יום פאי שמח!

ה-14 במרץ זכה לשם המגוחך “יום פאי” בגלל ש-\( \pi \) מתחיל בספרות \( 3.14 \). לרוב נהוג לחגוג את היום הזה בזלילות של פאי (שעליו ציור של \( \pi \)), אך אני אנצל אותו כדי להעלות פוסט העוסק, איך לא, בפאי. ספציפית, באופן שבו פאי צץ במתמטיקה באופן לחלוטין לא קשור להקשר המקורי שבו מדובר על פאי (ההקשר הגיאומטרי של מעגל). אני מזהיר מראש שבחלק שבו אעסוק במתמטיקה עצמה, המתמטיקה תהיה טכנית למדי; אך אני חושב שדווקא כדאי לבחון קצת גם חישובים טכניים, כל עוד יש מאחוריהם רעיונות מעניינים - בלי לעשות זאת מפספסים חלק מהותי מהמתמטיקה.

המוטיבציה שלי מגיעה בראש ובראשונה מספר מדע בדיוני שלא אפרט את שמו (אלא אם תלחצו על הלינק…), שכן אני עומד לגלות פריט עלילה חשוב ממנו - אם כי לטעמי, זניח ביחס לדברים המעניינים באמת שיש באותו ספר. לקראת סוף הספר “מתגלה” כי אם רושמים את ספרות פאי בבסיס 11, הרי שבנקודה כלשהי בפיתוח (בסביבות המקום ה-\( 10^{20} \), אם אני זוכר נכון; להמחשה, השיא העולמי כיום עומד על סביבות ה-\( 10^{12} \) ספרות, כך שאנחנו ממש לא קרובים לשם) מגיעה סדרה של אפסים ואחדות בלבד, שאם מסדרים אותה כריבוע, מתגלה ציור פרימיטיבי של עיגול. הדבר הזה מפורש על ידי הדמויות בספר כחתימה של יוצר היקום על הבריאה, מה שאותי הרגיז מאוד - לא בגלל המסר הדתי (הגישה של הספר לנושאי דת ואמונה דווקא סבירה בעיני) אלא בגלל השימוש הלא נאות בפאי, לטעמי (וכאן המקום להעיר שאהבתי מאוד את הספר, ורק הנקודה הזו פגמה מעט בהנאה).

כמובן שהבעיה אינה עם כך שהסופר החליט להמציא את קיום הרצף המוזר הזה בפאי. הבעיה אפילו אינה עם כך שסביר להניח שכל רצף שרק נרצה של ספרות יופיע מתישהו בפיתוח של פאי (הניסוח המדוייק של ההשערה הזו אומר כי פאי הוא מספר נורמלי - כאמור, טרם הוכיחו זאת) - בסופו של דבר, אפשר להתייחס למקום ה-\( 10^{20} \)כמקום “מוקדם מאוד” בפיתוח ולכן הופעה אקראית של ציור שכזה בשלב זה היא מאוד לא סבירה הסתברותית (וכאן המקום להעיר שבאופן מפתיע ביותר, במקום ה-762 בפאי מתחיל רצף של לא פחות משישה מופעים רצופים של הספרה 9 - גם כן משהו לחלוטין לא סביר; ריצ'ארד פיינמן התבדח כי הוא רוצה לשנן את כל הספרות של פאי עד לנקודה זו רק כדי שיוכל לצטט אותם ולסיים ב”תשע, תשע, תשע, תשע, תשע, תשע וכן הלאה”, כלומר לרמוז שפאי מסתיים ב-\( 999\dots \) ולכן הוא רציונלי). הבעיה שלי היא בכך שאני לא מאמין בשום צורה שאל כלשהו מסוגל לשלוט ולו במופע של ספרה אחת בפיתוח של פאי. על כן, גם אם רצף כזה יתגלה במציאות, התגובה שלי לכך תהיה “מגניב!”, אבל לא אראה זאת כקשור במאום לאל כלשהו.

