תורת המספרים האלגברית על קצה המזלג, חלק ד' - השיבה אל חוג השלמים

בפוסט הקודם הוכחתי שבכל חוג דדקינד קיים פירוק יחיד ברמת האידאלים. זה התקשר למה שדיברתי עליו קודם לכן בכך שכל חוג שלמים \( \mathcal{O}_{K} \) של שדה מספרים \( K \) הוא חוג דדקינד - טענה שטרם הוכחתי. בפוסט הזה אני רוצה להוכיח אותה, אבל קודם לכן אני רוצה לומר משהו על אחד מהדברים שמבדילים חוגי שלמים \( \mathcal{O}_{K} \) מחוגי דדקינד כלליים, וזאת על ידי הצגת אחד מהמושגים המרכזיים שקשורים לחוגי שלמים - חבורת מחלקות האידאלים (באנגלית זה נשמע יותר טוב - Ideal Class Group) ובפרט הגודל של אותה חבורה, שמכונה “מספר המחלקה” (Class Number). בקצרה אפשר לומר שהחבורה הזו מתארת עד כמה \( \mathcal{O}_{K} \) הוא “לא בעל פריקות יחידה” - ככל שהחבורה יותר מסובכת, כך הפריקות היחידה יותר מקולקלת - ושלהבדיל מחוגי דדקינד כלליים, שבהם החבורה עשויה להיות גדולה ומסובכת באופן בלתי מוגבל, בחוגי שלמים החבורה הזו היא תמיד סופית, כלומר מספר המחלקה הוא תמיד מספר טבעי. עכשיו משאמרתי את זה אפשר להתחיל ולהתעמק בפרטים.

אחת התכונות של חוג דדקינד הייתה שהוא נתרי. ההגדרה שנתתי לחוג נתרי היא חוג שבו כל שרשרת עולה של אידאלים מתייצבת בסופו של דבר, אבל יש הגדרה שקולה שהזכרתי לרגע בפוסט הקודם - זה חוג שבו כל אידאל הוא נוצר סופית, ואולי כדאי סוף סוף להסביר במפורש מה זה אומר. אם \( A \) היא קבוצה כלשהי של איברים בחוג \( R \), אז האידאל שנוצר על ידי \( A \), שמסומן ב-\( \left\langle A\right\rangle \), הוא האידאל הקטן ביותר של \( R \) שמכיל את \( A \). זו לא הגדרה שמבטיחה קיום, אבל קיום נובע מכך שאפשר להוכיח ש-\( \left\langle A\right\rangle \) הוא חיתוך כל האידאלים של \( R \) שמכילים את \( A \), ו-\( R \) עצמו הוא אידאל כזה. לא קשה לתת תיאור מפורש ל-\( \left\langle A\right\rangle \) למרות שהוא פחות אלגנטי במהותו מההגדרה והאפיון השקול שהצגתי: \( \left\langle A\right\rangle =\left\{ \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}a_{i}|a_{i}\in A,\lambda_{i}\in R,n\in\mathbb{N}\right\} \), ובמילים - צירופים לינאריים סופיים של אברי \( A \) עם מקדמים מ-\( R \) (קל להוכיח שזה אידאל ושהוא מכיל את \( A \) ומוכל בכל אידאל אחר שמכיל את \( A \)).

כעת, אידאל \( I \) הוא נוצר סופית אם קיימת \( A \) סופית כך ש-\( I=\left\langle A\right\rangle \). הסיבה לכך שבחוג נתרי כל אידאל הוא נוצר סופית היא פשוטה - כבר ראינו שחוג נתרי הוא כזה שבו לכל קבוצת אידאלים יש איבר מקסימלי (אם רוצים לחמוק משימוש בגרסה מסויימת של אקסיומת הבחירה אפשר אפילו להשתמש בתכונה הזו בתור ההגדרה של חוג נתרי). ניקח כעת אידאל כלשהו \( I \) ונסתכל על “קבוצת האידאלים של \( R \) שנוצרים על ידי קבוצה סופית של איברים ב-\( I \)”. לקבוצה הזו יש איבר מקסימלי \( J \); אם \( J\ne I \) אז יש \( a\notin J \) כך ש-\( a\in I \), אבל אז אפשר לקחת את \( a \) ולהוסיף לקבוצת היוצרים הסופית של \( J \) ולקבל אידאל שמכיל ממש את \( J \) ונוצר על ידי קבוצה סופית של איברים ב-\( I \), וזו סתירה. לכן \( J=I \) ולכן \( I \) נוצר סופית.

