מספרי ברנולי

זה לא מכבר הזכרתי את חוק המספרים הגדולים של יעקב ברנולי. הפעם אני רוצה לדבר על מושג נוסף שברנולי אחראי לגילויו - מספרי ברנולי. אנסה ללכת בפוסט מהקל אל הכבד - אתחיל בלהסביר מה זה ולתת תוצאות לא מנומקות, ואחר כך (בפוסט הבא) נעבור להוכחות (שהן, לטעמי, החלק הכי מעניין כאן).

נתחיל מהנוסחה הפשוטה \( 1+2+3+4+\dots+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2} \). האגדה (שכבר הזכרתי כאן בעבר) מספרת שגאוס גילה את הנוסחה הזו (שהייתה כמובן ידועה גם לפני זמנו) בגיל שש כשמורה נתן לכיתתו לסכם את כל המספרים מ-1 ועד 100. הרעיון פשוט: סכום האיבר הראשון והאחרון הוא \( n+1 \), סכום האיבר השני והלפני אחרון הוא \( n+1 \) וכן הלאה, ויש בדיוק \( \frac{n}{2} \) זוגות כאלו (ומה אם \( n \) הוא אי זוגי? זה עדיין עובד. נסו להסביר למה). את הנוסחה הזו אפשר לכתוב עם קיצור מתמטי בתור \( \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n\left(n+1\right)}{2} \).

עכשיו, לפעמים בחיים האמיתיים נתקלים גם בסכום \( 1+4+9+16+\dots+n^{2} \) שאכתוב פשוט בתור \( \sum_{k=1}^{n}k^{2} \). האם יש נוסחה גם עבורו? ובכן, מסתבר שכן: \( \sum_{k=1}^{n}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6} \). הנוסחה הזו נראית קצת כמו הרחבה של הנוסחה הקודמת, אבל העניין כבר מתחילים להסתבך. גם לא ברור איך להגיע לנוסחה הזו; מצד שני, אם כבר נתנו לנו אותה, לא קשה להוכיח אותה פשוט באינדוקציה.

מה שעניין את יעקב ברנולי הוא מה קורה אם ממשיכים עם זה. מה עם \( \sum_{k=1}^{n}k^{3} \)? האם יש גם לו נוסחה סגורה יפה? ו-\( \sum_{k=1}^{n}k^{4} \)? ובאופן כללי, מה עם \( \sum_{k=1}^{n}k^{m} \) עבור \( m\ge1 \) כלשהו? ברנולי הצליח לגלות שאכן, יש הגיון כללי, והכוכבים של ההגיון הכללי הזה נקראים מספרי ברנולי על שמו. איך הוא הגיע לזה, באמת שאיני יודע; ככל הנראה על ידי בדיקה ידנית של הרבה מאוד דוגמאות והבנה של מה שבעצם הולך שם.

“מה שהולך שם” הוא זה: את \( \frac{n\left(n+1\right)}{2} \) אפשר לראות בתור פולינום במשתנה \( n \), ממעלה שנייה: \( \frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n \). גם את \( \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6} \) אפשר לראות כפולינום ב-\( n \) אם כי מדרגה שלישית: \( \frac{1}{3}n^{3}+\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{6}n \). כעת, לצורך אחידות עם הספרים שאני מכיר שמתעסקים בנושא, אשתמש בסימון המקוצר הבא כדי לתאר את המקרה הכללי: \( S_{m}\left(n\right)=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\dots\left(n-1\right)^{m}=\sum_{k=0}^{n-1}k^{m} \). שימו לב שהסכימה כאן היא עד \( n-1 \) ולא עד \( n \). תחת ההגדרה הזו אנחנו מקבלים את הפולינומים הבאים:

\( S_{0}\left(n\right)=n \) (למה?)

\( S_{1}\left(n\right)=\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n \)

\( S_{2}\left(n\right)=\frac{1}{3}n^{3}-\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{6}n \)

\( S_{3}\left(n\right)=\frac{1}{4}n^{4}-\frac{1}{2}n^{3}+\frac{1}{4}n^{2} \)

\( S_{4}\left(n\right)=\frac{1}{5}n^{5}-\frac{1}{2}n^{4}+\frac{1}{3}n^{3}-\frac{1}{30}n \)

\( S_{5}\left(n\right)=\frac{1}{6}n^{6}-\frac{1}{2}n^{5}+\frac{5}{12}n^{4}-\frac{1}{12}n^{2} \)

