עוד כמה דברים על מספרים p-אדיים

בפוסטים הקודמים הצגתי שתי דרכים, כל אחת טבעית בדרכה שלה, להגיע אל אובייקט מוזר בשם “שדה המספרים ה-p-אדיים” (לכל ראשוני \( p \) יש שדה משלו). כעת אני רוצה לתאר כמה תכונות של היצור הזה כדי להיווכח שהוא אכן מוזר, וגם מעניין למדי.

נתחיל מהנורמה ה-p-אדית. כזכור, הגדרנו אותה על מספרים טבעיים באופן הבא: \( \|a\|_{p}=\frac{1}{p^{\mbox{ord}_{p}\left(a\right)}} \) כאשר \( \mbox{ord}_{p}\left(a\right) \) הוגדר להיות החזקה הגבוהה ביותר של \( p \) שמחלקת את \( a \) (למשל \( \mbox{ord}_{3}\left(54\right)=3 \) כי \( 3^{3} \) מחלק את 54 אבל לא \( 3^{4} \)). ההרחבה שלה למספרים רציונליים (ואחר כך לגבולות של סדרות של מספרים רציונליים) מתבצעת באופן “טבעי” כדי לשמור על התכונות הרצויות של נורמה (כפליות ורציפות). כזכור, אחת הדרישות שלנו מנורמה הייתה קיום סוג של אי שוויון המשולש: \( \|a+b\|_{p}\le\|a\|_{p}+\|b\|_{p} \). מסתבר שהנורמה ה-p-אדית מקיימת תכונה זו בצורה חזקה למדי. החשבון די פשוט: אם \( p^{n} \) מחלק את \( a \) ו-\( p^{m} \) מחלק את \( b \), ונניח ש-\( n<m \), אז \( p^{n} \) מחלק את \( a+b \), ולכן \( \|a+b\|_{p}\le\frac{1}{p^{n}} \) (ייתכן שאת \( a+b \) מחלקת חזקה גדולה יותר של \( p \), אבל אז הנורמה תהיה קטנה יותר מ-\( \frac{1}{p^{n}} \)). באופן כללי ניתן לתאר את האבחנה הזו כך: \( \|a+b\|_{p}\le\max\left\{ \|a\|_{p},\|b\|_{p}\right\} \). כלומר, הנורמה של סכום אינה יכולה להיות גדולה יותר מכל אחת מהנורמות של המחוברים (הסבירו לעצמכם מדוע תכונה זו גוררת מייד את אי שוויון המשולש “הרגיל”). לנורמות שמקיימות תכונה זו קוראים “נורמות לא ארכימדיות”. זה תרגיל לא קשה במיוחד להראות גם כשמרחיבים את הנורמה על כל הרציונליים התכונה הזו נשמרת.

כזכור, השתמשנו בנורמות כדי להגדיר מטריקות - פונקציות מרחק, באופן הבא: \( d\left(a,b\right)=\|a-b\| \). בלשון מטריקות, תכונת הלא-ארכימדיות מתורגמת באופן הבא: לכל \( x,y \) ו”נקודת ביניים” \( z \) מתקיים \( d\left(x,y\right)\le\max\left\{ d\left(x,z\right),d\left(z,y\right)\right\} \). במילים אחרות - אם פעם כל מה שאמרנו הוא שהדרך הישירה מ-\( x \) אל \( y \) היא יותר קצרה מכל טיול שעובר בנקודת ביניים \( z \), עכשיו אנחנו אומרים שהיא יותר קצרה אפילו מ”חצי טיול” שכזה! (כמובן שזה לא תיאור מדויק של מה שהולך שם). ההשלכה הראשונה של התכונה הזו היא שכל משולש בעולם שלנו הוא שווה שוקיים: נניח ש-\( a,b,c \) הן שלוש נקודות במרחב. אם \( d\left(a,b\right)=d\left(a,c\right) \) אז המשולש שהן קודקודיו הוא שווה שוקיים על פי הגדרה; לכן נניח ש-\( d\left(a,b\right)\ne d\left(a,c\right) \) ובפרט, בלי הגבלת הכלליות, אפשר להניח ש-\( d\left(a,b\right)>d\left(a,c\right) \) כעת, מהי \( d\left(b,c\right) \)? אנו יודעים כי \( d\left(b,c\right)\le\max\left\{ d\left(a,b\right),d\left(a,c\right)\right\} =d\left(a,b\right) \). מצד שני, \( d\left(a,b\right)\le\max\left\{ d\left(a,c\right),d\left(b,c\right)\right\} \), ומכיוון שידוע לנו שלא מתקיים \( d\left(a,b\right)\le d\left(a,c\right) \) אז בהכרח \( d\left(a,b\right)\le d\left(b,c\right) \). קיבלנו שכל אחד מהמספרים הללו קטן או שווה מהשני ולכן \( d\left(a,b\right)=d\left(b,c\right) \) - משולש שווה שוקיים.

