החבורה שלכם? לינוקס!

בשבוע שעבר צהלה ושמחה קהילת הגיקים הישראלים אחרי שנפל לידה כפרי בשל סרטון וידאו המציג תמצות של הרצאה שהעבירה ענב גנד גלילי בנושא “מידענות ברשת העמוקה”. הסרטון עמוס בקשקושים והבלים (וגם כמה דברים לא מופרכים לחלוטין שנאמרים בצורה שהיא כן מופרכת לחלוטין). לטעמי החלק המטריד בסיפור הוא שהרצאה זו הועברה בחסות איגוד האינטרנט הישראלי (והוא גם הציג קישורים אליה באתר האינטרנט שלו עד שהתבררה לו עצמו גודל הפאדיחה), אבל מילא. אני עצמי ראיתי את השעה הראשונה של ההרצאה ואני סבור שהתקציר עושה עמה חסד. אבל כל זה לא קשור למתמטיקה (זה כן קשור קצת למדעי המחשב, אבל לא לתחומים במדעי המחשב שאני מבין בהם משהו) ולא תכננתי לכתוב פוסט בנושא.

העניין הוא שגלילי לא מסתפקת במידענות ברשת העמוקה ומתברר שהיא אשת רנסנס של ממש. לא אלאה אתכם בהרצאות וידאו על גלגולי נשמות או דברים דומים, כי גם על זה לא תכננתי לכתוב כלום; אבל כעת שלח לי דרור רפפורט קישור אל מאמר שבו גנד גלילי מתחילה לדבר על תורת החבורות. וזו כבר הזדמנות לבחון עוד דוגמה של שימוש מופרך לחלוטין במתמטיקה, בעברית! כרגיל, אני רוצה לנצל את הפוסט הזה לא רק כדי לצחוק על מה שלא נכון, אלא גם להרחיב ולהסביר כמיטב יכולתי מה כן נכון.

מהכתובת המקורית שלו המאמר הוסר אחרי שהעליתי את הפוסט (בתקווה, תרמתי את חלקי הפעוט בסילוק הגיגיה של גנד גלילי מהרשת). נכון לכתיבת שורות אלו עדיין אפשר למצוא אותו בשלל מקומות אחרים על ידי גיגול פשוט. למען הדורות הבאים, שמרתי לעצמי צילום מסך של המאמר, אבל אין לכם צורך לקרוא אותו - אני אצטט את החלקים שרלוונטיים לנו.

אם להיות הגונים, ככל הנראה האשמה אינה ישירות בגלילי אלא בספר שהיא מסתמכת עליו, בשילוב עם חוסר הבנה שלה במתמטיקה. הספר שהיא מביאה כרפרנס הוא “Change: Principles of Problem Formation and Problem Resolution” של Watzlawick, Weakland ו-Fisch, ואיני יודע כמה מהאשמה מוטלת עליו כי לא הצלחתי למצוא עותק שלו לקריאה (בינתיים). לכן אדבר על מה שקורה במאמר של גלילי.

ראשית כל, גלילי קוראת במאמר בשם “תורת הקבוצות” לתחום מתמטי ששמו העברי הוא “תורת החבורות” (Group Theory, זאת לעומת תורת הקבוצות שהיא Set Theory). זו כמובן טעות קטנה וטיפשית שקרוב לודאי שנובעת מתרגום לקוי של הספר עצמו (אפילו עמנואל לוטם עשה טעות דומה, כאשר תרגם את “קבוצת מנדלברוט” בטעות בתור “חבורת מנדלברוט”), ועדיין - עבורי זה תמרור אזהרה שמבהיר לי שגלילי אינה מכירה את התחום המתמטי שהיא כותבת עליו; על פניו אני מקבל את התחושה שכל הידע שלה בא מתוך מה שמתואר בתוך הספר.

שגיאה דומה היא באופן שבו גלילי מציגה את אווריסט גלואה (לו היא קוראת “גולוא”) בתור מי שניסח את הפורמליזם של “חבורה” שמתואר בהמשך, אבל גם כאן מדובר על שגיאה זוטרה - גלואה אכן מקבל לרוב את הקרדיט בתור “ממציא” תורת החבורות למרות שהוא לא ניסח את הפורמליזם האבסטרקטי הכללי (הוא כן, למיטב ידיעתי, זה שטבע את השימוש במילה “חבורה”). עניינים היסטוריים הם ממילא החלק הבעייתי בדיבורים על מתמטיקה (הרבה פעמים מושג שאנחנו מכירים כיום הוא חסר משמעות כשמנסים להבין אותו בהקשר היסטורי ישן יותר, שבו חשבו על כל המתמטיקה בגישה שונה).