כמובן, אפשר להציג לטיעון שלי התנגדויות מכאן ועד להודעה חדשה, ואיני טוען שניתן להוכיח אותו. יש התנגדויות-עוקפות-בעיה כמו זו שאלוהים יכול לגרום לנו “להאמין” שהרצף הזה נמצא בפאי, או לגרום למחשב שמציג אותו “להתבלבל” וכדומה, אבל אלו טיעונים משעממים משהו. טיעונים יותר מעניינים, וכאלו שמובילים אותי לנושא שעליו אני רוצה לדבר, מתייחסים לכך שאם היקום היה שונה, גם פאי היה שונה. כאן מתחילה המהומה, וכאן פאי נקלע לצרה בגלל הגדרתו ה”קלאסית”, הגאומטרית.

כזכור, פאי מוגדר בתור היחס בין היקף מעגל לקוטרו. זו הגדרה מאוד גרועה. מה זאת אומרת “היקף מעגל”? איזה מעגל? ואם מעגל כלשהו, למה היחס בין היקף המעגל לקוטרו תמיד קבוע? ואיך מודדים היקף? והכי חשוב - מעגל איפה?

כי דא עקא, בגאומטריות הלא-אוקלידיות, היחס בין היקף המעגל לקוטרו כלל לא קבוע. ואולי הגאומטריה של היקום שלנו היא לא-אוקלידית, ואז מה? לכאורה אלוהים יכול לשלוט על פאי על ידי כך שישנה את הגאומטריה של היקום. זו אמנם דרך מאוד, מאוד מוזרה להכניס לתוכו מסר (ולמעשה, לא ברור עד כמה ניתן לבצע שינויים “מהונדסים”בפאי שיגרמו למסר להיכנס לתוכו), אבל אי אפשר לפסול אותה מיידית - אלמלא פאי כלל לא היה מוגדר כך. פאי מוגדר במפורש כיחס בין היקף המעגל וקוטרו בגאומטריה האוקלידית, בה הוא קבוע בלי תלות במעגל. אלא שההגדרה הזו היא בעייתית מאוד לטעמי, בגלל הקישור החזק שהיא יוצרת בין פאי ובין האובייקט הגאומטרי של המעגל; והרי כל העניין בפאי נובע מכך שהוא מופיע במקומות רבים ושונים במתמטיקה בלי תלות במוצא הגאומטרי הזה. למעשה, הספר יורה לעצמו ברגל בנקודה הזו - המסר בפאי אמור להיות “אוניברסלי”, אבל הוא מתבסס על ההנחה שמי שמכיר את פאי, מכיר אותו דווקא מתוך ההקשר המעגלי, ושהוא מצייר מעגלים באותו אופן כמו בני האדם - הנחות מאוד לא סבירות.

הדרך ה”נכונה” להציג את האוניברסליות של פאי היא לדבר על פונקציות הסינוס והקוסינוס, ולהסביר כיצד הן נובעות באופן “טבעי” במתמטיקה, בלי קשר למוצא הגאומטרי שלהן (כזכור, הפונקציות הללו מוגדרות באופן גאומטרי, באמצעות משולשים ישרי זווית - אך שוב, זו אינה ההגדרה ה”נכונה”) אך זה יקח אותי לדיון על משוואות דיפרנציאליות שאני מעדיף להימנע ממנו כעת (אף כי אני מקווה לכתוב פוסט בעניין בעתיד). תחת זאת, אציג מקום אחר שבו (בעקבות הקשר החזק של פאי לסינוס) פאי צץ - פונקצית הזטה של רימן. מה שאני רוצה להציג בחלקו המתמטי של הפוסט הזה הוא שתי הוכחות לכך ש-\( \zeta\left(2\right)=\frac{\pi^{2}}{6} \); הוכחה אחת של אוילר תהיה נפנוף-ידיימית למדי במהותה, אך יפה; והשניה, שתתבסס על אנליזת פורייה, היא יותר סטנדרטית ויותר קצרה, אך דורשת חומר רקע שלא אוכל להרחיב עליו כאן ולכן אשמור אותה לסוף.

