כיצד תעזור לכם המתמטיקה לחמוק מדו"חות תנועה

בימים האחרונים מתרוצץ לו ברשת סיפור משעשע על פיזיקאי מאוניברסיטת סן דייגו, דימיטרי קריוקוב שמו, שקיבל דו”ח תנועה על אי עצירה בתמרור עצור, והצליח לשכנע את השופט לוותר לו על הקנס על ידי הגשת… מאמר מתמטי ש”מוכיח” את חפותו. שלל האתרים שמדברים על הפרשייה מתעקשים כמובן לומר שזה מאמר מתמטי “מלא נוסחאות סבוכות”. ובכן, לא סבוכות ולא נעליים - הנה המאמר לכל המעוניין; הוא קריא מאוד, ובניגוד לטענות שצריך “תואר ראשון במתמטיקה או פיזיקה” בשבילו מספיק לדעתי ללמוד קורס אחד ספציפי בסמסטר הראשון של התארים הללו. למי שבכל זאת מפחד מהמאמר, אנסה להסביר כאן בקיצור מה קריוקוב בעצם עשה.

השורה התחתונה של קריוקוב היא מאוד פשוטה: הוא טוען שברגע שבו הרכב שלו הגיע לתמרור העצור, רכב אחר הסתיר אותו מפני השוטר. אז איך השוטר יודע שקריוקוב לא עצר? ובכן, על סמך המהירות שלו מייד לפני ומייד אחרי שהרכב הסתיר אותו. מה שקריוקוב מראה במאמר הוא שבאופן כללי, הסיטואציה שבה רכב נוסע במהירות קבועה על פני תמרור העצור והסיטואציה שבה הוא עוצר ומייד לאחר מכן מאיץ שוב ייראו זהות למתבונן מהצד, אם קיים באמצע פרק זמן שבו הרכב מוסתר. קריוקוב בהתחלה בונה מודל כללי ואחר כך מציב לתוכו מספרים שרלוונטיים לסיטואציה שלו. אם זה באמת עבד על שופט או שזו מתיחת 1 באפריל - לא יודע; מרבית האתרים שבהם קראתי על הסיפור טוענים שהשופט המסכן פשוט התייאש מהנוסחאות ה”סבוכות” ולכן ויתר לקריוקוב.

הידע שכן צריך בשביל להבין על מה קריוקוב מדבר הוא המתמטיקה הבסיסית שעוסקת בתנועה - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. למזלי הכינותי מבעוד מועד פוסטים על נגזרות ואינטגרלים, כך שלא אחזור על החומר הזה שוב לעומק. מה שחשוב לענייננו זה שאם יש לנו פונקציה \( x\left(t\right) \) שמתארת את המיקום של הרכב כפונקציה של הזמן \( t \), אז המהירות של הרכב היא הנגזרת שלה; ובכיוון ההפוך, האינטגרל של המהירות בין שתי נקודות זמן מתאר את המרחק שהיא עברה בזמן זה.

הטענה הבסיסית של קריוקוב היא שהשוטר לא מדד בשום זמן את המהירות האמיתית של הרכב; הוא מדד את המהירות הזוויתית שלו ביחס לשוטר. כלומר, אם נמתח קו ישר מהשוטר אל הרכב, השוטר מדד את קצב ההשתנות של הזווית של הקו הזה. קריוקוב מביא כדוגמה רכבת נוסעת - כשהיא נמצאת במרחק רב מאיתנו, נראה שהיא לא זזה בכלל; ככל שהיא מתקרבת כך המהירות שלה נראית לנו גדולה יותר, והשיא הוא בדיוק כשהיא חולפת על פנינו. זאת מכיוון שאנחנו לא רואים את המהירות ה”אמיתית” שלה, אלא את המהירות הזוויתית שלה. מרגע שהבנו את הרעיון הזה, כל היתר הוא חישובים פשוטים. קריוקוב מתחיל עם הדיאגרמה הזו:

כאן \( r_{0} \) הוא המרחק הקבוע של השוטר משלט ה”עצור” (שאותו קובע קריוקוב בתור ראשית הצירים, כלומר \( x=0 \) בדיוק בנקודה זו). הקשר בין הזווית \( \alpha \) שבה השוטר רואה את קריוקוב ובין המרחק \( x\left(t\right) \) של קריוקוב משלט ה”עצור” ברגע \( t \) נתון על ידי הקשר הטריגונומטרי \( \tan\alpha\left(t\right)=\frac{x\left(t\right)}{r_{0}} \). קריוקוב רוצה את \( \alpha\left(t\right) \) עצמה, אז הוא מפעיל את הפונקציה \( \arctan \) על שני האגפים ומקבל \( \alpha\left(t\right)=\arctan\left(\frac{x\left(t\right)}{r_{0}}\right) \). כדי לקבל את קצב ההשתנות של \( \alpha\left(t\right) \) צריך לגזור את המשוואה (הפשוטה!) הזו: לגזור פונקציות כאלו זה תרגיל בסיסי בחדו”א. בואו נציג במפורש את האופן שבו אפשר לעשות זאת תוך שימוש בכללי הגזירה הבסיסיים, סתם כדי לראות שאנחנו יכולים (קריוקוב לא טורח).

ובכן, כלל הגזירה הבסיסי והחשוב ביותר כאן הוא כלל השרשרת: אם \( f,g \) פונקציות גזירות אז \( \left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)^{\prime}=f^{\prime}\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime}\left(x\right) \). בפרט, אם \( g\left(x\right) \) היא פונקציה המקיימת \( f\left(g\left(x\right)\right)=x \) (כלומר, \( g \) היא “הפוכה” ל-\( f \), בדיוק כמו הקשר בין \( \arctan \) ו-\( \tan \)) אז גזירה עם כלל השרשרת נותנת לנו \( f^{\prime}\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime}\left(x\right)=1 \), כלומר \( g^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{f^{\prime}\left(g\left(x\right)\right)} \) - זו הנוסחה של “נגזרת הפונקציה ההופכית”.

כעת, \( \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \). זו אחת מהתכונות היסודיות ביותר של סינוס וקוסינוס שהנגזרות שלהם הן \( \sin^{\prime}x=\cos x \) ו-\( \cos^{\prime}x=-\sin x \). כמו כן כלל בסיסי בגזירה הוא ש-\( \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}=\frac{f^{\prime}g-g^{\prime}f}{g^{2}} \), וכך נקבל ש-\( \tan^{\prime}x=\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x \). לכן, מנוסחת הגזירה של הפונקציה ההפוכה, \( \arctan^{\prime}x=\frac{1}{1+\tan^{2}\left(\arctan\left(x\right)\right)}=\frac{1}{1+x^{2}} \). הנה לכם איך מגיעים לנוסחה הזו לכל מי שלא מכיר/זוכר.

עכשיו, בואו נחזור אל \( \alpha\left(t\right)=\arctan\left(\frac{x\left(t\right)}{r_{0}}\right) \) ונגזור אותו על פי כלל השרשרת: \( \alpha^{\prime}\left(t\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{x\left(t\right)}{r_{0}}\right)^{2}}\cdot\frac{x^{\prime}\left(t\right)}{r_{0}} \). קריוקוב לא כותב את הנוסחה הכללית הזו אלא מציב מראש מקרים פרטיים. יש שני מקרים שמעניינים אותו: הראשון, מה שהשוטר חושב שהוא ראה, שהוא תנועה במהירות קבועה; והשני, מה שקריוקוב טוען שקרה, שהוא תנועה שבה הגוף מאיט בקצב קבוע, ואז מאיץ בקצב קבוע.

