האם הטור ההרמוני מתכנס ל-137?

בדיחה גסה ידועה (למתמטיקאים) מספרת על שני מתמטיקאים העומדים בקצה האחד של חדר כאשר בקצה השני נמצאת בחורה נאה, והם חפצים להגיע אליה. הראשון אומר “כדי לעבור את החדר צריך לעבור קודם את מחציתו; ואחרי שאגיע למחציתו, אצטרך עוד להגיע למחצית של המחצית הנותרת; ואחרי שאעבור אותה אצטרך להגיע למחצית של הרבע הנותר וכן הלאה - וכך עד אינסוף, ומכאן שלעולם לא אגיע אל הבחורה”. המתמטיקאי השני עונה לו “כן; אבל תתקרב מספיק לכל צורך מעשי” (בגרסאות מסויימות ה”מעשי” הוא פיזיקאי, אך אני מוחה נגד כך בתוקף - ההתמודדות עם הסיטואציה שמתוארת בבדיחה היא המצאה של מתמטיקאים).

מה הלך כאן? נניח שאורך החדר הוא 1. המתמטיקאי הראשון תיאר את מעבר החדר כסדרה של “צעדים”, שבה בכל צעד עוברים את חצי הדרך שעברנו בצעד הקודם. כלומר, אחרי צעד אחד עברנו \( \frac{1}{2} \), אחרי שניים עברנו \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \), אחרי שלושה עברנו \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \) וכן הלאה. הסכומים הללו הם מקרים פרטיים של טור הנדסי ולכן קיימת לנו נוסחה פשוטה שנותנת את ערכם: \( 1-\frac{1}{2^{n}} \) הוא המרחק שנעבר עד וכולל הצעד ה-\( n \) (למי שאינו מאמין - שיציב \( n=1,2,3 \) בנוסחה וישווה זאת לסכומים שכתבתי למעלה). לא קשה לראות שלא משנה איזה ערך של \( n \) אציב בנוסחה הזו לא אוכל לקבל 1, כך שהמתמטיקאי הראשון לא יגיע אף פעם אחרי מספר סופי של צעדים אל הקצה השני של החדר (באופן המאוד מוזר שבו אנחנו בוחרים למדוד “צעדים”). מה שהשני אומר הוא שאנחנו לא באמת חייבים להגיע ל-1 כדי לקטוף את הפירות של מעבר החדר; נניח שכל מה שאנחנו צריכים הוא שהמרחק בינינו ובין הבחורה יהיה \( 0.0000001 \); אז לא קשה למצוא \( n \) שהוא גדול כל כך עד שהמרחק שלנו מהבחורה קטן מה-\( 0.0000001 \) הזה (תרגיל למשועממים - מצאו \( n \) שכזה). על סיטואציה שכזו אומרים שהסדרה \( 1-\frac{1}{2^{n}} \) שואפת ל-1; היא לא בהכרח מגיעה ל-1, אבל לכל רמת קרבה שרק נרצה שהיא תתקרב בה ל-1 מבלי שתגיע אליו ממש, מובטח לנו שמתישהו זה יקרה (התנאי המדוייק שמגדיר שאיפה למספר כלשהו הוא טיפה יותר מורכב וכבר פירטתי עליו בעבר).

הסיטואציה שמתוארת בבדיחה היא הלעגה של אחד מהפרדוקסים של זנון, ש”מוכיח” שאכילס לא מסוגל לחצות חדר. על הפרדוקסים כתבתי כבר בפוסט נפרד ולא אחזור על כך כאן - הבאתי את הבדיחה בתור חימום לנושא האמיתי של הפוסט, שהוא סכום תמים למראה באופן דומה, אך מטעה וחמקמק למדי.

