מדוע "הקנון המדעי" לא כולל מתמטיקה?

כמו שכבר עשיתי בעבר, אני רוצה לרתוח הפעם על ספר שלא קראתי, בשל היחס שלו למתמטיקה. טוב, אולי כדאי להסביר: לפני שנתיים לערך יצאה לאור המהודרה העברית של “הקנון המדעי” של נטלי אנג’יר. הנה לינק לביקורת על הספר. המטרה של הספר טובה מאוד - להציג את המדע לקהל הרחב, וזאת על בסיס ראיונות רבים מאוד עם מדענים מובילים. הספר זכה לתשבוחות (ואם לא היה זוכה להן, לא הייתי טורח לכתוב עליו) וכנראה שהוא מהווה קריאה מומלצת עבור אותם קוראים שלא יתרשמו ממה שתכף אזדעק עליו. מה הבעיה? ובכן, לכאורה הבעיה היא שבספר אין מתמטיקה, כפי שנאמר בביקורת אליה קישרתי: “שני הפרקים הראשונים הם בסך הכל הצגה של כמה כלים פשוטים להבנת שאר הספר, אך אינם מתייחסים למהותה האמיתית של המתמטיקה”. אבל זה מילא. הבעיה שלי היא עם כך שהדבר אינו מקרי, ונובע מתפיסה כלשהי של המתמטיקה שמוצגת בתחילת הספר, אשר באופן נימוסי אקרא לה “מוזרה” ובאופן פחות נימוסי אקרא לה מטומטמת.

כשהספר נתגלגל לידי בחנות עלעלתי בעמודים הראשונים שלו, נתקלתי באותם ציטוטים שתכף אביא, והבנתי שאת הספר הזה כבר לעולם לא אקרא. לכן לא אוכל לדבר פה על הספר עצמו - רק על הציטוטים (שעלעול נוסף נתן לי את הרושם כי הם עומדים בפני עצמם ואין כאן הוצאה כלשהי מהקשר). אני חושב שאלו טיעונים שטוב מאוד להציג אותם ולהתייחס אליהם במפורש, פשוט כי הם כל כך נפוצים, וכפי שאנו רואים - מרעילים גם את הספרות המדע-פופולרית שבאה מנקודת מבט אוהדת למדע. פלא שהמתמטיקה כה מושמצת?

ובכן, הנה החלק הממוקד שהפריע לי. ההקשר של הפסקאות הקודמות הוא השימושיות המפתיעה של המתמטיקה לתיאור המציאות:

For all the power of math in making sense of reality, though, math should not be thought of as something inviolate, matchless, even sacred. A mathematical description of a phenomenon is not a "truer" description than an equivalent, nonmathematical explanation would be, any more than the word "table" is a truer rendering of "a piece of furniture having a smooth, flat top on legs" than are the words "mesa," "tavolo," or "lijst." Math is a language, not the language, and its symbols can be explained in other idioms, including that lovely English dialect called Plain.

For all but a tiny clique of researchers known as pure mathematicians, who have scant interest in connecting the dots between theorem and you-are-here, math is a means to an end, and the end must do more than make the pi higher. It must deliver reality back to us, this time with chapter headings, annotations and footnotes, and wise verbs strong enough to bear the weight of the inevitable sentence endpoint, the question mark. I get irritated with scientists who complain about the reluctance of popular science writers to include a sprinkling of math in their narrative, and who insist that the story told is therefore incomplete and even slightly misleading, as though the point of the math was the math was the math.

"In principle, every equation can be expressed in English as a sentence," said Brian Greene. Admittedly, such transpositions often would be clumsy sentences, and you wouldn't want to curl up with a book of them, but the moral is clear: even if you remain numb to numbers, you can still understand what they have to tell us about the universe. You can become scientifically quite sophisticated without mastering much if any math. "I have never felt that science was quite so dependent on mathematics as some scientists do," said Kip Hodges, director of the School of Earth and Space Exploration at Arizona State University. "Mathematics is a way of describing nature but not necessarily of understanding it."

