האם גאומטריה אוקלידית ב-n ממדים היא תגלית או המצאה?

אתר Ynet עושה מלאכה טובה בהבאת כתבות מעיתוני מדע פופולרי ישראליים, ביניהם “גליליאו צעיר”. גליליאו צעיר, בתמורה, עושה עבודה טובה בכתיבת כתבות מדע פופולרי; וכך זכתה כתבת מדע פופולרי על השאלה האם המתמטיקה היא המצאה או תגלית להגיע למספר שניות לעמוד הראשי של Ynet. הכתבה היא ברובה מצויינת. היא מתארת כמה קוריוזים היסטוריים מעניינים הקשורים לשאלה זו (כדוגמת גילוי עקומת הפעמון). אלא שכשהכתבה מגיעה לגאומטריות הלא אוקלידיות, מתחילה הבעיה שעליה אני רוצה לדבר כאן.

לשני הקוראים הותיקים יש אולי דז’ה-וו כרגע. כבר כתבתי פוסט דומה בעבר - במקרה הזה הוא עסק בפאי, ובצד תיאור נאה של ההיסטוריה שלו כלל גם טענות מתמטיות מוזרות ביותר, ששיאן היה הטענה “לעולם לא נגיע לערכו המספרי האמיתי של פיי, פשוט מכיוון שאין אנו יכולים להגדיר כזה.” אז כמו היום המאמר נכתב בידי רן לוי, שעושה מלאכת קודש בפופולריזציה של המדע. רן ענה לפוסט ההוא והסביר את עמדתו, שלדעתי באה לידי ביטוי במיוחד ב-“נקודת המוצא שלי בכתיבת מאמרים לקהל הרחב היא שאני מוכן להקריב את הדיוק המדעי למען פשטות ההסבר”. לא הסכמתי אז עם הטענה הזו וגם כעת אני לא מסכים איתה - זה דבר אחד להקריב את הדיוק למען פשטות ההסבר (ואני עושה זאת כל הזמן בבלוג הזה), ודבר אחר לכתוב דברים שהם לחלוטין לא נכונים ונותנים רושם שגוי לגמרי לגבי המתמטיקה. ואיני מתכוון כאן לשגיאות באותו מובן שבו המכניקה הניוטונית היא שגיאה - שגיאה שלימוד שלה הוא צעד חשוב בדרך ללימוד מודלים מתקדמים יותר - פשוט שגיאה שלא תורמת לכלום, לא לפשטות ההסבר, לא ליצירת העניין ולא להבנת הקורא.

מסיבה זו אני לא יכול להתעלם גם מהכתבה הנוכחית. חשוב לי לציין שוב שרן לוי עושה עבודת קודש ומעלה לדיון נושא חשוב ומעניין, ושהמטרות שלו הן חיוביות מאוד. אבל מה? היה כדאי לתת את המאמר לעיון כלשהו של מתמטיקאי בטרם יפורסם, ולתקן בהתאם.

הדיון האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה הוא פילוסופי והיסטורי בעיקרו וזו אינה הבעיה שלי עם המאמר. בשעתו כתבתי בעצמי פוסט שניסה להתייחס על קצה המזלג לסוגייה זו (העמדה שלי ברורה למדי - המתמטיקה היא תגלית; אבל קחו בחשבון שנקודת המבט שלי היא מתמטית ויומיומית, ולא פילוסופית, והגישה של הפילוסופיה למושגים אלו עשויה להיות שונה למדי משלי). הדוגמאות שאני הבאתי היו משפט המספרים הראשוניים והשערת ה-Monstrous Moonshine, שהן לטעמי דוגמאות “קיצוניות”יותר מאשר עקומת הפעמון; אך עם זאת, לא התייחסתי כלל לטענות הנגד שלפיהן המתמטיקה היא המצאה, ואילו רן לוי עושה זאת באמצעות הגאומטריות הלא אוקלידיות. לבושתי הרבה טרם כתבתי פוסט רציני בנושא - הכי קרוב היה אזכור שלו בסוף פוסט שעסק בהשערת הרצף, אך מספיק שאומר שלדעתי הגאומטריות הלא אוקלידיות רק מחזקות את האמונה שלי שהמתמטיקה היא תגלית; תגלית, שנדרשו כושר המצאה ויצירתיות כדי לגלות אותה.