בשביל מה זה חשוב? כי כדי להציג את חבורת מחלקות האידאלים של \( \mathcal{O}_{K} \) אני רוצה להוסיף סוג חדש של “אידאלים” למשחק - אידאלים שבריים (Fractional Ideals). בראש ובראשונה, אלו אינם אידאלים! זה מה שמתקבל כשלוקחים קבוצה של איברים ב-\( K \) וסוגרים אותה ביחס לצירופים לינאריים סופיים של איברי \( \mathcal{O}_{K} \). ההגדרה הפורמלית היא “\( \mathcal{O}_{K} \)-מודולים נוצרים סופית של \( K \) השונים מ-\( \left\{ 0\right\} \)” (לא הצגתי את המושג של מודול מעל חוג \( R \), אבל זוהי בדיוק קבוצה שסגורה לצירופים לינאריים עם מקדמים מ-\( R \); כש-\( R \) הוא שדה, מודול הוא בדיוק מרחב וקטורי). אז למה זה לא אידאל? כי זה כולל איברים שאינם מ-\( \mathcal{O}_{K} \).

למשל, אם \( \mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z} \), דוגמה לאידאל שברי היא \( \frac{1}{3}\mathbb{Z}=\left\{ 0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},1,1\frac{1}{3},1\frac{2}{3},2,\dots\right\} \) (שמכיל גם את האיברים השליליים המתאימים ואין לי כוח לכתוב את זה). אם תשימו לב, זה בדיוק היצור מהפוסט הקודם שתיאר את \( \left(3\right)^{-1} \). עוד דוגמה היא \( \frac{1}{6}\mathbb{Z}=\left\{ 0,\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{5}{6},1,\dots\right\} \), ודוגמה קצת יותר מעניינת היא \( \frac{2}{3}\mathbb{Z}=\left\{ 0,\frac{2}{3},\frac{4}{3},2,\dots\right\} \). כפי שאתם ודאי מבינים כבר, כל אידאל שברי של \( \mathbb{Z} \) ניתן להצגה בתור \( \frac{a}{b}\mathbb{Z} \), בדיוק כמו שכל אידאל “שלם” של \( \mathbb{Z} \) ניתן להצגה בתור \( a\mathbb{Z} \). על התכונה השניה אמרנו שפירושה הוא ש-\( \mathbb{Z} \) הוא תחום ראשי; התכונה הראשונה היא מעין הכללה של זה.

ב-\( \mathbb{Q} \) יש הכללה למשפט היסודי של האריתמטיקה: מכיוון שכל איבר של \( \mathbb{Q} \) הוא מהצורה \( \frac{a}{b} \) עם \( a,b\in\mathbb{Z} \), אפשר להשתמש על שניהם במשפט היסודי של האריתמטיקה ולקבל בסופו של דבר שיש למספר פירוק יחיד כ-\( \frac{a}{b}=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{n}^{k_{n}} \) כך שכל הראשוניים \( p_{1},\dots,p_{n} \) שונים זה מזה, ו-\( k_{1},\dots,k_{n}\in\mathbb{Z}-\left\{ 0\right\} \), כלומר חזקות שליליות עשויות להופיע. כך למשל \( \frac{5}{12}=2^{-2}3^{-1}5 \). באופן לחלוטין לא מפתיע קיים אנלוג למשפט עבור אידאלים בחוג דדקינד כללי: כל אידאל שברי של \( \mathcal{O}_{K} \) הוא מהצורה \( \mathfrak{a}\mathfrak{b}^{-1} \) עבור אידאלים שלמים של \( \mathcal{O}_{K} \) וכתוצאה מכך יש לו פירוק יחיד מהצורה \( \mathfrak{p}_{1}^{k_{1}}\cdots\mathfrak{p}_{n}^{k_{n}} \) כאשר האידאלים הם ראשוניים והחזקות הן שלמות שונות מאפס

