מתמטיקאים מהירח וטרחנים ממאדים

אל תאמינו לכל מה שאתם קוראים באינטרנט.

עכשיו, משהעברנו את המסר המרכזי, אפשר לגשת לעסקים. חלקכם ודאי זוכרים את הנטייה המעצבנת שיש בשנים האחרונות להפצה של הודעות בפייסבוק/אימייל/אמצעי תקשורת אחרים שמכריזים ש”היום הוא היום שאליו נסעו בזמן דוק ומרטי” (ב”בחזרה לעתיד 2”). לרוע המזל, התאריך הנכון הוא ה-21 באוקטובר 2015 שטרם הגיע (עדיין יש תקווה ל-Hoverboard!) כך שכל הפרסומים הללו הם שגוים, למרות שמשתפים אותם המוני אנשים שחלקם אפילו ייחשבו נורמטיביים, ובדיקה מהירה בויקיפדיה מצביעה על הטעות, והדיווח חוזר על עצמו שוב ושוב ושוב, רק עם ימים שונים.

היום אני רוצה לדבר על דבר אחר, אבל כזה שמזכיר מאוד את עניין “בחזרה לעתיד” - עניין “מאדים יהיה גדול כמו הירח”. גם זו הודעת שרשרת שחוזרת על עצמה שוב ושוב ומבשרת שמאדים יגיע בקרוב לרמת קרבה לכדור הארץ שהיא הגדולה ביותר שתהיה במאות הקרובות, ושבמצב זה הוא ייראה “גדול כמו הירח”. ההודעה הזו היא שטות גמורה, אבל לא מעטים האנשים שמעבירים אותה הלאה. אני רוצה לדבר קצת על למה היא שטות, וחשוב מכך - למה כל אחד יכול לראות חיש קל שהיא שטות בכוחות עצמו, עם לא יותר מקצת ידע מתמטי אלמנטרי.

הטריגר שלי לכתוב את הפוסט הנוכחי הוא דיון פייסבוק שהתחיל לפני שבוע על העניין הזה בעמוד של אחד, דודי ממן (שאיני מכיר). הדיון כלל כמה פיתולים מרתקים, ואפשר לראות אותו בשלמותו (שמור כתמונה) כאן:

תחילת הדיון הייתה בכך שדודי פרסם נוסח סטנדרטי של הידיעה. חיש קל פרסם מישהו קישור לאתר הידען שמפריך את הידיעה.

ענה לו דודי:

קראת כמה שטויות כתב אבי בליזובסקי, עורך אתר "הידען", שאינו ידען כלל ? א. יש לו הוכחות שלא ? (אני מתכוון מדעיות, כמובן) ב. כוכב שיש לו מחזוריות כלפי השמש – יש לו מחזוריות כלפי כל כוכב אחר במערכת השמש ! (כן. כולל כלפי כדור הארץ) כל אמירה/כתיבה אחרת (כולל כתיבתו של של אבי בליזובסקי הנ"ל) משוללת כל יסוד, למעט יסוד השקר !

וזה, ידידי, דם במים עבורנו, הדון-קישוטים. ולדיון הגיע הדון-קישוט התורן, תום מאירי, ופרסם לינק לאתר snopes שגם הוא מפריך את הידיעה. ענה לו דודי: “מי כתב שם? מישהו מוסמך ? או עוד אידיוט…”. בקיצור, דודי לא מוכן להאמין לאחרים שטוענים שהידיעה שקרית. עד כאן, לגיטימי; אמרנו לכם לא להאמין לכל מה שאתם קוראים באינטרנט. אז אין מנוס מלערב נתונים בסיפור. דותן צור ניסה לערב נתונים מויקיפדיה, זכה לתגובה של “גיבובי שטויות הבאת” ו”ויקיפדיה? תמשיך להאמין למה שנכתב שם… זו לא אנציקלופדיה!” ודודי המשיך ודרש ממישהו אחר “תביא עובדה מדעית. לא מה שכתב מישהו (שאינו מדען) בויקיפדיה או באתר אחר”. בא תום מאירי ושלף את המידע הרלוונטי מאתר נאס”א: רדיוס מאדים הוא 3,389.5 קילומטר, בעוד שרדיוס הירח הוא 1,737.5 קילומטר. עוד מעט יתברר מדוע הנתונים הללו רלוונטיים. עם הנתונים הללו דודי הסכים.

עכשיו תום הגיב בתגובה מופלאה, כזו שאחרי שראיתי אותה ידעתי שאני חייב לכתוב פוסט על הנושא. לא אצטט אותו במפורש, אבל מה שייכתב בהמשך, נכתב בהשראתו.