האקשן מתחיל כשגלילי מנסה לתאר מה זו בכלל חבורה. אז מן הראוי שאעשה זאת קודם בעצמי, בקיצור. חבורה היא אוסף של אובייקטים מתמטיים שמוגדרת עליהם פעולה שלכל שני אובייקטים באוסף מחזירה אובייקט באוסף. דוגמאות מקלות מאוד על ההבנה - דוגמה אחת היא המספרים השלמים עם פעולת החיבור. דוגמה אחרת היא סימטריות של ריבוע - הפעולות השונות שאפשר לעשות על ריבוע שאחריהן הוא ייראה אותו הדבר (למשל - לא לגעת בו; לסובב אותו ב-90 מעלות; לשקף אותו דרך ציר אנכי שעובר במרכזו, וכו’) כשהפעולה היא הרכבה של סימטריות (שמחזירה את הסימטריה שיש לה אפקט זהה לזה של הפעלת שתי הסימטריות בזו אחר זו). דוגמה אחרת היא של מספרים בשעון - המספרים מ-1 עד 12, עם פעולת חיבור “מודולו 12” שפירושה שאם עברנו את 12, אז לוקחים רק את גודל ה”חריגה” שלנו, כמו בשעון - 8 ועוד 6 זה 2.

סתם קבוצה עם פעולה עליה לא מספיקה; הפעולה צריכה להיות “נחמדה” במובן שנותן לה מספיק מבנה מעניין שיאפשר להוכיח עליה דברים (מבחינה היסטורית, תורת החבורות התפתחה ממחקר קבוצות שהפעולה עליהן אכן הייתה “נחמדה” באופן המתואר). זה מתבטא בשלוש דרישות - שהפעולה תקיים את חוק הקיבוץ, שאני קורא לו לרוב “אסוציאטיביות”; שיהיה איבר “אדיש” לפעולה, כלומר שכל פעולה שמערבת אותו ומישהו אחר מחזירה את המישהו האחר; ושלכל איבר יהיה איבר אחר, ה”הופכי” שלו, כך שהפעולה על שניהם מחזירה את האדיש. בנוסחאות כותבים זאת כך בצורה נקיה ופשוטה, כאשר \( \oplus \) הוא סימון שרירותי עבור הפעולה:

1. לכל \( a,b,c \) בחבורה מתקיים \( a\oplus(b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c \)
2. קיים בחבורה איבר \( e \) כך שלכל איבר \( a \) בחבורה מתקיים \( a\oplus e = e\oplus a = a \).
3. לכל איבר \( a \) בחבורה קיים איבר \( b \) בחבורה כך ש-\( a\oplus b = b\oplus a = e \)

מה שנחמד הוא שמהתכונות הלא תובעניות במיוחד הללו אפשר להסיק הרבה מאוד (לרוב עם עוד כמה הנחות נקודתיות), אבל בשביל זה יש פוסטים על תורת החבורות. בואו נראה במקום זאת מה גלילי עושה מההגדרה הזו:

קבוצה מורכבת מכמה איברים, הדומים זה לזה בתכונה משותפת אחת לפחות. אלו יכולים להיות מספרים, אנשים, חפצים, מושגם ואירועים. כל זאת יתקיים בתנאי שבין כל האברים הנמצאים בקבוצה הזו יש לפחות מכנה משותף אחד (או יותר) ובתנאי שאם נצרף שניים או יותר מאיברי הקבוצה זה לזה נקבל תוצאה שתתפקד בעצמה כאיבר של הקבוצה.

