חינוך לערכים במתמטיקה

לא מזמן קראתי על מחקר שנערך בפקולטה להוראת המדעים בטכניון ועסק באופן שבו ניתן להשתמש בשיעורי המתמטיקה להנחלת ערכים חברתיים דוגמת כבוד לזולת, שיתוף פעולה, סובלנות, שוויון בין המינים וכדומה. כך למשל ניתן להפוך שאלה שעוסקת ברוטב סלט שמשתמש בחומץ, שמן וסויה ביחס של 1:2:3 לשאלה על מיטל, אורית ודני שחוסכים כסף כדי לעשות ביחד מעשים טובים; או למשל, בעת הוראת מושג המכנה המשותף באלגברה המורה יכול לעצור ולהקדיש זמן מה להרחבת המושג מכנה משותף ולחשיבותו בחיינו, ולבקש מהתלמידים להגדיר את המכנה המשותף בינם לבין ילדי עובדים זרים או ילדי הכפר הערבי הסמוך. מכיוון שמדובר ברעיון מדהים, שנותן זווית התבוננות שלא חשבתי עליה על המתמטיקה, הייתי רוצה להציע כמה רעיונות משל עצמי:

1. סינוסים וקוסינוסים: ברוח הפוסט הקודם, אני סבור שניתן להשתמש במושגי הסינוס והקוסינוס על מנת לעסוק באנשים בעלי לקויות למידה ותפקידם בחברה. על ידי הקבלת התלמיד "הרגיל" לקוסינוס והתלמיד בעל הלקויות לסינוס ניתן לאפשר לתלמידים להבין כי אין הבדל בין השניים פרט לכך שהקוסינוס מקדים את הסינוס בפאזה של \( \frac{\pi}{2} \). הפרש זה גורם לנקודת מבט מעוותת של הקוסינוס על הסינוס - כאשר זה למעלה, השני למטה; וכאשר הסינוס עולה למעלה, בזכות סיוע שמגישה לו החברה, הקוסינוס הקנאי "יורד למטה" וחושב שהדבר הוא באשמת הסינוס. ניתן לחנך את התלמידים לכך שמטרתנו בחיים צריכה להיות צמצום פאזת ההפרש בין הסינוס והקוסינוס.
2. אקספוננט: ניתן להשתמש בפונקצית האקספוננט כדי להמחיש את ההבדלים בין קפיטליזם לקומוניזם. בעוד האקספוננט הממשי \( e^{x} \) (שהצגתי לא מזמן) הוא בולעני ודורסני, וצובר עוד ועוד ערכים ככל ש-\( x \) גדל ולעולם אינו יודע שובע, האקספוננט המרוכב \( e^{i\theta} \) הוא הרמוני עם סביבתו ונוטה למחזוריות ולהשלמת מעגל החיים. יתר על כן, לכל \( \theta \) אפשרית, \( \left|e^{i\theta}\right|=1 \), כך שהאקספוננט מגשים את החלום על "כולם שווים"; ועם זאת, כל אחד הוא יחיד ומיוחד בדרכו שלו, שכן ערכה של \( \theta \) קובע את הזווית שאותה הוא בוחר לעצמו בחייו. בנוסף, הגדלה מופרזת של \( \theta \) מובילה בסך הכל לחזרה אל נקודת ההתחלה, וכך ילמדו התלמידים ענווה מהי.
3. קבוצות, חבורות וחוגים: ניתן להמחיש לתלמידים כי כל עוד הם אוסף מבודד של אינדיבידואלים הם אינם "מעניינים", ועל כן יש להשית עליהם מבנה - למצוא "פעולה" משותפת שהם יכולים לקיים, מה שיהפוך אותם לחבורה מגובשת. חשוב להמחיש את תפקיד האסוציאטיביות של פעולה זו: מכיוון ש-\( \left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot\left(b\cdot c\right) \), האסוציאטיביות מבטיחה כי לא יווצרו "קליקות" לא שוויוניות, כי כאשר אין חשיבות לשאלה מי משחק עם מי קודם לכן, מובטח לנו כי \( b \) יהיה מוכן לשחק הן עם \( a \) והן עם \( c \) במידה שווה. כאשר עוברים לדון בחוגים יש להדגיש כי פעולה אחת - החיבור - היא פעולה פנימית שמבצעים התלמידים בינם לבין עצמם, בעוד שפעולת הכפל היא פעולה שבה תורמים התלמידים לסביבה, ושתרומה זו לסביבה היא שמקדמת את התלמידים ממעמד של "חבורה" למעמד של "חוג" (חוג חברתי, יש להדגיש). מכיוון שמפעולת הכפל נדרש הרבה פחות מאשר מפעולת החיבור, חשוב להדגיש בפני התלמידים כי את הדרישות עליהם לדרוש מעצמם. כך למשל בכל כיתה יש לעודד את התלמיד המצטיין לקחת על עצמו את תפקיד איבר היחידה, הכוח המניע את החוג כולו.
