הפרדוקס של בנך-טרסקי (חלק ג' ואחרון)

תקציר הפרקים הקודמים: הראיתי את פרדוקס האוסדורף, או כפי שהעדפתי לקרוא לו, “פרדוקס כמעט בנך-טרסקי”. פרדוקס האוסדורף אמר כי ניתן לקחת את ספירת היחידה במרחב התלת ממדי \( S^{2} \) (פניו של כדור שרדיוסו 1), להעיף מתוכה קבוצה בת-מניה של נקודות \( D \), והתוצאה \( S^{2}\backslash D \) תהיה קבוצה פרדוקסלית, כלומר ניתן יהיה לפרק אותה לשתי משפחות של תת קבוצות שכל אחת בנפרד מרכיבה את \( S^{2}\backslash D \), אחרי שמפעילים על איבריה אי-אלו איזומטריות.

פרדוקס בנך-טרסקי עצמו הוא אותו הדבר, רק שבמקום \( S^{2}\backslash D \) הקבוצה שאותה תוקפים היא כדור היחידה עצמו. בפוסט הזה נסתום את החורים שבפרדוקס האוסדורף, תרתי משמעי, ונקבל את בנך-טרסקי.

הרעיון הבסיסי הוא שאין צורך להוכיח את בנך-טרסקי במפורש עבור \( S^{2} \); מספיק שנראה שאפשר לפרק את \( S^{2} \), להפעיל על הפירוק איזומטריות ולקבל את \( S^{2}\backslash D \). בואו נטפל ברעיון הזה בצורה קצת יותר כללית. נאמר ששתי קבוצות \( A,B \) הן חופפות בחלקים אם אפשר לפרק אותן לשתי סדרות של קבוצות זרות \( A=A_{1}\cup A_{2}\cup\dots\cup A_{n},B=B_{1}\cup B_{2}\cup\dots\cup B_{n} \) כך שלכל \( i \) מתקיים \( g_{i}\left(A_{i}\right)=B_{i} \) עבור איזומטריה \( g_{i} \) כלשהי. די פשוט לראות שחפיפה בחלקים היא יחס שקילות - \( A \) בוודאי חופפת בחלקים לעצמה (קחו כל פירוק שתרצו ואת איזומטריות הזהות). אם \( A \) חופפת ל-\( B \) אז \( B \) חופפת ל-\( A \) (כי אם \( g_{i}\left(A_{i}\right)=B_{i} \) אז \( g_{i}^{-1}\left(B_{i}\right)=A_{i} \)). רק תכונת הטרנזיטיביות - שאם \( A \) חופפת ל-\( B \) ו-\( B \) חופפת ל-\( C \) - מהווה קצת אתגר. הרעיון הוא לקחת את שני הפירוקים של \( B \) - זה שמותאם לחפיפה ל-\( A \) וזה שמותאם לחפיפה ל-\( C \), ו”לחתוך” אותם (כל חתיכה בפירוק לפי \( A \) לחתוך לפלחים כשכל פלח שייך לחיתוך של החתיכה עם חתיכה בפירוק לפי \( C \)). מי שסקרן לא יתקשה להשלים את הפרטים בעצמו. שימו לב שאם בפירוק של \( A,B \) יש \( n \) חתיכות ובפירוק של \( B,C \) יש \( m \) חתיכות, אז בפירוק של \( A,C \) יש \( mn \) חתיכות, כלומר מספר החתיכות עשוי לגדול (ולמקרה שזה מסקרן אתכם, נסו למצוא דוגמה נגדית שמוכיחה כי “חופף ב-\( n \) חלקים” איננו יחס שקילות בדיוק בגלל בעיה זו).

נסמן \( A\sim B \) אם \( A,B \) חופפות בחלקים. אז ראשית, שימו לב שקל לתאר כעת מהי קבוצה פרדוקסלית: זוהי קבוצה \( E \) כך ש-\( E=A\uplus B \) ו-\( A\sim B\sim E \). שנית, את מה שאני רוצה להוכיח אפשר לתאר כעת בתור - אני רוצה להוכיח שאם \( A\sim B \) ו-\( B \) פרדוקסלית, כך גם \( A \), ואני רוצה להוכיח ש-\( S^{2}\sim S^{2}\backslash D \).