נתחיל מכך שהירח קטן ממאדים - הרדיוס שלו קטן בערך פי 2 מזה של מאדים. אז למה הירח כל כך גדול ומאדים כל כך קטן? מן הסתם, בגלל המרחקים שלנו מהם. כולנו יודעים שאובייקט שרחוק מאיתנו נראה לנו קטן יותר; אז אנחנו צריכים אמצעי מדידה כלשהו עבור “הגודל שבו אנחנו רואים את האובייקט”. אמצעי המדידה שבו משתמשים האסטרונומים נקרא מרחק זוויתי.

ראשית כל, מהי זווית? זווית בין שני קווים ישרים שיוצאים מאותה נקודה - ה”ציר” - היא מדד כלשהו ל”כמות הסיבוב” שנדרשת כדי לסובב את אחד הישרים סביב הציר ולהביא אותו לנוח בדיוק על הקו השני. באופן שרירותי משהו אנחנו משתמשים ביחידת מידה שנקראת “מעלות” לשם כך, ובחרנו שכמות הסיבוב שנדרשת כדי לקחת ישר ולסובב אותו עד שיחזור בדיוק לנקודת המוצא ההתחלתית שלו תהיה 360 מעלות. למה 360? כי זה מספר נחמד שמתחלק בהמון מספרים קטנים ולכן אפשר לדבר על 180 מעלות במקום “חצי סיבוב שלם”, על 90 מעלות במקום “רבע סיבוב שלם”, על 60 מעלות במקום “שישית סיבוב שלם” וכדומה. זו אחת מהירושות של המתמטיקה הבבלית ששרדו עד ימינו אנו, ולטעמי בצדק.

כעת, נניח שיש לנו בשמיים שני אובייקטים נקודתיים. אפשר לדמיין קוים ישרים שיוצאים מהעיניים שלנו והולכים אל אותם שני אובייקטים. לקווים הללו יש נקודת ציר משותפת - העיניים שלו, שם הם נפגשים. אז יש ביניהם זווית. הזווית הזו היא המרחק הזוויתי של שני האובייקטים.

עכשיו, באובייקטים כדוריים כמו כוכבי לכת או ירחים, מה שאנחנו רואים בפועל הוא דיסק (שהוא היטל דו-ממדי של האובייקט התלת-ממדי, אבל לא ניכנס לזה). הרדיוס של הדיסק הוא לא בדיוק הרדיוס של כוכב הלכת, אבל עבור הנתונים המספריים שבהם משתמשים פה זה קירוב מספיק טוב (כמו שכל מה שאנחנו עושים כאן הוא קירובים). כעת אפשר לקבל הערכה לגודל של הכוכב על ידי מדידה של המרחק בין שתי נקודות על הדיסק שהמרחק ביניהן הוא הגדול ביותר, מה שנקרא במתמטיקה “נקודות אנטיפודיות” (לא בטוח איך בעברית). המרחק הזה הוא פשוט הקוטר של הדיסק, אבל מכיוון שאנחנו לא מודדים את המרחק ממש אלא את המרחק הזווית, לערך שאנחנו מחשבים קוראים הקוטר הזוויתי. בואו נחזור על זה שוב - הקוטר הזוויתי של כוכב הוא המרחק הזוויתי בין שתי “נקודות הקצה” שלו שאנחנו רואים (נקודות קצה במרכאות, כי יש הרבה נקודות קצה). אם לשני אובייקטים יש את אותו קוטר זוויתי, הם ייראו לנו באותו הגודל.

נותר להבין, אם כן, איך מחשבים את הקוטר הזוויתי, וכאן נכנסת לתמונה טריגונומטריה אלמנטרית. הביטו בתמונה הבאה:

כאן המשולש נוצר על ידי שני הקווים שהולכים אל נקודות הקצה של ה”דיסק” (שנראה באיור כמו אליפסה). \( d \) הוא הקוטר של הדיסק, \( D \) הוא המרחק שלו מאיתנו, ו-\( \delta \) היא הקוטר הזוויתי. המשולש הגדול אינו משולש ישר זווית, אבל אפשר לחלק אותו לשני משולשים כאלו שכל אחד מהם כולל זווית של \( \frac{\delta}{2} \). כעת, אחת מהפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות היא פונקציית הטנגנס; טנגנס של זווית במשולש ישר זווית הוא המנה של הניצב שמול הזווית, והניצב שליד הזווית. כלומר, \( \tan\left(\frac{\delta}{2}\right)=\frac{1}{2}\frac{d}{D} \) (החצי באגף ימין נובע מכך שאורך הצלע שמול הזווית הוא \( \frac{d}{2} \) - זכרו שאנו מסתכלים רק על אחד מהמשולשים הקטנים). זה לא עוזר לנו לקבל את \( \delta \), אז אנחנו מפעילים על שני האגפים את הפונקציה הנגדית לטנגנס, שנקראת ארק-טנגנס (ובסימון: \( \mbox{atan} \)) ומקבלים \( \frac{\delta}{2}=\mbox{atan}\frac{1}{2}\frac{d}{D} \), או \( \delta=2\mbox{atan}\frac{1}{2}\frac{d}{D} \). זו כל הנוסחה שאנחנו צריכים.

את \( \mbox{atan} \) אפשר לחשב עבור איזה קירוב שנרצה בעזרת שיטות סטנדרטיות, אבל במקרה שלנו אפשר להזניח עוד יותר. עבור זוויות קטנות (שנמדדות ברדיאנים, אבל אם אתם לא מכירים את המושג הזה, לא נורא), \( \mbox{atan}\delta \) שווה בערך ל-\( \delta \), עד כדי הפרש שהוא זניח. אצלנו \( \frac{d}{D} \) יהיה מספר קטן מאוד, כי המרחק של הגופים מאיתנו הוא עצום ביחס לקוטר שלהם, ולכן גם \( \delta \) יצא קטן (\( \mbox{atan} \) של ערכים קטנים הוא קטן) ולכן אפשר להשתמש בקירוב הזה ולקבל שבערך, \( \delta\approx\frac{d}{D} \). זו כבר נוסחה פשוטה וברורה - ה”גודל” שאנחנו רואים בפועל הוא פשוט הגודל האמיתי, חלקי המרחק של האובייקט מאיתנו. יופי, אז מה המספרים הרלוונטיים עבור מאדים והירח?

כזכור, הרדיוס של מאדים גדול פי 2 מזה של הירח. לכן אם אנחנו מצפים לראות את הירח ומאדים באותו הגודל, המרחק של מאדים מאיתנו צריך להיות לכל היותר גדול פי 2 מאשר מרחק הירח מאיתנו (למה?).

האתר של נאס”א נותן בשמחה את הנתונים הרלוונטיים עבור מרחקים. המרחק הגדול ביותר האפשרי של הירח מכדור הארץ (ואז נראה את הירח קטן ביותר) הוא 405,696 קילומטרים. לעומת זאת, עבור מאדים המרחק הקטן ביותר הוא 55,763,801 קילומטר. כלומר, המרחק הקטן ביותר של מאדים מכדור הארץ גדול פי 137 (אלוהים אדירים! 137!) מהמרחק הגדול ביותר של הירח מכדור הארץ. אופס. 137 זה לא 2, זה הרבה יותר גדול.

תום לא עצלן כמוני. הוא לא מאמין לשטויות הללו של קירובים ובערכים אלא ממש מחשב את \( \delta=2\mbox{atan}\frac{1}{2}\frac{d}{D} \) במפורש בשני המקרים. עבור מאדים מקבלים \( 0.000121\dots \) ועבור הירח מקבלים \( 0.00856\dots \) (ברדיאנים, לא מעלות, אבל זה לא חשוב). אגלה לכם סוד: מקבלים את זה גם בשיטה “שלי”! זה מה שנחמד ב”קירובים שנכונים לזוויות קטנות” - אם יודעים איך להשתמש בהם, אז עבור כמות ספרות הדיוק שמעניינות אותנו נקבל תוצאות שהן זהות לגמרי לתוצאות עבור הנוסחאות המדויקות יותר. אם משווים בין שני המספרים שקיבלנו, רואים שזה של הירח גדול פי 70 מזה של מאדים, וכאן 70 הוא כמעט חצי מ-137 כפי שהיה צפוי מהחישוב הנאיבי שלנו (כדי לקבל ממש 70 צריך להציב את היחס הנכון בין רדיוס מאדים ורדיוס הירח, שהוא קצת פחות מ-2, כבר ברמות הדיוק שרלוונטיות לחישוב שלנו). תום עצמו מגיע בהתחלה לתוצאה שונה כי הוא משתמש בערך שגוי של המרחק של מאדים מכדור הארץ (זו טעות שהייתה גם לי; קל להתבלבל בין המרחק הזה ובין המרחק שמוצג באתר של נאס”א בין מאדים והשמש) אבל הוא מתקן את זה חיש קל.