עד כה לא אמרתי מה זה \( \mathfrak{b}^{-1} \) עבור אידאל שאינו ראשוני; ההגדרה היא \( \mathfrak{b}^{-1}=\left\{ x\in K|x\mathfrak{b}\subseteq\mathcal{O}_{K}\right\} \) כמו שהיה עבור אידאלים ראשוניים ומהפירוק היחיד של אידאל לראשוניים אפשר להוכיח שאכן \( \mathfrak{b}^{-1}\mathfrak{b}=\mathcal{O}_{K} \), כך ש-\( \mathfrak{b}^{-1} \) אכן מתנהג כמו ההופכי של \( \mathfrak{b} \) כפי שהיינו מצפים. לא קשה גם להראות שהכפל הזה הוא אסוציאטיבי (\( \left(\mathfrak{a}\mathfrak{b}\right)\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\left(\mathfrak{b}\mathfrak{c}\right) \)) וש-\( \mathcal{O}_{K} \) מתפקד כיחידה כפלית (\( \mathfrak{a}\mathcal{O}_{K}=\mathfrak{a} \)). כל אלו ודאי גורמים לכם לרצות ולחשוב על אוסף האידאלים השבריים כעל שדה, בדיוק כמו ש-\( \mathbb{Q} \) הוא שדה; אבל זה לא עובד יותר מאשר אפשר לחשוב על אוסף האידאלים השלמים כעל חוג כמו ש-\( \mathbb{Z} \) הוא חוג. הבעיה היא שפעולת הכפל אמנם מוגדרת היטב והכל טוב, אבל כזכור לנו אין פעולת חיבור של אידאלים (יש, אבל היא לא מתנהגת כמו חיבור ב-\( \mathbb{Z} \)). אין מנוס - זה תשלום כלשהו שצריך לשלם; מה שמפתיע הוא שאפשר “להציל” בכל זאת כל כך הרבה מבנה.

אם כן, אוסף האידאלים השבריים לא יתנהג כמו השדה \( \mathbb{Q} \) כי אין חיבור, אבל מה קורה כאשר מסתכלים רק על פעולת הכפל של \( \mathbb{Q} \)? אם מעיפים מ-\( \mathbb{Q} \) את אפס (שהוא המספר הרציונלי הלא הפיך היחיד) מקבלים את \( \mathbb{Q}^{*} \) - חבורת ההפיכים ב-\( \mathbb{Q} \). באותו אופן בדיוק גם אוסף האידאלים השבריים של \( \mathcal{O}_{K} \) הוא חבורה ביחס לפעולת כפל אידאלים. החבורה הזו נקראת “חבורת האידאלים” של \( \mathcal{O}_{K} \) (לא לבלבל עם “חבורת מחלקות האידאלים” שתכף נגיע אליה) ומסמנים אותה ב-\( J_{K} \).

בתוך \( J_{K} \) יש לנו תת חבורה שמסומנת ב-\( P_{K} \) - תת החבורה שכוללת את כל האידאלים השבריים הראשיים, אלו שנוצרים בידי איבר אחד (צריך כמובן להראות שזוהי תת חבורה אבל זה לא קשה במיוחד). ייתכן ש-\( J_{K}=P_{K} \) - זה קורה כאשר \( \mathcal{O}_{K} \) הוא תחום ראשי וכל אידאל בו נוצר על ידי איבר אחד, למשל ב-\( \mathbb{Z} \) זה קורה. עכשיו, קיימת הוכחה (שלא תיארתי כאן עדיין) שכל תחום ראשי בפרט מקיים פריקות יחידה, ולכן ברור שעבור \( \mathcal{O}_{K} \) רבים, לא ייתכן ש-\( J_{K}=P_{K} \) (שאם לא כאן הם היו תחומים ראשיים והייתה מתקיימת בהם פריקות יחידה), ולכן זוהי שאלה מעניינת מהו המבנה של \( J_{K} \) ביחס ל-\( P_{K} \). למה הכוונה?