וכך זה נמשך עוד ועוד. אני לא סתם מפיל עליכם את הנוסחאות המפחידות הללו; אתם צריכים לחשוב על העניין כעל עבודת בלשות, ועל הנוסחאות הללו בתור איסוף הראיות מהזירה. המטרה של ברנולי (ושלנו) הייתה למצוא הגיון בשגעון; חוקיות כללית מאחורי כל הפולינומים הללו. ברנולי ידע את הפולינומים המתאימים עד \( S_{10} \), אבל כאן ריחמתי על עצמי ולא הבאתי את כולם, כך שלברנולי יש יתרון כלשהו עלינו. עם זאת, אני משער שאם תסתכלו קצת בנוסחאות יש תבניות שמייד קופצות לעיניים: הפולינום הוא תמיד ממעלה \( m+1 \); המקדם המוביל של הפולינום הוא \( \frac{1}{m+1} \); המקדם השני הוא תמיד \( -\frac{1}{2} \). זו התחלה.

מה המקדם הבא בתור? ובכן, הכי טוב לרשום את הסדרה של המקדמים עבור \( m \)-ים הולכים וגדלים, ואעתיק לכאן את כל מה שברנולי ידע: \( \frac{1}{6},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{5}{12},\frac{1}{2},\frac{7}{12},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{5}{6} \) (כש-\( \frac{1}{6} \)מופיעה ב-\( m=2 \)). זה כבר נראה קצת מבולגן, אבל רק כי אנחנו מציגים את השברים כשהם מצומצמים ולא בוחרים במכנה משותף; המכנה המשותף המתבקש הוא \( 12 \), ואז מקבלים את הסדרה \( \frac{2}{12},\frac{3}{12},\dots,\frac{10}{12} \), כלומר המקדם הוא תמיד \( \frac{m}{12} \). מה המקדם שאחרי זה? 0. ואחר כך…?

הבנתם מה שיטת העבודה. מבודדים מקדם, מקבלים סדרה של מספרים, מנסים להבין את החוקיות שלה, ובסופו של דבר מנסים להסיק את החוקיות הכללית. אתם מוזמנים להמשיך עם המשחק הזה בעצמם, הוא די משעשע, למי שאוהב דברים כאלו. לי חשוב להמחיש שזו הדרך שבה מגלים דברים; ברנולי לא סתם קם יום אחד בבוקר וניחש את הנוסחה שתכף אציג; הוא לכלך ידיים, הביט על כל המקרים הפרטיים שהוא הצליח להשיג, ובנה לאט לאט את ההבנה שלו של מה שקורה שם. בספרי מתמטיקה נוהגים לעתים קרובות פשוט לתת את התוצאה הסופית ולהוכיח שהיא נכונה, והשאלה “איך חשבו על זה?” נותרת קסם בלתי מוסבר. זה עדיין קסם ברמה כלשהי - גם לראות את כל הנתונים לא מבטיח שנבין מה הולך שם - אבל ברגע שברור שיש כאן מלאכת איסוף נתונים משמעותית (שלרוב לא מוצגת בספרים) זה נראה הרבה פחות מופרך. גם שרלוק הולמס לא פתר את המקרים שלו בישיבה בכורסה ושימוש ביכולת ההיסק המרשימה שלו אלא יצא לשטח ועבד קשה כדי לאסוף נתונים (באחד מסיפורי הולמס אחיו - שניחן ביכולת היסק טובה יותר משל הולמס עצמו - אומר להולמס במפורש שהולמס הוא הבלש הטוב יותר כי הוא אוסף נתונים טוב יותר ממנו).

אז כאמור, ברנולי גילה ש-\( S_{m}\left(n\right) \) הוא תמיד פולינום ממעלה \( m+1 \), ושיש נוסחה פשוטה יחסית למקדמים של הפולינום הזה שעובדת לכל \( m \):

\( S_{m}\left(n\right)=\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}n^{m+1-k} \)

כאשר \( {m+1 \choose k}=\frac{\left(m+1\right)!}{k!\left(m+1-k\right)!} \) הוא מה שמכנים “מקדם בינומי” והוא שווה למספר האפשרויות לבחור \( k \) איברים שונים מתוך \( m+1 \) איברים בלי חשיבות לסדר; ו-\( B_{k} \) הוא מה שמכנים היום מספר ברנולי ה-\( k \)-י.