נתחיל מהטענה הראשונה. נניח ש-\( B \) פרדוקסלית עם פירוק ל-\( B_{1},B_{2} \). ניקח את הפירוקים של \( A,B \) שמראים את החפיפה שלהם, וכמו שעושים בהוכחה של הטרנזיטיביות - נפרק אותם עוד - כל חתיכה נפרק לשני חלקים, החלק האחד כולל את מה ששייך ל-\( B_{1} \), והשני את מה ששייך ל-\( B_{2} \). נקבל מזה פירוק של \( A \) לשתי קבוצות זרות \( A_{1},A_{2} \) כך ש-\( A_{1}\sim B_{1}\sim B\sim A \) ואותו הדבר עבור \( A_{2} \). זה מראה את הפרדוקסליות של \( A \).

נותר להוכיח כי \( S^{2}\sim S^{2}\backslash D \). התעלול שבו משתמשים פה הוא פשוט אך מחוכם ויפה; כדי להבין אותו בואו ניזכר קודם כל במקום אחר שבו משתמשים בתעלולים שכאלו ודיברתי עליו לא מזמן - המלון של הילברט. במלון של הילברט היה חדר לכל מספר טבעי וכל החדרים היו תפוסים, ואז הגיע אורח חדש. כדי לפנות לו מקום, את האורח בחדר 0 (בואו נניח שהטבעיים מתחילים מ-0; זה ישתלם בהמשך) העברנו לחדר 1 ואז התפנה לאורח החדש מקום בחדר 0. לרוע המזל, עכשיו נוצרה התנגשות בחדר 1 בין הדייר החדש והדייר הישן, אז העברנו את הדייר הישן של חדר 1 לחדר 2, וכן הלאה עד אינסוף. בואו נכתוב פורמלית את מה שעשינו פה - גם זה ישתלם לנו בקרוב. כדי לעשות את הסיטואציה עוד יותר דומה לזו שלנו, נניח שהמלון של הילברט גדול עוד יותר משמספרים לכם, ויש בו חדר לכל מספר רציונלי, כך שכל הטירוף של שיכון האורח החדש מתרחש בסך הכל באחד המסדרונות שלו ורוב האורחים במלון לא שמים אליו לב. אסמן את כל החדרים במלון ב-\( H \) (מלשון הילברט, או Hotel, איך שתרצו), ב-\( D \) את הקבוצה \( D=\left\{ 0\right\} \), וב-\( g \) את הפונקציה \( g\left(n\right)=n+1 \), שמזיזה את האורחים במסדרון של הטבעיים חדר. לסיום אסמן ב-\( \overline{D} \) את ה”סגור” של \( D \) ביחס לפונקציה \( g \), כלומר את הקבוצה \( \overline{D}=\left\{ g^{n}\left(D\right)|n\in\mathbb{N}\right\} \).

מכיוון ש-\( g \) היא פונקציה חד חד ערכית, אז \( \overline{D} \) שווה בגודלו ל-\( g\left(\overline{D}\right) \). אבל מהו \( g\left(\overline{D}\right) \)? זה בסך הכל \( \overline{D} \) כשהוצאנו ממנו את \( D \) המקורי, כלומר את חדר מספר 0. עכשיו ניתן לתאר מתמטית את התעלול שעשינו בתור \( H=\left(H\backslash\overline{D}\right)\cup\overline{D}\cong\left(H\backslash\overline{D}\right)\cup g\left(\overline{D}\right)=H\backslash D \). במילים: המלון \( H \) “חופף” למלון \( H \) כאשר החדר \( D \) בו פנוי. אולי אתם תוהים למה הייתי צריך להסתרבל כל כך כדי לכתוב את הטריק הפשוט הזה של הילברט - ובכן, מכיוון שמה שנעשה עכשיו עם בנך-טרסקי הוא אותו הדבר בדיוק. עד לרמת הסימונים.