התנאי השני (“אם נצרף שניים…”) הוא תיאור מילולי של הפעולה שמגדירה חבורה. אבל כל מה שמגיע לפני כן? לא קשור. כמובן, בדרך כלל חבורות מוגדרות על קבוצות שהן הומוגניות יחסית ואפשר לתאר את אבריהן בצורה משותפת כלשהי, אבל מבחינה מתמטית-פורמליסטית אפשר להגדיר חבורה בצורה שרירותית גם מתוך קבוצה שאין שום קשר בין איבריה (למשל הקבוצה שאיבריה הם “כלב, המספר 7,’מאה שנים של בדידות’, אהבה”). חלק מהעניין בתורת החבורות הוא שההסתכלות האבסטרקטית על מושג החבורה מאפשרת לנו לראות לפעמים ששתי חבורות שהוגדרו על קבוצות שונות לגמרי של איברים הן בעלות אותו מבנה של חבורה (הפעולה “מתנהגת אותו דבר” בשתי הקבוצות) ולכן מבחינה מהותית מאוד שתי הקבוצות הללו הן אותו דבר - לזהות כזו קוראים “איזומורפיזם”, ולכן אפשר במקרים רבים לומר משהו כמו “החבורה על הקבוצה של האיברים הלא קשורים עם הגדרת הפעולה השרירותית? זה בדיוק כמו המספרים בשעון עם פעולת החיבור!” במובן הזה חבורות לפעמים מאפשרות לנו דווקא לעשות סדר באי-סדר וגילוי של מבנה חבורתי על קבוצה “לא מאורגנת” הוא תמיד שמחה גדולה.

אחדד: במתמטיקה, קבוצות (לאו דווקא כאלו שהן חבורות) מוגדרות לעתים קרובות על ידי תכונה משותפת כלשהי, אבל זה לא הכרחי, ובטח לא נדרש מהגדרת חבורה. הנוקדנות הזו חשובה כי מייד בהמשך גלילי מתייחסת לתכונה הזו (שכאמור, לא מגדירה חבורה בשום צורה) בתור אחד הדברים המהותיים בנקודה שהיא מנסה להעביר:

כך למעשה, עובד גם מוח האדם. האדם מקבץ לקבוצות אירועים, אנשים, מקומות וסיטואציות בו הוא נמצא כי זו תכונה אנושית לחפש מכנים משותפים לאירועים וביטא ציות בחיינו. ה"הקבצה" של דברים בחיים שלנו מאפשרת לנו לקטלג דברים, לעבוד בנוחות עם קבוצות של אירועים או אנשים ולא אירועים בודדים, כך יכולת הזכירה שלנו גבוהה יותר אך יחד עם זאת היא שיפוטית יותר ומייצרת בעיה הקראת, "אירוע מערכת בתוך הקבוצה ולא מחוצה לה". אירוע פנימי הקורה בתוך מערכת לא משנה אותה!! ולכן הקבצה של אירועים שונים בחיינו לתוך דפוס קבוע יתן לנו פתרון "בתוך המערכת". פתרון כזה, לא ייצר את השינוי המתבקש בתוך חיינו. צירוף של איברים בתוך הקבצה יוצר שינויים בתוכה אבל מונע מכל איבר שלה למקם את עצמו מחוץ למערכת (keyser, 1922).

אם תשאלו אותי, הנסיון הזה לדבר על “בתוך המערכת” הוא עניין של נקודת מבט שרירותית. גלילי כנראה מסתכלת על חבורה בתור משהו שמוגדר על קבוצה “נתונה מראש” כשמהנדסים את הפעולה שלה בזהירות כדי לא לחרוג חלילה מגבולות הקבוצה. בפועל קורה לרוב ההפך - הפעולה היא זו שמכתיבה מה הקבוצה שלנו תהיה, כאשר הקבוצה נלקחת להיות גדולה מספיק כדי שהפעולה תהיה “סגורה” - שכל איבר שמוחזר על ידי הפעולה יהיה כלול גם כן בקבוצה. כך למשל ניתן לשאול שאלות כמו “מה החבורה הקטנה ביותר ביחס לפעולת החיבור שכוללת את המספר 1?” - מייד נגלה שאנחנו חייבים לקחת את כל השלמים (למה? זה תרגיל נחמד כדי לראות אם הבנו מה זו חבורה). אם כן, דווקא יש כאן סוג של ראייה רחבה - אנו יוצרים את ה”הקבצה” בהתאם לתופעה שאנחנו מנסים למדל, לא ההפך.

כעת גלילי עוברת לדבר על אסוציאטיביות ומבהירה לנו שוב שאין לה מושג במושגים המתמטיים שהיא מדברת עליהם:

אפיון נוסף של קבוצה הינו שניתן לצרף את כל האיברים של הקבוצה בסדר משתנה אבל תוצאת הצירוף לא תשתנה (אם נצרף 4 ל-8 או 8 ל-4, התוצאה תישאר אותה תוצאה = 12. אז התהליך של הצירוף השתנה מתרגיל לתרגיל בעוד שתוצאת התהליך נשארה אותו דבר.