במקרה של תנועה במהירות קבועה \( v_{0} \), הפונקציה של מיקום הגוף היא \( x\left(t\right)=v_{0}t \) (אם מסכימים על כך ש-\( t=0 \) הוא הרגע שבו קריוקוב היה בסימן ה”עצור”, כלומר ב-\( x=0 \)). הנגזרת כאן פשוטה במיוחד: \( x^{\prime}\left(t\right)=v_{0} \). לכן על פי הנוסחה שפיתחנו למעלה, מהירות הרכב שהשוטר רואה היא:

\( \frac{v_{0}/r_{0}}{1+\left(\frac{v_{0}}{r_{0}}\right)^{2}t^{2}} \)

במילים אחרות, מה שהשוטר רואה נראה כמו הפונקציה \( f\left(t\right)=\frac{\alpha}{1+\alpha^{2}t^{2}} \) כאשר \( \alpha \) הוא קבוע שתלוי במהירות הרכב ומרחק השוטר משלט ה”עצור”. פונקציה כמו \( f\left(t\right) \) הזו היא בבירור לא קבועה: ככל ש-\( t \) גדול יותר כך היא שואפת מהר מאוד לאפס. המקסימום שלה מתקבל כאשר \( t=0 \) ואז ערכה הוא \( \alpha \). את הפונקציה קריוקוב מצייר בגרף הבא:

המקרה השני, שבו הרכב קודם מאיט ואחר כך מאיץ, דורש מקריוקוב קצת יותר עבודה כדי למצוא את \( x\left(t\right) \). מה הנתונים שיש לנו הפעם? ובכן, אנחנו יודעים שבזמן \( t=0 \) הרכב היה בשלט העצור, ובמהירות אפס, כלומר \( x\left(0\right)=v\left(0\right)=0 \) (השוויון הוא של מספרים; היחידות של \( x\left(t\right) \) ושל \( v\left(t\right) \) שונות ולכן אין משמעות פיזיקלית לכתיבה של משהו כמו \( x\left(t\right)=v\left(t\right) \) באופן כללי). אנחנו גם יודעים (ליתר דיוק, מניחים) שהתאוצה קבועה והיא \( a_{0} \) כלשהו. ליתר דיוק, היא \( a_{0} \) אחרי העצירה; לפני העצירה היא \( -a_{0} \) - אותו גודל, אבל האטה במקום האצה. בגלל הסימטריה של העניין מספיק לבחון את מה שקורה אחרי העצירה.

תאוצה היא נגזרת של המהירות, ומהירות היא נגזרת של המיקום, ולכן על ידי ביצוע שתי אינטגרציות נקבל: \( x\left(t\right)=\int\left(\int a_{0}dt\right)dt=\int\left(a_{0}t+c\right)=\frac{a_{0}}{2}t^{2}+ct+d \) כאשר \( c,d \) קבועים. נציב \( t=0 \) ונשתמש בכך ש-\( x\left(0\right)=0 \) כדי לקבל ש-\( d=0 \); בדומה גם \( c=0 \) כי \( v\left(t\right)=a_{0}t+c \). לכן קיבלנו ש-\( x\left(t\right)=\frac{a_{0}}{2}t^{2} \) (וכאשר \( t<0 \), אז \( x\left(t\right)=-\frac{a_{0}}{2}t^{2} \); במאמר עצמו קריוקוב טיפה מתבלבל פה ופשוט נותן את \( x\left(t\right)=\frac{a_{0}}{2}t^{2} \) בתור הנוסחה הכללית). אם נציב את זה בנוסחה של \( \alpha^{\prime} \) נקבל את הביטוי הלא מצודד הבא:

\( \alpha^{\prime}\left(t\right)=\frac{\left(a_{0}/r_{0}\right)t}{1+\frac{1}{4}\left(\frac{a_{0}}{r_{0}}\right)^{2}t^{4}} \)