קרוב לודאי שחלקכם תוהים בעיקר מה זה אומר, לעזאזל, Make the pi higher. למיטב הבנתי זה משחק מילים על Make the pie higher, שהוא בתורו שיר מגוחך שמורכב כולו מציטוטים (לא קשורים זה לזה) של ג’ורג’ בוש הבן. אבל רגע, אז מה זה אומר? אין לי מושג; אני לוקח את צירוף המילים הזה בתור משהו שמשמעותו “משהו שמעניין רק מתמטיקאים”.

כאן נעוצה הבעיה הראשונה בציטוט, ואולי החמורה ביותר - אנג’יר פוסלת על הסף את המתמטיקה כישות עצמאית. עולם כל כך רחב ומופלא, ואנג’יר מבטלת אותו בהבל פה ומשעבדת אותו למטלה ספציפית אחת של “תיאור המציאות”. את מי שעוסקים במתמטיקה שלא למטרה זו היא הופכת ל”קליקה זעומה”. כך, בשורה לא רצינית אחת, אנג’יר זרקה את המתמטיקה לפח.

כפי שכבר כתבתי כאן בעבר, אני מאמין שהעולם המתמטי “קיים” באמת ובתמים, באופן מנותק מאוד מאיתנו. כמובן שאין זה קיום פיזי; אך זה רק הופך את העניין למרתק עוד יותר. אנג’יר פשוט מתעלמת מהעולם המתמטי הזה - לדידה, מתמטיקה נועדת לתאר את העולם הפיזי, וחסל. אני חולק עליה מכל וכל. גם אותם מתמטיקאים טהורים שלהם אנג’יר לועגת עוסקים בדיוק בתיאור המציאות; רק שזו כנראה לא המציאות שמעניינת את אנג’יר, וזו בעיה אצלה, לא אצל המתמטיקאים.

אבל ניחא, נעזוב את הויכוח הזה כי אנג’יר בכלל לא טורחת להיכנס אליו מרוב שהיא בטוחה בצדקת דרכה. מה שבאמת מרגיז כאן הוא שאנג’יר נכנסת למסע צלב כנגד נוסחאות ומספרים, וזה כבר באמת מטופש.

אולי כדאי להבהיר את זה אחת ולתמיד במפורש. נוסחאות ומספרים עוזרים לנו להבין. אני חוזר - עוזרים. זו המטרה שלהם. זו הסיבה היחידה שמתמטיקאים משתמשים בהם. בלעדיהם הכל הרבה יותר מסובך. אבל, וזה עוד דבר שכדאי להסביר אחת ולתמיד, נוסחאות ומספרים אינם מתמטיקה. בוודאי, הם צצים מאליהם כשעוסקים במתמטיקה, והעיסוק במתמטיקה היה הרבה יותר קשה בלעדיהם, אבל הם לא המתמטיקה. בריאן גרין צודק לחלוטין - כל משוואה ניתן לבטא גם באנגלית. אבל, וזה מה שאנג’יר כנראה לא תופסת, זה שנפסיק לכתוב את המשוואה ונכתוב אותו באנגלית במקום זה לא אומר שהפסקנו לעשות מתמטיקה - זה רק אומר שהפסקנו לעשות מתמטיקה בצורה שניתן להבין אותה.

