שאלות ותשובות - מקבץ מס' 7

1. "ריבוע עם איקס בתוכו בקו אחד" - לא ניתן לצייר. הסבר מקיף נתתי בעבר באחד הפוסטים; הסיבה הבסיסית היא שבריבוע כזה, בכל אחד מהקודקודים של הריבוע נפגשים שלושה קווים, וכדי שצורה תהיה ניתנת לציור בקו אחד צריך שבכל קודקוד ייפגשו מספר זוגי של קווים, או שבכל קודקוד פרט לשניים בדיוק ייפגשו מספר זוגי של קווים.
2. "קלט לא טוב מיון מהיר" - השאלה אילו קלטים הם גרועים עבור מיון מהיר תלויה במימוש הספציפי שלו - כיצד נבחר איבר הציר. באופן כללי, הבחירה הגרועה ביותר של איבר ציר היא של האיבר הקטן או הגדול ביותר במערך, מה שגורם לכך שהאלגוריתם יקטין את כמות הקלט שעליו צריך לעבוד ב-1, במקום לחלק את הקלט לשני חצאים ולטפל בכל אחד בנפרד. במימוש הנאיבי ביותר של האלגוריתם נהוג לבחור בתור איבר הציר תמיד את האיבר הראשון במערך, כך שבסיטואציה זו הקלטים הגרועים הם אלו שבהם המערך ממויין בסדר עולה או יורד.
3. "מתי לפולינום יהיו אינסוף שורשים" - התשובה הקצרה: אף פעם לא, בהקשר ה"רגיל". התשובה הארוכה: אם מדובר על פולינום האפס, אז אפשר לומר שכל ערך שמציבים בו הוא שורש שלו, ולכן יש לו אינסוף שורשים. לכל פולינום אחר מעל שדה יש לכל היותר \( n \) שורשים אם דרגתו היא \( n \). מכאן ברור גם שמעל כל תחום שלמות (קבוצה שמוגדרים עליה חיבור וכפל בדומה לשדה, אך לא בהכרח קיים הופכי לכל איבר) יהיו לפולינום רק מספר סופי של אפסים, כי אפשר לשכן את תחום השלמות בשדה. לכן דוגמאות הנגד הן קצת "קיצוניות" באופיין: למשל, בחוג \( \mathbb{Z}_{36}\times\mathbb{Z}_{36}\times\mathbb{Z}_{36}\times\cdots \) (אינסוף עותקים של \( \mathbb{Z}_{36} \)) כל איבר שהקוארדינטות שלו מכילות רק 6 או 12 או 18 יקיים \( a^{2}=0 \), ויש אינסוף איברים כאלו, כך שלפולינום \( f\left(x\right)=x^{2} \) יש אינסוף שורשים מעל החוג המוזר הזה.
4. "אינטגרל של אקספוננט" - הכי פשוט בעולם: \( \int e^{ax}=\frac{e^{ax}}{a}+C \).
5. "כמה זה 1 בחזקת אינסוף" - פורמלית, אין משמעות לביטוי הזה (אי אפשר להעלות דברים בחזקת אינסוף). בעזרת החדו"א אפשר לתת משמעות פורמלית למשהו דומה: הערך של הגבול \( \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)^{g\left(x\right)} \) כאשר \( \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=1 \) ו-\( \lim_{x\to\infty}g\left(x\right)=\infty \). במקרה זה, לגבול יכולים להיות ערכים רבים, כתלות בזהות של \( f,g \). כך למשל אם \( f\left(x\right)=1 \) (הפונקציה הקבועה 1) הגבול הוא 1; אבל אם \( f\left(x\right)=\left(1+\frac{1}{x}\right) \) ו-\( g\left(x\right)=x \) אז ערך הגבול הוא הקבוע \( e \). אפשר "להנדס"את הפונקציות כך שיתקבל איזה גבול שרק נרצה.
6. "מישפטים שאי אפשר להתעלם מהם" - ללא ספק, "אם תתעלם ממני, אירה בך!". ממשפטים מתמטיים אפשר להתעלם כל עוד לא עוסקים במתמטיקה או בתחום שמסתמך עליה.
7. "האם 2 הוא שורש פרימיטיבי של 81"- בהנחה ששורש פרימיטיבי של 81 פירושו כאן הוא יוצר של \( \mathbb{Z}_{81}^{*} \), אז קל לראות שלא - \( 2 \) הוא שארית ריבועית מודולו \( 81 \) (כי \( 81 \) מודולו 8 הוא 1) ולכן הוא אינו יכול להיות יוצר.
8. "איך חישבו את הנוסחאות במתמטיקה בעבר" - בערך כמו היום - עם הרבה עבודה קשה, ניחושים, נסיונות לא מוצלחים והבזקי גאונות.
9. "רלוונטיות של המתמטיקה" - תלוי למה, ואיזו מתמטיקה. ברור שבלי רמה מסויימת של מתמטיקה לא היה ניתן לגגל כלל את השאלה הזו - ולמעשה, חלק לא זניח מהמתמטיקה שמעורבת בהליך הגיגול הזה היא לא טריוויאלית בעליל. כך שברור שהמתמטיקה רלוונטית במידת מה לחייו של המגגל.
10. "למה יש 360 מעלות במעגל" - שרירותי לחלוטין, שריד משיטת הספירה של הבבלים. ובכל זאת למה? כי 360 מתחלק בהרבה מאוד מספרים בצורה יפה - ב-2, ב-3, ב-4, ב-5, ב-6, ב-8, ב-10, ב-12, ב-15... אתם מבינים את הרעיון. בצורה הזו קל לדבר על שברי זוויות בצורה הרבה יותר נעימה לאוזן - במקום "רבע זווית היקף מעגל שלם" מדברים על "90 מעלות".
11. "ההבדל בין אקסיומה והגדרה" - בימינו הוא די מטושטש. בעקרון הגדרה היא שם שאנחנו נותנים לדבר מה כדי שיהיה ברור על מה אנחנו מדברים, ואילו אקסיומה היא הנחת יסוד שאנחנו יוצאים ממנה כשאנו באים לחקור מתמטית אובייקטים מסויימים ולהוכיח עליהם משפטים. אנחנו לא טוענים שנכונותה של האקסיומה מובנת מאליה - רק שאנחנו לוקחים אותה בתור נקודת פתיחה למשחק שלנו ונראה מה יתפתח מזה.
12. "סודות המתמטיקה" - בדרך כלל אין במתמטיקה סודות. הכל גלוי וידוע והאתגר היחיד הוא להבין.