נחזור לבנך-טרסקי. הקבוצה \( H \) אצלנו היא \( S^{2} \). הקבוצה \( D \) אצלנו היא תת-קבוצה בת מניה כלשהי של \( S^{2} \) (פרט לכך שהיא בת מניה שום דבר לא מעניין אותנו בה). בואו נניח שהצלחנו רגע למצוא איזומטריה של המרחב \( g \) כך שהקבוצות \( D,g\left(D\right),g^{2}\left(D\right),\dots \) יהיו זרות זו לזו (חשבו על \( D \) בתור האורחים החדשים במלון, על \( g\left(D\right) \) בתור האורחים שפונו כדי לפנות להם חדר, על \( g^{2}\left(D\right) \) בתור האורחים שפונו כדי לפנות לאורחים שפונו חדר וכו’). נגדיר \( \overline{D}=\left\{ g^{n}\left(D\right)|n\in\mathbb{N}\right\} \) כמו קודם, ונקבל ש-\( g\left(\overline{D}\right) \) זהה ל-\( \overline{D} \) ללא \( D \) (בשביל זה הכרחי ש-\( g \) לא תגרום ל”התנגשות” - לכך שאם מפעילים אותה על איבר כלשהו ב-\( \overline{D} \) מקבלים מישהו מתוך \( D \)). לכן נקבל ש-\( S^{2}=\left(S^{2}\backslash\overline{D}\right)\cup\overline{D}\sim\left(S^{2}\backslash\overline{D}\right)\cup g\left(\overline{D}\right)=S^{2}\backslash D \) - כאן החפיפה היא בדיוק עם שני חלקים, \( S^{2}\backslash\overline{D} \) ו-\( \overline{D} \).

הסבר מילולי קצר של מה שהלך כאן - השתמשנו בתעלול תורת-קבוצותניקי פשוט כדי להראות ש-\( S^{2} \) חופפת ל-\( S^{2}\backslash D \) - “החבאנו” את האיברים של \( D \) אי שם בתוך \( S^{2} \). לצורך כך היינו חייבים “לפנות” חלק מהאיברים של \( S^{2} \), אז העברנו אותם למקום אחר ב-\( S^{2} \), ואת התושבים שלו פינינו, וכן הלאה עד אינסוף. כמו במלון של הילברט כך גם כאן, התוצר הכולל של התהליך האינסופי הזה הוא שלכולם יש חדר וכולם מרוצים. ההבדל המהותי היחיד בין המלון של הילברט לסיטואציה הנוכחית הוא שהסיטואציה הנוכחית היא גאומטרית וה”הזזה” של איברים הייתה חייבת להיות באמצעות פונקציה שמכבדת את הגאומטריה הזו - איזומטריה \( g \). כל שנותר להסביר הוא איך מוצאים כזו בכלל. כאן העובדה ש-\( D \) בת מניה חוזרת להיות חשובה.

האופן שבו מוצאים את \( g \) הוא לא קונסטרוקטיבי. פשוט יש המון איזומטריות שאפשר לבחור ורק מספר קטן (בן מניה) שלהן הן לא מוצלחות. בוחרים ישר כלשהו שעובר דרך הראשית ולא פוגע ב-\( D \) (יש כזה כי יש מספר לא בן מניה של ישרים שעוברים דרך הראשית, ורק מספר בן מניה של נקודות ב-\( D \)). עכשיו מסתכלים על אוסף כל הסיבובים שאותו ישר הם ציר הסיבוב שלהם - שוב, יש מספר לא בן מניה של סיבובים שכאלו, כי יש מספר לא בן מניה של זוויות \( \theta \) שבהן אפשר לסובב. נסמן סיבוב בזווית \( \theta \) בתור \( g_{\theta} \).

