הוכחה לא קונסטרוקטיבית לכך שרציונלי זה טרנסצנדנטי (טוב, לא בדיוק...)

בראשית ימי הבלוג הייתה לי סדרת פוסטים על הוכחות לא קונסטרוקטיביות - הוכחות שמראות שדבר מה קיים מבלי להראות איך למצוא אותו. הוכחות כאלו צצות בכל עבר במתמטיקה ולמרות שמצד אחד הן “מרגיזות” מבחינה פילוסופית, אני מאוד אוהב אותן. יש משהו יפה, אפילו מרשים, ביכולת להוכיח דבר מה מבלי לגעת בו ישירות כלל.

והנה הפנה מייל את תשומת לבי להוכחה לא קונסטרוקטיבית מקסימה במיוחד ששכחתי. ועוד אחת שלוקחת בערך שורה וחצי ופחות או יותר כל אחד יכול להבין אותה. השאלה היא פשוטה - האם קיים מספר אי רציונלי שכאשר מעלים אותו בחזקת מספר אי רציונלי מקבלים מספר רציונלי? למי מכם שאומר “כמובן שיש, מה הבעיה” (ועוד לא מכירים את מה שאני הולך לעשות) - מהו המספר הזה? חשבו על זה רגע ונסו להוכיח לעצמכם שאתם צודקים - זה ייתן תחושה כלשהי של הקושי שיש בבעיה הזו.

למי שלא בקיא במושגים - מספר רציונלי הוא מספר שניתן להציג כמנה של שני שלמים - למשל, 3 הוא מספר רציונלי (\( \frac{3}{1} \)), וגם \( \frac{3}{7} \) הוא רציונלי וכן הלאה. לעומתו, \( \sqrt{2} \) איננו רציונלי - לא ניתן להציג אותו כמנת שני שלמים בשום צורה שהיא, והוכחתי זאת בעבר בבלוג. ולא, \( \frac{\sqrt{2}}{1} \) אינה הצגה לגיטימית כי \( \sqrt{2} \) אינו שלם. מי שמתחכם בקטע הזה הוא לא מתמטיקאי ואל תתנו ל-SMBC לעבוד עליכם.

אם כן, הבה נעבור להוכחה שאכן קיים מספר כזה מבלי להשתהות. כמיטב המסורת הלא קונסטרוקטיבית, אוכיח שקיים מספר כזה אך לא אוכל להגיד במפורש מישהו; וכדי לעשות את העניין מרגיז עוד יותר, מה שאעשה הוא להציג שני מספרים שאחד מהם יהיה המספר שאת קיומו אני מבקש להוכיח, אבל לא אגיד כלל איזה משני המספרים הללו הוא הנכון.

המספר הראשון הוא \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \). שורש 2 בחזקת שורש 2. מכיוון ש-\( \sqrt{2} \) הוא אי רציונלי, יש לנו כאן מספר מהצורה “אי רציונלי בחזקת אי רציונלי”. אז אם \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) הוא מספר רציונלי, סיימנו. אחרת…

אחרת, בואו נביט שניה על המספר \( \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} \). כלומר, המספר \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) שעליו דיברנו לפני שניה, בחזקת המספר \( \sqrt{2} \). המספר הזה הוא רציונלי בודאות, כי אם נשתעשע איתו על פי חוקי החזקות הרגילים נקבל:

\( \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\left(\sqrt{2}\right)^{2}=2 \)

כלומר, \( \left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} \) זו פשוט דרך מפוצצת לרשום את המספר הרציונלי 2. אבל מה יש לנו כאן? אם \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) היה אי רציונלי, אז מצאנו זוג מספרים אי רציונליים (\( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) ו-\( \sqrt{2} \)) שכאשר מעלים את האחד בחזקת השני, מקבלים מספר רציונלי. ואילו אם \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) לא היה אי רציונלי, אז כאמור - זה אומר שהוא רציונלי ולכן מצאנו זוג מספרים אי רציונליים (\( \sqrt{2} \) ו-\( \sqrt{2} \)) שכאשר מעלים את האחד בחזקת השני, מקבלים מספר רציונלי. אז הראינו כי בודאות קיים זוג מהסוג שאנו מחפשים, אבל אין לנו מושג איזה משני הזוגות הוא הנכון! סוף ההוכחה.

בהערת אגב מתמטית אפשר לומר שלמעשה, אנחנו כן יודעים מי משתי האפשרויות נכונה, אבל לשם כך צריך מתמטיקה יותר מתוחכמת מזו שהצגנו כאן. למעשה, יש משפט כללי וחזק למדי שמטפל בסיטואציות של “אי רציונלי בחזקת אי רציונלי”. משפט גלפונד-שניידר אומר כי אם \( b \) הוא אי רציונלי ו-\( a \) הוא מספר כלשהו שונה מ-0 או 1, ושניהם אלגבריים, אז \( a^{b} \) הוא טרנסצנדנטי. “מספר אלגברי” הוא מספר שהוא פתרון של משוואה כלשהי במקדמים רציונליים (למשל, \( \sqrt{2} \) הוא כזה כי הוא פתרון של \( x^{2}-2=0 \)) ואילו \( \pi \) אינו כזה, אם כי ההוכחה לכך אינה פשוטה (וכרגיל, המתחכמים שיגידו ש-\( x-\pi=0 \) היא משוואה מתאימה יתעלמו מכך ש-\( \pi \) שאינו רציונלי מופיע במשוואה הזו כמקדם של \( x^{0} \)). “מספר טרנסצנדנטי” הוא פשוט מספר שאינו אלגברי, ו-\( \pi \) הוא דוגמה קלאסית יחסית למספר שכזה (אם כי לא הראשון שהוכיחו עליו שהוא כזה וודאי שלא זה שהכי קל להוכיח זאת עבורו).

למעשה, משפט גלפונד-שניידר הוא כלי חזק למדי ב”בניה” של מספרים טרנסצנדנטיים מפורשים, ובפרט הוא מראה כי \( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) מיודענו הוא כזה. לאלו מכם שתוהים האם הוא אינו מהווה דוגמה נגדית למשפט גלפונד-שניידר, שכן אם \( a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) ו-\( b=\sqrt{2} \) ראינו כי \( a^{b}=2 \) והרי \( 2 \) איננו טרנסצנדנטי - שימו לב שדורשים ש-\( a \) יהיה אלגברי, ו-\( \sqrt{2}^{\sqrt{2}} \) איננו כזה. במילים אחרות, כדי שיתרחש הפלא של “אי רציונלי בחזקת אי רציונלי שווה לרציונלי” צריך שהבסיס (המספר שאותו מעלים בחזקה) יהיה “ממש ממש אי רציונלי”, כלומר טרנסצנדנטי.

לסיום, בקשה לקהל - אם שכחתי עוד הוכחות לא קונסטרוקטיביות יפות, אנא הזכירו לי! תודה.