הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל

כשאומרים “נוסחת אוילר”, לרוב מתכוונים לנוסחה \( e^{\pi i}+1=0 \), או לניסוח הכללי שלה, \( e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta \). לעתים רחוקות יותר מדברים על הנוסחה \( V-E+F=2 \), וקצת חבל, כי זוהי נוסחה יפה כמעט באותה מידה - נוסחה שמצביעה על גישה שונה שנקט אוילר ביחס לבעיות שעסקו בהן כבר היוונים הקדמונים, ומצביעה על תובנה שחמקה מעיני המתמטיקה במשך אלפיים שנים לערך - ונוסחה שממחישה איך אוילר היה אבי הטופולוגיה. אז מהי הנוסחה ומה היא אומרת? ניסוח נפוץ בימינו של הנוסחה עוסק בגרפים מישוריים, אך במקור אוילר דיבר על פאונים קמורים, ולכן צריך ראשית כל להציג אותם.

מצולע הוא צורה מישורית שמצויירת בתור קו שבור סגור שאינו חותך את עצמו (אוסף של קווים ישרים המחוברים לזה לזה ואינם חותכים זה את זה). למשל - משולש, ריבוע, מחומש וכן הלאה (השם מעיד על מספר הצלעות של המצולע). הרעיון ניתן להכללה באופן פשוט לשלושה ממדים: פאון הוא אוסף של מצולעים שמודבקים זה על זה באופן מסויים. ההגדרה של “מסויים” באופן מדוייק היא בעייתית למדי כאן ואסתפק באינטואיציה שמתארת את היצורים שמעניינים אותי בפוסט הזה, פאונים קמורים: המטרה היא ליצור גוף דמוי קוביה, במובן זה שכל פאה מוקפת מכל צדדיה בפאות אחרות ואין “חורים” במעטפת של הפאון; והקמירות באה לידי ביטוי בכך שהקו הישר בין כל שתי נקודות על המעטפת עובר כולו “בתוך” הפאון. ההמחשה הטובה ביותר היא, כמובן, תמונה.

פאונים נחקרו על ידי היוונים הקדמונים, שהמתמטיקה שלהם הייתה בראש ובראשונה גאומטריה. מבין כל הפאונים, עניין מיוחד היה שמור אצלם לפאונים שזכו לכינוי “משוכללים”. ראשית, מצולע משוכלל הוא מצולע שבו כל הצלעות מאותו הגודל, וכל הזוויות מאותו גודל. כך למשל ריבוע הוא מצולע משוכלל, אך מעוין (שבו כל הצלעות מאותו גודל אך הזווית לא) איננו, ומלבן (שבו כל הזוויות הן מאותו גודל אך לא הצלעות) איננו. לא קשה להראות שלכל \( n\ge3 \) יש בדיוק מצולע משוכלל אחד בעל \( n \) צלעות.

פאון משוכלל הוא הרחבה של הרעיון באופן טבעי. אפשר לסכם את רשימת הדרישות ממנו כך:

1. הוא מהווה פאון קמור (הקמירות חשובה כאן - אם מוותרים עליה, כל מה שנגיד בהמשך לא בדיוק נכון. עם זאת, מכאן ואילך לא אתייחס אליה במפורש).
2. כל פאה שלו היא מצולע משוכלל, וכל הפאות שלו הן אותו מצולע משוכלל (אותו גודל, אותו מספר צלעות).
3. כל קודקוד של המצולע נמצא על אותו מספר פאות (קודקוד הוא "שפיץ" - מקום שבו שלוש או יותר פאות נפגשות).

במובן מסויים אלו הן הצורות התלת-ממדיות הסימטריות ביותר האפשריות. מייד נשאלת השאלה - מי הן, ואיך הן נראות?