הבה וניקח דוגמה טיפה לא קשורה לצורך ההמחשה. נתבונן ב-\( \mathbb{Z} \) ובתת חבורת הזוגיים \( 2\mathbb{Z} \). החבורה הזו גורמת לנו לחשוב על \( \mathbb{Z} \) במונחים של “מספרים זוגיים” ו”מספרים אי זוגיים” ולאבחנות כמו “זוגי ועוד אי זוגי הוא אי זוגי”. למעשה, אנחנו מפרקים באופן מנטלי את \( \mathbb{Z} \) לאוסף של שתי קבוצות (“זוגיים” ו”אי זוגיים”) ושמים לב לתכונות של פעולת החיבור כשהיא מורחבת על הקבוצות - אם תמיד מתקיים שזוגי ועוד אי זוגי הוא אי זוגי, אז אפשר להגדיר שפעולת החיבור של “קבוצת הזוגיים” עם “קבוצת האי זוגיים” מניבה את התוצאה “קבוצת האי הזוגיים”. לפעולת הזיהוי הזו קוראים המתמטיקאים “בניית חבורת מנה”. פורמלית, זה מסומן במקרה הזה כ-\( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) וזה מניב חבורה שאפשר לתאר בתור הקבוצה \( \left\{ 0,1\right\} \) עם פעולת חיבור מודולו 2 - \( \mathbb{Z}_{2} \). ההגדרה המדויקת של חבורת מנה היא זו: אם \( G \) היא חבורה ו-\( H \) תת-חבורה נורמלית (לא ניכנס כאן למה זה נורמלית; כל עוד ב-\( G \) הפעולה היא קומוטטיבית, כל תת-חבורה היא נורמלית) אז \( G/H \) היא קבוצה של מחלקות \( C \) של \( G \), כך שכל המחלקות זרות, איחודן הוא כל \( G \), \( x,y\in C \) פירושו ש-\( x-y\in H \), ויש פעולת חיבור על שתי מחלקות: בהינתן \( C_{1},C_{2} \), \( C_{1}+C_{2} \) מוגדרת להיות המחלקה שבה נמצא \( x+y \) כאשר \( x\in C_{1} \) ו-\( y\in C_{2} \).

כל זה הוא הסבר על קצה המזלג של מושג שהוא א) אמור להיות מוכר לכל מי שקורא את הפוסט ו-ב) הוא מאוד מאוד בסיסי באלגברה ומאוד מאוד חשוב ומאוד מאוד אי אפשר להסביר אותו כך על רגל אחת (התיאור שנתתי למעלה לאוסף המחלקות הזה דורש הוכחות מכאן ועד להודעה חדשה). מי שלא הכיר את זה - אני ממליץ ללכת ולקרוא קצת ספר אלגברה בסיסי, יש בהם יותר דברים מגניבים משאוכל אי פעם להכניס לבלוג (טוב, אם אהיה אופטימי, אולי לא).

כעת אפשר לעבור סוף סוף להגדרה הפורמלית: חבורת מחלקות האידאלים של \( \mathcal{O}_{K} \) היא חבורת המנה \( Cl_{K}=J_{K}/P_{K} \). מספר המחלקה של \( \mathcal{O}_{K} \) הוא הגודל של החבורה הזו, ומכאן שמספר מחלקה 1 אומר ש-\( J_{K}=P_{K} \), כלומר ש-\( \mathcal{O}_{K} \) הוא תחום ראשי; וככל שמספר המחלקה גדול יותר ולכן \( Cl_{K} \) גדולה ומורכבת יותר, כך גם הפריקות היחידה של \( \mathcal{O}_{K} \) “מקולקלת יותר” (אולי כדאי להעיר כאן כי ניתן להוכיח שבכל חוג דדקינד, אם יש פריקות יחידה אז החוג הוא תחום ראשי, כך שניתן לזהות פה “פריקות יחידה” עם “חוג ראשי”).