בואו נעבור לתופעה משעשעת נוספת: ניקח נקודה \( a \) ומרחק \( r\in\mathbb{R} \) כלשהו, ונתבונן בקבוצה \( B\left(a,r\right)=\left\{ x|d\left(a,b\right)<r\right\} \) - לקבוצה הזו קוראים “הכדור הפתוח ברדיוס \( r \) סביב \( a \)” כעת בואו ניקח נקודה \( x\in B\left(a,r\right) \) כלשהי ונתבונן בכדור הפתוח ברדיוס \( r \) סביבה. את מה הוא מכיל? אם \( x\in B\left(a,r\right) \) אז \( d\left(a,x\right)<r \). מצד שני, \( d\left(b,x\right)\le\max\left\{ d\left(a,x\right),d\left(a,b\right)\right\} <r \) (כי שני האיברים שעליהם נלקח המקסימום קטנים מ-\( r \)) ולכן \( x\in B\left(b,r\right) \), כלומר \( B\left(a,r\right)\subseteq B\left(b,r\right) \). מאותו שיקול בדיוק \( B\left(b,r\right)\subseteq B\left(a,r\right) \), ולכן \( B\left(a,r\right)=B\left(b,r\right) \). מסקנה: לכל כדור פתוח מתקיימת התכונה שכל נקודה בתוכו יכולה לשמש בתור ה”מרכז” שלו!

הנה עוד תכונה מפתיעה של ה-p-אדיים שנוגעת לאנליזה בהם. תזכורת מהממשיים: הטור \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \) - “הטור ההרמוני” - הוא הדוגמה ה”קלאסית” לטור לא מתכנס (אפשר להראות שהוא גדל בערך באותו קצב כמו \( \ln n \) ככל שמחברים לו איברים). זו דוגמת נגד פשוטה לטענה שטור מתכנס אם האיבר הכללי שלו שואף לאפס - טענה שמייד חושבים עליה כששומעים לראשונה על כך שזהו תנאי הכרחי לכך שטור יתכנס. במחשבה נוספת, זה קריטריון שהוא כמעט טוב מכדי להיות אמיתי; ובמקומו יש המוני מבחני התכנסות שונים ומשונים.

ובכן, במספרים p-אדיים מה שטוב מכדי להיות אמיתי הוא אמיתי. הסיבה לכך היא פשוטה ביותר - שוב, תכונת הלא-ארכימדיות של הנורמה ה-p-אדית. אם אנו לוקחים שני סכומים חלקיים של הטור \( \sum a_{n} \), נאמר \( S_{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{i} \) ו-\( S_{m}=\sum_{i=1}^{m}a_{i} \) כש-\( n>m \), אז מקבלים שגודל ההפרש ביניהם מקיים \( \|S_{n}-S_{m}\|_{p}=\|a_{m+1}+\dots+a_{n}\|_{p}\le\max\left\{ \|a_{m+1}\|_{p},\dots,\|a_{n}\|_{p}\right\} \), ומכאן הוכחה שסדרת הסכומים החלקיים היא סדרת קושי היא תרגיל סטנדרטי בחדו”א.