נניח שכעת אנחנו מנסים למדוד את צעדינו באופן הבא: בצעד הראשון נפסע מרחק של 1. בשני מרחק של \( \frac{1}{2} \). בשלישי מרחק של \( \frac{1}{3} \); ברביעי מרחק של \( \frac{1}{4} \) ובאופן כללי, בצעד ה-\( n \) נפסע מרחק של \( \frac{1}{n} \). די ברור שאחרי צעד אחד כבר נעבור מרחק של 1; גם ברור שאחרי ארבעה צעדים נעבור מרחק של 2, אבל מכאן ואילך המאמץ שנדרש מאיתנו כדי לעבור את 3 הוא גדול למדי, והמאמץ לעבור את 4 גדול עוד יותר, וכן הלאה וכן הלאה. אם כן, מה המספר המקסימלי שעוד נצליח לעבור? איזה חדר הוא גדול מספיק כדי שלא נוכל להגיע לקצה השני שלו? זו השאלה שלפנינו. בניסוח פורמלי, מדברים על הסכום \( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}+\dots \), שמכונה “הטור ההרמוני” ונכתב בקיצור כ-\( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \) ושואלים מהו סכום הטור הזה - למה הוא שואף באותו מובן של קודם.

כאן אפשר לחלק את בני האדם לשלושה סוגים: יש את אלו שאומרים שמובן מאליו שסכום הטור יהיה אינסוף כי יש בו אינסוף איברים. אלא שכבר ראינו דוגמה לטור שבו הטענה הזו שגויה בתכלית - \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}} \) שעליו דיברנו קודם מתכנס ל-1 ולא לאינסוף. לכן מי שטוען שהטור אינסופי מסיבה זו פשוט אינו “משתתף במשחק” שלנו ואינו דובר את אותה שפה כמונו; כבר עסקתי פעם בבלוג באדם מסוג זה.

הסוג השני, המתמטיקאי, יגיד שסכום הטור הזה הוא אינסוף, אבל שהדבר אינו מובן מאליו כלל וכלל, ויש להוכיח זאת. והוא גם יציג הוכחה או שתיים. אני מתעתד לעשות זאת בפוסט הזה. כדי להבהיר עד כמה הטענה הזו בלתי מובנת מאליה רק אעיר שעבור הטור \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \) כאשר \( \alpha \) הוא מספר ממשי כלשהו הגדול ממש מ-1 (\( \alpha>1 \)), הטור כן מתכנס (“מתכנס” פירושו שסכומו קטן מאינסוף). כלומר, \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \) הוא “כמעט” מתכנס וזה לא מובן כלל מאליו שהוא מתקלקל כך.

ויש את הסוג השלישי של אנשים, שיטענו שהטור מתכנס, ואולי אף יציגו מספר שהוא סכום הטור. בפורום של הבלוג התפתח דיון שכזה עם אדם הטוען שסכום הטור ההרמוני הוא 137 - דיון שאין דרך לסווג אותו מלבד “דיון קלאסי עם טרחן מתמטי כפייתי”. אנסה להציג משהו מהטיעונים שלו אחרי שיסתיים החלק המתמטי של הפוסט הזה.

הבה ונעבור להסבר מדוע הטור אינו מתכנס. ראשית, אינם חייבים לסמוך עלי - במהלך הדיון בפורום ניתן קישור למאמר שמציג 20 הוכחות שונות לתוצאה הזו. שנית, צריך להסביר מה בעצם אני מנסה להוכיח. לומר שהטור מתכנס לאינסוף פירושו (במקרה הספציפי הזה; ההגדרה הכללית היא מעט יותר מסובכת) שלכל מספר טבעי \( k \) שרק תגידו לי, אוכל לתת לכם מספר איברים כלשהו \( n \) כך שאחרי שסוכמים \( n \) איברים מקבלים סכום שגדול מ-\( k \). למשל, עבור \( k=137 \), שהוא הסכום המשוער שהזכרתי קודם, אפשר לראות שאם נסכום \( 2^{300} \) איברים נקבל תוצאה שגדולה מ-137. איך? למה? מאיפה המספר הזה הגיע? זה מה שנראה עכשיו. ראשית כל, הנה המחשה ציורית של ההוכחה, שמציגה בבירור את הרעיון המרכזי בה - קיבוץ איברים:

\( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots> \)

\( 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\dots= \)

\( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \)