תזכורת קצרה: \( \zeta \) מוגדרת על מספרים ממשיים גדולים מ-1 באופן הבא: \( \zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} \). קיימת הרחבה של הפונקציה לכל המספרים המרוכבים, אך זה לא רלוונטי לדיון הנוכחי - כמו שכבר הבנתם, השתמשתי במילים “פונקצית הזטה של רימן” רק כדי לתת שם מפוצץ לטור שאני הולך לחשב, \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} \) (מה לעשות, כל דבר שיש בו את פונקצית הזטה של רימן הופך לסקסי - מתמטית - פי עשרים).

אין שיטה כללית יעילה לחישוב מדוייק של סכום טורים; לכל טור השיטות האד-הוקיות שלו, וכך גם במקרה שלפנינו. התעלול שאוילר נקט בו היה מקסים למדי, ומזכיר את התעלול שבאמצעותו הוא השתמש בפונקצית הזטה של רימן כדי להוכיח את קיומם של אינסוף ראשוניים.

הבסיס להוכחה של אוילר הוא פונקצית הסינוס, ומכאן גם פאי נכנס לתמונה באופן טבעי. בהגדרתו ה”נאיבית”, סינוס של זווית \( \theta \) מוגדר בתור היחס בין הצלע שמול הזווית ובין היתר במשולש ישר זווית. הגדרה זו מוכללת עם קצת עבודה לכל מספר ממשי \( x \) (שמייצג את גודל הזווית ברדיאנים), אבל כדי לחסוך את כאב הראש מתמטיקאים לרוב מגדירים את סינוס בלי שום גאומטריה, באמצעות הטור \( \sin\left(x\right)=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\dots \).

מה שרלוונטי עבורנו הוא הערכים שבהם סינוס מתאפס. סינוס היא פונקציה מחזורית, שמתחילה ב-0, עולה עד ל-1, יורדת עד ל-\( -1 \), ואז חוזרת ל-0. כל מחזור כזה אורכו בדיוק \( 2\pi \), וסינוס עובר בנקודה 0 גם במחצית המחזור (כשהוא יורד מ-\( 1 \) אל \( -1 \)). כלומר, סינוס מתאפס בדיוק בנקודות שהן כפולה שלמה של פאי: \( 0,\pm\pi,\pm2\pi,\dots \) . כעת מגיע נפנוף הידיים המטורלל - מה שנעשה יהיה להציג את סינוס בתור מכפלה של גורמים מהצורה \( \left(1-\frac{x}{n\pi}\right) \), כלומר בתור מעין מכפלה של גורמים שתלויים בשורשים שלו.

ההגיון כאן מגיע מהתכונה הדומה עבור פולינומים. כל פולינום \( a_{n}x^{n}+\dots+a_{1}x+a_{0} \) ניתן לכתוב גם בתור מכפלה של גורמים \( a_{n}\left(x-\alpha_{1}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right) \) כאשר ה-\( \alpha_{i} \) הם השורשים שלו (הנקודות שבהן הוא מתאפס). המכפלה הזו סופית ולכן אין איתה בעיה; אך עבור סינוס מדובר ב”פולינום אינסופי” שיש לו אינסוף שורשים, ולכן הרבה פחות ברור שהעסק הזה אפשרי. לצורך הדיון אנו מניחים שזה אפשרי - אוילר לא היה פורמלי בהרבה כשהוכיח את הטענה לראשונה. למעשה, איננו משתמשים בפונקצית הסינוס עצמה אלא בתיקון שלה, שיסלק את השורש הבעייתי ב-0: אנו מתבוננים בפונקציה \( \frac{\sin x}{x} \). לכאורה פונקציה זו כלל אינה מוגדרת באפס, אך ניתן להראות כי \( \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \) ועל כן אם נגדיר אותה ב-0 להיות 1 נקבל פונקציה רציפה ונחמדה, שניתן לתאר גם באמצעות הטור \( \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{3!}+\dots \).

