איך בוטל "איך בוטלה המתמטיקה" - סוף דבר

כשכתבתי את הפוסט על “איך בוטל “איך בוטלה המתמטיקה”” טרם קראתי את הספר של אביעד קליינברג וכתבתי את הפוסט על בסיס כתבה שסקרה אותו - יצאתי בעיקר נגד מה שנכתב בכתבה עצמה ולא נגד הספר, אם כי כן התייחסתי לציטוטים שהובאו משם.

כעת נזדמן לי סוף סוף לקרוא את הספר עצמו; השורה התחתונה היא שהביקורת שכתבתי שם אינה משתנה כלל. פרט אליה, קשה לומר דברים נוספים - הספר עצמו קצר מאוד וברובו אינו עוסק במתמטיקה אלא יותר ביחסים של יוהנס, גיבור הספר, עם אביו המלך ועם מעמדו כנסיך. אני לא מבקר ספרות ולכן לא ארחיב את הדיבור על רמת הספר בהיבטים הללו - אסתפק בלהגיד שאני עדיין מעדיף את אריך קסטנר.

משקראתי את הספר, נראה לי שהבחירה במתמטיקה בתור ה”נושא” שלו הייתה כמעט מקרית, ונבעה מכך שהמתמטיקה זכתה למוניטין המפוקפק של המקצוע השנוא ביותר בבית הספר, ואולי גם מסיבות של העדפה אישית של הכותבים (קליינברג ובנו). נראה לי שלא היה קשה במיוחד לשכתב את רובו המכריע של הספר כך שהמקצוע שמטריד את מנוחתו של יוהנס יהיה דווקא מקצוע ההיסטוריה - כזכור, תחום עיסוקו האקדמי של קליינברג. אם כן, אנסה לסקור את החלקים בספר שמתארים מתמטיקה ולהבין עד כמה הם אכן עוסקים במתמטיקה, ועד כמה הם סתם עוסקים באופן ההתמודדות של יוהנס עם קושי לימודי.

בתור התחלה, כדי להמיר את הספר לספר אנטי-היסטוריה יהיה צורך לשנות את סצינות הלימוד, שבהן מטיל המורה על יוהנס לפתור כל מני בעיות הזויות, ולהחליפן במשהו היסטורי מתאים. כך למשל התיאור המרכזי בספר של מה שיוהנס נאלץ להתמודד איתו בשיעורי המתמטיקה אחרי שהוא נאלץ לענות למורהו שהוא “מוכן” לשיעור, הוא זה:

למשמע התשובה היה פון-שנאוצר משיב בסיפור עלילה מוזר, רצוף במספרים, שהסתיים תמיד בשאלה (שהייתה השאלה האחרונה שיוהנס היה מעלה בדעתו).

שני גננים, פריץ וקרל, שותלים עצמי תפוח בשתי שורות. לפריץ יש 45 שתילים ולקרל 35. פריץ נוטע ארבעה שתילים בכל רבע שעה וקרל - חמישה. אם אחרי חצי שעה יעבור גנב ויגנוב שמינית מן העצים בכל אחת מן השורות, כמה עצים יהיו בגן בסך הכל אחרי שעתיים ורבע וכמה עצים ישארו לכל אחד מן החברים?

עיניו של יוהנס היו מזדגגות כבר במשפט השלישי. למי אכפת כמה עצים ישארו לכל אחד משני החברים? הטרידו אותו שאלות אחרות: מי מדד את קצב העבודה של השניים ברבעי שעה? למה יש לפריץ יותר שתילים מאשר לקרל? למה הגנב המוזר הזה גונב שמיניות? איך אחרי שעתיים ורבע כבר נעשו השניים חברים?

אקח לי שאלה מאחת הבגרויות בהיסטוריה: “הסבר את העמדה של הנהגת היישוב היהודי כלפי בריטניה בתקופת מלחמת העולם השנייה, והצג דוגמה אחת לשיתוף פעולה עם הבריטים ודוגמה אחת למאבק נגדם”. כנגד שאלה זו אפשר גם כן לזז עיניים ולשאול למי אכפת מה חשב היישוב היהודי על בריטניה במלחמת העולם השניה? הרבה יותר מטרידות שאלות אחרות - למה בכלל הייתה מלחמת עולם שנייה? נגד מי נלחמו הבריטים? כמה ארטיקים נמכרו אז בארץ? אתם מבינים את הרעיון - שאלות לא קשורות אפשר לשאול על כל שאלה וכל תרגיל, לאו דווקא מתמטי.