אם כן, בואו ונראה מה המאמר אומר על הגאומטריות. ההתחלה טובה:

הגיאומטריה היא ענף במתמטיקה שאנחנו לומדים כבר בבית הספר היסודי: משולשים ישרי-זווית, היקף מעגל, שטח של מרובע, ועוד נושאים שכאלה. הבסיס לכל הגיאומטריה הן האקסיומות, משפטים בסיסיים שהם האמת היחידה, למשל: "בין כל שתי נקודות ניתן למתוח קו ישר".בגיאומטריה יש עשרה משפטים כאלה. האחראי לניסוחם היה המתמטיקאי היווני אוקלידס, שחי בסביבות שנת 300 לספירה באלכסנדריה שבמצרים. הוא לא המציא אותן, אלא רק אסף והסביר את עקרונות המתמטיקה שנקבעו עד אותם ימים. המתמטיקאים האמינו שאת האקסיומות אי אפשר, וגם אין צורך, לשנות. הן היו הבסיס לכל חוקי הגיאומטריה שאנחנו מכירים היום. אפשר להבין את המתמטיקאים האלה: מי יכול לטעון שמשפט כמו "בין כל שתי נקודות ניתן להעביר קו ישר" הוא שגוי? הרי הוא ברור מאליו!

בימינו המשמעות של אקסיומות אינה “משפטים בסיסיים שהם האמת היחידה”, אבל זה נובע בפרט מתגליות כמו הגאומטריות הלא אוקלידיות, כך שמבחינה היסטורית התיאור נראה לי נכון. ראיתי טוקבקים לכתבה שהתלוננו על ה”עשרה משפטים” וטענו שיש רק חמישה - זה לא נכון. יש עשר אקסיומות, אם כי הן מחולקות לחמש אקסיומות בסיסיות וחמש “הנחות”(Postulates). ההבדל לא ברור עד הסוף ואין טעם להיכנס לכך כעת.

אבל תמיד יש מישהו שחושב קצת אחרת מהאחרים. במאה ה-19 החל מתמטיקאי הונגרי צעיר בשם יאנוש בויאי להשתעשע ברעיון משונה. הוא התבונן באקסיומה החמישית, שקובעת שאם משרטטים קו ולידו נקודה, אפשר למתוח דרכה רק קו אחד שיהיה מקביל לקו הראשון. זה אומר שאי אפשר להעביר שני קווים שונים דרך אותה הנקודה, ולצפות ששניהם יהיו מקבילים לקו שלישי, אלא רק אחד מהם.מה יקרה, הוא שאל את עצמו, אם נחליף את האקסיומה החמישית באקסיומה חדשה? אז הוא החליט שדרך נקודה יכולים לעבור לפחות שני קווים שהם מקבילים לקו הראשון.

יש כאן כמה בעיות. הראשונה היא עוול היסטורי מסויים - הגאומטריות הלא אוקלידיות התגלו בו זמנית ובאופן בלתי תלוי הן בידי בולאי (למיטב הבנתי כך יש לכתוב את שמו ולא בויאי, אבל אני לא באמת יודע) והן בידי לובצ’בסקי (אם מתעקשים, לובצ’בסקי פרסם עוד קודם את תגליתו אבל אף אחד לא שמע עליה). למעשה, גאוס טען שהוא גילה זאת עוד לפני שניהם אבל נעזוב את גאוס. שנית, יש כאן פספוס כלשהו של העניין ההיסטורי באקסיומת המקבילים (האקסיומה החמישית המדוברת). אמנם, לוי מתאר אותה באופן מדויק (דבר שראוי לציון; יש פופולריזטורים שאומרים זוועות בסגנון “האקסיומה החמישית קובעת ששני ישרים מקבילים לא נפגשים”) אבל הוא מפספס הזדמנות לספר על הקושי שהיא עוררה במשך אלפי שנים בעולם המתמטי - בגלל הניסוח ה”קשה” שלה הסברה המקובלת הייתה שאפשר וצריך להוכיח אותה מהאקסיומות האחרות, ונעשו המוני נסיונות לכך לאורך השנים (כולם שגויים, כמובן, אם כי המוכיחים כנראה לא הבינו זאת בזמנם). הגילוי של הגאומטריות הלא אוקלידיות היה גם הוכחה לכך שהאקסיומה הזו אכן חייבת להיות אקסיומה - הנחת מוצא - ולא ניתן להוכיח אותה מהאקסיומות האחרות.

בעיה נוספת שיש לי עם התיאור הנ”ל הוא הגחכה של מה שבולאי עשה לרמת ה”טוב, בואו נחליט שהאקסיומה לא מתקיימת, וזהו”. זה כמובן לא מספיק. צריך גם לתת תיאור כלשהו של המשמעות החדשה של מושג ה”ישר”. עם זאת, ייתכן מאוד שלוי בחר כאן לנקוט בגישתו של “להקריב את הדיוק המדעי למען פשטות ההסבר” וזו גישה סבירה במקרה הזה (לא קל להסביר מה הם בעצם עשו במסגרת של מאמר פופולרי).

ואז מגיעה הקטסטרופה.