4. עקרון שובך היונים: כאשר מלמדים את העיקרון ניתן להשתמש בדוגמה של מעמדות חברתיים במקום שובכים, ותלמידים במקום יונים. כך יבינו התלמידים את השרירותיות שבה הם מחולקים למעמדות חברתיים שונים, ואת העובדה ששייכות שני תלמידים לאותו מעמד חברתי אינה נובעת ממעשי התלמידים עצמם אלא מכורח מתמטי. כך ילמדו התלמידים לראות לא רק באחיהם לשובך שותפי גורל, אלא לאמץ את כל השובכים לחיקם.
5. האלכסון של קנטור: במקום לעסוק בהבדלה השרירותית בין מספרים טבעיים לממשיים, ראוי לעסוק בקושי של סיוע לנזקקים. ניתן להראות לתלמידים כיצד הנזקקים שאנו מסוגלים לסייע להם הם תמיד קבוצה בת מניה, בעוד שהנזקקות היא רצף שלעולם לא נוכל לתפוס בשלמותו. בפרט ניתן לשחזר את הוכחתו של קנטור ולהדגים לתלמידים כיצד בכל תוכנית סיוע לנזקקים שנבנה, תמיד יהיה נזקק אשר נותר מאחור. כמובן, יש לשים עובדות אלו בקונטקסט המוסרי המתאים ולהבהיר לתלמידים שהדבר רק מחזק את החובה המוסרית לסייע לנזקקים באופן שפורץ את הגבולות התבניתיים שמכתיבה המתמטיקה.
6. משפטי אי השלמות של גדל: כאשר מלמדים אותם, כדאי לעצור ולהקדיש זמן לשאלת השלמות בחיינו - האם אנו מרוצים מהם? האם איננו סבורים כי יש מקום לשפרם? מאחר ומשפטי אי השלמות של גדל מראים כי בחיינו טבועה אי-שלמות אינהרנטית, שמקורה באינטרוספקציה שאנו מבצעים לעצמנו, המסקנה היא שכדי לגרום לחיינו להיות שלמים ככל הניתן עלינו להפסיק לעסוק בעצמנו ולטפל במצוקותיהם של אחרים.
7. טופולוגיה: הטופולוגיה היא ככל הנראה התחום החשוב ביותר להמחשת העובדה שכולנו בני אדם, בשל ההצבעה שלה על כך שכולנו זהים לחלוטין, עד כדי שינויים חסרי חשיבות כמתיחה, כיווץ ועיקום. בעת לימודי הטופולוגיה יש להבהיר לתלמידים מדוע נמוכים וגבוהים הם זהים, שמנים ורזים, כפופי קומה וזקופי גו, יפים ומכוערים - כולנו הומיאומורפיים לספל קפה בלי ידית.
8. משפט ארבעת הצבעים: כאשר מלמדים על המשפט כדאי לתת לתלמידים לצבוע את מפות האיזור, על מנת שילמדו על השטחים השנויים במחלוקת וההקשרים ההיסטוריים והחברתיים שלהם. את הקושי של הוכחת משפט ארבעת הצבעים ניתן להמשיל לקושי להביא שלום לאיזורנו, ובהוכחה שלו באמצעות מחשב ניתן להשתמש כאנלוגיה להתערבות האמריקאית (אמריקה כמייצגת אומה טכנולוגית ו"ממוחשבת") שבסופו של דבר תביא שלום ורווחה, על אף השמרנים מכל צד שמסרבים לקבלה כהוכחה לגיטימית.
9. אינטגרל רימן: בעת שמלמדים על אינטגרל רימן זוהי הזדמנות פז ללמד על שיתוף פעולה ועבודה משותפת. אינטגרל רימן הוא סכום של מחוברים שכל אחד מהם לכשעצמו הוא בעל השפעה אפסית, אך כאשר מאחדים את כולם לכדי שלמות מתקבל שינוי עצום וממשי. כדאי להדגיש כי אינטגרל שבו חלק מהמחוברים מנסים "להתבלט" ושואפים לאינסוף הוא אינו ראוי (Improper) וכי הדרך היחידה להעריך את ערכו האמיתי של אינטגרל היא "לרדת לשטח", לפרק אותו לקטעים קטנים ולדבר עם האדם הפשוט בכל אחד מהם. לכן עדיפה הוראת האינטגרל דרך סכומי רימן, המתמקדים באדם הפשוט האקראי בכל קטע, ולא דרך סכומי דרבו אשר יוצרים קיטוב בדברם על המינימום והמקסימום בכל קטע.
10. אנליזה נומרית: רצוי ללמד מחצית השיעור ואז להפסיק הלימוד באחת, ולהעלות את השאלה מדוע באמת אנו מעוניינים בחישוב מדוייק של פונקציות, ומה טעם יש במרדף חסר התוחלת אחר עוד ועוד ספרות דיוק. בשלב זה ניתן להפסיק את השיעור ולצאת החוצה, אל השמש האביבית, ולהמחיש לתלמידים כמה יפים החיים ללא חישובים מיותרים, ומדוע 3.14 הוא קירוב טוב דיו לפאי לכל צורך מעשי. בעצם, שיהיה 3, חבל להקשות על החיים עם שברים לא אסתטיים.

אני ודאי רק מגרד את קצה הקרחון כאן - אנא הוסיפו עוד רעיונות, למען עתיד טוב יותר (ומוסרי יותר, ואולי גם מתמטי יותר) לנו ולילדינו.