נעבור כעת לתיאור של המספרים ה-p-אדיים שהוא שונה מהתיאורים שנתתי עד כה ונותן ככל הנראה את האינטואיציה הטובה ביותר לגבי האופן שבו הם “נראים” ואיך שחשבון מבוצע בהם. לפני כן, הבה נזכר איך כותבים מספרים ממשיים “רגילים”: כשאנו כותבים מספר כמו 123 בבסיס עשרוני, אנו מתכוונים למספר \( 1\cdot10^{2}+2\cdot10^{1}+3\cdot10^{0} \). כלומר, יש לנו סכום של חזקות של 10, כשהמקדם של כל חזקה הוא ספרה של המספר שלנו. ספרות שאחרי הנקודה מציינות חזקות שליליות: כך למשל 10.1 הוא המספר \( 1\cdot10^{1}+0\cdot10^{0}+1\cdot10^{-1} \). מספר ממשי יכול להיכתב כשיש אינסוף ספרות מימין לנקודה; כך למשל \( 0.333\dots \) מייצג את המספר \( 3\cdot10^{-1}+3\cdot10^{-2}+\dots \), שניתן גם לכתוב באופן מקוצר בתור \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{10^{n}} \), וחישוב שמשתמש בנוסחת הסכום של טור הנדסי יראה כי זהו אכן המספר \( \frac{1}{3} \) הישן והטוב. בדומה מקבלים גם כי \( 0.999\dots \) הוא בעצם 1.

נחזור למספרים p-אדיים. כזכור, ההגדרה ה”אלגברית” שלי עבור שלמים p-אדיים הייתה בתור סדרה \( a_{1},a_{2},\dots \) של מספרים טבעיים כך ש-\( a_{n+1}\equiv a_{n}\left(\mbox{mod }p^{n}\right) \). מבחינה אינטואיטיבית נכון לחשוב על זה בתור “סדרת קירובים” למספר, כמו ש-\( 1,1.4,1.41,1.414,\dots \) היא סדרת קירובים לשורש הממשי של 2. ניתן להראות (באופן מעט טכני אבל ממש לא מסובך) שעבור כל שלם p-אדי \( \alpha \) ניתן לבחור סדרה “קנונית” שדומה לסדרת הקירובים של שורש מבחינת גדלי האיברים בה - האיבר \( a_{n} \) יהיה מספר טבעי ששקול ל-\( \alpha \) מודולו \( p^{n} \) בטווח \( 0,\dots,p^{n}-1 \). אנו רוצים לומר משהו בסגנון “\( a_{n+1} \) הוא כמו \( a_{n} \) רק עם ספרה אחת נוספת”; כדי שזה יעבוד, צריך להציג את המספרים לא בבסיס 10 אלא בבסיס \( p \). כלומר, כותבים \( a_{n}=b_{0}\cdot p^{0}+b_{1}\cdot p^{1}+\dots+b_{n-1}p^{n-1} \) כשכל “ספרה” \( b_{i} \) היא מספר בין \( 0 \) ל-\( p-1 \); ומכיוון ש-\( a_{n+1}\equiv a_{n}\left(\mbox{mod }p^{n}\right) \) נובע חיש קל ש-\( a_{n+1}=b_{0}p^{0}+\dots+b_{n-1}p^{n-1}+b_{n}p^{n} \) כך ש-\( b_{0},\dots,b_{n-1} \) זהים לאלו שהיו ב-\( a_{n} \), ו-\( b_{n} \) היא “הספרה החדשה”. כעת אפשר לייצג את \( \alpha \) באופן הבא: \( \alpha=b_{0}p^{0}+b_{1}p^{1}+\dots \), כלומר על ידי סדרת הספרות האינסופית \( b_{0},b_{1},\dots \).

דוגמה פשוטה: המספר “שבע עשרה” יוצג בבסיס \( p \) כאשר \( p=7 \) בתור \( 23 \) (כי הוא שווה ל-\( 2\cdot7^{1}+3\cdot7^{0} \)). במקרה הזה הסדרה שלנו היא \( b_{0}=3,b_{1}=2,b_{2}=0,\dots \) וכן הלאה - כל הספרות החל מה-2 הן אפס ולכן לא כותבים אותן במפורש. לכל מספר טבעי זה יקרה - החל ממקום מסויים כל הספרות יהיו אפס ובינתיים לא קרה שום דבר מעניין.