את הפיתוח \( a_{n}\left(x-\alpha_{1}\right)\cdots\left(x-\alpha_{n}\right) \) אפשר להציג גם באופן קצת שונה אם מחלקים כל גורם ב-\( -\alpha_{i} \) המתאים: מקבלים \( \frac{a_{n}}{\prod\left(-\alpha_{i}\right)}\left(1-\frac{x}{\alpha_{i}}\right)\cdots\left(1-\frac{x}{\alpha_{n}}\right) \). כך נעשה גם במקרה של \( \frac{\sin x}{x} \) ונקבל \( \frac{\sin x}{x}=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\cdots \). הסיבה לכך שאין מקדם “מחוץ לסוגריים” היא שבמקרה הזה הוא 1; קל לראות זאת אם מציבים 0 בשני האגפים - באגף שמאל יתקבל 1, ולכן גם באגף ימין חייב להתקבל 1 (ומה שיתקבל הוא בדיוק ערכו של המקדם “שבחוץ”).

כעת כבר כמעט סיימנו. הבה ונזכר בנוסחה \( \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2} \); אפשר להחיל אותה על כל זוג סמוך של סוגריים. מקבלים: \( \frac{\sin x}{x}=\left(1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2}}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{9\pi^{2}}\right)\cdots \). העיקרון ברור - במכנים אנחנו מקבלים ריבועים. זה בדיוק התעלול של אוילר - הוא הצליח איכשהו לתפוס אנליטית את כל הריבועים (ולכן הפתרון שלו עובד מצויין עבור הטור הספציפי הזה אך לא תקף, למשל, עבור \( \sum\frac{1}{n^{3}} \)). כעת, אם נפתח את המכפלה של כל אינסוף הסוגריים ונסתכל על התוצאה, נקבל כמו קודם פולינום “אינסופי”. מה יהיה המקדם של \( x^{2} \) בפולינום הזה? מקדם שכזה מתקבל על ידי בחירת גורם אחד מהצורה \( -\frac{x^{2}}{n^{2}\pi^{2}} \) מאחד מהסוגריים, ואת הגורם 1 מכל היתר; וכל בחירה אפשרית שכזו מצטרפת לסכום שמהווה המקדם של \( x^{2} \). בקיצור - המקדם הזה יהיה \( -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\pi^{2}} \).

מצד שני, כמו שכבר ראינו, המקדם של \( x^{2} \) בטור של \( \frac{\sin x}{x} \) הוא \( -\frac{1}{3!} \). על כן, על ידי השוואת מקדמים מקבלים כי \( -\frac{1}{6}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\pi^{2}} \), ועל ידי כפל שני האגפים ב-\( -\pi^{2} \) מקבלים את התוצאה: \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \). למרות שזוהי בסופו של דבר הוכחה טכנית, אני סבור שהיא מקסימה ונותנת תחושה טובה של האופן שבו פאי צץ משום מקום.

מה שחשוב לי במיוחד להבהיר כאן הוא חוסר הקשר המוחלט של פאי בדוגמה הזו לגאומטריה, מעגלים, העולם שלנו או כל דבר אחר. הסכום \( \sum\frac{1}{n^{2}} \) לא קשור במאום לכל אלו (טוב, כמו שראינו, הוא כן קשור, אך לא ברמה ההגדרתית-הצהרתית, אלא ברמה עמוקה בהרבה). היינו יכולים להגדיר את פאי באותה מידה להיות \( \sqrt{6\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}} \) ולא יחס בין היקף מעגל וקוטרו, ואז מה היו אומרים אלו שמנסים לטעון שאלוהים מסוגל לשנות את פאי? הדיון היה מפסיק לעסוק בפאי גרידא, ועוסק למעשה בכל טור ובכל מספר אפשרי - ולטעמי, זה הופך את השאלה “האם אלוהים יכול לשנות את פאי” לכזו שבה התשובה השלילית ברורה בדיוק כמו בשאלה “האם אלוהים מסוגל להנחית מט במהלך הראשון בשחמט?”- אלוהים לא מסוגל לעשות זאת מכיוון שזה פשוט לא אפשרי, על פי כללי השחמט; כדי שהדבר כן יתרחש, חוקי השחמט יצטרכו להשתנות. אם אלוהים מסוגל לשנות את פאי, אז לאחר השינוי היצור שיתקבל כבר לא יהיה פאי אלא משהו אחר - משהו שאינו שווה, למשל, ל-\( \sqrt{6\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}} \).

