איך בוטל "איך בוטלה המתמטיקה"

כתבה ב-Ynet תחת השם “מי אמר שחייבים לדעת מתמטיקה” מתארת ספר חדש לילדים של אביעד קליינברג - סליחה, פרופסור אביעד קליינברג - בשם “איך בוטלה המתמטיקה”. לא פחות. הכתבה טוענת שהספר “מנסח שני טיעונים מרכזיים נוקבים נגד המתמטיקה. אחד כרוך במהותה של המתמטיקה והשני בתרעלה הסביבתית שהיא מפיצה”. טרם קראתי את הספר ולכן אגיב בעיקר לגופה של הכתבה, אך אני משער שתגובתי לספר לא תהיה שונה מהותית (מאז פרסום הפוסט כבר קראתי את הספר וכתבתי פוסט המשך).

נתחיל דווקא מהטיעון השני, שלא עוסק כלל במתמטיקה אלא במעמד שניתן בחברה ללימודי מתמטיקה תיכונית:

אם לטיעון הפילוסופי נגד המתמטיקה עוד אפשר להתייחס בהומור, הרי שאת הטיעון החברתי נגדה, חייבים לקחת ברצינות. המתמטיקה הרסה והורסת להמון ילדים את החיים. לא ברור איך השתרשה ההנחה החברתית שחייבים לדעת מתמטיקה כדי "להסתדר בחיים", מה שברור הוא שקליינברג מנסה לתקוע סיכה באקסיומה הנפוחה הזו.אני, לדוגמא, תמיד התקשיתי בבישול ובמתמטיקה. איכשהו הצלחתי להקדיח תבשילים ונוסחאות באותה רמה של חוסר כישרון. אבל אני לא זוכרת את אבא שלי מגלגל עיניים ביאוש מול חביתה שרופה כמו שגלגל גם גלגל לנוכח משוואה שעלתה באש עקב קצר חשמלי בסינפסות. מי קבע שמותר לא לדעת איך לטפל בכלבלב, אבל אסור לא לדעת מהו האיקס באיזו משוואה מהגיהנום? וזה המסר המנחם ששולח פרופסור קליינברג לקוראיו הצעירים: בניגוד למה שמספרים לכם בבית הספר, גם אם אתם לא מצליחים לחשב כמה זמן לוקח לשני נהגי קטר למלא בריכה, אתם עדיין יכולים להיחשב לבני אנוש. זו לא קריאה לוותר כשנתקלים בקשיים, זו קריאה לפורפורציות. ויש לזכור שבית-ספר מעודד עיוות של פורפורציות בכל הנוגע ליכולת מתמטית.

על הטיעון הזה אין לי הרבה מה לומר - אני מסכים! אכן, אם יש מקומות שנוקטים בהנחה שחייבים מתמטיקה כדי “להסתדר בחיים”, או אם בית הספר מתעלל במיוחד בתלמידים גרועים במתמטיקה - זה מצב לא טוב שמעיד על בעייתיות במערכת החינוך שלנו וצריך לשנותו. אלא שהספר אינו עוסק במערכת החינוך שלנו - הוא מתרחש בעולם בדיוני, ולכן לימודי המתמטיקה בו מקבלים הילה “כללית” יותר והביקורת אינה מופנית כלפי מערכת החינוך, אלא כלפי עצם הרעיון של לימודי מתמטיקה. אם כל הבעיה הייתה האופן הלא מוצלח שבו מלמדים מתמטיקה… ובכן, ספר נפלא בשם “אני שונא מתמטיקה” (שבישראל יצא בהוצאת “ניצנים” ולצערי עושה רושם שכבר איננו על המדפים) ניסה לטפל בבעיה הזו בגישה חיובית - לבוא אל שונא המתמטיקה ולהציג בפניו, בצורה ידידותית וקלה, כמה מהפנים הפחות מוכרות (לתלמידי בית ספר) של המתמטיקה. אם כן, זו הביקורת הראשונה שלי על קליינברג, עוד לפני שבכלל קראתי את הספר - שהוא פועל בגישה שלילית במקום בגישה חיובית. שהוא הורס ומנתץ, במקום להציע אלטרנטיבה.