כעת נעבור לתיאור יותר מדויק של מה שקורה כאן. לצורך נוחות, הבה ונסמן ב-\( H_{n} \) את מה שמקבלים אחרי שסוכמים את \( n \) האיברים הראשונים של הטור. המספר הזה נקרא “המספר ההרמוני ה-\( n \)-י”. לא קל לחשב במדוייק את הערכים של ה-\( H_{n} \)-ים ולכן במקום זה נותנים להם חסם תחתון - משהו שמובטח ש-\( H_{n} \) יהיה גדול ממנו. ההוכחה הפשוטה ביותר לכך שהטור ההרמוני אינו מתכנס, שנמצאה כבר במאה ה-14, מתבססת על שיטה פשוטה ויפה לתת חסם תחתון ל-\( H_{n} \)-ים: נסתכל רק על ה-\( n \)-ים שהם חזקות של 2, כלומר \( H_{2^{n}} \), לכל \( n\ge0 \) . כדי לקבל תחושה, הבה ונתבונן באיברים הראשונים:

\( H_{2^{0}}=1 \)

\( H_{2^{1}}=1+1\cdot\frac{1}{2} \)

\( H_{2^{2}}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+2\cdot\frac{1}{2} \)

רגע, רגע, רגע - מה עשינו עבור \( H_{2^{2}} \)? ויתרנו על חישוב מדוייק שלו ובמקום זה הלכנו על חסם תחתון. אמרנו שאפשר לקחת את \( \frac{1}{3}+\frac{1}{4} \) ולהשתמש בשיקול הבא: \( \frac{1}{3} \) הוא גדול מ-\( \frac{1}{4} \) ולכן \( \frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} \). הצמצום הזה עוזר לנו לחשב את החסם. כדי לראות זאת יותר בבירור הבה ונסתכל על המספר ההרמוני הבא בתור:

\( H_{2^{3}}=H_{2^{2}}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>H_{2^{2}}+4\left(\frac{1}{8}\right)>1+2\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+3\cdot\frac{1}{2} \)

מה עשינו כאן? אמרנו ש-\( H_{2^{3}} \) שווה בדיוק ל-\( H_{2^{2}} \) ובנוסף כל האיברים ה”חדשים” שלא הופיעו ב-\( H_{2^{2}} \) - שהם כל האיברים מהצורה \( \frac{1}{k} \) עבור \( 2^{2}<k\le2^{3} \). זה כבר מכתיב לנו את הדרך למקרה הכללי: נניח שהוכחנו ש-\( H_{2^{k}}\ge1+\frac{k}{2} \) ואנחנו רוצים למצוא חסם על \( H_{2^{k+1}} \), מה עושים? ראשית, כותבים \( H_{2^{k+1}}=H_{2^{k}}+\frac{1}{2^{k}+1}+\frac{1}{2^{k}+2}+\dots+\frac{1}{2^{k+1}} \). כעת, הסכום \( \frac{1}{2^{k}+1}+\frac{1}{2^{k}+2}+\dots+\frac{1}{2^{k+1}} \) כולל בדיוק \( 2^{k+1}-2^{k}=2^{k} \) איברים, והאיבר הקטן ביותר מביניהם הוא \( \frac{1}{2^{k+1}} \), כך שאנו מקבלים את החסם \( H_{2^{k+1}}\ge H_{2^{k}}+\frac{2^{k}}{2^{k+1}}\ge1+\frac{k}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{\left(k+1\right)}{2} \). בעצם הוכחנו כאן באינדוקציה שלכל \( k \) טבעי מתקיים \( H_{2^{k}}\ge1+\frac{k}{2} \), וזהו זה - עבור \( k \) גדול מספיק אפשר לעבור כל מספר טבעי שמפריע לנו.

נחזור לדוגמת ה-137: עבור \( k=300 \) מקבלים \( H_{2^{300}}\ge1+\frac{300}{2}=151 \). כך שלמעשה, \( 2^{300} \) הוא מספר גדול מדי של איברים; אפשר היה להסתפק בהרבה פחות. כמה פחות? בדיוק פתרון המשוואה \( 1+\frac{k}{2}>137 \), ובמילים אחרות - \( k=273 \). אם כן, הוכחנו שהטור ההרמוני עובר את 137 ב-\( H_{2^{273}} \), ובאותה דרך בדיוק נוכל לרמוס כל טענה שהטור ההרמוני מתכנס לסכום סופי אחר.