לבקיאים באלגברה טיפה יותר מתקדמת, אפשר לתאר את \( Cl_{K} \) בצורה טבעית למדי יחד עם \( \mathcal{O}_{K}^{*} \) - חבורת ההפיכים של \( \mathcal{O}_{K} \) שגם לה יש חשיבות גדולה - באמצעות הסדרה המדויקת הבאה:

\( 1\to\mathcal{O}_{K}^{*}\to K^{*}\to J_{K}\to Cl_{K}\to1 \)

למי שלא מכיר סדרות מדויקות, מה שיש למעלה הוא סדרה של חבורות (\( \left\{ 1\right\} \) הוא החבורה הטריוויאלית בעלת איבר אחד כשהפעולה מתוארת ככפל), כאשר כל זוג חצים \( A\to B\to C \) בא לתאר באופן מובלע שני הומומורפיזמים \( \varphi:A\to B \) ו-\( \psi:B\to C \) בעלי התכונה ש-\( \mbox{Im}\varphi=\ker\psi \). אפשר לחשוב, אם כן, על \( \mathcal{O}_{K}^{*} \) ועל \( Cl_{K} \) כעל שני הצדדים השונים של התהליך שבו אנחנו עוברים ממספרים ב-\( K^{*} \) לאידאלים ב-\( J_{K} \) (החץ האמצעי, \( K^{*}\to J_{K} \)).

בחוג דדקינד כללי, חבורת מחלקות האידאלים יכולה להיות מסובכת להחריד. למעשה, כל חבורה אבלית עשויה לצוץ לה בתור חבורת מחלקות האידאלים של חוג דדקינד כלשהו. עבור חוגי שלמים המצב טוב בהרבה - כפי שאמרתי, קיימת הוכחה שמדובר על חבורה אבלית סופית. ההוכחה אינה קלה כלל וכלל ולא אציג אותה כרגע; הרעיון הבסיסי הוא להגדיר מושג של נורמה עבור ואידאלים של \( \mathcal{O}_{K} \) - מושג שבמובן מסויים מתאר את הגודל שלהם. כעת מראים (בהסתמך באופן חזק על הפריקות היחידה של אידאלים לאידאלים ראשוניים) שלכל קבוצה \( M \) קיים רק מספר סופי של אידאלים שהנורמה שלהם קטנה או שווה ל-\( M \) (בדיוק כפי שקורה בשלמים עבור נורמת הערך המוחלט); לאחר מכן מראים, עבור \( M \) ספציפי מאוד (שנובע בצורה כלשהי מ-\( \mathcal{O}_{K} \)) שבכל מחלקה ב-\( Cl_{K} \) קיים אידאל שהנורמה שלו קטנה או שווה ל-\( M \), ומכאן המסקנה היא שחייב להיות מספר סופי של מחלקות (כי מספר אינסופי היה בפרט מראה שיש מספר אינסופי של אידאלים עם נורמה קטנה או שווה ל-\( M \)). כפי שאולי אפשר לנחש, בשביל למצוא את ה-\( M \) הספציפי מאוד המדובר צריך להכניס עולם מושגים חדש לגמרי (“תורת מינקובסקי” שכוללת את הרעיון המבריק של לחשוב על אברי \( \mathcal{O}_{K} \) כאובייקטים במרחב גאומטרי כלשהו שמאפשר להכניס לתמונה דיבורים על מידות) ולא אעשה זאת כעת.

