למה לא רציונלי לדבר על לא רציונליים (באינסוף)

עיתון “הארץ” עשה מעשה נאה ופרסם מאמר על מושג האינסוף. על כך יבורך; כל מאמר על נושא מדעי/מתמטי הוא דבר רצוי וראוי. המאמר הוא תרגום של מאמר מהניו-יורק טיימס של אחת, נטלי אנג’ייר, שכבר כתבתי בעבר פוסט נזעם על ספר שלה, “הקנון המדעי”, שבו במחי כמה פסקות היא הציגה, לטעמי, את המתמטיקה בצורה השגויה ביותר שניתן להעלות על הדעת, כך שבאתי למאמר הנוכחי משוחד לרעה ובמצב רוח של מציאת שגיאות קטנוניות ככל הניתן.

התאכזבתי. המאמר הוא די בסדר, אם כי שטחי ומפוזר למדי לטעמי אפילו בהתחשב בנסיבות של מאמר בעיתון להמונים. אם רוצים להשתעשע, אפשר ללעוג קצת לציטוט הזה:

יש סוגי אינסוף המוכרים לנו מהיומיום, כמו המספר פאי, עם רצף הספרות האינסופי חסר המחזוריות מימין לנקודה. אבל מה יקרה אם נעגל את פאי ל-3.14159, ואז נגיש פאי תפוחים ב-14 במארס בשעה 1:59?

(מה באמת יקרה? כנראה שנאכל פאי תפוחים).

למרות כל זה, אני חושב שבמאמר יש בלבול שהוא נפוץ ביותר וגם אני לקיתי בו בעבר, שכדאי לשים עליו את האצבע. לא כדי ללעוג לאנג’יר על טעויות מביכות, כי זה בלבול נסלח בהחלט; פשוט בגלל שלטעמי הנקודה הזו מעניינת ומי שקורא את המאמר מחמיץ אותה לחלוטין.

המדובר על הציטוט הבא:

ביוון העתיקה "אימצו גישה חשדנית ועוינת למושג האינסוף", אומר א. וו. מור, מרצה לפילוסופיה באוניברסיטת אוקספורד ומחבר הספר The Infinite (1990). היוונים העדיפו מספרים רציונליים, שלפי הגדרתם יכולים להיכתב כשבר, כפי ש-0.75 שווה ל ¾ בדיוק, על פני מספרים אי-רציונליים כמו השורש הריבועי של 2, שהם בעלי עשרות ספרות חסרות מחזוריות.

איני רוצה להיכנס לדיון ההיסטורי על היחס של היוונים למספרים אי רציונליים, בפרט כי איני בקיא בו. אני כן רוצה לתהות על עירוב המספרים הללו יחד עם דיון על מושג האינסוף. ראשית אעיר כי מספרים אי רציונליים סובלים מבעיה “סופית” לחלוטין - אי אפשר להציג אותם כמנה של שני מספרים שלמים, או בניסוח שאולי יותר הולם את גישתם של היוונים, אם יש לנו קטע שאורכו הוא מספר שלם, וקטע שאורכו הוא מספר אי רציונלי, אין לשני הקטעים הללו מידה משותפת - אין קטע שלישי, קטן משניהם, שנכנס בכל אחד מהקטעים מספר פעמים שלם (להבדיל, למשל, מ-¾ ו-5, שהקטע שאורכו רבע הוא מידה משותפת לשניהם כי הוא נכנס שלוש פעמים ב-¾  ועשרים פעמים ב-5). אני סקרן לדעת האם ההתנגדות של היוונים לאי-רציונליים (בהנחה שאכן הייתה כזו - אני יודע על פיתגורס אבל לא יותר) נבעה מנימוקים של חוסר מידה משותפת או מנימוקים של “אינסוף”.