לאלו מכם שאינם מפחדים מלוגריתמים ואסימפטוטיקה, זוהי הזדמנות לראות שההוכחה הזו גם אומרת לנו משהו על קצב הגידול של \( H_{n} \): אם \( n=2^{k} \) אז \( k=\lg n \) ולכן \( H_{n}\ge1+\frac{\lg n}{2}=\lg\left(2\sqrt{n}\right) \). למעשה, זה חסם תחתון די גרוע - המספרים ההרמוניים מתנהגים בערך כמו \( \ln\left(n\right) \) (ועוד תיקון כלשהו).

ההוכחה הבאה שאציג היא לטעמי לא פחות מיפהפיה, ומספקת הדגמה נוספת לאופן שבו שימוש באקספוננט יכול לפשט בעיות חיבוריות על ידי הפיכתן לכפליות (מוטיב נפוץ למדי בתורת המספרים…). הרעיון הוא לא לחשב את \( H_{n} \) ישירות, אלא את \( e^{H_{n}} \) (כאשר \( e^{x} \) היא פונקצית האקספוננט שכתבתי עליה לא מזמן). גם כאן נצטרך לבצע קירוב כלשהו כדי לקבל נוסחה יפה, ונשתמש בכך ש-\( e^{x}>1+x \) לכל \( x>0 \) (אי השוויון מובן מאליו אם זוכרים ש-\( e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\dots \) - פשוט לקחנו את שני האיברים הראשונים).

ובכן: \( e^{H_{n}}=e^{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}}=\prod_{k=1}^{n}e^{\frac{1}{k}}>\left(1+1\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n}\right)=2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)\cdot\left(\frac{4}{3}\right)\cdots\left(\frac{n+1}{n}\right)=n+1 \).

השורה האחת הזו מסיימת את הסיפור. למי שלא הבין את המעבר שבו נעלמים הפלוסים -\( 1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k} \) באופן כללי, ולכן כאן מתקבל \( 1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \) וכן הלאה. המעבר האחרון נובע מכך שהמכפלה שקיבלנו היא “מכפלה טלסקופית” שבה כל איבר מצמצם את האיבר הבא: \( 2\cdot\frac{3}{2}=3 \), ו-\( 3\cdot\frac{4}{3}=4 \) וכן הלאה.

הוכחה אלגנטית ומקסימה נוספת מתבצעת בשלילה: מניחים שהטור ההרמוני אכן מתכנס למספר ממשי \( S \) כלשהו, ומשתמשים במניפולציות שמותר לבצע על טורים מתכנסים כדי להגיע לסתירה. הרעיון פשוט: אם \( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots=S \) אז אפשר לכפול את שני האגפים בחצי ולקבל \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\dots=\frac{S}{2} \). שימו לב שבאגף שמאל יש לנו בדיוק את האיברים ה”זוגיים” של הטור ההרמוני והם מתכנסים בדיוק למחצית מסכום הטור ההרמוני. מסקנה? גם האיברים הנותרים, האי זוגיים, מתכנסים למחצית הטור ההרמוני, כלומר \( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\dots=\frac{S}{2} \). אלא מה? כל איבר בטור האי זוגיים גדול ממש מהאיבר המתאים לו בטור הזוגיים: \( 1>\frac{1}{2} \), \( \frac{1}{3}>\frac{1}{4} \) וכן הלאה. על כן לא ייתכן שסכום שני הטורים זהה - ההפרש חייב להיות לפחות \( \frac{1}{2} \)! (כי ההפרש בין שני האיברים הראשונים הוא \( \frac{1}{2} \) והאיברים הבאים רק מגדילים אותו).

הערה או שתיים לסיום החלק המתמטי. ראשית, חבל להזכיר את התבדרות הטור ההרמוני בלי להזכיר הקשר רחב יותר שבו הטור ההרמוני מופיע - פונקצית הזטה של רימן, שמוגדרת כ-\( \zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} \) עבור \( s>1 \) (ובאופן יותר מחוכם עבור ערכים אחרים של \( s \), כולל מרוכבים). התבדרות הטור ההרמוני מראה כי \( \zeta\left(1\right)=\infty \), ואפשר לנצל את התופעה הזו, למשל, כדי להוכיח (בצורה מסובכת יחסית, אמנם) את קיומם של אינסוף ראשוניים; ווריאציה מחוכמת על ההוכחה הזו מובילה למשפט דיריכילה על ראשוניים בסדרות חשבוניות. בקיצור, מדובר בנושא מעניין.