הטיעון השני (או בעצם הראשון) כבר עוסק במתמטיקה. ולא רק במתמטיקה תיכונית (שהיא בעיקרה טכנית, משמימה ולא מייצגת - אבל את הביקורת שלי עליה אשמור לפעם אחרת) אלא ממש בלב לבה של המתמטיקה - ברעיון ההפשטה:

הטיעון הראשון הוא בעצם פילוסופי. המתמטיקה היא עריצה בעצם מהותה. היא א-מוסרית כמו כל תחום או אדם שגורסים שיש רק תשובה נכונה אחת לשאלה נתונה. מה זאת אומרת אחת ועוד אחת תמיד תמיד תמיד שווה שתיים? גם כשקר? גם אם לנהג הקטר קוראים דוד? גם אם פרפר מנפנף בכנפיו בסין?הספר "איך בוטלה המתמטיקה" מספר על נסיך צעיר שמתייסר בלימודי המתמטיקה שלו. הוא מנסה לספר בעקיפין לאביו המלך על מצוקתו ולשם כך ממציא שלושה סיפורים. בסיפור השלישי הוא מספר על המלך חרדונזלך שכל הזמן שואל שאלות. הוא שואל, למשל, את טבח הארמון איך מכינים חביתה עם בצל ואחרי שהוא מקבל תשובה פשוטה, הוא מתחיל להקשות: "אפשר גם בצל ירוק?" שאל המלך. "אפשר". "ואדום?""גם". " אפשר לטגן בחמאה?" "כן". "ובמרגרינה?" "כן"... "ואפשר להוסיף לביצים בלילה של קמח ומים ולקרוא לזה פנקייק?" "אפשר". "אה", אמר המלך חרדוזלך". המתמטיקה היא לא כזאת. כמה זה אחת ועוד אחת? שתיים. ואם האחד הראשון הוא תנין אפריקני והאחד השני הוא אפרסק, מה התשובה? עדיין שתיים. ואם התנין חולה? גם. ואם באפרסק יש תולעת? שתיים! שתיים! שתיים! אני יודעת שיש אנשים שזה בדיוק מה שמקסים אותם במתמטיקה, אבל קליינברג עושה כבוד דווקא לאנשים שזה מעצבן אותם. יותר מזה, זה נראה להם לא הגיוני. אם אין משמעות למה סופרים וללמה סופרים, מה זה מעניין בכלל מה התשובה? או במילותיהם של יועצי המלך חרדונזלך: "המתמטיקה לא עוסקת במה שחשוב לך. היא עוסקת בפתרון בעיות". בקיצור, רוצים אמת אחת ויחידה, בלתי תלויה ובלתי משתנה? אמת שמרחפת לה מחוץ לעולמנו, נצחית ונכונה תמיד, ומחכה לנו, יצורים מוגבלים ותועים, שנגיע אליה? אתם מוזמנים להיות דתיים מאוד או מתמטיקאים.

ראשית, נתחיל בגילוי מרעיש: המתמטיקה לא טוענת שיש רק תשובה נכונה אחת לשאלה נתונה! אפילו שאלה מטופשת כמו “האם אחת ועוד אחת תמיד שווה שתיים”? איננה בעלת תשובה חד משמעית; היא שתיים בשיטת הספירה הרגילה שלנו, אבל אם העולם שבו אנו חיים הוא \( \mathbb{Z}_{2} \) (או - ואני משתמש בכוונה במילים מפוצצות כאן - בשדה כללי ממציין 2), התשובה היא דווקא אפס. ויש מאחורי כך הגיון רב, לא בחירה שרירותית. גם במתמטיקה יש מקום לפרשנויות שונות והקשרים שונים ומשונים - אבל, וזה אבל חשוב, המתמטיקה לא מאמצת את הגישה ה”פוסט מודרנית”לפיה כל הדברים הם חשובים במידה שווה; למרות שכל אחד מוזמן להגדיר במתמטיקה כל דבר שיעלה על דעתו, ישנם דברים מעניינים יותר ומעניינים פחות, כשהקביעה מה מעניין יותר או פחות מתבצעת בידי המתמטיקאים עצמם, באופן סובייקטיבי, ולא על פי שום קריטריון מתמטי קשיח.