בגלל שציר הסיבוב לא פוגע ב-\( D \), כל שני סיבובים בזווית בין 0 ל-360 מעלות פועלים בצורה שונה על כל אברי \( D \) (במילים אחרות, אם \( g_{\theta_{1}}\left(p\right)=g_{\theta_{2}}\left(p\right) \) עבור \( p\in D \) כלשהו, אז \( \theta_{1}=\theta_{2} \); אם ציר הסיבוב היה דרך נקודה ב-\( D \) אז היא הייתה עוברת לעצמה עבור כל סיבוב בכל זווית ולכן זה לא היה עובד). זה מאפשר לנו לתחום בצורה פשוטה את כל הסיבובים ה”רעים”: \( \theta \) היא זווית רעה לסיבוב אם קיים \( n>0 \) טבעי וקיימות נקודות \( p,q\in D \) כך ש-\( g_{\theta}^{n}\left(p\right)=q \) - כי, כאמור, אנחנו רוצים לוודא ש-\( g \) שאנו בונים לא יכולה לשלוח נקודה מ-\( D \) חזרה אל \( D \) ולא משנה כמה פעמים מפעילים אותה.

נשים לב שהשלשה \( \left(n,p,q\right) \) קובעת באופן יחיד את \( \theta \), בגלל התכונה שתיארתי לפני רגע. מספר השלשות הללו הוא בן מניה שכן \( n \) הוא מספר טבעי ואילו \( p,q \) שניהם איברים של קבוצה בת מניה. מכאן שיש רק מספר בן מניה של זוויות \( \theta \) “רעות”, ומכיוון שיש מספר לא בן מניה של זוויות \( \theta \) שאפשר לבחור, קיימת אחת שאיננה רעה. \( g_{\theta} \) עבורה תהיה האיזומטריה \( g \) המבוקשת. זה מסיים את הוכחת פרדוקס בנך-טרסקי.

רגע, רגע, איך זה מסיים את זה? בנך-טרסקי, כזכור, מתואר בדרך כלל עבור כדור, לא עבור ספירה, שהיא רק המעטפת של הכדור. אז כאן יש עוד שני טריקים קטנים שצריך לבצע. בתור התחלה, שימו לב לכך שההוכחה של בנך-טרסקי עבור ספירה לא השתמשה בשום מקום בכך שהספירה היא מרדיוס 1; ההוכחה עובדת עבור ספירה מכל רדיוס, והאיזומטריות שבהן משתמשים בפירוקים הפרדוקסליים של הספירות הן בדיוק אותן איזומטריות. כעת, שימו לב שאפשר לחשוב על כדור כעל אוסף של אינסוף ספירות - כדור היחידה, למשל, הוא איחוד כל הספירות מרדיוס קטן או שווה מ-1, ועוד הנקודה שבראשית הצירים. נסמן את הכדור ב-\( B \), אז פורמלית ניתן לומר כי \( B\backslash\left\{ 0\right\} =\bigcup_{r\le1}S^{2}\left(r\right) \), כאשר \( S^{2}\left(r\right) \) היא הספירה מרדיוס \( r \).

אם כן, \( B\backslash\left\{ 0\right\} \) היא קבוצה פרדוקסלית - כדי לקבל את הפירוק הפרדוקסלי שלה, פשוט ניקח את איחוד הפירוקים הפרדוקסליים של כל הספירות שמרכיבות אותה. זה כמעט מסיים את ההוכחה, רק שעדיין יש לנו את נקודת האמצע החסרה הזו. האם אתם יכולים לנחש באיזה טריק נשתמש כדי להיפטר ממנה? בדיוק באותו טריק שבו השתמשנו קודם כדי להיפטר מה-\( D \) שהציקה לנו. כאן ראשית הצירים היא האורח החדש במלון של הילברט, ו-\( B \) הוא המלון עצמו. פורמלית, ניקח איזומטריה \( g \) שהיא סיבוב בזווית אי רציונלית ביחס לאיזה שהוא ישר המפספס את ראשית הצירים. העובדה שהזווית היא אי רציונלית גורמת לכך ש-\( g \) תהיה מסדר אינסופי, כלומר \( g^{n}\left(x\right)\ne g^{m}\left(x\right) \) לכל \( n\ne m \). נגדיר \( D=\left\{ 0\right\} \) ו-\( \overline{D}=\left\{ g^{n}\left(0\right)|n\ge0\right\} \) וההוכחה שהראינו למעלה תעבוד שוב ותראה ש-\( B\backslash\left\{ 0\right\} \sim B \). סיימנו את בנך-טרסקי.