דבר אחד שהמושג החדש של מספר המחלקה מאפשר לי לעשות הוא לתת סוף סוף ניסוח מדויק לחלוטין של התוצאה של קומר על המשפט האחרון של פרמה. יהא \( p \) מספר ראשוני אי זוגי כלשהו ו-\( \omega_{p} \) שורש יחידה מסדר \( p \) (מספר מרוכב שונה מ-1 שבחזקת \( p \) שווה ל-1; למשל, \( e^{\frac{2\pi i}{p}} \)). ההרחבה \( K=\mathbb{Q}\left(\omega_{p}\right) \) מכונה “הרחבה ציקלוטומית” והיא דוגמה בסיסית לשדה מספרים; \( p \) נקרא רגולרי אם הוא אינו מחלק את מספר המחלקה של \( \mathcal{O}_{K} \) - חוג השלמים שמתאים להרחבה הציקלוטומית הזו. מה שקומר הוכיח הוא שאם \( p \) הוא ראשוני נורמלי אז למשוואה \( x^{p}+y^{p}=z^{p} \) אין פתרון בשלמים חיוביים (מספיק להראות את המשפט עבור מעריכים שהם ראשוניים; אם \( x^{n}+y^{n}=z^{n} \) עבור \( n=p\cdot m \) אז \( \left(x^{m}\right)^{p}+\left(y^{m}\right)^{p}=\left(z^{m}\right)^{p} \) וקיבלנו פתרון למשוואה עבור \( p \) הראשוני).

גם את ההוכחה של קומר אני לא יכול להציג כרגע ומקווה אולי להציג אותה בהמשך. לבינתיים הנה אינטואיציה כלשהי לאופן שבו התנאי שנראה קצת מוזר על כך ש-\( p \) לא מחלק את מספר המחלקה מתקשר למציאות: בחבורה \( G \) באופן כללי, אם \( a^{p}=1 \) כש-\( p \) ראשוני, נובע מכך ש-\( p \) חייב לחלק את סדר החבורה (זוהי תוצאה של משפט בסיסי בתורת החבורות - משפט לגראנז’). לכן אם \( p \) אינו מחלק את סדר החבורה ומתקיים \( a^{p}=1 \) נובע מכך ש-\( a=1 \). כשמפעילים את זה על חבורת מחלקות האידאלים נובע מכך שאם \( I \) הוא אידאל כך ש-\( I^{p} \) הוא אידאל ראשי, אז גם \( I \) עצמו הוא אידאל ראשי (בתנאי שהתנאי של קומר מתקיים). גם זה לא עוזר לנו יותר מדי לנחש איך ההוכחה של קומר עובדת אבל כן נותן לנו “להרגיש” יותר טוב איך התנאי האבסטרקטי על \( p \) יכול לסייע לנו.

עכשיו הגיע סוף סוף הזמן להוכיח שחוג השלמים \( \mathcal{O}_{K} \) של כל שדה מספרים הוא חוג דדקינד, אבל אסתפק בעיקר בנפנופי ידיים ובסוף, כפי שתראו, אתייאש לחלוטין.

נתחיל עם התכונה שכל אידאל ראשוני הוא גם מקסימלי, שהיא זו שנותנת לאידאלים התנהגות “כמו של ראשוניים ב-\( \mathbb{Z} \)”. ניקח אידאל ראשוני \( \mathfrak{p}\ne\left\{ 0\right\} \) ונבצע תעלול חביב - נסתכל רק על המספרים השלמים שיש בו, כלומר על \( \mathfrak{p}\cap\mathbb{Z} \). הטענה היא שזה יהיה אידאל ראשוני ב-\( \mathbb{Z} \), אבל קודם כל צריך להבין למה בכלל יש שם מספרים כלשהם. בואו ניקח איבר \( y\in\mathfrak{p} \) כך ש-\( y\ne0 \); מכיוון ש-\( y \) הוא שלם אלגברי אנחנו יודעים שהוא מקיים \( y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\dots+a_{0}=0 \) עבור שלמים \( a_{1},\dots,a_{n-1}\in\mathbb{Z} \) כלשהם. זה אומר ש-\( a_{0}=-y^{n}-a_{n-1}y^{n-1}-\dots-a_{1}y \). אבל מה יש לנו באגף ימין? צירוף לינארי של איברים שכולם שייכים לאידאל \( \mathfrak{p} \), כלומר \( a_{0}\in\mathfrak{p} \) והוא מספר שלם. מסקנה: \( \mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}\ne\emptyset \).