כמה מהרעיונות המעניינים ביותר במתמטיקה באים מתוך מתן תשובה שונה מהרגיל לשאלה שלכאורה התשובה עליה היא מובנת מאליה - הדוגמה הקלאסית והמרכזית היא הגאומטריה הלא-אוקלידית. לכן טענה שהמתמטיקה היא “תחום שגורס שיש רק תשובה נכונה אחת לשאלה נתונה.” היא פשוט שקר וכזב.

כאן צריך לזרוק את הכדור לרגע למגרש של פרופ’ קליינברג. בעיסוקו הוא פרופסור להיסטוריה, וכעת נשאלת השאלה - כאשר בהיסטוריה דנים בעובדות הבסיס (לא בפרשנויות שלהן), האם יש יותר מתשובה אחת נכונה? האם לשאלה “מי היה מנהיג גרמניה הנאצית” יש יותר מתשובה נכונה אחת? האם לשאלה “באיזו שנה פרצה המהפכה הצרפתית” יש יותר מתשובה אחת נכונה? האם גרמניה הנאצית כן תנצח במלחמת העולם השנייה אם נחליט לקרוא להיטלר צ’רצ’יל? האם זה הופך את ההיסטוריה לא-מוסרית? הבלים. כל תחום מדעי חייב לאמץ בבסיסו כמה שאלות בסיסיות שאכן, יש עליהן רק תשובה אחת נכונה. מי שיטען שבמספרים הטבעיים אחד ועוד אחד שווה לאותו מספר טבעי כמו אחד ועוד אחד ועוד אחד (ואני בכוונה לא משתמש כאן במילים “שתיים” או “שלוש” שהן סתם שמות הגדרתיים חסרי משמעות לכשעצמם), טועה. מדוע זה הופך את המתמטיקה לא-מוסרית יותר מההיסטוריה?

הלאה. לב לבו של הטיעון מצוי בשורה הבאה, שמסכמת יפה את אחד מהרעיונות המרכזיים במתמטיקה - ההפשטה: “מה זה אחת ועוד אחת? שתיים. ואם האחד הראשון הוא תנין אפריקני והאחד השני הוא אפרסק, מה התשובה? עדיין שתיים”. זוהי בדיוק מתמטיקה. ספרים שמנסים להציג מתמטיקה משתמשים בדיוק בדוגמה הזו. הכותבת מכירה בקיום האנשים שזה מקסים אותם (אם כי צריך להיות זהירים כאן - מה שמקסים אותי הוא לא הרעיון הזה, אלא הרעיון הזה כשהוא מוחל על דברים מורכבים בהרבה), אבל טוענת שיש אנשים שזה גם מעצבן אותם ונראה להם לא הגיוני, ושהספר עושה להם כבוד. כמובן, אנשים יכולים להתעצבן על מה שמתחשק להם - הם יכולים להתעצבן על כך שההיסטוריה אומרת שמנהיג גרמניה במלחמת העולם השנייה היה היטלר ולא צ’רצ’יל ושזה לא ייראה להם הגיוני, אבל למי אכפת? למה יש לתת כבוד לדעתם? השאלה המהותית היא מה עומד מאחורי עמדה שכזו; והכותבת אכן טורחת להביא את תמצית העמדה: “אם אין משמעות למה סופרים וללמה סופרים, מה זה מעניין בכלל מה התשובה?”. וגם קליינברג מתייחס לנקודה הזו, על פי הציטוט מהספר: “המתמטיקה לא עוסקת במה שחשוב לך. היא עוסקת בפתרון בעיות”. ועל זה אני אומר - אוי ואבוי. אוי אוי אוי.

