איך ייתכן ש ...+1+2+3 שווה למינוס 1 חלקי 12?!

בימים האחרונים משוטט ברשת סרטון של Numberphile שמציג “הוכחה” לסכום הבלתי נתפס הבא: \( 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12} \). במילים: הסכום של כל המספרים הטבעיים הוא מינוס (מינוס!) אחד חלקי שתיים עשרה. זו כמובן תוצאה בלתי נתפסת. איך ייתכן שסכום של מספרים חיוביים יהיה משהו שלילי? איך ייתכן שסכום של מספרים שלמים יהיה שבר? איך ייתכן שסכום המספרים הטבעיים, שכולנו יודעים שמתבדר לאינסוף, בעצם מתכנס? ובכן, בפוסט הזה אציג גם את ה”הוכחה” לטובת מי שלא רוצה לראות את הסרטון, וגם אדבר קצת על למה התוצאה הבלתי נתפסת הזו אינה מופרכת לחלוטין - אבל כמובן, אינה כה פשוטה כפי שמציגים אותה.

נתחיל מההתחלה. הסכום \( 1+2+3+\dots \) הוא סכום של אינסוף איברים, וזה לא מובן מאליו בכלל איך נכון לסכום אינסוף איברים. יש לי פוסט בנושא שמציג את הגישה הרווחת ביותר בעולם המתמטי, אבל חשוב להבין שזו אינה הגישה היחידה. בפרט, זו לא גישה שהיא אוטומטית נכונה באופן “טבעי” בזמן שגישות אחרות הן “שגויות”; זו פשוט הגישה שהתבררה כטובה ביותר עם הזמן, כשמשקללים עניינים כמו נוחות ובהירות ושימושיות.

הרעיון בגישה הזו הוא להסתכל על סכומים חלקיים של הטור - המספרים שמקבלים כאשר סוכמים אותו עד לנקודה מסויימת. למשל, אם נסתכל על הטור \( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots \) של החזקות השליליות של 2, לא קשה להוכיח (עם הנוסחה לטור הנדסי סופי) שסכום \( n \) האיברים הראשונים בטור יוצא \( 1-\frac{1}{2^{n}} \) (בדקו זאת!). ככל ש-\( n \) גדול יותר, כך הסכום החלקי הזה מתקרב יותר ויותר ל-1; מבחינה פורמלית מתקיים \( \lim_{n\to\infty}1-\frac{1}{2^{n}}=1 \) (הגבול של סדרת הסכומים החלקיים הוא 1), ולכן מגדירים את סכום הטור הזה להיות 1. מה עשינו כאן? לקחנו טור של אינסוף מספרים והתאמנו לו מספר, \( S \), שמייצג אותו במובן כלשהו. הקשר הזה בין טורים ומספרים שיש לנו בשיטת ההתאמה הזו הוא די אמיץ: אם נבצע מניפולציה אלגברית על הטור, נקבל את אותה מניפולציה אלגברית על המספר. כלומר, אם נכפיל את הטור ב-2 ונוסיף לו 1, כך יקרה גם למספר:

\( 1+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\right)\dots=1+1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\right)=2+1=3=1+2\cdot1 \)

זה נכון גם באופן כללי, כמובן: אם \( \sum a_{n}=S \) (הסימן \( \Sigma \) הוא דרך מקוצרת לייצג סכום במתמטיקה) אז \( \sum ka_{n}=kS \) ו-\( k+\sum a_{n}=k+S \) (פעולת החיבור-עם-מספר היא קצת יותר מחוכמת משנראה במבט ראשון; מה שאני עושה כאן בפועל הוא להוסיף לטור איבר ראשון חדש ו”להזיז” את יתר האיברים מקום אחד קדימה בטור, קצת מזכיר את המלון של הילברט). אפשר גם לעשות עוד דברים נחמדים, למשל לחבר טורים “איבר איבר”: אם \( \sum a_{n}=S_{1} \) ו-\( \sum b_{n}=S_{2} \) אז \( \sum\left(a_{n}+b_{n}\right)=S_{1}+S_{2} \). אפשר אפילו לכפול טורים במובן מסויים אבל נעזוב את זה לבינתיים. מה שחשוב הוא שהתכונות האלגבריות הנחמדות הללו תלויות כולן בכך שהטור יתכנס, כלומר שלסדרת הסכומים החלקיים בכלל יהיה גבול. ותכף נראה דוגמאות למקרים שבהם אין גבול.

