) \). ובאופן כללי: סדרה שאבריה מקיימים \( a_{n+1}\equiv a_{n}\left(\mbox{mod }p^{n}\right) \) עבור ראשוני \( p \) כלשהו נקראת שלם p-אדי.

שימו לב שקראתי ליצור שהתקבל שלם p-אדי, ולא “מספר” p-אדי. הסיבה לכך היא שעדיין לא הגענו לסוף הסיפור. מן הסתם קבוצה של מספרים איננה מעניינת כל כך לכשעצמה - ברגע שמוגדרות עליה פעולות חשבון היא נהיית מעניינת יותר. הגדרת חיבור וכפל על השלמים ה-p-אדיים נובעת באופן די טבעי: \( \left(a_{1},a_{2},\dots\right)+\left(b_{1},b_{2},\dots\right)=\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots\right) \) ו-\( \left(a_{1},a_{2},\dots\right)\cdot\left(b_{1},b_{2},\dots\right)=\left(a_{1}\cdot b_{1},a_{2}\cdot b_{2},\dots\right) \) (לא קשה לראות שגם הסכום והמכפלה מקיימים את הדרישה משלם p-אדי). אם כן, השלמים ה-p-אדיים הם חוג; ומכיוון ש-\( \left(a,a,a,\dots\right) \) הוא שלם p-אדי, אפשר לחשוב עליהם כעל חוג שמרחיב את חוג השלמים.

כאשר נתקלים במתמטיקה בחוגי מספרים שכאלו אשר מרחיבים את השלמים, אחד מהגישושים הראשונים שמבצעים כדי להבין איך החוגים “נראים” הוא למצוא את ההכללה המתאימה למשפט היסודי של האריתמטיקה עבורם. עבור שלמים המשפט היסודי של האריתמטיקה אומר שכל מספר ניתן להצגה באופן יחיד כמכפלה של מספרים ראשוניים, עד כדי שינוי של הסדר שלהם והכפלה באיברים הפיכים (בשלמים ההפיכים היחידים הם \( 1,-1 \)). כך למשל את 15 ניתן להציג כ-\( 3\cdot5 \), אך גם כ-\( \left(-1\right)\cdot5\cdot\left(-1\right)\cdot3 \). די ברור ששתי ההצגות זהות באופן עקרוני.

בחלק מהחוגים שמרחיבים את השלמים המצב כבר לא כך כך נחמד. דוגמה פשוטה היא החוג \( \mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right] \), החוג שמתקבל מהשלמים על ידי הוספת \( \sqrt{-5} \) למשחק , כך שאברי החוג הם מהצורה \( a+b\sqrt{-5} \) עם \( a,b\in\mathbb{Z} \). זהו אמנם חוג, אך מתקיים בו \( 6=2\cdot3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right) \), וניתן לבדוק שכל האיברים שמופיעים בפירוקים הללו הם בעצם אי פריקים (“אי פריק” הוא המושג המעניין כאן ולא “ראשוני”; בחוג השלמים שני המושגים הללו מזדהים, ומכאן ה”בלבול” בשמות - לאיברים ראשוניים הגדרה וחשיבות משל עצמם). מצד אחד, זו תוצאה מצערת למדי (שחירבה לחלוטין הוכחה בת המאה ה-19 למשפט האחרון של פרמה). מצד שני, בעיה זו היוותה את הבסיס לתורת המספרים האלגברית - נושא שראוי בעצמו לפוסטים רבים, ולא אגע בו כעת.

למרבה המזל, בשלמים ה-p-אדיים המצב נחמד ופשוט מאוד: כל שלם p-אדי השונה מאפס ניתן להצגה בתור \( \alpha=p^{n}\varepsilon \), כאשר \( \varepsilon \) הוא שלם p-אדי הפיך. זה כמובן מעלה את השאלה מיהם האיברים ההפיכים; התשובה היא פשוטה ונחמדה בעצמה: כל שלם \( \left(a_{1},a_{2},\dots\right) \) שעבורו \( a_{1}\not\equiv0\left(\mbox{mod }p\right) \) (זה תרגיל נחמד להוכיח זאת). מכאן שלמשל, כל המספרים השלמים שאינם מתחלקים בידי \( p \) הם הפיכים בחוג השלמים ה-p-אדיים.

מכיוון שישנה הצגה כל כך פשוטה לשלמים ה-p-אדיים, לא קשה לראות בעזרתה שאין בחוג מה שנקרא “מחלקי אפס” - איברים שונים מאפס שמכפלתם היא 0 (למשל, בחוג \( \mathbb{Z}_{6} \), האיברים \( 2,3 \) הם מחלקי אפס כי מכפלתם היא אפס). ההוכחה פשוטה: מכפלה של שני שלמים היא מהצורה \( p^{n}\varepsilon_{1}\cdot p^{m}\varepsilon_{2}=p^{n+m}\left(\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}\right) \). אם זה שווה לאפס אפשר לכפול בהופכי של האיבר ההפיך \( \varepsilon_{1}\varepsilon_{2} \) ולקבל כי \( p^{n+m}=0 \) - סתירה.

כעת הגענו לפאנץ’: מכיוון שחוג השלמים הוא ללא מחלקי אפס, ניתן להרחיב אותו באופן כזה שלכל איבר יהיה הופכי, בדיוק באותו תהליך שבו משתמשים כדי לבנות את הרציונליים מתוך השלמים - תהליך של בניית שדה שברים של חוג (גם כאן, מדובר על תהליך סטנדרטי עבור חוגי הרחבה של השלמים). התוצאה מסומנת לרוב ב-\( \mathbb{Q}_{p} \) ונקראת, סוף סוף, “שדה המספרים ה-p-אדיים”. הבניה אינה נגמרת כאן - כשם ש-\( \mathbb{R} \) אינו סגור אלגברית (לא לכל פולינום יש שורש) והוא מורחב ל-\( \mathbb{C} \), גם את \( \mathbb{Q}_{p} \) ניתן להרחיב עוד; עם זאת, לא אציג זאת כאן (ההרחבה מסובכת יותר מההרחבה של \( \mathbb{R} \)).

אם כן, אלו הם, באופן בסיסי, המספרים ה-p-אדיים. לפני שאגיד משהו על השימוש שעושים בהם לפתרון משוואות דיופנטיות אציג אותם שוב, והפעם מזווית ראייה שונה. הבניה שהצגתי בפוסט הזה הייתה “אלגברית” במהותה - הגדרתי את המספרים באמצעות סדרות שמקיימות תכונה אלגברית כלשהי של שקילות מודולו חזקות של \( p \), ואת התוצאה הרחבתי לשדה באמצעות בניה אלגברית סטנדרטית. בפוסט הבא אראה איך אפשר להגיע אל המספרים ה-p-אדיים גם מכיוון שונה לגמרי - כיוון אנליטי (שגם הוא, בסופו של דבר, זהה באופיו לבניה של הממשיים מהרציונליים).