ובכן, יש את הקוביה שכולנו מכירים. יש את הטטרהדרון - פירמידה בעלת בסיס משולש (אם הבסיס היה מרובע, הצורה לא הייתה פאון משוכלל, שכן הבסיס היה פאה השונה מהותית משאר הפאות, שהן משולשים). הצורות האחרות אולי מוכרות פחות: האוקטהדרון נראה כמו שתי פירמידות מרובעות שהרכיבו זו על זו - שמונה פאות שהן משולשים. הדודקהדרון הוא בעל 12 פאות שכל אחת מהן היא מחומש; והאיקוסהדרון מורכב מ-20 פאות שכולן משולשים. שחקני מבוכים ודרקונים ומשחקי תפקידים דומים ככל הנראה מכירים היטב את כל הפאונים הללו, שכן משתמשים בהם כקוביות משחק, בנוסף לפאון בעל 10 פאות שאיננו משוכלל (כל פאה שלו היא דלתון, שאיננו מצולע משוכלל).

והאם יש עוד פאונים משוכללים? ובכן, לא. מי שהוכיח זאת לראשונה היה היווני תאיטיטוס, שהיה אחד מתלמידיו של אפלטון. הוא לא גילה את הפאונים הקיימים לראשונה (חלקם היו מוכרים כבר בתרבויות מוקדמות בהרבה) אך הוא ככל הנראה הראשון שחקר אותם באופן שיטתי - וכאמור, הוכיח שאין עוד. אפלטון עצמו התלהב עד מאוד מהפאונים המשוכללים וביסס עליהם את התיאוריה שלו לגבי מבנה החומר - לכל אחד מהיסודות (מים, אוויר, אש, אדמה) הוא התאים את אחד מהפאונים (הדודקהדרון נותר בחוץ, ויותר מאוחר יוחס ליסוד החמישי - האתר). בשל כך הפאונים המשוכללים זכו גם לשם נוסף - הגופים האפלטוניים (Platonic Solids).

ההוכחה של תאיטיטוס מתבססת על טיעון לא מסובך במיוחד הנוגע לזווית, אך אני רוצה להימנע ממנו לחלוטין ולעסוק במקום זאת בדרך שונה לתקוף את הבעיה - הדרך של אוילר, שמקפיצה אותנו בערך אלפיים שנה קדימה (בדרך אנחנו פוסחים לחלוטין על קפלר, שהיה ככל הנראה התורם החשוב ביותר מאז היוונים לחקר פאונים באופן כללי, וגם ביסס את אחד מהמודלים המוקדמים שלו של מערכת השמש על הגופים האפלטוניים - אולי בפעם אחרת).

התגלית של אוילר תוארה במכתב שלו לידידו גולדבך (מהשערת גולדבך - שגם היא תוצאה של התכתבות של אוילר עם גולדבך, ולמעשה לניסוח הסופי של ההשערה אחראי אוילר, שחיזק השערה פשוטה יותר של גולדבך) שעסק באופן כללי בפאונים ובתכונותיהם. אוילר ניסה לסווג פאונים ולחפש תכונות משותפות שפאונים מקיימים, וההברקה שלו הייתה הרעיון לספור לא רק את הפאות של הפאון, אלא גם את הקודקודים שלו, וגם את הצלעות שלו. צלע היא נקודת המפגש בין שתי פאות; עד לאוילר לא חשבו עליה כיצור בעל חיים עצמאיים.

הגישה של אוילר היא די טבעית במובן מסויים: פאון הוא גוף תלת ממדי, שבנוי מגופים דו ממדיים (המצולעים שמהווים פאות). נקודת המפגש בין כל שני גופים דו ממדיים שכאלו היא יצור חד-ממדי (הצלעות) והמפגש בין כל שני יצורים חד-ממדיים הוא יצור אפס-ממדי (קודקוד). הרעיון של אוילר היה לא להתעלם מאף מימד, והתוצאה הייתה רווחית ביותר. אם נסמן את מספר הקודקודים של הפאון ב-\( V \), את מספר הצלעות ב-\( E \) ואת מספר הפאות ב-\( F \), אז מה שאוילר שם לב אליו הוא שמתקיים, לכל פאון שהוא בדק, ש-\( V-E+F=2 \). בויכוח על האם המתמטיקה מתגלית או מומצאת, זו דוגמה נאה במיוחד לקשר שבין שני המושגים: אין ספק שהנוסחה הזו התגלתה על ידי אוילר, ואפילו באמצעות חקירה אמפירית; אבל הרעיון לספור בנפרד את הפאות, הצלעות והקודקודים הוא ללא ספק המצאה של אוילר. מרגע שהומצאה הטרמינולוגיה הנכונה והיה ברור “איפה צריך להסתכל”, נחשף לאוויר העולם הקשר שהיה קיים תמיד והיה צריך לגלות.