זה מסיים את החלק המתמטי של הפוסט (אם כי בואו נודה בזה, הרבה מתמטיקה לא הייתה כאן מלכתחילה). הדיון, עם זאת, רק הפך למשעשע בשלב הזה, כי אחרי התגובה המפורטת והמדוקדקת של תום התגובה של דודי הייתה “נו? שלוש עובדות אלה אינן סותרות את הכתוב אלא אם תביא עובדה נוספת”. אחר כך המצב משתפר, כשדודי מחליט לפסול את מושג הקוטר הזוויתי, נוזף בתום שקישר לערך של המושג בויקיפדיה ותוהה “מי האידיוט שכתב את הערך הזה שם?” ומקנח ב”אני לא יודע מהו “קוטר זוויתי”. אני יודע מהו קוטר! מה הקשר בין זוית לקוטר?!?!?”.

כפי שאתם מנחשים, הדיון רק הופך למשעשע יותר בהמשך, ותום ממשיך לענות בסבלנות, עד אשר קורה הבלתי יאומן - דודי מכיר בטעותו ומסיים את הדיון. כזה דבר באמת עוד לא ראיתי. כל הכבוד לתום!

לפני שנסיים, בואו נשתעשע עוד טיפה עם הנתונים. ראשית, התיאוריה של “שני אובייקטים בעלי קוטר זוויתי דומה ייראו לנו באותו גודל” היא נחמדה, אבל האם היא נכונה? אפשר לנסות אותה אמפירית, על שני אובייקטים שמימיים שאנחנו יודעים שנראים לנו בערך אותו הגודל - הירח והשמש. ליקוי חמה מתרחש כאשר הירח “מסתיר” את השמש, ואנחנו יודעים שבמהלך ההסתרה נראה שהירח הוא בערך באותו גודל כמו השמש. אנחנו מן הסתם לא מצפים לשוויון של ממש, אבל כן לאותו סדר גודל של קוטר זוויתי.

ובכן, מרחק השמש מכדור הארץ הוא 149,600,000 קילומטרים (כנראה שהאפסים בסוף הם לא מדוייקים…) ורדיוסה הוא 696,342 קילומטר (השמש היא ענקית בהשוואה לירח או מאדים). הקוטר הזוויתי שמתקבל הוא \( 0.00930\dots \), שקרוב מאוד לקוטר הזוויתי של הירח, \( 0.008565 \) - השמש גדולה ממנו פי \( 1.089\dots \), מה שלא משמעותי במיוחד. אם כן, החישובים יוצאים כפי שאנו מצפים שיצאו.

עוד שעשוע נחמד הוא לשחק ב”נדמה לי” - מה היה קורה אם מאדים אכן היה מתקרב לכדור הארץ עד כדי כך שגודלו היה נראה כמו גודל הירח? ובכן, ראשית יש למצוא את המרחק הזה. אנו רוצים שיתקיים \( \frac{d_{moon}}{D_{moon}}=\frac{d_{mars}}{D_{mars}} \), והנעלם כאן הוא \( D_{mars} \), ששווה ל-\( D_{mars}=\frac{d_{mars}\cdot D_{moon}}{d_{moon}} \). על ידי הצבת המספרים נקבל \( 791,428 \) קילומטר. אפשר לעשות את החישוב הזה גם בראש באופן מקורב - זה בעצם שווה למרחק הירח מכדור הארץ, כשהוא מוכפל ביחס שבין רדיוס מאדים ורדיוס הירח. אמרנו שרדיוס מאדים גדול פי 2 מרדיוס הירח, אז מרחק מאדים צריך להיות גדול פי 2 ממרחק הירח, כלומר בסביבות ה-800,000 קילומטר.

עכשיו, אם מאדים יתקרב לכדור הארץ במידה הזו, זה יהיה אסון אדיר. למה? מכיוון שלכבידה של הירח יש השפעה על כדור הארץ, שבאה לידי ביטוי למשל בתופעות השפל והגאות. אם מאדים יתקרב למרחק גדול פי 2 מזה של הירח, גם הכבידה שלו תתחיל לשחק תפקיד ותחולל שמות בכדור הארץ. למה עכשיו הכבידה שלו לא מחוללת שמות? מכיוון שכבידה קטנה ביחס לריבוע המרחק, ולכן כאשר המרחק גדול השפעת הכבידה הופכת לזניחה. אבל אם מאדים יתקרב עד כדי כך…