אפילו כשטור מתכנס, לא בהכרח חוקי לעשות לו כל מניפולציה אפשרית ועדיין לצפות לקבל את אותה תוצאה. בפרט יש משפט נפלא של רימן שאומר שאם טור כלשהו אמנם מתכנס אבל טור הערכים המוחלטים של איבריו לא מתכנס (לסיטואציה כזו קוראים “הטור מתכנס בתנאי”, להבדיל מ”הטור מתכנס בהחלט”), אז על ידי שינוי סדר הסכימה של האיברים בטור אפשר לגרום לו להחזיר כל ערך שנרצה בתור סכום. אז כבר עכשיו ברור לנו שאנחנו על חבל דק פה מבחינת מניפולציות אלגבריות; וזה כל עוד אנחנו נשארים עם טורים שכן מקיימים את הדרישה הרגילה לכך שטור יתכנס.

הנה לנו דוגמה לטור שאינו מתכנס: \( 1-1+1-1+1-1+\dots \). כלומר, מחברים ומחסרים 1 לסירוגין. סדרת הסכומים החלקיים של הטור הזה היא \( 1,0,1,0,1,\dots \). לסדרה מתחלפת שכזו אין גבול; יש לה שני גבולות חלקיים שהם 0 ו-1, אבל אין לה גבול במובן הרגיל של המילה ולכן לטור הזה אין סכום במובן הרגיל של המילה. האם זה אומר שהמתמטיקאים צריכים לוותר לחלוטין על הטור הזה? כמובן שלא; אולי יש דרך נחמדה אחרת לתת מספר שמתאר את הטור הזה בצורה שמשמרת לפחות חלק מהתכונות הנחמדות שיש לסכומים?

ובכן, בואו נשחק משחק: נניח שיש לטור הזה סכום שהוא מספר ממשי, ננסה “לחשב” את המספר הזה על ידי מניפולציות אלגבריות של סכומים, ונראה אם נגיע למשהו. נסמן \( S=1-1+1-1+1-1+\dots \). עכשיו בואו ננסה להבין מהו \( 1-S \):

\( 1-S=1-\left(1-1+\dots\right)=1-1+1-\dots=S \)

מה קרה פה? עשינו שתי מניפולציות אלגבריות: הכפלנו את הטור במינוס 1 והנחנו שגם הסכום שלו יוכפל במינוס 1; וחיברנו 1 לטור והנחנו שזה גם יוסיף 1 לסכום שלו. כמו שקורה בטורים רגילים. העניין הוא שאם לוקחים את הטור, כופלים אותו במינוס 1 ואז מוסיפים לו 1 מקבלים שוב חזרה את הטור המקורי. לכן, אם לטור יש סכום \( S \) שהוא מספר ממשי, ואם הסכום הזה מקיים את הכללים הפשוטים של שימור-כפל-במספר ושימור-חיבור-עם-מספר, אז הסכום חייב לקיים את המשוואה \( 1-S=S \), כלומר \( 2S=1 \), כלומר \( S=\frac{1}{2} \).

אינטואיציה כלשהי לכך ש-\( \frac{1}{2} \) הוא אכן המספר הנכון כאן אפשר לקבל מהעובדה הבאה: אפשר להוכיח שאם \( \left|x\right|<1 \) אז מתקיים \( \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x} \) כאשר הסכום כאן הוא במובן הרגיל (גבול סדרת הסכומים החלקיים). עבור \( x=-1 \) נקבל בדיוק את הטור \( 1-1+1-1+\dots \), ואם נציב \( x=-1 \) בנוסחה \( \frac{1}{1-x} \) נקבל \( \frac{1}{2} \). הבעיה היא שההוכחה של השוויון \( \sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x} \), אם נפרוט אותה לפרוטות, לא עובדת עבור \( x=-1 \); הדרישה \( \left|x\right|<1 \) היא קריטית. עדיין, זה נחמד לראות שהנוסחה “מסכימה” עם התוצאה המוזרה שלנו.