זו התוצאה של המנעות מנוסחאות מתמטיות, שאני מנחש שגם הספר של גלילי נקט בה - בלבול בין תכונת האסוציאטיביות ובין תכונה אחרת, קומוטטיביות, שדווקא לא נדרשת מחבורות כברירת מחדל. בואו נעשה את זה רגע עם משוואות:

• אסוציאטיביות: \( a\oplus (b\oplus c)=(a\oplus b)\oplus c \)
• קומוטטיביות: \( a\oplus b=b\oplus a \)

בניסוח מילולי שטחי, את שתי התכונות הללו ניתן לתאר באותה הצורה - “הסדר של ביצוע הפעולה של משנה”, אבל אנחנו מתכוונים כאן לשתי משמעויות שונות של סדר: בקומוטטיביות, הכוונה היא לכך שלא משנה מי נמצא “מצד שמאל” ומי נמצא “מצד ימין” של הפעולה - התוצאה תהיה אותו הדבר. בחיבור זה עובד, בחיסור לא: \( 8-4=4 \) ולעומת זאת \( 4-8=-4 \). כאמור, זו אינה תכונה שנדרשת מחבורות, ואכן הרבה חבורות מעניינות לא מקיימות אותה (למשל הסימטריות שהוזכרו קודם, או חבורות של מטריצות או של תמורות). חבורות שכן מקיימות את התכונה הזו נקראות “חבורות אבליות” (על שם המתמטיקאי נילס הנריק אבל) ויש להן תורה מעניינת משל עצמן שלא נדבר עליה כרגע.

אסוציאטיביות, לעומת זאת, היא תכונה שאנו דורשים מכל החבורות לקיים אחרת אפילו המשפטים הבסיסיים ביותר על חבורות לא יתקיימו. מה שהיא עוסקת בו הוא בשאלה מה קורה אם מפעילים את אותה הפעולה על שלושה איברים או יותר. מכיוון שהפעולה מוגדרת רק לשני איברים, כדי להפעיל אותה על שלושה איברים או יותר (חשבו על ביטוי מהצורה \( a_1\oplus a_2\oplus a_3\oplus\dots\oplus a_n \) עבור מספר כללי כלשהו של איברים) צריך לנקוט בגישה הבאה: קודם כל לבחור זוג איברים, להפעיל עליו את הפעולה, לקבל איבר אחד כתוצאה, ואז להחליף את שניהם באיבר הזה, לחפש זוג נוסף של איברים סמוכים, להפעיל עליו את הפעולה, וכן הלאה. אסוציאטיביות אומרת שאין חשיבות לאופן שבו נבחר את הזוגות שעליהם נפעיל את הפעולה - בסוף נגיע תמיד לאותה תוצאה. בניסוח פורמלי זה מתואר בעזרת סוגריים, כי סוגריים הם הכלי של מתמטיקאים לקביעת סדר קדימויות להפעלות של פעולה מתמטית כלשהי.

חיבור מספרים שלמים הוא אכן דוגמה לפעולה אסוציאטיבית. לעומת זאת חיסור מספרים שלמים הוא לא. מצד אחד, \( (8-4)-4=0 \), ומצד שני \( 8-(4-4)=8 \). רואים מה עשיתי כאן?

חזרה אל גלילי. אפשר להתפשר ולומר שהיא בוחרת ממילא לדבר רק על חבורות אבליות ויותר חשוב לראות מה הלקח שהיא מנסה להפיק מהן. ובכן:

אם התחתנתי בגיל 20 עם גבר מכה והתגרשתי ממנו בגיל 30, וחמש שנים אחר כך התחתנתי עם גבר מכה - אחר, שיניתי את התהליך, שיניתי את הגבר בחיי - אבל לא שיניתי את התוצאה!!! בסכמי את סך הפעולות שעשיתי, הגעתי לאותה תוצאה בדיוק - בעל מכה.

זה… ממש… כן… ברצינות…

שמעו, אין לי מושג איך זה קשור לא לאסוציאטיביות ולא לקומוטטיביות. אולי זה קשור אליהן בצורה אסוציאטיבית כלשהי.

הלאה לדבר על איבר היחידה. את זה גלילי עושה די טוב, למרבה ההפתעה:

קבוצות מכילות איברי זהות. איברי זהות הנם איברים אחידים אשר צירופם לכל אחד מאברי הקבוצה שומר תמיד על זהותו של אותו איבר עצמו ואינו משנה אותו. אם נוסיף 0 לשעה 8 השעה שמונה תישאר. כך גם אם נוסיף 0 לכל איבר אחד בקבוצת השעון שלנו. וזאת בתנאי שחוק הצירוף של השעון הנו חיבור.