מה שאני כן רוצה לטעון כאן הוא שבעייתי מאוד לזהות את המספרים האי-רציונליים עם “אינסוף” בעזרת הטיעון של “אינסוף ספרות” (או “עשרות ספרות” בלשונה הציורית של אנג’יר). נתחיל מכך שאנג’יר עושה לעצמה חיים קלים בכך שהיא מביאה את ¾ כדוגמה. הוא אכן ניתן לכתיבה יפה בתור 0.75, אבל לא כל המספרים הרציונליים כאלו! הדוגמה הפשוטה ביותר היא שליש, 1/3, שכאשר ננסה להציג אותו בבסיס עשרוני נקבל את המספר …0.333 שהוא בעל אינסוף חזרות של 3 על עצמו (זו המשמעות של שלוש הנקודות).

יתר על כן, אין מקריות בתופעה הזו - זה לא שלשליש יש איזו תכונה “רעה” ולשלושת-רבעי יש תכונה “טובה” מקרית. לא קשה להוכיח שבאופן כללי, הייצוג העשרוני של מספר רציונלי הוא סופי אם ורק אם המכנה שלו הוא מכפלה של מספר כלשהו של 2 ו-5 בלבד. למה דווקא 2 ו-5? כי אלו המחלקים הראשוניים של 10, שהוא המספר שבבסיס הספירה העשרונית. זה מעביר אותנו לפאנץ’ הראשון: בבסיס ספירה אחר, למשל בבסיס ספירה עם 9 ספרות בלבד, המספר ¾ דווקא יהיה בעל ייצוג האינסופי …0.666, בעוד 1/3 יהיה בעל הייצוג הסופי 0.3 (אגב, אפשר גם להעיר שייצוג “סופי” כמו 0.3 הוא גם כן אינסופי, שהרי אחרי ה-3 מגיעות עוד אינסוף ספרות שכולן 0).

בשלב הזה קרוב לודאי שחלקכם כבר ממש מרוגזים עלי ומתכננים פוסט שישמיץ אותי. הרי בכל הדיון הזה על בסיסי ספירה אני מתעלם מנקודה עקרונית שאנג’יר דווקא כן הזכירה, ומבדילה מספרים רציונליים מאי-רציונליים: לא חשוב אם יש אינסוף ספרות או אין, חשוב אם אותן אינסוף ספרות הן מחזוריות או לא. ואנג’יר מדברת, שחור על גבי לבן, על כך שבמספרים אי רציונליים יש “עשרות ספרות חסרות מחזוריות”. בכך היא צודקת לחלוטין - אפשר להוכיח (וזה גם לא קשה במיוחד) שמספר הוא רציונלי אם ורק אם הספרות שלו בפיתוח עשרוני (או פיתוח לפי כל בסיס ספירה אחר) הן מחזוריות החל ממקום מסויים. אבל למה, בעצם, שזה יהיה משנה מבחינת ה”אינסופיות” שלו?

ובכן, אנג’יר כמובן לא נותנת תשובה למהות ההבדל בין אינסוף מחזורי ואינסוף לא מחזורי, מה שלטעמי מעיד על רדידות המאמר שלה ומותיר לי רק את האפשרות של לנחש את הבעיה. אני מנחש שהתשובה הטבעית ביותר היא שאינסוף ספרות שהן מחזוריות אפשר לכתוב בצורה סופית. כך למשל …0.333 היא בעצם שיטת כתיבה סופית בהחלט למספר שליש: שלוש הנקודות אומרות “מכאן והלאה תחזור על התבנית שכבר ראית” (כדי להיות ממש מדוייקים, בכתיבה כללית של מספרים רציונליים שבהם ההתחלה יכולה לכלול חלק לא מחזורי נהוג למתוח קו מעל קבוצת הספרות הסופית שחוזרת על עצמה, אבל זה לא חשוב כרגע).