נעבור כעת להוכחה סטנדרטית יותר לסכום הטור, שמבוססת על אנליזת פורייה. אי אפשר להסביר מהי אנליזת פורייה בכמה שורות, אך הרעיון הבסיסי שנשתמש בו הוא שניתן לתאר פונקציות (שמקיימות כך וכך בתחום כזה וכזה ובלה בלה) במובן מסויים כטור של סינוסים וקוסינוסים, כלומר של פונקציות מחזוריות. זה הופך את אנליזת פורייה לכלי בסיסי למהנדסים, בעיקר בתחומים הנוגעים לעיבוד אותות (ניתן לחשוב על אות כעל פונקציה, וטור פורייה שלה יהיה מעין פירוק לרכיבי תדירויות - באופן ציורי, אם יש לנו קובץ מוזיקה ואנחנו רוצים “להגביר את הבאסים” צריך למצוא את טור פורייה המתאים, להגדיל את המקדם של התדירות שמתאימה לבאסים, ואז לשחזר את הפונקציה החדשה). עם זאת, השימוש שלי בה הולך להיות מתמטי-תיאורטי לגמרי.

פרט לרעיון הבסיסי, אשתמש במשפט אלמנטרי מתורת פורייה - זהות פרסבל. זהות פרסבל היא הכללה למרחבי פונקציות של משפט פיתגורס; משפט פיתגורס אומר כי \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \) כאשר \( a,b,c \) הן צלעות משולש ישר זווית; אפשר גם לחשוב על \( a,b \) כמייצגים פירוק לרכיבים מאונכים זה לזה של הצלע האלכסונית \( c \), ועל משפט פיתגורס בתור קשר בין גודלם של הרכיבים וגודל הסכום שלהם. הרעיון בפרסבל דומה - במקרה זה, אם \( f\left(x\right) \) היא פונקציה שמקיימת בלה בלה בלה אז ה”גודל” שלה בהקשר זה (שמבוסס על מושג של מכפלה פנימית במרחבי פונקציות - אמרתי שלא אוכל להרחיב מדי) הוא \( \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx \). ההכנסה של פאי לתמונה אינה מקרית, כמובן; כבר אמרתי שאנליזה פורייה מתבססת על פירוק למרכיבים מחזוריים, כלומר סינוסים וקוסינוסים, שפאי משחק תפקיד חשוב במחזור שלהם. אם חושבים על המפלץ שכתבתי למעלה בתור \( c^{2} \) במשפט פיתגורס המקורי, אז זהות פרסבל נראית יחסית סבירה: \( \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx=\left|a_{0}\right|^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{2}+\left|b_{n}\right|^{2} \). באגף ימין יש לנו סכום של המקדמים בריבוע - פשוט הכללה של \( a^{2}+b^{2} \) של פיתגורס.

כעת, אם נתונה לנו \( f\left(x\right) \), כיצד בעצם מחושבים המקדמים \( a_{n},b_{n} \), ולמה בעצם יש שני סוגי מקדמים? התשובה היא שאם עובדים עם סינוסים וקוסינוסים, יש שני מקרים שונים: המקדמים עבור קוסינוסים מחושבים באמצעות \( a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\cos\left(nx\right)dx \) כאשר \( n\ge0 \), והמקדמים עבור סינוסים מחושבים באמצעות \( b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(x\right)\sin\left(nx\right)dx \) כאשר \( n\ge1 \). מדוע דווקא נוסחאות אלו זו? זוהי מכפלה פנימית של \( f\left(x\right) \) עם אחת מפונקציות הבסיס של בסיס אורתונורמלי למרחב, שבמקרה הזה הן סינוס וקוסינוס (למעשה \( a_{0} \) לא מייצג לא סינוס ולא קוסינוס ויש שם התחכמות נוספת אבל זה לחלוטין לא רלוונטי במקרה שלנו אז לא אכנס לכך). אם אנחנו יודעים לבצע את החישובים הללו, שאינם קשים במיוחד, התוצאה נובעת מאליה כשאנחנו מסתכלים על טור פורייה של פונקציה פשוטה להחריד: \( f\left(x\right)=x \).