עוד דבר הוא שיש דברים “חלשים יותר” מהטור ההרמוני שעדיין מתבדרים. הדוגמה הקלאסית היא הטור \( \sum\frac{1}{p} \) שבו משתתפים רק אותם איברים של הטור ההרמוני שמתאימים למספרים ראשוניים. במובן מסויים זה מראה כי יש כמות “אינסופית גדולה יחסית” של ראשוניים (ומצד שני, כדאי לזכור שכמות הראשוניים איננה מאותו סדר גודל של כמות הטבעיים אלא בערך לוגריתמית).

אוקיי, בואו נעבור לטרחנות. כאמור. מה אפשר לומר על מי שטוען שהטור מתכנס? ראשית, צריך לברר איתו האם הוא מדבר על אותו מושג התכנסות כמונו. יש תורה עשירה ויפה שעוסקת בטורים שמתבדרים על פי ההגדרה הקלאסית, אבל קיימות הגדרות מוכללות להתכנסות שעל פיהן הם אכן מתכנסים. כך למשל הטור \( 1-1+1-1+1-\dots \) הידוע לשמצה אינו מתכנס בהגדרה הקלאסית, אך כן יש משמעות מסויימת לאמירה שסכומו הוא \( \frac{1}{2} \) (לא אכנס לכך כעת, אבל אינטואיציה כפולה: ראשית, הסכומים החלקיים של הטור הם \( 1,0,1,0,\dots \) והממוצע שלהם הוא \( \frac{1}{2} \); שנית, אם מפתחים את \( \frac{1}{1-x} \) לטור פורמלי מקבלים \( 1+x+x^{2}+\dots \) וכשמציבים \( x=-1 \) מקבלים את הטור המדובר, וכשמציבים ב-\( \frac{1}{1-x} \) את הערך \( x=-1 \) מקבלים \( \frac{1}{2} \)).

בדיון עם טרחנים לרוב כאן יקיץ הקץ על המתמטיקה - הם לא יספקו אף פעם הגדרה כלשהי ל”התכנסות”, ולו בגלל שהגדרה כזו תקבע כללי משחק שעל פיהם הם מפסידים. בדרך כלל הם יעברו לשימוש בטרמינולוגיה הפרטית שלהם. הבה ונעבור לתיאור קצר של הדיון בפורום, עם אחד המכנה את עצמו א. עצבר (שם שודאי יהיה מוכר לכל מי שעוקב קצת אחרי דיוני מתמטיקה באינטרנט הישראלי), על הטור ההרמוני (דיון שהתפתח מדיון על נושאים אחרים, כמו זה שפאי אינו קבוע אלא משתנה ושאין מספרים אי רציונליים). הטיעון מתחיל ב:

ויש עוד אגדה, והיא טוענת שאין מספר גבול, לסכום מספרי תג שאין להם סוף.

“מספרי תג” בהקשר זה הם פשוט הופכיים של מספרים טבעיים. כלומר, \( n^{\prime}=\frac{1}{n} \). דומני שהסימון הזה איננו המצאה של עצבר, אך בכל מקרה הוא איננו סטנדרטי ואין שום טעם להשתמש בו בהקשר הנוכחי. זו המחשה להבדלי הטרמינולוגיות בין המתמטיקאי והטרחן - בין מי שרוצה שיבינו אותו, ובין מי שלא ברור מה הוא רוצה. כמובן שגם הדיבורים על “אגדה” אינם מבשרים טובות.

הטיעון נמשך ב:

אני מחזיק בדעה כי הטור ההרמוני מתכנס, והשערתי היא שהוא מתכנס ל 137.