האם ניתן להכליל את הגדרת הסכום ה”רגיל” כדי שגם ל-\( 1-1+1-1+\dots \) יהיה סכום “חוקי”? התשובה חיובית, ושיטה אחת לכך היא סכימת צזארו: בשיטה הזו מסתכלים על סדרת הסכומים החלקיים של טור, \( S_{0},S_{1},S_{2},\dots \) (כאשר \( S_{k}=\sum_{n=0}^{k}a_{n} \)), ואז מחשבים את הממוצע החשבוני שלה: \( A_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}S_{k} \). אם \( \lim_{n\to\infty}A_{n} \) קיים, אז הוא נקרא סכום צזארו של הטור. לא קשה להראות שאם קיים לטור סכום במובן הרגיל, אז קיים סכום גם במובן של צזארו והם שווים; אבל עם צזארו אפשר לקבל סכומים גם לטורים כמו \( 1-1+1-1+\dots \) שבמקרה שלו, באופן לא מפתיע, הסכום הוא \( \frac{1}{2} \) (נסו לבצע את החישוב, זה קל יחסית!).

הלקח החשוב מהסיפור הזה הוא שלא צריך לפסול אוטומטית את האפשרות של טור להתכנס לערך כלשהו רק בגלל שהאינטואיציה שלנו, או ההגדרות המתמטיות הבסיסיות שאנחנו עובדים איתן, לא מתירים את זה. לפעמים זה טוב להרחיב את ההגדרות המתמטיות. העניין הוא שזה טוב ויפה עבור טור וסכום מתקבלים על הדעת כמו זה שהצגתי כרגע, אבל איך לכל הרוחות זה יכול להסביר תוצאה מופרעת לחלוטין כמו \( 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12} \)?! זה באמת נראה לא קשור בעליל.

אז בואו נשחק את המשחק ששיחקנו קודם עם \( 1-1+1-1+\dots \): נניח ש-\( 1+2+3+\dots=S \) וננסה להבין מה \( S \) “חייב” להיות על ידי מניפולציות אלגבריות (התוצאה שנקבל היא: “אם קיים לטור סכום \( S \) שהוא מספר ממשי על פי שיטת סכימה כלשהי, ושיטת הסכימה הזו מאפשרת את ביצוע המניפולציות האלגבריות כך-וכך, אז סכום הטור חייב להיות \( -\frac{1}{12} \)”).

לצורך כך ראשית כל בואו נביט על טור אחר, \( 1-2+3-4+\dots \). כלומר, בן כלאיים מופרע של \( 1+2+3+\dots \) ושל \( 1-1+1-1+\dots \) שבו סוכמים את המספרים הטבעיים עם סכומים מתחלפים. האם אנחנו מסוגלים לחשב את הסכום שלו? נסמן \( S_{1}=1-2+3-4+\dots \). עכשיו נניח שאנחנו יכולים לחבר את הטור הזה “איבר איבר” עם הטור \( 1-1+1-1+\dots \) ושהסכום של החיבור הזה יהיה חיבור סכומי שני הטורים. אבל, אנחנו נרמה קצת: אנחנו רוצים לחבר את \( 1-1+1-1+\dots \) עם “הזזה” כך שהאיבר הראשון שלו יתחבר עם האיבר השני \( 1-2+3-4+\dots \), השני עם השלישי וכן הלאה. אבל זו לא בעיה: אם \( 1-1+1-1+\dots=\frac{1}{2} \) אז \( 0+1-1+1-1+\dots=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \), ואפשר לחבר את הטור החדש הזה “איבר איבר” עם הטור \( 1-2+3-4+\dots \), ולקבל:

\( S_{1}+\frac{1}{2}=\left(0+1\right)+\left(1-2\right)+\left(-1+3\right)+\left(1-4\right)+\dots= \)

\( =1-\left(1-2+3-4+\dots\right)=1-S_{1} \)

אז קיבלנו את המשוואה \( S_{1}+\frac{1}{2}=1-S_{1} \), ואחרי העברת אגפים נקבל \( 2S_{1}=\frac{1}{2} \), כלומר \( S_{1}=\frac{1}{4} \).