אוילר לא הצליח להוכיח את הנוסחה באותו מכתב לגולדבך - נדרש לו עוד זמן מה עד שהגיע להוכחה, וגם בה היו כמה בעיות (באופן כללי בזמנו של אוילר עוד לא הייתה הקפדה על הוכחות כשם שיש כיום במתמטיקה). מאז ניתנו לנוסחה עוד הוכחות רבות, ואיני רוצה להציג כרגע אף אחת מהן. תחת זאת אני רוצה להראות כיצד הנוסחה מוכיחה חיש קל כי ישנם רק חמישה גופים אפלטוניים. למעשה, כפי שנראה, הנוסחה לא לוקחת אותנו לאורך כל הדרך וצריך לבצע עוד טיעון גאומטרי אחד או שניים, אבל את הרעיון המרכזי הנוסחה אוכלת בלי מלח.

עלינו לשאול את עצמו מה מאפיין גוף אפלטוני. ברור שמאפיין אחד הוא סוג המצולע שמשמש בתור פאה - זה חייב להיות מצולע משוכלל, אבל אנחנו יכולים לשחק עם מספר הצלעות שלו, שנסמן \( n \). עבור הטטרהדרון \( n=3 \); עבור הקוביה \( n=4 \); עבור הדודקהדרון, \( n=5 \); אבל עבור האוקטהדרון והאיקוסהדרון גם כן מתקיים \( n=3 \), כך שברור שזהות המצולע עצמו לא קובעת באופן יחיד את הגוף האפלטוני. צריך קריטריון נוסף.

הקריטריון הנוסף הוא מספר הפאות שנפגשות בכל קודקוד. בטטרהדרון בכל קודקוד נפגשות שלוש פאות; באוקטהדרון נפגשות ארבע; ובאיקוסהדרון נפגשות חמש. נסמן את המספר הזה בתור \( k \). תצטרכו להאמין לי שהזוג \( \left(n,k\right) \) קובע באופן מוחלט איך הפאון המשוכלל אמור להיראות - כלומר, שכל שני פאונים משוכללים שהפאה שלהם היא מצולע משוכלל בעל \( n \) צלעות ושבכל קודקוד שלהם נפגשות \( k \) פאות הם למעשה אותו פאון בדיוק. אם אתם מאמינים לכך, כל מה שנותר לעשות הוא לבדוק אילו זוגות \( \left(n,k\right) \) בכלל יכולים להתקבל במציאות.

וכאן נכנסת נוסחת אוילר לתמונה, יחד עם מספר טיעונים קומבינטוריים פשוטים. הבה ונקבע זוג \( \left(n,k\right) \) וננסה להבין מה נובע מכך על \( V,E,F \). ראשית, כל פאה תורמת \( n \) צלעות לקבוצת הצלעות של הפאון, אך צריך לשים לב לכך שכל צלע נספרת פעמיים שכן כל צלע נמצאת על שתי פאות שונות (צלע, כזכור, היא איזור מפגש בין שתי פאות). לכן מתקיים הקשר \( E=\frac{nF}{2} \). כמו כן, כל פאה תורמת \( n \) קודקודים לקבוצת הקודקודים של הפאון (זכרו - מספר הצלעות והקודקודים של מצולע הוא זהה - למה?), אבל כל קודקוד נספר \( k \) פעמים באופן הזה. לכן מתקיים הקשר \( V=\frac{nF}{k} \). אם נציב את הערכים הללו בנוסחת אוילר נקבל \( \frac{nF}{k}-\frac{nF}{2}+F=2 \), כלומר \( F\left(\frac{n}{k}-\frac{n}{2}+1\right)=2 \), כלומר \( F\left(\frac{2n-kn+2k}{2k}\right)=2 \), כלומר \( F=\frac{4k}{2n-kn+2k} \).