הנה לנו נתונים שהיו חסרים עד כה: המסה של הירח היא \( 7.3477\times10^{22} \) ק”ג. המסה של מאדים היא \( 64.185\times10^{22} \) ק”ג, כלומר בערך פי 9 מאשר הירח. אם המרחק של מאדים מכדור הארץ הוא פי 2 מהמרחק של הירח מכדור הארץ, אז השפעת הכבידה של מאדים חלשה פי 4 מזו של הירח; אבל מכיוון שהמסה של מאדים גדולה פי 9 מזו של הירח גם השפעת הכבידה של מאדים גדולה פי 9, ולכן בסך הכל נקבל שהכבידה שמאדים מפעיל על כדור הארץ גדולה פי 2 מזו שהירח מפעיל! כלומר, מאדים יהפוך להיות הרכיב הדומיננטי כאן! אני בקושי מבין בגאות ושפל בעצמי ולכן לא יכול לומר אם זה יוביל להצפות שטפונות וחורבן, אבל אם הייתי עושה סרט הוליוודי כנראה שזה מה שהיה קורה (בפועל, כפי שראינו, המרחק של מאדים הוא גדול פי 137 מזה של הירח, ולכן השפעת הכבידה היא קטנה בערך פי 18769, כך שהיא באמת זניחה).

ולסיום לסיום, בואו נעיף מבט במכתב השרשרת שיצר את כל עניין מאדים הזה. הוא נשלח ב-2003, כאשר באמת היה אירוע שבו מאדים התקרב מאוד לכדור הארץ, וזו לשונו:

The Red Planet is about to be spectacular! This month and next, Earth is catching up with Mars in an encounter that will culminate in the closest approach between the two planets in recorded history. The next time Mars may come this close is in 2287. Due to the way Jupiter's gravity tugs on Mars and perturbs its orbit, astronomers can only be certain that Mars has not come this close to Earth in the Last 5,000 years, but it may be as long as 60,000 years before it happens again.

The encounter will culminate on August 27th when Mars comes to within 34,649,589 miles (55,763,108 km) of Earth and will be (next to the moon) the brightest object in the night sky. It will attain a magnitude of -2.9 and will appear 25.11 arc seconds wide. At a modest 75-power magnification

Mars will look as large as the full moon to the naked eye. Mars will be easy to spot. At the beginning of August it will rise in the east at 10 p.m. and reach its azimuth at about 3 a.m.

By the end of August when the two planets are closest, Mars will rise at nightfall and reach its highest point in the sky at 12:30 a.m. That's pretty convenient to see something that no human being has seen in recorded history. So, mark your calendar at the beginning of August to see Mars grow progressively brighter and brighter throughout the month. Share this with your children and grandchildren. NO ONE ALIVE TODAY WILL EVER SEE THIS AGAIN

המכתב נכון לגמרי, אבל מנוסח גרוע מאוד, וזה מה שגרם לבעיות. למשל, ה-"27 באוגוסט" שם לא כולל את השנה. בנוסף, ירידת השורה שבאה מייד אחרי ה"הגברה פי 75" גרמה לאנשים לחשוב שהמשפט הבא ("מאדים ייראה גדול כמו הירח בעין בלתי מזויינת") הוא נכון ועומד בפני עצמו. הוא לא! המשפט הוא "בהגברה של פי 75, מאדים יראה גדול כמו שהירח נראה בעין בלתי מזויינת".

מעניין לקרוא את הנוסח שדודי פרסם, שהוא עיבוד עילג לעברית של המכתב עם כל מני תוספות ושינויים, ושתי טעויות מרכזיות. האחת, הפשוטה יותר, היא שמרחק מאדים מכדור הארץ מתואר כ”34,649,589 קילומטר”, אבל המספר הזה הוא בכלל המרחק במיילים; אי שם בטלפון השבור מישהו התבלבל. הטעות השניה היא כמובן ה”מאדים יראה בגודל זהה לגודלו של הירח לכן יהיה ניתן להבחין בו בעין בלתי מזויינת”.

זה לא נסיון לעבוד על אף אחד. זו טעות. טעות מטופשת, ואנשים ממשיכים להפיץ אותה הלאה שוב ושוב בלי לבדוק את העובדות, וכשמביאים להם את העובדות הם מפקפקים בהכל חוץ מבמכתב השרשרת שאותו הם מצטטים. אז אני אומר - רוצים לפקפק? בברכה, אבל תלמדו מתמטיקה קודם. מי שמפקפק בטענה שניתן לבדוק ידנית כל כך בקלות, צריך לדעת לבצע את החישובים בעצמו.