עכשיו אפשר לתקוף את \( 1+2+3+\dots \) ישירות. נחסיר ממנו את \( 1-2+3-4+\dots \) (כלומר, נכפול את הטור הזה ב-\( -1 \) ונחבר) ונקבל:

\( S-S_{1}=\left(1-1\right)+\left(2+2\right)+\left(3-3\right)+\left(4+4\right)+\dots= \)

\( 4+8+12+\dots=4\left(1+2+3+\dots\right)=4S \)

כלומר, קיבלנו את המשוואה \( S-\frac{1}{4}=4S \) (הצבתי \( \frac{1}{4} \) במקום \( S_{1} \)). אחרי העברת אגפים נקבל \( 3S=-\frac{1}{4} \) ואחרי חלוקה: \( S=-\frac{1}{12} \). הנה, ככה צץ מספר הקסם \( -\frac{1}{12} \)!

האם ההוכחה הזו אמורה להיות מקובלת עליכם? השאלה היא, שוב, באיזה מובן היא אמורה להיות מקובלת עליכם. אני, למשל, ממשיך לומר שהטור \( 1+2+3+\dots \) מתבדר לאינסוף; הסיבה לכך היא שסדרת הסכומים החלקיים שלו היא \( S_{n}=\frac{n\left(n+1\right)}{2} \), והסדרה הזו מקיימת \( \lim_{n\to\infty}S_{n}=\infty \). אז במובן הרגיל אין לטור הזה סכום. מי שינסה לטעון אחרת עובד עליכם. מצד שני, מה שראינו הוא שאם ננסה להגדיר סכום לסדרה בדרך אחרת, ואם הדרך האחרת הזו משמרת כמה מניפולציות אלגבריות מתבקשות, אז הסכום יהיה חייב להיות \( -\frac{1}{12} \). במילים אחרות, \( -\frac{1}{12} \) זה לא איזה מספר מופרע שצץ בראש של איזה מישהו כי בא לו; זה מספר שנמצא בקשר הדוק מאוד עם \( 1+2+3+\dots \) בין אם נרצה ובין אם לאו. אם כבר צריך להגדיר את הסכום \( 1+2+3+\dots \) להיות מספר ממשי כלשהו, אז \( -\frac{1}{12} \) הוא הבחירה הטבעית.

אני רוצה לחדד את העניין הזה עם עוד סכום פסיכי: הסכום \( 1+2+4+8+\dots \) של חזקות של 2. שוב, בבירור במובן הרגיל של סכימה, הסכום מתבדר לאינסוף. אבל אם נניח שכן יש סכום שהוא מספר כלשהו \( S=1+2+\dots \), נכפול ב-2 ונחבר 1, נקבל

\( 2S+1=1+2\left(1+2+4+8+\dots\right)=1+2+4+8+\dots=S \)

ולכן נקבל \( S=-1 \). שוב, נראה מופרך לגמרי, ולכן בדרך כלל מביאים את התעלול הזה בתור “הוכחה” לכך שהטור אינו מתכנס (עם עוד קצת פורמליזציה אכן מקבלים ממנו הוכחה שהטור אינו מתכנס בממשיים). אבל כאן אפילו לא צריך לשנות את שיטת הסכימה כדי שהגבול הזה יהיה נכון, רק צריך לשנות את ההקשר; במקום לדבר על סכום במספרים ממשיים, לדבר על סכום במספרים \( p \)-אדיים; ספציפית, מספרים 2-אדיים. להסביר עד הסוף מהם המספרים הללו זה יותר מדי עבור הפוסט הזה, אבל לשמחתי כבר דיברתי עליהם בעבר. מה שצריך לדעת: מספרים \( 2 \)-אדיים הם הרחבה של המספרים הרציונליים, שהיא מעין חלופה להרחבה של המספרים הרציונליים שבונה מהם את הממשיים. במספרים הללו המושג של “גודל” של מספר הוא מעוות לחלוטין ביחס למה שקורה בממשיים: הגודל של מספר \( n \) שווה ל-\( \frac{1}{2^{k}} \) כאשר \( 2^{k} \) היא החזקה הגדולה ביותר של \( 2 \) שמחלקת את \( n \). במילים אחרות - ככל שמספר מתחלק על ידי חזקה גדולה יותר של 2, כך הוא קטן יותר. המושג החדש הזה של גודל משפיע על המשמעות של שאיפה לאינסוף, במובן הרגיל של גבולות.