עכשיו, \( F \) הוא מספר טבעי, שערכו לפחות 3 (כי בפאון לא יכולות להיות רק שתי פאות - כדי שהוא יהיה סגור יהיה הכרחי “לעקם” את הפאות לשם כך). לכן הצטמצמנו לשאלה עבור אילו ערכים טבעיים של \( n,k \), המספר \( \frac{4k}{2n-kn+2k} \) הוא מספר שלם גדול מ-3. זו דוגמה קלאסית למשוואה דיופנטית, אך לא משוואה קשה במיוחד, אף שהיא עשויה להיראות מעט מפחיד בהתחלה. האינטואיציה היא ש-\( kn \) גדל מהר מאוד ביחס לשני האיברים האחרים במכנה, שאפשר לכתוב בקיצור \( 2\left(n+k\right) \); ואם \( -kn \) שבמכנה גדול מדי, נקבל מספר שלילי והמשחק נגמר. יותר מכך, אנחנו יודעים שמתקיים \( n,k\ge3 \) בגלל המשמעות הגאומטרית שלהם - \( k \) הוא מספר הפאות שנפגשות בכל קודקוד, ובכל קודקוד חייבות להיפגש לפחות שלוש פאות (למה? שוב, שיקולים גאומטריים), ו-\( n \) הוא מספר הצלעות של כל פאה, ולמצולע חייבות להיות לפחות שלוש צלעות (למה? שוב, שיקולים גאומטריים). לכן חיפוש ממצה על מרחב כל הפתרונות הסבירים יהיה עניין קצר מאוד.

נתחיל מבדיקת כל הערכים האפשריים של \( n \) אם \( k=3 \): במקרה זה נקבל \( F=\frac{12}{2n-3n+6}=\frac{12}{6-n} \). ברור מהמשוואה הזו שהערכים הלגיטימיים היחידים של \( n \) הם \( 3,4,5 \); (\( 2 \) לא לגיטימי כי \( n\ge3 \)). אם \( k=4 \) נקבל \( F=\frac{16}{8-2n} \) ולכן הערך הלגיטימי היחיד של \( n \) הוא \( 3 \); ואם \( k=5 \) נקבל \( F=\frac{20}{10-3n} \) וגם כאן \( n \) יכול להיות רק 3; ואילו עבור \( k=6 \) נקבל כבר \( F=\frac{24}{12-4n} \) ועבור \( n\ge3 \) נקבל מספר לא חיובי במכנה, וכך יקרה גם לכל ערך גדול יותר של \( k \). סוף המשחק.

לסיכום, קיבלנו שהזוגות האפשריים היחידים הם \( \left(3,3\right),\left(4,3\right),\left(5,3\right),\left(3,4\right),\left(3,5\right) \), והם מגדירים בדיוק את הגופים האפלטוניים - זה משחק פשוט וחביב לבדוק איזה זוג מגדיר כל גוף ומה \( F \) עבורו.

מה שיפה בהוכחה הזו היא שהיא הייתה מאוד לא גאומטרית באופיה; השתמשנו בכמה שיקולים גאומטריים בלתי נמנעים (למשל, אלו שהובילו לכך ש-\( n,k\ge3 \)), אבל הגאומטריה שלנו הייתה מאוד “גמישה” - לא התייחסנו לזוויות שהפאות יוצרות זו עם זו או לגודל של כל פאה - רק לקשרים ביניהן - אילו פאות “קרובות” לאילו פאות אחרות, כמה פאות נפגשות בכל נקודת מפגש, וכדומה. קשה לקרוא לדבר הזה גאומטריה (זוויות ומרחקים הם מרכיבים קריטיים בכל הגאומטריות) ואכן, התוצאה הזו של אוילר נחשבת לאחת מאבני הדרך הראשונות בהולדתה של הטופולוגיה (תוצאה נוספת של אוילר, על מסלולים אוילריים בגרף, גם היא נחשבת למבשרת של הטופולוגיה - ראוי לציין כי אוילר לא המציא את מושג הגרף ולא ניסח את הפתרון שלו לבעיה באמצעות גרפים אלא באופן “טופולוגי” יותר).