מה הקאץ’? שגם לשורש 2 קיים ייצוג מחזורי. לא ייצוג עשרוני, כמובן, אלא ייצוג בתור שבר משולב אינסופי. למי שמעוניין לקרוא על שברים משולבים יש לי שני פוסטים שמציגים אותם. כאן לא אכנס לפרטים הטכניים אלא אסתפק בשורה התחתונה: כל מספר ממשי אפשר לייצג על ידי שבר משולב אינסופי, כאשר בתכל’ס הקידוד הזה מבוצע על ידי סדרה של מספרים טבעיים. מספר הוא רציונלי אם ורק אם הסדרה הזו היא סופית; אבל זה לא אומר שלמספרים האי-רציונליים יש בהכרח שבר משולב לא מחזורי: תוצאה יפהפיה של לגראנז’ (מתמטיקאי איטלקי-צרפתי בן המאה ה-18 - הרבה אחרי היוונים הקדמונים) מראה כי כל מספר אי רציונלי שהוא פתרון של משוואה ממעלה שניה במספרים רציונליים הוא בעל שבר משולב אינסופי מחזורי, וגם ההפך נכון (כל מספר בעל שבר משולב אינסופי מחזורי הוא פתרון של משוואה שכזו). בפרט שורש 2 הוא פתרון של משוואה שכזו - \( x^2-2=0 \) ולכן יש לו הצגה כשבר משולב מחזורי אינסופי, שמיוצג על ידי סדרה פשוטה למדי: …1,2,2,2. אגב, המספר שמיוצג על ידי הסדרה האינסופית-מחזורית הפשוטה ביותר שניתן להעלות על הדעת - …1,1,1,1 - הוא ידידם הטוב ביותר של סופרי המתמטיקה הפופולרית - יחס הזהב (האי-רציונלי למהדרין).

ייתכן שקשה לכם להסכים עם ההכנסה של שברים משולבים למשחק, בפרט אם מעולם לא נתקלתם בהם עד כה. אולי אתם לא מוכנים להכיר בהם בתור ייצוג חוקי בכלל. ובכן, אני מזמין אתכם לקרוא את הפוסטים בנושא ולהבין מדוע לטעמי הם ייצוג לגיטימי; למעשה, במובן מסויים שברים משולבים הם ייצוג יותר טוב ויותר נכון למספרים מאשר הייצוג העשרוני. למשל, גם ייצוג עשרוני וגם ייצוג על ידי שברים משולבים מגדירים בשורה התחתונה סדרה של קירובים רציונליים למספר המיוצג; ניתן להוכיח (ואני עושה זאת בפוסטים) שסדרת הקירובים שהשבר המשולב נותן היא הטובה ביותר האפשרית בעוד שזו של ייצוג עשרוני - לא.

אם כן, עלינו להחליט. האם ייצוג של משהו על ידי אינסוף ספרות הוא רע או טוב? אם אינסוף ספרות זה אוטומטית רע, הרציונליים בבעיה; אם אינסוף ספרות זה לא רע כל עוד הן מחזוריות, אז גם חלק מהאי-רציונליים הם במצב טוב, למשל שורש 2 שאנג’יר השתמשה בו כדוגמה. כדאי גם להעיר שאפילו חלק מהמספרים טרנסנדנטיים כמו e הם בעלי הצגות נחמדות כשברים משולבים: הסדרה שמתאימה ל-e היא …2,1,1,4,1,1,6,1,1 שאיננה מחזורית במובן הפשטני של המילה אבל בבירור היא מתוארת על ידי תבנית קצרה ופשוטה. זה מנוגד לחלוטין לתפיסה הרווחת של המספרים האי-רציונליים ככאלו שאין מנוס מלהציג אותם בצורה “מבולגנת”, כפי שעשוי להתקבל הרושם כאשר מסתכלים על הייצוג העשרוני הרגיל של שורש 2, …1.41421356237.

מיותר לציין שבמאמר של אנג’יר כל זה לא מופיע ולו ברמז. קשה להתלונן על כך - זה הרי מאמר שטחי שנוקט בגישת “תפסת מרובה לא תפסת” ומנסה להציג כמה שיותר תחומים וגישות. הוא לא יכול להתעמק באף אחת מהן. מה שרציתי להראות בפוסט הזה הוא שחוסר ההתעמקות הזה מוביל לעתים קרובות לפספוס מוחלט של הפואנטה, להטעיית הקורא, וגרוע מכל - להמנעות מהצגת הדברים המגניבים באמת שנוגעים לתחום שעליו מדברים.