נתחיל מכך שיש משמעות למה סופרים וללמה סופרים. למעשה, כל ענייני הרכבת והבריכה המסכנים באים מתוך נסיון לתת גוון קצת יותר “מציאותי” למתמטיקה, ולגרום לתלמידים לבצע, בכלים המוגבלים מאוד שהם עובדים איתם, את מה שעושים המשתמשים במתמטיקה מדי יום ביומו - להחיל את המתמטיקה על דברים שבהם יש משמעות למה סופרים וללמה סופרים.

אפשר לחשוב על המתמטיקה בתור מגדל של הפשטות. בבסיס ישנם דברים מאוד קונקרטיים ומציאותיים - בעיות “אמיתיות” שבהן נתקל האדם, ונזקק לכלים מתמטיים כדי לפתור. הקומה הבאה במגדל כבר עוסקת בנסיונות לפתור את הבעיות שצצות כאשר פותרים את הבעיות ה”אמיתיות”, וכן הלאה וכן הלאה; אפילו המתמטיקאי המופשט ביותר שואב את ההשראה והמוטיבציה שלו מהקומה שמתחתיו במגדל (טוב, אולי לא כולם; אני לא רוצה לבצע הכללות משל עצמי על המתמטיקה). דוגמה לכך היא החשבון האינפיניטסימלי, שפותח על ידי ניוטון ולייבניץ ומתמטיקאים נוספים בנסיון לפתור בעיות מעשיות רבות (ובפרט בא לידי שימוש אצל ניוטון בתורות הפיזיקליות שלו). “מעל” רמת הפשטה זו אנו מוצאים את ההפשטה של קושי וויירשטראס - מושג הגבול שלהם, שבא לפתור את הבעיות הפנים-מתמטיות שיצר הניסוח הלא מדוייק של החשבון האינפיניטסימלי של קודמיהם. באופן דומה העיסוק במספרים החל בגלל הצורך לבצע ספירה של אלף ואחד דברים שונים בצורה יעילה - החל מסוסים וכלה בכסף; ברמת ההפשטה הבאה אנשים החלו להשתעשע כבר בתורת המספרים עצמה, כי המספרים הפכו בעיניהם לאובייקטים מעניינים בפני עצמם.

הטיעון של “חוסר המשמעות” הוא טיעון נפוץ מאוד נגד המתמטיקה. לשיאו הוא ללא ספק מגיע בהאשמה (הנפוצה למדי) המופנית כלפי דיוויד הילברט (מבכירי המתמטיקה של המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20) כי הוא שאף “לרוקן את המתמטיקה מתוכן”. ובכן - לא, לא, לא. האם אריכאולוג שעוסק שעות ארוכות בחפירת שבר חרס בודד שוכח את ה”משמעות” של מה שהוא עוסק בו? את המטרה הסופית שלו? ודאי שלא. וכך גם המתמטיקאי, גם אם חלק מזמנו מוקדש לפתרון בעיה אבסטרקטית ולא למשמעותה הקונקרטית. היכולת לתקוף בעיות בצורה אבסטרקטית היא סוד כוחה של המתמטיקה, אבל אסור לבלבל בין דרך העבודה הזו ובין המשמעות או חוסר המשמעות של המתמטיקה.

הטיעון של קליינברג גרוע בהרבה, וילדותי בהרבה. מה זאת אומרת “עוסקת במה שחשוב לך”? ואם לילד חשוב לאכול גלידה כל היום, האם צריך לבוא בטענות למתמטיקה על כך שאינה משתפת עמו פעולה? ומדוע קליינברג מניח שאין ילדים שפתרון בעיות חשוב להם? קליינברג יורק בפרצוף של אותם ילדים שהמתמטיקה כן מעניינת אותם כבר מגיל צעיר. הדבר דומה לפרסומת מזוויעה שראיתי לא מזמן של יצרנית חלב מסויימת, שבה כל ילד גר בבית שמעוצב בהתאם לאורח החיים שהוריו כופים עליו, ומקוננת על מר גורלו של ילד מסכן שנאלץ לקרוא ספרים ולכן חייו משעממים. פויה. מביך מאוד שפרופסור מכובד נותן את ידו להתבהמות הזו.