בשמיעה ראשונה, האקסיומה שהציע בולאי מגוחכת לחלוטין. אבל אם מתעמקים קצת מבינים שהיא ממש לא כזו: כשמשרטטים את הקווים המקבילים על דף נייר באמת אפשר להעביר רק קו אחד שמקביל אליו.אבל אם מקפלים את הדף לצורה שמזכירה אוכף (כזה ששמים על סוס, לעירוניים מבין קוראינו...), מגלים שאפשר לצייר דרך נקודה אחת שני קווים מקבילים לקו הראשון. זה אפשרי משום שהגיאומטריה הרגילה (הגיאומטריה האוקלידית) מתרכזת במשטחים דו-ממדיים, שיש להם רוחב ואורך, ואין להם גובה. ברגע שמקפלים את הדף הישר לצורת אוכף, או כדור או משולש, שיש להן שלושה ממדים (אורך, רוחב וגובה) נחשפת לפתע גיאומטריה חדשה לחלוטין - גיאומטריה לא אוקלידית.

ההתחלה נכונה, ואנסה לפרט. גם אחרי מה שבוליאי ולובצ’בסקי עשו, עדיין היה צריך לתת מודל כלשהו לגאומטריה החדשה - לתאר “עולם”שבו היא נכונה. לתת פרשנות חדשה למושגי הבסיס של קו ונקודה, כך שהאקסיומות של הגאומטריה הלא אוקלידית מתקיימות. אחד מהאספקטים המעניינים של הגאומטריות הלא אוקלידיות הוא שבתיאור הנפוץ שלה, ה”עולם” החדש הזה מתבסס על הגאומטריה האוקלידית; ואכן, התיאור המקובל הגאומטריה הלא אוקלידית הדו ממדית של בולאי ולובצ’בסקי הוא בתור מעין “אוכף”בגאומטריה האוקלידית. זה קצת מבלבל ודורש פוסט משלו כדי שניתן יהיה להסביר זאת ברצינות, אבל חשבו על כך באופן הזה: קחו את העולם התלת ממדי המוכר לנו. אם נצייר בו מישור (יצור דו ממדי “שטוח”) ונשחק בו בגאומטריה, נקבל את הגאומטריה האוקלידית; אבל אם נצייר בו אוכף (יצור שהוא עדיין דו ממדי אך אינו שטוח!) נקבל את הגאומטריה של בולאי ולובצ’בסקי. כל זה קורה בעולם האוקלידי התלת ממדי; העולם הלא-אוקלידי התלת ממדי מתנהג שונה לגמרי, אבל דרך לתת לו מודל היא לתאר אותו בתוך העולם האוקלידי הארבע ממדי וכן הלאה.

שימו לב שזה שונה לגמרי ממה שלוי כתב בשורה האחרונה בציטוט. לוי אומר ש”הגאומטריה הרגילה מתרכזת במשטחים דו ממדיים”. זה שגוי בכמה רמות שונות. ראשית, הגאומטריה האוקלידית מסוגלת לתאר מרחבים מכל מספר שהוא של ממדים. אוקלידס עצמו עסק גם במרחב התלת ממדי ובתיאור של עצמים בו; ההבדל בין הדו ממד לתלת ממד הוא ההבדל בין “גאומטריה של המישור” ובין “גאומטריה של המרחב”, אך בשני המקרים מדובר על גאומטריה אוקלידית (ובתיכון לומדים גאומטריה אוקלידית של המרחב). במרחבים עם מספר גדול יותר של ממדים עוסקים, למשל, במסגרת האלגברה הלינארית; כדי שתהיה משמעות לדיבור על גאומטריה בהם נכנסים לתמונה מושגים של אורך וזווית; גם לכך לא אכנס כרגע. הנקודה המרכזית היא שיש דבר כזה “מרחב אוקלידי \( n \)-ממדי”. הטענה של לוי ש”הגאומטריה הרגילה מתרכזת במשטחים דו-ממדיים” היא הטעיה.

אלא שכאן לא נגמרת הבעיה. הבעיה השניה היא שדף ישר שמקופל לצורת אוכף הוא עדיין דו ממדי! ושוב, קשה להסביר את זה מבלי להקדיש לכך פוסט בפני עצמו, אבל באופן אינטואיטיבי, ממד מודד את “דרגת החופש” שלנו. גם אם ניקח דף ישר ו”נעקם”אותו לקבלת אוכף, עדיין ניתן יהיה לתאר כל נקודה בו באמצעות שני פרמטרים “בלתי תלויים” ולא יהיה צורך בשלושה. לנקודה אמנם יש אורך, רוחב וגובה, אך הפרמטרים הללו תלויים זה בזה. אם סתם נבחר ערכים שרירותיים לאורך, רוחב וגובה של נקודה כלל לא מובטח לנו שהיא תהיה חלק מהאוכף.