עצם ההוכחה ש-\( S_{m}\left(n\right) \) היא פולינום אינה טריוויאלית, אבל בלי לדעת מהם הערכים של \( B_{k} \) לא התקדמנו הרבה. נוסחה סגורה עבור \( B_{k} \) הייתה דבר נחמד להשיג, אבל אין כזו; מה שברנולי כן מצא הוא נוסחה שמתארת את \( B_{m} \) בעזרת \( B_{0},\dots,B_{m-1} \):

\( B_{m}=-\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m-1}{m+1 \choose k}B_{k} \)

ו-\( B_{0}=1 \). בעזרת הנוסחה הזו אפשר לחשב יחסית ביעילות את \( B_{0},\dots,B_{m} \). חישוב מהיר מעלה את הסדרה \( B_{1}=-\frac{1}{2},B_{2}=\frac{1}{6},B_{3}=0,B_{4}=-\frac{1}{30},B_{5}=0,B_{6}=\frac{1}{42} \) וכפי שאתם ודאי מנחשים, גם כאן יש תבנית לפיה מספרי ברנולי האי-זוגיים הגדולים מ-\( B_{1} \) הם 0, ומספרי ברנולי הזוגיים מחליפים סימן מחיובי לשלילי וההפך. אפשר היה אולי גם לשער שבמספרי ברנולי השונים מאפס המונה הוא תמיד 1, אבל כאן זו בעיה של הסקת מסקנות חפוזה מדי בלי לחשב מספיק איברים: \( B_{10}=\frac{5}{66} \) הוא כבר דוגמה נגדית, ו-\( B_{12}=-\frac{691}{2730} \) משכנע אותנו שלא מדובר על טעות חד פעמית.

זה סוגר, חותם ומחסל לחלוטין את שאלת הסכום \( \sum_{k=1}^{n}k^{m} \). זה לכשעצמו היה מצדיק דיבור כלשהו על מספרי ברנולי, אבל הם הופכים למעניינים באמת כשהם צצים להם בעוד מקומות. המקום המעניין הבא הוא פונקציית הזטא של רימן. תזכורת: הפונקציה הזו מוגדרת בתור \( \zeta\left(s\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}} \) לכל \( s>1 \) ממשי. את ההגדרה אפשר להרחיב לכל מספר מרוכב על ידי המשכה אנליטית, שהיא מושג שכנראה לא יגיד כלום למי שלא למד אנליזה מרוכבת ולצערי טרם דיברתי עליו בבלוג. באופן הזה אפשר להגדיר את \( \zeta \) גם לכל מספר שלילי, ומתברר ש-\( \zeta\left(-n\right)=\frac{B_{n+1}}{n+1} \) לכל \( n>0 \) טבעי. מי מכם שמכירים את פונקצית הזטא או אולי זוכרים משהו מהפוסט שלי על השערת רימן זוכרים ש-\( \zeta \) מתאפסת על מספרים שלמים שליליים זוגיים - זה שקול לכך שמספרי ברנולי האי-זוגיים הגדולים מ-\( B_{1} \) הם אפס (שימו לב שאפשר להגדיר את מספרי ברנולי בעזרת \( \zeta \)). אבל הסיפור לא נגמר כאן.

תוצאה יפה ביותר של אוילר שתיארתי בעבר בבלוג היא ש-\( \zeta\left(2\right)=\frac{\pi^{2}}{6} \). יש גם נוסחאות נוספות: \( \zeta\left(4\right)=\frac{\pi^{4}}{90} \) ו-\( \zeta\left(6\right)=\frac{\pi^{6}}{945} \), מה שמעורר בנו את החשד הקל שיש פה תבנית של \( \zeta\left(2n\right)=\frac{\pi^{2n}}{X} \) כש-\( X \) הוא “משהו”. אבל איזה משהו?

ובכן, \( \zeta\left(2\right)=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\dots \), ו-\( \zeta\left(4\right)=\frac{1}{1^{4}}+\frac{1}{2^{4}}+\frac{1}{3^{4}}+\dots \) ובאופן כללי אי אפשר להתעלם מכך שזה מאוד מזכיר את הסכומים \( S_{m}\left(n\right) \) שדיברנו עליהם קודם. לכן זה לא יותר מדי מפתיע שב-\( X \) הזה מככבים מספרי ברנולי; ספציפית:

\( \zeta\left(2n\right)=\left(\left(-1\right)^{n+1}\frac{2^{2n-1}}{\left(2n\right)!}B_{2n}\right)\pi^{2n} \). כלומר - זה אכן \( \pi^{2n} \) כפול איזה מקדם שהוא בדיוק מספר ברנולי ה-\( 2n \)-י ועוד איזה תיקון “קטן”. למרבה הצער, זה עובד רק לערכים שלמים זוגיים; עבור ערכים שלמים אי זוגיים עדיין לא ברור עד היום האם יש נוסחה יפה עבורם, והאם היא מערבת איכשהו את מספרי ברנולי.