ובכל זאת, מה אפשר לעשות בשביל לפייס את יוהנס, שלא מרוצה מניסוח השאלות שנותנים לו? אני רואה שתי דרכים אפשריות - או שיתנו לו תרגיל “משעמם” של נוסחה פשוטה והצבה בה ותו לא, ולא ימציאו סיפור עם פרטים שיסיחו את דעתו (לטעמי זו דרך גרועה מאוד ואעסוק בזה בפוסט נפרד), או שיתנו לו כמה תרגילים עם בעיות “אמיתיות”. לרוע המזל, בעיות אמיתיות הן לרוב גם קשות יותר מבעיות מהונדסות, ולכן יוהנס לא יוכל להתמודד גם איתן. הפתרון האמיתי הוא כנראה להסביר ליוהנס שהסיפורים שמספרים לו בשיעורי מתמטיקה הם משחק, משחק שלא צריך לקחת יותר מדי ברצינות. בספר, כמובן, לא מתייחסים לכך, אבל כן מביאים עוד שתי דוגמאות לבעיות מילוליות מוזרות דומות, שעליהן יוהנס מתקצף מסיבות דומות.

עוד בעיה שיש ליוהנס והיא גנרית למדי היא מורה גרוע. המורה שלו לא קשוב לו, ולמרות שהוא רואה שיוהנס מתקשה הוא לא מקל עליו, לא נותן תרגילים פשוטים יותר, ובוודאי שלא מנסה לחזור ליסודות. בשלב מסויים יוהנס נכשל בפעולת כפל פשוטה. במקום לחזור על לוח הכפל ולוודא שליוהנס “נוח” איתו, המורה ממשיך להעיף עליו שאלות הזויות. עם זאת, כאן הספר מתאר בעיה אמיתית שקיימת בעיקר במתמטיקה ולא במקצועות אחרים. תלמידים רבים מאבדים את המתמטיקה כבר בשלב מוקדם ואינם שולטים ביסודות - ומרגע זה ואילך, אין להם כמעט שום סיכוי להתמודד עם בעיות מורכבות יותר. כאן המתמטיקה נבדלת מהיסטוריה תיכונית. היסטוריה תיכונית היא תחום שטחי ביותר, ומספיק מבט אחד בבגרות כדי לראות זאת - התלמידים נדרשים להיות מכונות שינון לעובדות, אבל אין צורך לזכור את הפרק על המשבר הכלכלי הגדול כדי לענות על שאלות בקשר למדיניות היישוב היהודי בארץ כלפי בריטניה במלחמת העולם השנייה. במתמטיקה זה לא כך - מי שאינו שולט בארבע פעולות החשבון, יתקשה בפתרון משוואות; ומי שמתקשה בפתרון משוואות, בוודאי שלא יצליח להתגבר על בעיות מינימום ומקסימום. אפילו בחומר השטחי של התיכון (ואני רוצה להבהיר זאת במפורש - המתמטיקה של התיכון היא שטחית עד להחריד, ואינה נוגעת במה שאני רואה בתור “מתמטיקה אמיתית”) יש עומק רב בהשוואה לשאר המקצועות התיכוניים, ואולי זו הסיבה המרכזית לקושי של המתמטיקה ביחס אליהם.

למעשה, יש עוד תחום שבו בסיס רעוע גורם לקושי רב בהמשך - יכולת הקריאה והבנת הנקרא. הסיבה שבגללה תחום זה פחות מורגש, לדעתי הלא מקצועית, היא גם שהנזק כאן הוא הרבה יותר “רוחבי” (כל מקצוע כמעט ייפגע מכך שהתלמיד אינו מסוגל לקרוא כמו שצריך), וגם שהיכולות הללו מתורגלות יותר באופן יומיומי - בדיבור וקריאה (בהנחה שעוד קוראים…) שאותם אנשים מבצעים גם שלא במסגרת לימודים - ולעומת זאת, איזה ילד שפוי פותר להנאתו תרגילי חשבון או משנן את לוח הכפל? (אם אני זוכר נכון, אני עשיתי זאת, אז כנראה שלא הייתי שפוי).