הצגתי את הנוסחה עבור פאונים, אבל קרוב לודאי שלפחות חלק מהקוראים שכבר שמעו עליה, שמעו עליה דווקא בהקשר של גרפים מישוריים (וגם אני הזכרתי אותה פעם בהקשר זה, כשדיברתי על קריטריון להכרעה אילו גרפים הם מישוריים). הקשר בין השניים הוא מיידי - אפשר לקחת כל פאון, לנקב חור באחת מהפאות, “לקרוע” את הפוליגון ולשטח אותו על הרצפה, והתוצאה שתתקבל תהיה גרף מישורי (כשהפאה שנוקבה היא הפאה “האינסופית” שמקיפה את הגרף). דרך קצת פחות ברברית לעשות זאת היא לקבוע נקודה על הפאון שתשמש בתור “קוטב”, ולהעביר קרניים מהקוטב אל הרצפה. באופן הזה כל נקודה על הרצפה מותאמת באופן יחיד לנקודה על הפאון - הנקודה שבה הקרן חתכה את הפאון (רק לקוטב אין נקודה מתאימה). לדבר שכזה קוראים “הטלה סטריאוגרפית”. גם התהליך ההפוך אפשרי - מגרף מישורי לפאון - ולכן אין הבדל מהותי בין הנוסחה עבור פאונים והנוסחה עבור גרפים מישוריים.

למעשה, אפשר לחשוב על נוסחת אוילר בתור מקרה פרטי של מאפיין כללי של משטחים. אפשר לשאול את עצמנו באופן כללי מהו \( V-E+F \) עבור משטח (שיש בו מושג של קודקודים, צלעות ופאות…), גם כזה שאיננו של פאון קמור. התוצאה שנקבל לא תהיה בהכרח 2, אבל היא תהיה זהה לכל זוג משטחים שהם הומיאומורפיים - כלומר, שקולים מבחינה טופולוגית (להגדרה המדוייקת לא אכנס כעת). כלומר, קיבלנו אינוריאנטה של משטחים - וזה אחד מהדברים המרכזיים שהעוסקים בטופולוגיה מחפשים, שכן אינוריאנטות שכאלו עוזרות לסווג מרחבים טופולוגיים. בעיה קשה ומרכזית בטופולוגיה היא הבעיה הבאה: בהינתן שני מרחבים טופולוגיים, יש לקבוע האם הם אינם הומיאומורפיים. אין לבעיה פתרונות פשוטים, ושיטת הפתרון הנפוצה היא לחפש אינוריאנטה שיש לאחד מהמרחבים ולשני אין. לאינוריאנטה שעולה ממשפט אוילר קוראים מאפיין אוילר.

לסיום, תרגיל חביב שדומה באופיו להוכחה שראינו קודם לכך שיש רק חמישה גופים אפלוטניים - כדורגל. כדורגל “סטנדרטי” הוא פאון קמור שפאותיו הן מחומשים ומשושים (כל זוג מחומשים זהה זה לזה, וכך גם כל זוג משושים). קריטריון אחד בבניה של הכדורגל הוא שבכל קודקוד נפגשים בדיוק שני משושים ומחומש אחד. מהנתונים הללו ניתן להסיק במדוייק את מספר המחומשים והמשושים מהם מורכב הכדורגל - מהו? (ואתגר נוסף - נסתכל על פאון קמור כלשהו שמורכב ממחומשים וממשושים - הראו שמספר המחומשים בו קבוע, בלי תלות במספר המשושים). בהצלחה!