אבל כעת הבה ונגדיר מספר \( \alpha \) באמצעות הסדרה \( a_{n}=1+p+\dots+p^{n} \). קל לבדוק שזוהי אכן סדרה חוקית שמקיימת את התנאי שאנו דורשים, ובמקרה הזה נקבל את סדרת הספרות \( b_{n}=1 \) לכל \( n \). כלומר, המספר שלנו נכתב כך: \( \dots111 \). במילים אחרות, זהו מספר בעל פיתוח אינסופי לשמאל, במקום לימין. אין כאן בעיה רעיונית שכן הטור \( \sum_{n=0}^{\infty}p^{n} \) שמגדיר את המספר הוא טור מתכנס במספרים p-אדיים (כי \( p^{n} \) הוא קטן יותר על פי הנורמה ה-p-אדית ככל ש-\( n \) גדול יותר; להוכחה פורמלית של התכנסות הטור אפשר להראות שסדרת הסכומים החלקיים היא סדרת קושי).

איך עובד חשבון במספרים p-אדיים? בדיוק כמו חשבון “רגיל” - ספרה ספרה. כך למשל \( \dots111+\dots111=\dots222 \). לדוגמה יותר מעניינת הבה נניח ש-\( p=3 \) ונתבונן במכפלה \( \dots1112\cdot2 \). אם נכפול את שני המספרים בשיטת בית הספר נגלה שהתבנית קבועה - כפול של \( 2 \) ב-\( 2 \) נותן \( 4 \), ומאחר ואנו בבסיס \( p=3 \) אז התוצאה היא הספרה \( 1 \) ועוד יתרה של \( 1 \) שאותה “מעבירים הלאה” למכפלה הבאה; ומכאן ואילך נקבל \( 2\cdot1+1=3 \), שמתורגם לספרה 0 ועוד יתרה של 1, ואותה יתרה תביא לכך שגם בהכפלת \( 2 \) ב-\( 1 \) הבא בתור נקבל ספרה 0 ויתרה 1, וכו’ וכו’ עד אינסוף - היתרה “נדחקת לאינסוף” עד שהיא “נעלמת” ואנו מקבלים שתוצאת הכפל היא \( 1 \) (או יותר מדוייק, \( \dots0001 \)). במילים אחרות, \( \dots1112 \) הוא ההופכי של \( 2 \) בחוג השלמים ה-3-אדיים - האיבר המקביל לחצי בשדה המספרים הרציונליים ה”רגילים” (תרגיל למתקדמים: להראות ש-\( \dots1112 \) אכן זהה למספר \( \frac{1}{2} \), כשבונים את ה-3-אדיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים - כלומר, שהסדרה הקבועה \( \frac{1}{2},\frac{1}{2},\dots \) והסדרה שמגדירה את \( \dots1112 \) מתכנסות לאותו גבול - או במילים אחרות, ההפרש ביניהן שואף לאפס).

עד כה דיברתי על שלמים p-אדיים (וכפי שראינו, מכיוון שגם חצי הוא שלם 3-אדי, המילה “שלם” כאן היא במובן רחב יותר מזה ה”רגיל”). מספרים p-אדיים כלליים ניתנים לתיאור בתור \( p^{n}\varepsilon \) כאשר \( \varepsilon \) הוא שלם p-אדי הפיך, ומכך נובע שההצגה ה”כללית” של מספרים p-אדיים היא בתור ביטוי בבסיס \( p \) שיכול להכיל אינסוף ספרות משמאל לנקודה, אבל רק מספר סופי מימין לה. למשל \( \dots1112.12121 \). שימו לב להיפוך - במספרים ממשיים אינסוף הספרות היו מימין לנקודה. שוב, ההבדל נובע מכך שבמספרים ממשיים, הספרות שמימין לנקודה ייצגו מספרים שהגודל שלהם (הנורמה שלהם) הלך וקטן; במספרים p-אדיים הגודל הולך וקטן דווקא כשהולכים שמאלה.

מבלבל? לא אינטואיטיבי? בהחלט. ולכן זה גם מרתק כל כך. הסיבה שדחיתי את הצגת התיאור הזה לשלב הזה של העיסוק ב-p-אדיים (למרות שאפשר להתחיל ממנו) היא שהיה חשוב לי להדגיש שהמספרים הללו, על אופן התיאור הלא אינטואיטיבי והמפתיע הזה שלהם, נובעים בצורה טבעית לחלוטין. הדבר משול להליכה בפארק טבע חדש - יתגלו בו לבטח צמחים משונים ומוזרים, אך לא יהיה ספק בכך שהם תוצר של הטבע ולא מעשה ידי אדם. זהו גם סוג ההרפתקאה שאליה יוצא המתמטיקאי.