מה נגיד, צודקת! (למי שמפריע לו שבשעון אין 0 - בדוגמה שלי עם המספרים מ-1 עד 12 דווקא המספר 12 הוא איבר הזהות; לטעמי זה נחמד שזה כך כי זה ממחיש שאיבר הזהות מאוד תלוי בפעולה ואינו חייב להיות 0 דווקא). אבל אז מגיע ההמשך:

כיוון שאם נכפול את השעות בשעות במספר 0 נקבל קבוצה ריקה (קבוצה שאין בה איברים כלל שכן לא ניתן לכפול שעות על השעון)

על זה כבר נאמר - החלק הראשון לא נכון, והחלק השני לא יהיה. גם הטענה שההכפלה תיתן קבוצה ריקה לא נכונה (אם כפל לא מוגדר, הוא לא מוגדר; אם הוא מחזיר “קבוצה ריקה” אז הוא מוגדר כמשהו שמחזיר קבוצה ריקה. לא אותו דבר) וגם העובדה שגלילי כנראה חושבת שזה מה שהופך את 0 לאיבר יחידה (“כיוון”) כי הרי הבעיה הזו כמובן קיימת גם עבור כל איבר אחר ב”שעון”. אז בשביל מה המשפט הזה היה טוב? לארדש הפתרונים.

טוב, אז אם ניקח את כל התנועות בעולם ונחליט שהן קבוצה, הרי שתנוחה תהיה איבר הזהות שלהם שכן אם נוסיף תנוחה (חוסר תנועה) לתנועה, היא לא תשנה אותה והתנועה תמשיך.

את מה שגלילי אמרה כאן אפשר לנסח בערך בכך שאם לוקחים את קבוצת כל הפונקציות ומגדירים עליה את פעולת ההרכבה (כמו עם הסימטריות שהזכרתי קודם), אז איבר היחידה הוא הפונקציה שמעבירה איבר לעצמו (“לא משנה אותו”). יש בעיות טכניות עם מה שגלילי אומרת כאן (כדי להרכיב פונקציות צריך שיהיה להן תחום וטווח זהה, ובכל מקרה לא מובטח שהן יהיו חבורה כי קיום איברים הופכיים לא מובטח) אבל נעזוב את זה. בואו נעבור להמחשה של גלילי את מושג האדיש בחיים האמיתיים:

כך שאם מליון אנשים לא למדו מעולם באוניברסיטה, ונוסיף להם את האיבר "אי הרשמות ללימודים" - הרי שאיבר הזהות הזה, לא שינה את מצבם והם ימשיכו להישאר חסרי השכלה. איבר הזהות עלול להטעות ואולם זהו מקרה מיוחד וקלאסי למצב של "אי-שינוי" בחיינו המשמר את היציבות של מערכת ואינו משנה אותה.

מה שמפריע לי במיוחד אצל גלילי כאן הוא שהיא סותרת את עצמה. לפני כמה משפטים היא אמרה שכל האיברים בחבורה חייבים להיות בעלי מכנה משותף כלשהו. עכשיו היא מבצעת הפרדה ברורה בין האיבר הפועל (במקרה הזה, איזו שהיא פעולה שיכולה לבצע או לא לבצע שינוי בחיים) ובין מי שפועלים עליו - האנשים שלמדו או לא למדו באוניברסיטה. אני מניח שגלילי לא מנסה לטעון ששני הדברים הללו הם איברים באותה החבורה. כדאי להעיר שמבחינה מתמטית, עניין מרכזי בחבורות הוא בדיוק כשלוקחים קבוצה תמימה כלשהי מהרחוב ובודקים איך החבורה יכולה לפעול עליה (בעולם האמיתי בדרך כלל מתחילים מהקבוצה, מזהים את הפעולות שאפשר להפעיל עליה בהקשר מסויים ואז מצביעים על כך שלאותן פעולות יש מבנה של חבורה). איכשהו לא נראה לי שלזה גלילי התכוונה כאן. עוד טענה מתמטית שיש לי אל גלילי היא שבכל חבורה איבר הזהות הוא יחיד, בעוד שאצל גלילי גם “אי הירשמות ללימודים” וגם “אי-שינוי מקום עבודה” הם דברים שונים שמשיגים את אותו אפקט.

נו טוב, הלאה אל ההופכי:

אפיון אחרון של קבוצות מוצא שלכל איבר בקבוצה יש איבר הופכי או נוגד לו כך שצירוף של כל איבר עם ההופכי שלו, ייתן לנו את איבר הזהות של הקבוצה, כאשר חוק הצירוף בקבוצה הזו יהיה חיבור.