אם כן, למרות שהרעיון שלוי מנסה להעביר הוא טוב וחשוב - החשיבה על הגאומטריה הלא אוקלידית כעל גאומטריה שמתנהלת על פני אוכף - הנימוקים שלו לא נכונים ומטעים.

לוי ממשיך עם זה קדימה:

אך ההפתעה האמיתית צצה מאוחר יותר. המתמטיקאי ברנרד רימן חשף ב-1854 שהגיאומטריה הלא אוקלידית תקפה גם לצורות בעלות ארבעה ממדים, חמישה ממדים, שישה, וכן הלאה. מה זה אומר בדיוק? הרי אפשר לזוז לצדדים (רוחב), אפשר לזוז קדימה ואחורה (אורך), אפשר לזוז למעלה ולמטה (גובה), לאן עוד אפשר לזוז?

רימן אכן פיתח ב-1854 תפיסה חדשה של הגאומטריה שהובילה למהפכה אדירה בתחום - דרך חדשה לחלוטין לחשוב על גאומטריה, ושוב, הפוסט הזה לא יכול לתאר אותה היטב מה גם שאני מאוד לא בקיא בתחום הזה - אבל לכמות גדולה יותר של ממדים לא היה קשר לכך. על קצה המזלג, הרעיון של רימן היה להשתמש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי כדי לחקור מרחבים שבאופן מקומי הם “דומים” למרחב אוקלידי, למרות שבאופן גלובלי הם עשויים להיות שונים מאוד (מרחבים כאלו נקראים יריעות). הגאומטריות של מרחבים כאלו הן רבות ושונות, ובין היתר הן תופסות הן את הגאומטריה האוקלידית והן את הגאומטריה הלא אוקלידית של לובצ’בסקי ובולאי. בקיצור, מדובר במהפכה מחשבתית שממש לא נכון לתארה ב”הגאומטריה הלא אוקלידית תקפה גם ל-\( n \) ממדים”.

לוי גם מעלה את השאלה הנכונה “לאן עוד אפשר לזוז”שמפריעה מאוד למי שמחפש צידוקים לגאומטריה רק בתוך המרחב הפיזיקלי המוכר לנו. אלא שמרחבים גאומטריים לא חייבים להתממש דווקא בתוך העולם הפיזי שלנו. לוי מתייחס לנקודה הזו:

עם הזמן נתגלה שקיים ממד רביעי - הזמן. אלברט איינשטיין הוכיח בתורת היחסות שלו שהזמן הוא ממד שדומה לרוחב, אורך וגובה, ורק כשמתייחסים אליו כך ניתן להסביר כמה תופעות משונות שבהן נתקלים בתצפיות על היקום ואפילו כאן בכדור הארץ.ומה לגבי הממדים הנוספים? האם גם הם קיימים? אנחנו לא יודעים. הגיאומטריה הלא אוקלידית יכולה לתאר אפילו צורות בעלות אלף ממדים, אבל אנחנו עדיין לא נתקלנו בהן. זו הסיבה שחלק מהמתמטיקאים מאמינים שהמתמטיקה היא המצאה אנושית, ואינה בהכרח מתארת את העולם כמו שהוא.

גם כאן אני לא מסכים איתו. החיפוש אחר צורה “בעלת אלף ממדים”בעולם הפיזיקלי אולי נידון לכישלון, אבל זה לא אומר שהן אינן קיימות במובן אחר; דוגמה פשוטה שאני חושב עליה היא מה שצץ בבעיות של תכנון לינארי. בבעיות כאלו יש צורך למצוא את הערך האופטימלי של פונקציה לינארית כלשהי תחת סדרת “אילוצים” - מערכת של אי שוויונות לינאריים. מבלי להיכנס גם לעובי הקורה כאן, ניתן לתאר בעיה כזו בתור חיפוש אחר קודקוד בכיוון מסויים של צורה \( n \)-ממדית, כאשר \( n \) נקבע על פי פרמטרים של הבעיה. גם צורות \( 1000 \)-ממדיות עשויות לצוץ בבעיות תכנון לינארי מציאותיות. כך שקיום יצורים כאלו הוא לא ממש נתון לויכוח, אלא אם כן מחפשים קיום פיזיקלי בלבד.

לסיכום, שאלת ההמצאה-או-תגלית לא תיפתר כאן, אבל אני סבור שטוב מאוד שלוי העלה אותה לבמה פופולרית שכזו. רק חבל לי שהאופן שבו הוא משתמש בגאומטריות הלא אוקלידיות כדוגמה הוא כזה שנותן רושם שגוי לגביהן ולגבי גאומטריה בכלל. אני באמת לא חושב שזה היה הכרחי.