ראשית, מהו ה”גודל” של הפונקציה הזו? \( \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}dx=\frac{1}{2\pi}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\frac{\pi^{3}-\left(-\pi^{3}\right)}{3}=\frac{2\pi^{3}}{3\pi}=2\frac{\pi^{2}}{3} \). כאמור, זהו חישוב פשוט מאוד עבור מי שמכיר אינטגרלים.

כעת, מהם המקדים של טור הפורייה? המקדמים \( a_{n} \) הם פשוטים למדי: אפס. זאת מכיוון ש-\( a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos\left(nx\right)dx \), כלומר אינטגרל של פונקציה אי זוגית (פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת \( g\left(-x\right)=-g\left(x\right) \)) על תחום סימטרי סביב ראשית הצירים (נימוק פשוט לכך שהפונקציה אי זוגית: \( x \) בבירור אי זוגית, ואנו כופלים אותה ב-\( \cos\left(nx\right) \) הזוגית).

האינטגרל עבור \( b_{n} \) מחוכם יותר ודורש תעלולי אינטגרציה סטנדרטיים - בפרט, אינטגרציה בחלקים עובדת כאן. מי שלא מצליח לעקוב אחרי החישובים, לא נורא; בשביל זה לומדים מתישהו אינטגרציה, אבל זה לא הדבר החשוב באמת כאן:

\( b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin\left(nx\right)dx=\frac{1}{\pi}\left[-\frac{x\cos\left(nx\right)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}+\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos\left(nx\right)dx \)

\( =\frac{1}{\pi}\frac{-\pi\cos\left(n\pi\right)-\pi\cos\left(-n\pi\right)}{n}+\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin\left(nx\right)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}=-\frac{-2\cos\left(n\pi\right)}{n}=2\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n} \)

השתמשתי כאן בלי לנמק בכל מני תכונות של סינוסים וקוסינוסים - ש-\( \sin\left(n\pi\right)=0 \) לכל \( n \) (מה שכבר אמרתי) וש-\( \cos\left(n\pi\right)=\left(-1\right)^{n} \).

כעת אפשר לסיים על ידי שוויון פרסבל: \( 2\frac{\pi^{2}}{3}=\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}\right|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n^{2}} \) ולכן על ידי חלוקת שני האגפים ב-4 מקבלים \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \). כלומר, בעיית חישוב הסכום הצטמצמה לבעיית חישוב אינטגרלים פשוטה יחסית; אך שוב, מדובר בשיטה אד-הוקית משהו, שמתבססת על כך ש”במזל”קיבלנו שהמקדמים \( b_{n} \) הם בעלי צורה כל כך נחמדה. עם זאת, השיטה אינה אד-הוקית באופן מוחלט במובן זה שאפשר לקחת את טורי הפורייה של פונקציות פשוטות רבות נוספות ולמצוא בעזרת שוויון פרסבל את סכומם.

אולי תשאלו לאיזה צורך הייתי צריך להיכנס לכל הלכלוך הטכני הזה. התשובה שלי פשוטה - אני מרגיש שבפופולריזציה של המתמטיקה, פאי זוכה לפעמים מעמד “נקי” מדי, ויותר מדי מודגש הקשר שלו למעגל (שהוא צורה “מושלמת” ולכן פאי הוא מספר “הרמוני”ושאר אווילויות); בפוסט הזה רציתי להראות את פאי בסביבה הטבעית שלו, במקומות שבהם הוא צץ הכי הרבה. עם כל כמה שהסביבה הזו מזוהמת וטכנית, אני חושב שפאי נראה הכי יפה דווקא בה ולא על כס מלכות כלשהו או על עוגה. יום פאי שמח!