מיקסומיה - תורת הטבע השלמה

בשבועות האחרונים היה קשה להתעלם מפרסומת פייסבוק שחלחלה לה אט אט אל המעגלים שלי. בואו ניתן לה לדבר בעד עצמה:

מי שילחץ על הלינק יגיע לאתר שכותרתו “מיקסומיה - תורת הטבע השלמה” ויש בו כל מני… דברים. הרושם המיידי שהתקבל אצלי הוא שמדובר על טרחן פיזיקלי. וזה מצער עבורי, כי פיזיקה היא לא התחום שלי. אז אני הולך להשאיר את הבמה לפיזיקאי כלשהו שירצה להתייחס לעיקר דבריו של מר מיקסומיה. עם זאת, באתר ישנו מאמר של האיש שכותרתו היא “חוק אי רציפות של הטבע והפרכת החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי” וזה כבר מעניין אותי, כמובן - איך אפשר להפריך תורה מתמטית ותיקה ומבוססת כמו החדו”א?

ובכן, כדאי לזכור שלמעשה אפשר לעשות את זה. ב-1734 פרסם הפילוסוף ג’ורג’ ברקלי מסה בשם “האנליסט” שתקפה את החדו”א של ניוטון ולייבניץ. לא קראתי את המסה, ואני חושב שהיא תהיה חומר מצויין לפוסט מעניין ורלוונטי שיעסוק בתולדות החדו”א. רק מה, מאז 1734 השתנו כל מני דברים. היסודות המתמטיים שניוטון ולייבניץ סיפקו לחדו”א היו רעועים, כי זו הייתה המתמטיקה של אותה תקופה; המתמטיקה הפורמליסטית והמדוקדקת של ימינו היא במידה רבה תוצר של המאה ה-19, והחדו”א נוסחה מחדש באמצעים המדוקדקים הללו בידי מתמטיקאים רבים, שהמפורסמים שבהם הם ויירשטראס וקושי. בין היתר מושג הגבול, שהוא המושג המרכזי בחדו”א המודרנית, נוסח על ידם בתור פתרון לבעיות מסוג זו שברקלי הצביע עליהן. במאה ומשהו השנים האחרונות לא ידוע לי על בעיה של ממש בחדו”א שמישהו רציני הצביע עליה.

אם כן, האם יש לנו כאן ברקלי חדש?

כמובן שלא!

המאמר נפתח ב:

נוכיח כי הנחת רציפות התנועה בטבע, האינטואיטיבית והקלה לחשיבה, שאינה דורשת מאמץ אינטלקטואלי להבנתה ובמיוחד שאין צורך להוכיחה, היא שגויה בבסיס, סותרת עצמה, ומוכיחה שאין לפיה שום אפשרות לקיום תנועה בטבע. לפיכך, מעצם קיום הטבע מוכח ע"י מיקסומיה, כי חייב להתקיים חוק אי רציפות הטבע.

וזה כבר כשל מרכזי ראשון. איך אפשר להפריך את החדו”א על ידי “הטבע”? חדו”א היא תורה מתמטית. ככזו, היא לא חייבת להתאים את עצמה לטבע. הרבה תורות מתמטיות לא מתארות שום דבר בטבע. הפרכה של תורה מתמטית דורשת להצביע על סתירה פנימית כלשהי בתורה. אם כן, מה שמר מיקסומיה מנסה לעשות הוא לא “להפריך את החדו”א” אלא לכל היותר לטעון שמודלים פיזיקליים שנבנו באמצעות החדו”א אינם יכולים לתאר את הטבע בצורה נכונה. לדעתי יש כאן פספוס של העובדה שמודל מתמטי לא מתיימר להיות בעל זהות עם הטבע, אלא רק לתאר את הטבע באמצעות מושגים שאנחנו יכולים לעבוד איתם - אבל זה דיון לפילוסופים של הפיזיקה, לא בשבילי.

מייד לאחר מכן מגיע משפט:

משפט 1. אם קיימת רציפות תנועה בטבע אין שום תנועה בטבע ולכן הנחת הרציפות מופרכת.