ועכשיו להקשר שונה למדי, ומפתיע למדי, שבו צצים מספרי ברנולי. אחד מההישגים המזהירים של תורת המספרים האלגברית של קומר (שהצגתי את רעיונותיה הבסיסיים בבלוג ואני מקווה להמשיך עם כך בעתיד) היה הוכחה חלקית של המשפט האחרון של פרמה. כזכור, המשפט הזה אומר שאין פתרון בשלמים חיוביים למשוואה \( x^{n}+y^{n}=z^{n} \) עבור \( n>2 \), והוא נותר בלתי מוכח למשך למעלה משלוש-מאות שנים מאז שהטענה הזו התגלתה בכתביו של פרמה. עד להוכחה שלו בסוף המאה ה-20 התוצאה הטובה ביותר הייתה זו של קומר מאמצע המאה ה-19. עד לקומר, הצליחו להוכיח את המשפט במאמץ רק עבור ערכים ספציפיים מסויימים של \( n \), ואילו קומר הצליח להוכיח אותו למחלקה אדירה של ערכים - כל \( n \) שהוא ראשוני שמקיים עוד תנאי מסויים. לראשוני שמקיים את התנאי הזה קומר קרא ראשוני רגולרי. לרוע המזל, לא רק שיש אינסוף ראשוניים שאינם רגולריים, אפילו לא ברור אם יש אינסוף ראשוניים רגולריים; ועדיין, ההוכחה של קומר הייתה טובה בצורה משמעותית ביחס לכל מה שנעשה עד אליו, ופריצת הדרך המשמעותית הבאה הייתה ההוכחה הכללית של המשפט (בשיטות אחרות, מחוכמות הרבה יותר, שעם זאת אינן מנותקות לגמרי מהתורה שקומר ייסד).

לרוע המזל, בלי להרחיב על תורת המספרים האלגברית קשה לי להסביר מהי התכונה שהופכת ראשוני לרגולרי. אני יכול לצטט אותה - ראשוני \( p \) הוא רגולרי אם הוא לא מחלק את הסדר של חבורת מחלקות האידאלים של השדה הציקלוטומי שנוצר על ידי שורשי היחידה מסדר \( p \). זה נשמע כמו ג’יבריש, כמובן, למי שלא יודע מהי חבורת מחלקות האידאלים ומהו שדה ציקלוטומי. בנוסף, גם למי שמכיר את המושגים הללו, בדיקה האם ראשוני הוא רגולרי לא תהיה פשוטה. ההגדרה שנתתי כאן חשובה עבור ההוכחה של קומר (אם עוקבים אחרי ההוכחה מגיעים לשלב כלשהו שבו ההנחה ש-\( p \) לא מחלק את הסדר של חבורת מחלקות האידאלים היא קריטית), אבל היא לא נותנת קריטריון קל לבדיקה. קומר לא התעצל, ומצא קריטריון קל לבדיקה: ראשוני גדול מ-3 הוא רגולרי אם הוא לא מחלק את המונה של אף אחד מהמספרים \( B_{2},B_{4},\dots,B_{p-3} \). הנה שוב צצו לנו מספרי ברנולי.

ועוד מקום שבו מספרי ברנולי צצים משום מקום הוא בפונקציות הטנגנס הישנה והטובה. אחת מהדרכים להציג את פיתוח טיילור שלה היא זו:

\( \tan x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n-1}2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)B_{2n}x^{2n-1}}{\left(2n\right)!} \)

כאשר \( \left|x\right|<\frac{\pi}{2} \).

לא מיציתי את כל המקומות שבהם מספרי ברנולי מופיעים, אבל אני חושב שכיסיתי את הדוגמאות ה”קלאסיות” ואני מקווה ששכנעתי אתכם שהם אכן יותר מסתם קוריוז. בפוסט הבא אנסה להציג חלק מההוכחות של הטענות שטענתי כאן, ואני מקווה שלאלו מכם שישרדו אותן זה יגדיל את החיבה למספרים הללו עוד יותר. בינתיים, הנה השאלה הסטנדרטית שעולה לראש כשרואים יצורים כגון אלו - האם ברנולי המציא או גילה את המספרים הללו?