הנה המחשה לעניין - ציטוט של בעיה מאחד הספרים המתמטיים החשובים ביותר שנכתבו אי פעם, Liber Abaci:

A certain man had one pair of rabbits together in a certain enclosed place, and one wishes to know how many are created from the pair in one year when it is the nature of them in a single month to bear another pair, and in the second month those born to bear also. Because the abovewritten pair in the first month bore, you will double it; there will be two pairs in one month. One of these, namely the first, bears in the second month, and thus there are in the second month 3 pairs; of these in one month two are pregnant, and in the third month 2 pairs of rabbits are born, and thus there are 5 pairs in the month; in this month 3 pairs are pregnant, and in the fourth month there are 8 pairs, of which 5 pairs bear another 5 pairs; these are added to the 8 pairs making 13 pairs in the fifth month; these 5 pairs that are born in this month do not mate in this month, but another 8 pairs are pregnant, and thus there are in the sixth month 21 pairs; [p284] to these are added the 13 pairs that are born in the seventh month; there will be 34 pairs in this month; to this are added the 21 pairs that are born in the eighth month; there will be 55 pairs in this month; to these are added the 34 pairs that are born in the ninth month; there will be 89 pairs in this month; to these are added again the 55 pairs that are born in the tenth month; there will be 144 pairs in this month; to these are added again the 89 pairs that are born in the eleventh month; there will be 233 pairs in this month.

To these are still added the 144 pairs that are born in the last month; there will be 377 pairs, and this many pairs are produced from the abovewritten pair in the mentioned place at the end of the one year.

You can indeed see in the margin how we operated, namely that we added the first number to the second, namely the 1 to the 2, and the second to the third, and the third to the fourth, and the fourth to the fifth, and thus one after another until we added the tenth to the eleventh, namely the 144 to the 233, and we had the abovewritten sum of rabbits, namely 377, and thus you can in order find it for an unending number of months.

הספר נכתב בידי אחד, לאונרדו מפיזה, הידוע יותר בכינוי “פיבונאצ’י”. הציטוט שלעיל הוא דוגמה קלאסית לבעיה שפתרונה הוא מספרי פיבונאצ’י המפורסמים. פיבונאצ’י חי לפני 800 שנים, הרבה לפני שהסימונים המתמטיים של ימינו ושיטת הכתיבה המתמטית של ימינו הייתה קיימת - הוא עצמו, בספרו, הציג למערב חלק מההתפתחויות החשובות ביותר בתחום הזה - בפרט הספרות הערביות ושיטות החישוב הערביות. עם זאת, הספר בימינו הוא קשה מאוד לקריאה בשל סגנונו המילולי מאוד, ואף שהוא כולל שש מאות עמודים לערך, כנראה שאפשר היה לסכם את כולו בספר קצר ותמציתי בהרבה. את הפתרון שלו לבעיה שהוא מציג פיבונאצ’י היה מתאר בימינו באמצעות הנוסחה \( F\left(n\right)=F\left(n-1\right)+F\left(n-2\right) \). האם בשל העובדה שהוא לא כתב משוואה זו, פיבונאצ’י לא עסק במתמטיקה? ודאי שהוא עסק במתמטיקה.

ייתכן שתגידו - נו, מה אתה רוצה, לא על זה אנג’יר דיברה. הרי פיבונאצ’י פותר חידה שהיא מטבעה מספרית, ואנג’יר מדברת על תיאור של העולם. ובכן, חלקים מהעולם מתארים במספרים באופן בלתי נמנע כמו הארנבונים של פיבונאצ’י; אבל ייתכן שאנג’יר רוצה לדבר על דברים שהם לא מספריים באופן מובהק באופיים, למשל:

The alteration of motion is ever proportional to the motive force impress'd; and is made in the direction of the right line in which that force is impress'd.

שמתואר בנוסחה לרוב כ-\( \vec{F}=m\vec{a} \) (זו נוסחה פשטנית והפיזיקאים בדרך כלל מזדעקים ובצדק כשהם רואים אותה; שיסלחו לי הפעם). השם הפופולרי של העסק הזה הוא “החוק השני של ניוטון”. אני חוזר שוב על הטענה שלי - גם כאשר \( \vec{F}=m\vec{a} \) מנוסח באופן מילולי על ידי ניוטון עצמו, זה עדיין חוק שמתאר באופן מתמטי התנהלות פיזיקלית כלשהי; ההבדל היחיד הוא ש-\( \vec{F}=m\vec{a} \) קצת יותר קל לקריאה למי שכבר מכיר את \( \vec{F} \), את \( m \) ואת \( \vec{a} \).