אם כן, המורה של יוהנס בכלל לא מתייחס לכל הבעייתיות הזו. הספר גם מנמק את גישתו:

כמו רוב האנשים שהמתמטיקה קלה להם, היה פון-שנאוצר בטוח שכל מי שאינו פותר נכון את התרגילים במתמטיקה ואת הבעיות בגאומטריה הוא או כסיל - או בטלן.

כאן אני בטוח שקליינברג לא היה מעז להחליף את “מתמטיקה” באף מקצוע לימודי אחר. אם כן, כאן יש לנו התקפה ישירה על המתמטיקה - יותר נכון, על מי שמתמטיקה “קלה לו”. אני לא ממש מכיר אנשים שחושבים כמו פון-שנאוצר, ולכן נראה לי שקליינברג משתעשע כאן עם סטיגמה על מורים למתמטיקה.

רוב הספר עוסק במאמציו של יוהנס לרמוז לאביו שכדאי “להעלים” את המתמטיקה, לרוב באמצעות רמזים עקיפים ומוזרים:

הוא קיווה שיצליח לגרור את השיחה לכך שפעם חשבו כולם שיש בעולם דרקונים - והיום אף אחד לא מאמין בהם. הוא קיווה שאפשר לשכנע את אביו שהמתמטיקה היא כמו דרקון, ושאפשר להעלים אותה, כמו את הדרקונים או את הדינוזאורים. מיליוני שנים היו ופתאום - אין.

בסופו של דבר, כשהרמיזות נכשלות, הוא מספר סיפור שבמרכזו מלך שאוהב לאתגר כל טענה “חד משמעית” שנותנים לו - דוגמת החביתה שצוטטה בכתבה ההיא על הספר מופיעה שם, כמו גם ניתוחים אלטרנטיביים של “יונתן הקטן” (למשל, מה על האפשרות שה”הוא” שטיפס על העץ הוא בכלל לא יונתן אלא סוכן חשאי?). ואז מגיע המורה למתמטיקה ונותן למלך את אחד מהתרגילים שעיצבנו את יוהנס. התגובה של המלך (בעמוד 71 בספר, חמישה עמודים מסופו) היא הפעם הראשונה שבה הספר תוקף איכשהו בצורה ישירה את המתמטיקה, והוא עושה זאת בדומה לאופן שתואר בכתבה.

מבלי לצטט, הדיאלוג מתנהל בערך כך: נותנים למלך שאלה על חלוקה מתוחכמת של תפוחים לשלושה אנשים. המלך אומר שיש לשלושה שמות משונים ושהוא היה מחלק את התפוחים שווה בשווה. עונים לו שהשמות לא חשובים אלא הבעיה המקורית של החלוקה. בתגובה תוהה המלך למה חשוב כמה כל אחד יקבל. לזה עונים לו שזה לא חשוב, אלא הפתרון הוא מה שחשוב. עונה המלך שזה לא חשוב לו, ואז עונים לו את משפט המחץ שצוטט גם בכתבה: “המתמטיקה לא עוסקת במה שחשוב לך, היא עוסקת בפתרון בעיות”.

טוב, תסלחו לי מראש, אבל זה דיאלוג ממש טיפשי. לא חוכמה לתקוף את המתמטיקה על ידי כך שמצמידים לה סנגורים גרועים. מה שצריך להסביר למלך - שוב, כמו שהיה צריך להסביר ליוהנס - הוא שהתרגיל הוא לא מטרה בפני עצמו, ופתרון בעיות היא לא מטרה בפני עצמה, אלא אימון החשיבה המתמטית של המלך היא המטרה בפני עצמה, והתרגיל הוא אמצעי לכך. המלך יכול לתהות למה הוא צריך חשיבה מתמטית בכלל, או איך תרגיל מטופש שכזה מאמן את החשיבה המתמטית, ושתי אלו הן שאלות מצויינות שדורשות דיון לא קטן בזכות עצמן; אבל המלך לא עושה זאת אלא בוחר לתקוף את הסיפור הטיפשי שמתלווה לתרגיל ואת זה שהתרגיל בפני עצמו אינו מעניין. אחזור שוב על מה שאמרתי קודם - אפשר היה לתת למלך תרגילים מעניינים וחשובים - למשל, החישובים הנדרשים כדי שמטוס נוסעים לא יתרסק מייד עם ההמראה - אבל למלך אין, בשלב זה של השכלתו, שום סיכוי לפתור אותן. אז מה הטעם?