שוב תיאור נכון עם משפט סיום מיותר שמצביע על כך שגלילי כנראה לא ממש מבינה על מה היא מדברת. אבל מילא. מה הדוגמא מהעולם האמיתי?

אם קיימת קבוצה של אנשים שלקחו שוחד וכל אברי הקבוצה מורכבים מאנשים אלו, גם אם החזירו את השוחד אחרי חמש דקות ונשארו ללא הכסף (איבר הזהות = 0 כסף) הרי שכל האנשים הללו עדיין יקראו "קבוצה של אנשים שלקחו שוחד בחיים שלהם" ומכאן: (לקיחת שוחד - ) + (החזרת כסף) = 0. כלומר גם אם הפעולה ההופכית (האיבר ההופכי) שינתה את התוצאה, הרי שאנשים בקבוצה לא השתנו. לא במובן של עצם הלקיחה. זה לא ישתנה לעולם גם אם קיימת חרטה, למידת לקח, החזרת כסף, חזרה בתשובה ועוד.

ושוב, מה למען שמו של ארדש הקשר? זה לא מתאר את ההופכי בשום צורה, וזה מוסיף טענות שלא נובעות בכלל מהאנלוגיה ה”חבורתית” (“זה לעולם לא ישתנה”).

עכשיו, משסיימנו לעבור על התכונות והצצה להמשך המאמר מבהירה לנו שתורת החבורות לא מוזכרת יותר, נשאלת השאלה - בשביל מה זה היה טוב? גלילי אמרה ש”במאמר זה נתמקד בתורת הקבוצות על מנת להסביר כשלי חשיבה אנושיים המובילים אותנו לטרגדיות מוחשיות בחיינו”, אבל מדוע היינו צריכים את תורת החבורות לשם כך? הרי חבורה היא מבנה עם כללים קשיחים למדי, והנסיון של גלילי להמחיש אותם עם דוגמאות מהמציאות היה חסר כל קשר למושג החבורה, אז למה להכניס את המושג הזה פנימה מלכתחילה? למה לא פשוט לתת רשימת כשלי חשיבה אנושיים וחסל? גלילי הרי לא משתמשת בשום תוצאה מתמטית שיש בתורת החבורות; למשל, היא לא מסתמכת על כך שהאיבר האדיש בחבורה הוא יחיד, או שבחבורה סופית, הפעלת איבר על עצמו מספר פעמים ששווה למספר אברי החבורה נותנת את האדיש, או שכל חבורה שמספר האיברים בה הוא ראשוני היא כזו שבה קיים איבר ש”יוצר” את כל היתר על ידי הפעלות נשנות על עצמו, וכן הלאה. גלילי לא מתעניינת במבנה המתמטי של חבורה; היא מחפשת תירוצים לומר “אדיש” ו”הופכי” ו”מכנה משותף”, ולהשתמש בהילה ה”חכמה” שיש לתורות מתמטיות כדי לעטוף בליל מילים חסרות פשר שלא באמת אומרות כלום ומתיימרות לתת עצות לחיים. זה תעלול שחוק ידוע של שלל אנשים שאין להם שום דבר בעל ערך להגיד, אז הם מערבים פנימה את המדע כדי להישמע חכמים. הנה מאמר אחר ששלחו לי זה לא מכבר שעושה שטיק דומה, הפעם בנושאי ספורט.

מה שעגום הוא שהדבר הכללי שמוזכר במאגר - הצורך לקחת עולם בעל מורכבות אדירה, אינסופית אפילו, ולצמצם אותו לקבוצה קטנה יחסית של מושגים - הוא דווקא עניין מעניין מאוד, שהוא לב לבה של המתמטיקה. מהי אבסטרקציה מתמטית, למשל מושג החבורה עצמו, אם לא מציאת המכנה המשותף המהותי באובייקטים מתמטיים שונים, ושימוש בהבנה של אותו מכנה משותף כדי להסיק דברים על האובייקטים מבלי שנצטרך להבין לשם כך את מלוא המורכבות של כל אובייקט ואובייקט? אם גלילי הייתה מבינה משהו במתמטיקה אולי היא הייתה מסוגלת לדבר על זה. אולי באמת עדיף לייעץ לה להתמקד בנושאים שבהם היא מבינה יותר מאשר מתמטיקה, למשל נפיליזם.