כמו כן, במספרים \( p \)-אדיים מתקיימת תכונה מקסימה של טורים, שפשוט לא נכונה במספרים ממשיים - טור מתכנס אם ורק אם האיבר הכללי שלו שואף לאפס. בממשיים כבר הטור \( \sum\frac{1}{n} \) מהווה דוגמה נגדית, למרות אנשים שמעדיפים לחשוב שהוא מתכנס ל-137, אבל ב-2-אדיים זה נכון; רק חשוב להבין שב-2-אדיים “שאיפה לאפס” מוגדרת בעזרת הנורמה ה-2-אדית ה”מוזרה”. מה זה אומר? שהסדרה \( a_{n}=2^{n} \) שואפת לאפס, כי הנורמה של האיבר ה-\( n \)-י בה היא \( \frac{1}{2^{n}} \). הסדרה הזו היא בדיוק סדרת האיברים של הטור \( 1+2+4+8+\dots \), כלומר הטור הזה מתכנס ב-2-אדיים. ברגע שבו הוכחנו שהוא מתכנס על פי המובן הרגיל של התכנסות, שמאפשר מניפולציות אלגבריות, המסקנה המיידית היא שהסכום שלו חייב להיות \( -1 \), על פי התעלולים שראינו קודם. ואכן, לא קשה לראות ש-\( -1 \) הוא אכן גבול של סדרת הסכומים החלקיים של הטור: אם נסתכל על ההפרש \( 1+2+\dots+2^{n}-\left(-1\right) \) נראה, על ידי פישוט אלגברי לא מסובך, שההפרש הזה שווה ל-\( 2^{n+1} \) - ולכן ההפרש בין הסכומים החלקיים ובין \( -1 \) אכן שואף לאפס, כלומר \( -1 \) הוא אכן סכום הטור. זה די נפלא - התעלול האלגברי, שבממשיים משתמשים בו בעיקר כדי לצחוק על מי שחושב שהטור מתכנס, הפך פתאום להוכחה תקינה לחלוטין לכך שהטור באמת שווה \( -1 \); רק צריך היה למצוא את ההקשר המתמטי המתאים. זה לקח טוב למי שטוען על משהו שהוא “בלתי אפשרי” במתמטיקה ופשוט לא מודע לכמה הרבה דברים אפשריים במתמטיקה ועד כמה צריך לסייג את ה”בלתי אפשרי” לדברים קונקרטיים שבהם הבלתי אפשרי הוא בלתי אפשרי.

חזרה אל \( 1+2+3+\dots \). כמו שעבור \( 1-1+1-1+\dots=\frac{1}{2} \) הראיתי “נימוק מפייס אינטואיציה” שהראה איך הערך הזה מתקבל מחישוב ערך ספציפי של פונקציה מסויימת שמתאימה לטור כללי יותר, אני רוצה להראות משהו דומה גם עבור \( 1+2+3+\dots \). כמו כן אני רק אעיר שיש שיטת סכימה שהמציא המתמטיקאי סריניווסה רמנוג’אן שעבור הטור \( 1+2+3+\dots \) נותנת גם כן \( -\frac{1}{12} \) והיא עקבית באופן כללי עם מה שאעשה בהמשך, אבל לא אציג אותה הפעם, גם כי אני לא מכיר אותה טוב בעצמי וגם כי היא תדרוש ממני להיות אפילו יותר טכני ממה שאני הולך להיות עוד רגע.