בעקבות משפט המחץ שעונים למלך, מתפתח הדיאלוג הבא:

"זה ממש מעליב" אמר המלך חרדונזלך. "זה כאילו כולם חייבים לישר קו לפי מה שמעניין את המתמטיקה. ומה אם הרוב מצביע ומחליט שהפתרון יהיה 30 ולא אני לא יודע כמה?"

"מתמטיקה היא לא עניין של הכרעת הרוב" אמרו היועצים. "מתמטיקה זאת לא דמוקרטיה".

"המתמטיקה הזאת ממש מעצבנת" קרא המלך חרדונזלך ה-I. "היא חושבת שהיא יכולה להשתלט עלינו. היא חושבת שרק היא צודקת, שרק הפתרון שלה נחשב. אני מודיע בזאת על ביטול המתמטיקה ועל שחרור נתיני מעולה!" כך בוטלה המתמטיקה.

ואני חוזר על מה שאמרתי בפוסט הקודם בנושא - את אותו התעלול היה אפשר גם לבצע ביחס לעובדות היסטוריות. מה אם הרוב היה מצביע ומחליט שצ’מברליין הוביל את בריטניה לניצחון במלחמת העולם השנייה ולא צ’רצ’יל? האם לזה אפשר לענות ש”היסטוריה היא לא עניין של הכרעת הרוב… זאת לא דמוקרטיה”? האם זה הופך את ההיסטוריה ל”ממש מעצבנת”? האם בשל כך יש לבטל את ההיסטוריה?

אני מצטער, אבל אני פשוט לא מצליח להבין מה קליינברג מנסה לומר כאן. אם זו אכן ביקורת ספציפית על המתמטיקה, היא מנוסחת ברמה של ספר ילדים, לא יותר.

הסיפור לא נגמר כאן - המלך-מבטל-המתמטיקה קיים, כאמור, רק בתוך סיפור שיוהנס מספר לאביו. אביו עונה בתגובה ש”אי אפשר לבטל את המתמטיקה”, ולרגע נדמה שהספר לוקח תפנית לכיוון של מבוגר אחראי; יותר מזה, אביו עונה ש”המתמטיקה תמשיך להתקיים גם אם נכריז שהיא לא קיימת. זאת המציאות” - תשובה עניניית למדי למי שמבקש “לבטל את המתמטיקה” (ולא סתם להמנע מללמוד אותה). בתגובה עונה יוהנס:

אף פעם לא בדקו את זה. במציאות אנשים יוצאים כל יום לדרך מליפציג ומברלין, אבל הם אף פעם לא נוסעים במהירות קבועה. הם נפגשים כאשר הם נפגשים, ואף אחד לא מחלק 120 תפוחים כך שלראשון יהיו פי שלושה מאשר לשני ולשני מחצית מן השלישי. במציאות יש לכל שאלה כל מני פתרונות.

אני כמובן מסכים לחלוטין עם כל מה שיוהנס אומר כאן; אני פשוט לא חושב שזה עונה לטענה של המלך, או אומר משהו בכלל. נראה לי שכבר דשתי די בפוסט הזה בסיבה שבגללה התרגילים שיוהנס קיבל הם לא מציאותיים (או לא קשורים למתמטיקה “אמיתית”), ובפוסט הקודם דשתי קצת בעניין ה”יש לכל שאלה כל מני פתרונות”.

סוף הסיפור שמח - אביו של יוהנס פוטר אותו מלימודי המתמטיקה, וחסל. מוסר ההשכל, אם מחפשים כזה? אם משהו (אני מדגיש: משהו, לא מתמטיקה; הספר אינו עוסק במתמטיקה) קשה לך ולא מעניין אותך, עזוב; כנראה שזה לא באמת חשוב.

אני לא ממליץ על הספר.