זה כמובן לגיטימי לכשעצמו, רק תלוי מהם הנימוקים. אלא שהם כלל לא מגיעים בשום שלב שהוא. אם כן, מתבקש להציג את אחת מההוכחות שלעיל. אז מה שעושים הוא לנסות להציג לעצבר את הגרסה בת השורה האחת של שיטת קיבוץ האיברים (הדבר הראשון שהראיתי). התגובה לכך היא מרתקת:

ההוכחה הזו הופכת דעכן לטור מונוטני, אבל הפיכה זו אינה אפשריתזו אינה הוכחה. א.עצבר.

שימו לב להכנסת המושג החדש “דעכן” (מושג שאינו קיים בשום מקום, למיטב ידיעתי) ולאופן שבו הפסילה נעשית - הפיכה זו אינה אפשרית, וחסל. כמו תמיד, הקו המפריד בין טרחן ומתמטיקאי אינו כה מובהק - גם מתמטיקאי יכול לפסול הוכחות שמבוססות על מניפולציות של טורים; אלא שהמתמטיקאי ככל הנראה יספק הפניה או אזכור כלשהו של הסיבה לכך שהמניפולציות אינן חוקיות, למשל משפט רימן. מניפולציית כינוס האיברים של הטור ההרמוני היא חוקית לחלוטין, וכבר הראיתי דרך פשוטה לחשוב עליה שאינה כוללת התעסקות עם טורים אינסופיים כלל, כך שהפסילה של עצבר לא קשורה למציאות - אבל היא נחרצת לחלוטין, ופשוט מתעלמת מתוכן ההוכחה.

השלב הבא בדיון עם הטרחן הוא לבקש ממנו, אם כן, להתייחס לתוכן ההוכחה. התגובה שלו פשוטה - חזרה על ההוכחה בטרמינולוגיה שלו, וסיום עם משפט המחץ:

זו בערך ההוכחה שאתה מציג, ואני משאיר לך למצוא לבד את נקודת התורפה שלה.

זו הנקודה שבה אי אפשר שלא להתחיל לתהות האם הטרחן אינו סתם טועה, אלא ממש מנסה ללעוג למתדיינים עמו (אפשרות סבירה בהחלט).

אבל אז הדיון (אחרי עוד כמה וכמה הודעות מבוזבזות) מגיע לתפנית מפתיעה - עצבר כותב פירוט של הנימוק שלו לכך שהטור מתכנס, והנימוק הזה הוא מרתק. אצטט קטע מדיאלוג ארוך שעצבר כותב כדי להמחיש את הרעיון:

לוי: הדעכן ההרמוני הזה 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8'מתחיל עם מספרי הדעיכה הבאים 66.0 75.0 8.0 0.833 0.86 0.87 ראובן: אני רואה שמספר הדעיכה מתחיל ב 0.66 והוא נוסק לעבר 1 לוי: אם מספר הדעיכה ישאר 0.66 יש נוסחה לחישוב הסכום ואם מספר הדעיכה יגיע ל 0.75 וישאר קבוע, יש נוסחה לחישוב הסכום ואם מספר הדעיכה יגייע ל 0.8 וישאר קבוע, יש נוסחה לחישוב הסכום לכן, שינוי מספר הדעיכה לא משנה את העובדה שיש לדעכן מספר סכום, אבל כאשר מספר הדעיכה משתנה, אין לנו נוסחה לחישוב הסכום.

מה שמכונה “מספרי דעיכה” הם היחסים בין איברים עוקבים בסכום. אכן, \( \frac{1}{3}/\frac{1}{2}=0.66\dots \), ו-\( \frac{1}{4}/\frac{1}{3}=0.75\dots \) וכן הלאה. עוד אומר עצבר נכון שאם “מספר הדעיכה” של טור הוא קבוע, אז הטור מתכנס - זו דרך מסובכת להציג את המושג המוכר של טור הנדסי מתכנס. למעשה, צריך להיות מדוייקים - “מספר הדעיכה” של הטור צריך להיות קבוע וקטן מ-1 (הטור \( 1+2+4+8+\dots \) הוא טור הנדסי בעל “מספר דעיכה” 2 והוא אינו מתכנס). אלא שעצבר מבצע כעת קפיצה מחשבתית איומה: המחשבה שאם עבור מספר דעיכה קבוע הטור מתכנס תמיד, זה אומר שגם עבור מספר דעיכה משתנה הטור מתכנס תמיד - טענה שגויה לחלוטין. והוא עוד מגדיל לעשות ואומר:

כל דעכן דועך אל האפס,יש דעכן הדועך אל האפס במספר דעיכה קבוע ויש דעכן הדועך אל האפס במספר דעיכה משתנה ואיזה הבדל עקרוני יכול להיות בינהם ?