מה שלא הוכחתי הוא את הגרסה הפופולרית של בנך-טרסקי: “ניתן לפרק את כדור היחידה לחמישה חלקים, ו…”. אם תעקבו אחרי ההוכחה שלי בפירוט, השימושים התכופים שלי בכך ששתי קבוצות הן חופפות מאלצות אותי להשתמש ביותר חלקים. ניתן לצמצם את המספר לחמש באמצעות תעלולים טכניים, אבל אני מעדיף בהרבה את ההוכחה ה”נקייה” שנתתי, גם אם מספר החלקים בפירוק (שהוא עדיין סופי) איננו עגול ויפה כמו 5. לכן אעצור כאן.

לסיום, אני רוצה לסכם את ההוכחה, כדי שנבין בדיוק את כל השלבים שמובילים לפרדוקס.

1. הראינו שהחבורה החופשית עם שני יוצרים היא פרדוקסלית. הפרדוקסליות של החבורה הזו היא הבסיס לפירוקים פרדוקסליים רבים, לא רק זה של בנך-טרסקי.
2. הראינו (או יותר נכון, נפנפתי בידיים בנקודה הזו) שחבורת האיזומטריות של המרחב מכילה תת-חבורה חופשית עם שני יוצרים.
3. הראינו שיש קבוצה \( D \) כך ש-\( S^{2}\backslash D \) היא בעלת התכונה שאותה תת-חבורה חופשית של איזומטריות אינה כוללת נקודות שבת ב-\( S^{2}\backslash D \) (פשוט העפנו אותן - זה היה \( D \)).
4. הראינו משפט כללי יותר, שאם חבורה פרדוקסלית פועלת על קבוצה ואין לפעולה נקודות שבת, אז גם הקבוצה פרדוקסלית. מכאן הסקנו ש-\( S^{2}\backslash D \) פרדוקסלית.
5. הראינו ש-\( S^{2}\backslash D\sim S^{2} \) ולכן גם \( S^{2} \) פרדוקסלית.
6. הראינו ש-\( B\backslash\left\{ 0\right\} \) פרדוקסלית כי ניתן להציג אותה כאיחוד של \( S^{2} \)-ים מרדיוסים שונים.
7. הראינו ש-\( B\backslash\left\{ 0\right\} \sim B \) ולכן גם \( B \) פרדוקסלית.

בשלב 4, בהוכחת המשפט הכללי השתמשנו השתמש באקסיומת הבחירה (זה השלב היחיד בהוכחה שבו אנו נזקקים לו), וזאת כדי לבחור נציגים למסלולים של הפעולה של החבורה על הקבוצה. אותם נציגים הם ה”גרעין” שממנו נבנות החתיכות בפירוק הפרדוקסלי; כלומר, אקסיומת הבחירה נדרשה בדיוק בשביל השלב שבו אנחנו מפרקים את הספירה לחתיכות - אפשר, אינטואיטיבית, לחשוב על זה כאילו החתיכות הללו כל כך מוזרות ומעוותות, שהבניה שלהן היא בהכרח לא קונסטרוקטיבית. אפשר לחשוב כך, אבל כאמור - זו דרך חשיבה מסוכנת, כי הראיתי פרדוקס דמוי בנך-טרסקי שבו כן יש לנו בניה קונסטרוקטיבית.

אם כן, לסיום, איך אני מסביר את המוזרות של בנך-טרסקי? איך ייתכן שאנחנו מכפילים כך את המסה של כדור? התשובה המיידית היא שהחתיכות בפירוק הן לא בעלות מסה מוגדרת (הן חסרות מידה, במובן המתמטי של המילה “מידה”), ולכן לא מפתיע שאחרי שמרכיבים אותן מחדש קורים דברים מוזרים; עם זאת, אני חייב להודות שלי הפרדוקס כבר לא נראה לא כל כך פרדוקסלי, וגם לא כל כך מוזר. ככה זה כשמתגוררים יותר מדי זמן במלון של הילברט.