במילים אחרות, זוהי פונקציה מהצורה \( g\left(t\right)=\frac{\alpha t}{1+\frac{1}{4}\alpha^{2}t^{4}} \) עבור קבוע \( \alpha \) שתלוי רק בתאוצה ובמרחק השוטר משלט ה”עצור”. בגלל ה-\( t^{4} \) שבמכנה כל העסק שואף מהר מאוד לאפס כש-\( t \) גדול או קטן, אבל ה-\( t \) במונה משנה את מה שקורה בסביבות \( t=0 \); כאשר \( t=0 \) הפונקציה היא ממש אפס (הרי אמרנו שהרכב עוצר…). מצד שני, עבור ערכי \( t \) שאינם גדולים אבל גם אינם אפס, הפונקציה דווקא יכולה להיות גדולה למדי - יש לה שתי נקודות מקסימום משני עברי נקודת המינימום שבאפס. ככה זה נראה:

ככל שהקבוע \( \alpha \) גדול יותר, כך כל העסק פחוס יותר. הנקודה של קריוקוב היא שעבור ערכים מתאימים של \( \alpha \), הגרף הזה נראה ממש כמו הגרף של תנועה במהירות קבועה, למעט בנקודת המרכז והצניחה אל המינימום שמתרחשת סביבה. קריוקוב טוען שאם בפרק הזמן שבו התבצעה הצניחה הזו הרכב שלו הוסתר, הרי שהשוטר היה רואה בדיוק את מה שקורה בסיטואציה של מהירות קבועה, ולכן מסיק מסקנות שגויות.

אז צריך למצוא מה בדיוק המרחק בין ה”פסגות” של פונקצית המהירות שהשוטר ראה. לצורך כך מבצעים חקירת פונקציה - כלומר, גוזרים את הפונקציה שוב ומשווים לאפס. \( \alpha^{\prime}\left(t\right) \) היא שבר וזה סיפור להתעסק עם המכנה, אבל לא צריך; המכנה ממילא לא יכול להתאפס ולכן מספיק לחשב את המונה של הנגזרת השניה, והוא יוצא:

\( \frac{a_{0}}{r_{0}}\left(1+\frac{1}{4}\left(\frac{a_{0}}{r_{0}}\right)^{2}t^{4}\right)-\left(\frac{a_{0}}{r_{0}}t\right)\left(\frac{a_{0}}{r_{0}}\right)^{2}t^{3}=\frac{a_{0}}{r_{0}}+\left(\frac{a_{0}}{r_{0}}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}-1\right)t^{4} \)

על ידי השוואה לאפס והעברת אגפים נקבל:

\( \frac{3}{4}\left(\frac{a_{0}}{r_{0}}\right)^{2}t^{4}=1 \)

ועל ידי חלוקה והוצאת שורש נקבל:

\( t=\sqrt[4]{\frac{4}{3}}\sqrt{\frac{r_{0}}{a_{0}}} \)

אבל רגע, מה הולך פה? הרי רואים בגרף שלפונקציה של התאוצה יש שלוש נקודות קיצון, לא אחת. איך ייתכן שהחקירה שלנו הניבה אחת בלבד? נסו לחשוב על זה שניה, ובינתיים נדבר על מה שקריוקוב עשה עם הנוסחה הזו. קריוקוב החליט שהוא עצלן ורוצה לעשות לעצמו חיים קלים - הוא הניח ש-\( r_{0}=a_{0}=10 \). אני לא יודע מהיכן הוא המציא את הנתון ש-\( r_{0}=10 \); אולי אלו היו העובדות במקרה הזה. את \( a_{0}=10 \) הוא מנמק בכך שהוא היה מצונן באותו יום והתעטש בדיוק בזמן הבלימה לקראת השלט. אם אני הייתי השופט, בשלב הזה בקריאה (אם הייתי שורד עד אז) הייתי חושד שעושים ממני צחוק. מכל מקום, קריוקוב מקבל שהמקסימום הוא ב-\( \sqrt[4]{\frac{4}{3}}\approx1.07 \).