אז בואו נדבר על הפונקציה: הפונקציה במקרה הנוכחי היא פונקציה מכובדת מאוד ומפורסמת מאוד במתמטיקה: פונקציית הזטא של רימן. דיברתי עליה קצת בעבר, כאן. זוהי פונקציה מרוכבת (כלומר, מוגדרת על כל המספרים המרוכבים, לא רק על הממשיים) שמוגדרת באופן לא טריוויאלי שדורש היכרות כלשהי עם אנליזה מרוכבת, ולכן אנפנף בידיים. ראשית, מסתכלים על הטור \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}} \). אפשר להוכיח שהטור הזה מתכנס אם החלק הממשי של \( x \) גדול מ-1, וזה מגדיר לנו פונקציה \( f\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}} \) לכל \( x \) מרוכב שהחלק הממשי שלו גדול מ-1 (בפרט, לכל הממשיים שגדולים מ-1). לרוע המזל, עבור \( x \)-ים אחרים הטור לא מתכנס. מה שעושים עכשיו הוא להגיד “אוקיי, בואו נגדיר פונקציה \( \zeta\left(z\right) \) על כל המספרים המרוכבים שרק אפשר, כך שאם \( z \) הוא מספר מרוכב שהחלק הממשי שלו גדול מ-1 אז מתקיים \( \zeta\left(z\right)=f\left(z\right) \) - כלומר, \( \zeta \) מזדהה עם \( f \) על תחום ההגדרה של \( f \) - וכמו כן \( \zeta \) היא “נחמדה” (פורמלית, אנליטית, אבל לא חשוב כרגע מה זה אומר). להרחבה כזו של \( f \) קוראים הרחבה אנליטית ואפשר להוכיח שיש רק הרחבה יחידה כזו. \( \zeta \) היחידה הזו היא מה שנקרא “פונקציית הזטא של רימן”. זה שאנחנו יודעים שהיא קיימת לא אומר שאנחנו בהכרח יודעים איך היא נראית בכל מקום; אחת השאלות הפתוחות המרכזיות במתמטיקה, השערת רימן, עוסקת בשאלה איפה בדיוק \( \zeta \) יכולה להתאפס. עם זאת, יש לנו מידע כלשהו על \( \zeta \): הצגתי פעם בבלוג הוכחה לנוסחה שנותנת את ערכי \( \zeta \) עבור המספרים השלמים החיוביים הזוגיים, ועבור כל המספרים השלמים השליליים. מבלי להיכנס לפרטים, הנוסחה היא \( \zeta\left(-n\right)=-\frac{B_{n+1}}{n+1} \) כאשר \( B_{n} \) הוא מה שנקרא מספר ברנולי - זו סדרת מספרים נפלאה ומרתקת שלא אגיד עליה כלום כרגע פרט לכך ש-\( B_{2} \) הוא \( \frac{1}{6} \). אז כאשר מציבים \( n=1 \) מקבלים \( \zeta\left(-1\right)=\frac{-\frac{1}{6}}{2}=-\frac{1}{12} \). הופס. איך זה קשור לטור \( 1+2+3+\dots \)? פשוט מאוד. אם נציב \( x=-1 \) בטור \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}} \) נקבל בדיוק את הטור \( \sum_{n=1}^{\infty}n \), כלומר \( 1+2+3+\dots \).

אני רוצה לחדד את הנקודה: \( \zeta\left(-1\right) \) אינה מוגדרת בתור הסכום (במובן הרגיל) של \( 1+2+3+\dots \). היא מוגדרת באמצעות הסכום (במובן הרגיל) של \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}} \) רק עבור ערכי \( x \) שהחלק הממשי שלהם גדול מ-1, ועבור ערכים אחרים היא מוגדרת באמצעות הוקוס-פוקוס מתמטי לא טריוויאלי. עדיין, זה לא אומר שאי אפשר לתת לסכום \( 1+2+3+\dots \) משמעות חדשה באמצעות פונקציית הזיטא של רימן (ובדומה, לכל סכום מהצורה \( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}} \) עבור \( x \) “לא חוקי”). כפי שאנחנו כבר רואים, יש הגיון מאחורי המשמעות החדשה הזו. האם יש לה גם שימוש? זו כבר שאלה שאי אפשר להפנות אלי כי אין לי מושג, אלא דווקא לפיזיקאים; בתחומים מסויימים בפיזיקה (בפרט אוהבים לזרוק את תורת המיתרים בהקשר הזה) אכן משתמשים בסכימה הזו. עבורי מספיק שמדובר על תוצאה יפה.