כמובן שמתמטיקה “אמיתית” עוסקת גם בדברים שחשובים לכולנו בחיי היום יום. הרי ללא מתמטיקה לא הייתה טכנולוגיה; אני לא חושב שיש ויכוח אמיתי על הנקודה הזו. אם קליינברג בוחר לבטל את החשיבות של הטכנולוגיה לחיי היום יום, אין טעם להיכנס איתו כלל לדיון. לכן אני מניח שקליינברג מנסה להגיד שאמנם טכנולוגיה ומתמטיקה זה מאוד חשוב והכל, אבל איכסה - שמישהו אחר יתעסק בזה, לא הקורא. קליינברג ככל הנראה טוען שלאדם הפשוט מתמטיקה אינה חשובה. לזה יש לי שתי תשובות: ראשית, לאדם הפשוט חשוב חשבון ברמה כלשהי גם בחיי היום יום, פשוט כי זה כישור שמשפר את איכות החיים, כבר ברמה שבה לא מסתבכים עם עודף בסופר; ואני מסכים שמתמטיקה תיכונית של פתרון בעיות (נניח, חישוב אינטגרלים טריוויאליים כשם שעושים משום מה בבגרות) לא מועילה לאף אחד ועוסקת בפתרון בעיות לא מעניינות - אך זוהי שוב בעיה של אופן הלימוד ולא של המתמטיקה, ובעיה שקיימת כמובן גם במקצועות אחרים, למשל היסטוריה. בפרפראזה על קליינברג, ניתן לטעון שלימודי ההיסטוריה בבית הספר אינם עוסקים במה שחשוב לנו אלא בשינון תאריכים ושמות.

את התשובה השניה אני משאיר לגדול ממני לענות - הפיזיקאי קרל סגאן, בספרו “עולם רדוף שדים”:

We have designed our civilization based on science and technology and at the same time arranged things so that almost no one understands anything at all about science and technology. This is a clear prescription for disaster.

אז כן, אני רוצה שגם האדם ברחוב יהיה בעל ידע במדע, ולכן גם בעל ידע במתמטיקה. אחרת בסופו של דבר זה מחלחל גם לחיי היום יום שלנו, כמו בקומיקס הנפלא של PhD comics על מחזור החיים של ידיעה מדעית, כלומר על האופן שבו האדם ברחוב מסוגל לעכל אותה:

<img class="alignnone" title="Science news cycle" src="http://www.phdcomics.com/comics/archive/phd051809s.gif" alt="PhD comics' "Science news cycle"" width="600" height="667" />

וטוב יהיה אם פרופסורים באוניברסיטה לא יעודדו בורות.

על ה”דתיים מאוד או מתמטיקאים” די להגיד שאם הדת הייתה דומה למתמטיקה, היינו מחליפים אלים ומצוות כמו נעליים ועוסקים בחצי מהזמן בבדיקה מה האלים לא מסוגלים לעשות. ולא היינו מתפללים.

נספח

הפעם לא הצלחתי להתאפק וקראתי את הטוקבקים (שברובם המכריע יוצאים נגד הכתבה ונגד הספר ומביאים טיעונים טובים, שחלקם זהים למה שאני עצמי כתבתי). כאילו שזה לא מספיק גרוע, אני רוצה גם לצטט חלק מהם, כי אני סבור שזה ממחיש בדיוק עד כמה שגויה התדמית של המתמטיקה בציבור. האשמה היא בראש ובראשונה בנו - בכל אלו שיודעים מתמטיקה אבל לא מבהירים מספיק טוב מהי המתמטיקה באמת; האשמים המשניים הם האנשים ששוחטים אותה בבית הספר, והאנשים שכותבים נגדה ספרים.