איזה הבדל? כל ההבדל שבעולם! ההבדל בין טור מתכנס וטור מתבדר! וזו מהות השגיאה של עצבר - חוסר היכולת לבצע את ההבדלה הזו. הקפיצה הגסה הזו מעל דברים “מובנים מאליהם” שבעצם אינם מובנים כלל מאליהם ודורשים הצדקה קפדנית. זה לב הבעיה - לא השימוש בטרמינולוגיה פרטית וגם לא היוהרה והדיבורים על “אגדות” וכדומה - אלא עצימת העיניים כאשר העובדות לא מסתדרות עם התיאוריה.

לסיום רק אעיר שבאופן כללי הטעות שעצבר מבצע היא טעות נפוצה למדי בקרב מי שעדיין לא פיתח אינטואיציה מתמטית סבירה. עצבר מבצע קפיצה מחשבתית מהצורה “אם משהו מתקיים לכל מספר טבעי, הוא מתקיים גם באינסוף”. במקרה שלו - אם “נקפיא” את מספר הדעיכה של הטור אחרי מספר סופי של צעדים, הטור יתכנס; אז אם זה קורה כשמקפיאים בכל שלב, למה שזה לא יתכנס גם כשהולכים לאינסוף?

שגיאה דומה (אבל בלבוש ערמומי יותר) צצה במקומות רבים במתמטיקה שבהם משתמשים באינסוף. אתן דוגמה או שתיים. ראשית, נניח שיש לנו סדרה \( a_{n} \), ומתקיימת התכונה שלכל \( n \) טבעי, מתקיים \( \inf\left\{ a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\right\} >0 \), כלומר האינפימום של \( n \) האיברים הראשונים בקבוצה הוא גדול מאפס. האם ניתן להסיק מכך שהאינפימום של הקבוצה כולה גדול מאפס? בפירוש לא, והסדרה \( a_{n}=\frac{1}{n} \) מראה זאת בבירור (מה שכן ניתן לעשות הוא לומר שהאינפימום של הקבוצה כולה הוא גדו או שווה לאפס).

דוגמה מתחום שונה לגמרי - בתורת החישוביות מראים כי כל שפה שיש בה רק מספר סופי של מילים היא כריעה (שפה היא קבוצת מילים; להכריע שפה פירושו להריץ אלגוריתם שבהינתן מילה תמיד מסיים את ריצתו עליה ואומר אם היא שייכת לשפה או לא). עכשיו בואו ניקח שפה \( L \) כלשהי ונסתכל על \( L_{n} \) - כל המילים ב-\( L \) שאורכן לכל היותר \( n \). אז כל \( L_{n} \) שכזו היא כריעה, אבל זה ממש לא אומר ש-\( L_{\infty} \) (שהיא בעצם \( L \)) תהיה גם כן כריעה, כי ייתכן מאוד ש-\( L \) המקורית לא הייתה כריעה. כאן שוב הזינוק מ-\( n \) עד לאינסוף הורס לנו את הכל. האינסוף הוא יצור חמקמק.

זה כמובן לא אומר שאף פעם לא ניתן לבצע את הזינוק הזה. דוגמה ידועה היא משפט הקומפקטיות מלוגיקה - אם יש לנו אוסף אינסופי של פסוקים, וכל תת קבוצה סופית שלהם היא ספיקה, אז גם האוסף כולו ספיק. כאן אכן מספיק להבין מה קורה במקרה הסופי כדי לזנק למקרה האינסופי. קיימות עוד תכונות קומפקטיות שכאלו, אך קיומן הוא אף פעם לא מובן מאליו ותמיד צריך להיות זהירים - וזהירות היא בדיוק מה שחסר לטרחנים המתמטיים, לדעתי. זה, ואולי גם בורג.