ולמה התקבלה רק נקודת קיצון אחת? כי הפונקציה שאותה חקרנו היא אכן בעלת נקודת קיצון אחת בלבד: כזכור, התעסקנו רק עם מה שקורה עבור \( t\ge0 \). כדי לקבל את מה שקורה גם לפני כן צריך “להדביק” לפונקציה הזו את תמונת הראי שלה, \( -\frac{\left(a_{0}/r_{0}\right)t}{1+\frac{1}{4}\left(\frac{a_{0}}{r_{0}}\right)^{2}t^{4}} \) (שנקודת הקיצון שלה היא בערך ב-\( -1.07 \)) ונקודת הקיצון השלישית מתקבלת בנקודת ההדבקה שלהן (אבל ממילא זו לא הנקודה שמעניינת אותנו).

החישוב האחרון שעוד נותר הוא של “מתי החלה ההסתרה ומתי היא נגמרה”. כאן קריוקוב מציין שאורך המכונית שלו הוא 150 אינצ’ים והוא מעריך את אורך המכונית שהסתירה אותו ב-189 אינצ’ים. עכשיו הוא מגדיר \( x_{p} \) בתור המרחק מ-\( x=0 \) שבו נגמרה ההסתרה החלקית, וב-\( x_{f} \) את המרחק שבו נגמרה ההסתרה המלאה. אם מניחים שהרכב השני פשוט עמד ב-\( x=0 \) ולא זז, אז \( x_{p} \) הוא סכום האורכים שלהם ו-\( x_{f} \) הוא הפרש האורכים שלהם, כלומר \( 8.16 \) מטרים ו-\( 0.99 \)מטרים, בהתאמה. קריוקוב קצת מחליק פה משהו לדעתי - הוא מניח סימטריה מלאה סביב הצירים, כלומר שההסתרה החלקית החלה ב-\( -x_{p} \) וההסתרה המלאה החלה ב-\( x_{f} \), אבל כמובן שזה מניח שכשההסתרה החלקית החלה אז ראש הרכב המסתיר היה ב-\( x=0 \), וכשהיא נגמרה אז הזנב שלו היה שם; כלומר, הנחה מאוד ספציפית לגבי תנועת הרכב השני. אני תוהה אם השופט שם לב לזה (או שאני סתם מתבלבל). מילא, יש המון פרמטרים שאפשר לשחק איתם כאן.

קריוקוב מחשב ומוצא ש-\( t_{p}=1.31 \) ו-\( t_{f}=0.45 \) (שוב, אלו הזמנים שבהם ההסתרות נגמרו, והמינוס שלהם הם הזמנים שבהם ההסתרות החלו). מכאן אנו רואים שהזמן שבו קריוקוב היה בתאוצת שיא הוא זמן שבו קריוקוב כבר היה מוסתר חלקית על ידי הרכב, ושפרק הזמן הקריטי ביותר היה כמובן פרק זמן שבו הוא היה מוסתר לחלוטין. סוף הסיפור.

מה דעתי על כל זה? שזה משחק חביב אבל לא יותר מכך. כרגיל בעניינים מתמטיים שכאלו, המודל אולי חשוב אבל הנתונים שיוצקים לתוכו הם הסיפור האמיתי. כאן קריוקוב הניח לו כל מני הנחות מספריות על הנתונים שאיני יודע מה הקשר בינן ובין המציאות. הוא גם לא הוכיח שהוא עצר בתמרור אלא שהוא היה עשוי לעצור מבלי שהשוטר יבחין בכך. מצד שני, המתמטיקה של קריוקוב תקפה והוא לא מוכיח בשום מקום שפאי שווה 3, כך שאני מקווה שבסופו של דבר הפרשייה הזו נתנה קצת יחסי ציבור חיוביים למתמטיקה.