המקצועות הריאליים הם דבר פשוט שדורש רק חישוב, נוסחאות, הכל מדויק, הכל מחושב, הכל מרובע. קל מאד לפענח סודות במתמטיקה או בפיזיקה עם הנוסחאות הנכונות, אבל... תהית פעם מי אתה? מהיכן אתה בא? לאן פניך מועדות? בחייך. תתבגר.

אכן - מכיוון שהכל כל כך קל, המשפט האחרון של פרמה בעל הניסוח הפשוט והקל חיכה כמעט ארבע מאות שנים להוכחה. בגלל שהכל כל כך מדוייק היה ברור לכולם מלכתחילה מהו האינסוף והעיסוק בו לא היה אחד ממוקדי הטלטלות המתמידות שעברה המתמטיקה. בהחלט. (אני סבור שיש גם טעם רב יותר לעיסוק בשאלות מתמטיות מאשר בשאלות מהצורה “מהיכן אתה בא ולאן פנייך מועדות”בניסוחן הפילוסופי, אבל זה כבר עניין לדיון אחר).

זה תמיד הדהים אותי העובדה שיש ממש הרבה תלמידים שכול הבעיות שלהם במתמטיקה נובעות מדברים שהם לא למדו כמו שצריך ביסודי. כאילו, עד כמה מורה צריך לא לדעת את העבודה שלו או לא אכפתי בשביל לא להצליח ב-6(!!!!!) שנים, ללמד 4 פעולות חשבון ללא נעלמים.

העובדה הזו היא אכן אחת מהסיבות שמועלות בדרך כלל בנסיון להסביר את הקושי במתמטיקה תיכונית שבו נתקל התלמיד הממוצע, ואני נוטה להאמין שזה אכן כך. עם זאת, “ללמד 4 פעולות חשבון ללא נעלמים”זה כלל לא דבר פשוט כפי שזה נשמע למי שכבר “התרגל”למספרים - ובנוסף לפעולות החשבון גם צריך לבצע את ההפשטה הנדרשת כדי לעבור מדיון על שני תפוחים, או תפוח ואגס, למספר 2 - מעבר לא טריוויאלי כלל, וכפי שראינו מהכתבה - גם כזה שיש אנשים שגם בבגרותם אינם מסכימים איתו.

אני מתפרנסת מעיסוק שנסמך ברובו על מתמטיקה.אבל באמת לפעמים קשה לי להסביר, אפילו לעצמי, למה צריך את כל הנוסחאות המורכבות ולמה טובה כל אחת מהן, מה השימוש המעשי שנעשה או מסתמך עליה. מידע כזה, היה עוזר לקבל את הקושי בלימוד ונותן את הטעם. חבל שאין אותו באף מקום.

לצערי לא ברור מה העיסוק של הכותבת, אבל ברוב המכריע של המקרים שאני מכיר שבהם נעשה שימוש בנוסחאות, בהחלט קיימים מקומות שמסבירים למה צריך את הנוסחאות, למה הן טובות, ומה השימוש המעשי שנעשה או מסתמך עליה. דוגמה הקרובה ללבי: ה-Handbook of applied cryptography.

אני רוצה לסיים בטוקבק פשוט שאומר את הדבר החשוב ביותר כאן, שלצערי לא ברור וכנראה לעולם לא יהיה ברור לכלל הציבור:

בתיכון אולי זה קרוב למה שכתבת, אבל באקדמיה מתמטיקה היא המדע הכי יצירתי ואומנותי שקיים.

על ה”הכי” אולי הייתי מוותר כי אנחנו לא בתחרות יצירתיות, אבל השורה התחתונה היא שמתמטיקה - מתמטיקה אמיתית - היא תחום יצירתי ומעודד מחשבה מאין כמותו. אני מקווה שאני מצליח להמחיש שמץ מכך כאן.