את זה שמדובר על אידאל ראשוני ב-\( \mathbb{Z} \) קל למדי לראות. אם כופלים איבר מ-\( \mathfrak{p}\cap\mathbb{Z} \) באיבר של \( \mathbb{Z} \) (שימו לב, זה חשוב: הבליעה היא רק ביחס לאיברי \( \mathbb{Z} \); האידאל לא בולע איברים כלליים של \( \mathcal{O}_{K} \)!) ברור שמקבלים משהו שעדיין ב-\( \mathbb{Z} \), ומכיוון ש-\( \mathfrak{p} \) היה אידאל הבליעה מראה לנו שאנחנו נשארים ב-\( \mathfrak{p}\cap\mathbb{Z} \). גם הראשוניות נובעת בקלות: אם \( ab\in\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z} \) עבור מכפלה של שני שלמים \( a,b\in\mathbb{Z} \) אז בפרט \( ab\in\mathfrak{p} \) ולכן, נאמר, \( a\in\mathfrak{p} \) ולכן \( a\in\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z} \).

יופי, אז \( \mathfrak{p}\cap\mathbb{Z} \) הוא אידאל ראשוני של \( \mathbb{Z} \) ולכן הוא מהצורה \( \left(p\right) \) עבור מספר ראשוני \( p \). עכשיו מגיע תעלול אלגברי נאה שלא אסביר בפירוט למי שלא מכיר את המתמטיקה שמעורבת בעניין: מכיוון ש-\( p \) ראשוני אז המנה \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) היא שדה, והמנה \( \mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p} \) היא הרחבה של \( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) שמתקבלת מהוספה של איברים אלגבריים; ואם מוסיפים לשדה איברים אלגבריים וסוגרים אותו ביחס לחיבור וכפל, עדיין מקבלים שדה ולכן \( \mathcal{O}_{K}/\mathfrak{p} \) הוא שדה, מה שגורר ש-\( \mathfrak{p} \) הוא מקסימלי.

הצעד הבא הוא להראות ש-\( \mathcal{O}_{K} \) הוא סגור בשלמים, כלומר מכיל את כל האיברים ב-\( K \) שמתאפסים על ידי פולינום מתוקן עם מקדמים מתוך \( \mathcal{O}_{K} \). זה נובע מיידית מהטענה הבאה, שכנראה תיראה מוכרת לכל מי שלקח קורס בתורת השדות: אם \( A\subseteq B\subseteq C \) היא שלישייה של חוגים כך ש-\( B \) הוא שלם מעל \( A \) ו-\( C \) הוא שלם מעל \( B \), אז \( C \) הוא שלם מעל \( A \). כאן הפירוש של “\( B \) שלם מעל \( A \)” הוא “כל איבר ב-\( B \) הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-\( A \)”. לא אוכיח אותה כרגע, אף כי ההוכחה אינה קשה כל כך.

אצלנו \( \mathcal{O}_{K} \) הוגדר בתור כל האיברים של \( K \) שמאפסים פולינום מתוקן ב-\( \mathbb{Z} \), כלומר \( \mathcal{O}_{K} \) שלם מעל \( \mathbb{Z} \). הבה ונגדיר חוג \( \overline{\mathcal{O}_{K}} \) של כל האיברים ב-\( K \) ששלמים מעל \( \mathcal{O}_{K} \); אז לפי המשפט שציטטתי למעלה \( \overline{\mathcal{O}_{K}} \) הוא שלם מעל \( \mathbb{Z} \), כלומר כל איבר של \( \overline{\mathcal{O}_{K}} \) הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-\( \mathbb{Z} \) ולכן \( \overline{\mathcal{O}_{K}}=\mathcal{O}_{K} \).

הצעד האחרון הוא להראות ש-\( \mathcal{O}_{K} \) הוא נתרי, אבל כאן אני חושש שאני חייב להיכנע; יש הוכחה נפלאה לטענה הזו שהיא אפילו די קצרה בהינתן ידע מוקדם של הקורא באלגברה, אבל ברמת הפירוט שקיוויתי להביא כאן שולי הפוסט הזה צרים מלהכילה.