אם נבצע הקבלה למוזיקה, אנג’יר סבורה ככל הנראה שמתמטיקה הוא כמו תווים, אך כמו שניתן לתאר מוזיקה גם בצורה אחרת (“הסימפוניה של בטהובן נפתחת בסקוונצה שבה שלושה תווים קצרים זהים רצופים ואז אחד ארוך…”) כך גם אפשר לוותר על המתמטיקה לחלוטין ולתאר את ה”מוזיקה” בדרך אחרת. אני כמובן סובר שהמתמטיקה היא עצמה המוזיקה; לכל הפחות, שלא ניתן להפריד את המוזיקה מהמתמטיקה. דיון מדויק (מתמטי?) על זה קשה לקיים מבלי לתת הגדרות מדויקות למתמטיקה, מה שאנג’יר כמובן לא עושה וגם אני לא אעשה כעת; אני סבור שהבלוג הזה נותן לא מעט דוגמאות למה שלטעמי הוא מתמטיקה, ואיני חושב שאף לא אחת מהן עוסקת באופן מיוחד בסימון (טוב, אולי הפוסט הלפני אחרון שעסק במהומה השלמה שפורצת סביב האופנים השונים שבהם ניתן לקרוא ביטוי חשבוני…).

עם זאת, ברור לי גם מה אנג’יר כן רוצה להגיד בפסקה הזו - היא רוצה להגיד שגם בלי חשיבה מתמטית אפשר להיות מדען טוב. שלפעמים ניתן להסתפק בתיאור איכותי-מילולי-רופף-רב-משמעי של תופעות פיזיקליות. המתמטיקה, באופיה, שואפת לבטל את העמימות; היא מנסה להיות חד משמעית וברורה, ולהבין כיצד דברים גוררים אלו את אלו. איני יודע אם דברים אלו הכרחיים למדען וקרוב לודאי שבתחומי מדע מסויימים הם אינם כאלו. אולם כדי לבטא את המסר הזה אנג’יר אינה צריכה לצמצם את המתמטיקה לכדי משחק במשוואות, וזה בוודאי לא מעניק לה את הזכות, בספר בעל השם הכה בומבסטי כמו “הקנון המדעי”, להתחמק מדיון אמיתי על המתמטיקה.

לסיום יש לנו את הכעס של אנג’יר על מדענים שבתורם מתעצבנים על סופרי המדע הפופולרי שמחפפים במשוואות. מה שאנג’יר כנראה אינה מבינה הוא שהכעס אינו בגלל שההמנעות ממשוואות מסתירה את המתמטיקה שאנו הו-כה-אוהבים, אלא שהחיפוף הזה, חד משמעית, גורם לסופרי המדע הפופולרי להדרדר לשימוש במטאפורות שהן נחמדות אך אינן מתארות נכונה את המציאות. לפעמים, מה לעשות, המציאות היא סבוכה ומורכבת מכדי שאפשר יהיה להסביר אותה באמצעות תיאור איכותי-מילולי-רופף-רב-משמעי. חשבו על כל הנסיונות הרבים לתת תיאור מילולי קולע של משפטי אי השלמות של גדל (כולל כאלו שנעשו בבלוג זה עצמו) - הם כולם כושלים ברמה מסויימת. מי שישמע רק אותם ויכיר רק אותם, חד משמעית אינו מבין את משפטי אי השלמות של גדל; אבל, וזו לב הבעיה כאן, לא מעט אנשים יחשבו שהם מבינים אותם. אנג’יר מנסה לתת לגיטימציה כלשהי לחוסר ההבנה ולהעמדת הפנים שהוא הבנה, וזו הבעיה האמיתית איתה.

וכמובן, xkcd כבר אמר את זה הרבה יותר טוב לפני, אפילו אם “לפני” היה בשבוע שעבר.