עכשיו, הנה לכם כלל אצבע טוב לדעת אם אתם קוראים מאמר מתמטי או מאמר בולשיט: מאמר מתמטי כמעט אף פעם לא יפתח במשפט עם הוכחה; ראשית כל יגיעו הגדרות, וכנראה גם רקע והסברים מה מנסים לעשות - אלא אם המאמר פשוט במיוחד. כאן בבירור נדרשות הגדרות - מה זו “רציפות תנועה בטבע”? איך מוגדרת “תנועה”?

אבל מילא. החלק המעניין הוא ההוכחה, שכתובה בסגנון כמו-מתמטי. דווקא ההוכחה כן מתחילה בהגדרות, אבל של הדברים הלא נכונים:

הנחת הרציפות פירושה הוא שכאשר \( X \) הולך ומתקרב ל-\( X_{0} \) שהוא הגבול (למשל, המספר 5) אזי ההפרש \( X-X_{0} \) הולך וקטן ושואף לאפס. לכן הגבול הוא \( X_{0} \) (למשל 5).

הנה כמה בעיות עם ה”הגדרה” הזו: ראשית, מי זה \( X \)? מספר ממשי? פונקציה? סדרה? ההגדרות הסטנדרטיות של גבולות במספרים הממשיים מדברים על גבולות של פונקציות ושל סדרות. אין כאן לא זה ולא זה. יש סתם ערך \( X \) שלא ברור מהו ש”מתקרב” (באיזה אופן?) אל \( X_{0} \).

אבל בעיה יותר מהותית היא שמה שהוא מתאר כאן מתאים למושג המתמטי של גבול אבל לא למושג המתמטי של רציפות. אני אסביר את זה עוד רגע כי הוא נותן גם הגדרה פורמלית יותר, אז בואו נדבר עליה:

אולם מנקודת מבט מדעית של שיטות קפדניות ודקדקניות (ריגורוזיות) את ההגדרה המדויקת יותר ניסח המתמטיקאי קושי כדלהלן: המספר הממשי \( L \) נקרא גבול של הפונקציה \( f\left(x\right) \) בנקודה \( X_{0} \), אם לכל \( \varepsilon>0 \) קיים \( \delta>0 \) כך שלכל \( X \) שעבורו \( \left|X-X_{0}\right|<\delta \) מתקיים \( \left|f\left(X\right)-L\right|<\varepsilon \). במקרה זה רושמים \( \lim_{x\to X_{0}}f\left(x\right)=L \).

ההגדרה הזו היא אכן ההגדרה הסטנדטית של מושג הגבול בחדו”א בימינו, וגם אני הצגתי אותה בבלוג מספר פעמים. קוריוז היסטורי קטן - ההגדרה שקושי הציע הייתה שונה בניסוח שלה, אם כי הרעיון הבסיסי היה זהה; הפורמליזם המדויק שלעיל, שמכונה “הגדרת האפסילון-דלתא” (על שם האותיות \( \varepsilon \) - אפסילון ו-\( \delta \) - דלתא שמופיעות בה) מיוחס לויירשטראס.

אם להיות מדויקים לרגע, ההגדרה הזו מערבבת יחד את מושג הגבול יחד עם מושג הרציפות. בהגדרת הגבול הסטנדרטית יש הבדל קטן אבל חשוב: אנחנו דורשים מ-\( X \) שיקיים רק \( 0<\left|X-X_{0}\right|<\delta \), כלומר אנחנו אומרים שלא אכפת לנו מה קורה כאשר \( X=X_{0} \): מבחינתנו \( f\left(X_{0}\right) \) יכולה להיות לא מוגדרת בכלל, או להיות שונה מ-\( L \). כל עוד אנחנו מדברים רק על גבול אנחנו מתעניינים רק בהתנהגות של הפונקציה בסביבה של \( X_{0} \) ולא בנקודה \( X_{0} \) עצמה. רק כשאנחנו רוצים לדרוש ש-\( f \) תהיה רציפה בנקודה \( X_{0} \) אנחנו עוברים לניסוח של \( \left|X-X_{0}\right|<\delta \) בלי החסם התחתון. זו דרך אחרת להגיד שאנחנו דורשים שיתקיים \( f\left(X_{0}\right)=\lim_{X\to X_{0}}f\left(X\right) \).

עכשיו מגיע ה”הסבר” של ההגדרה:

פירוש הדבר הוא כי הגדרת גבול היא שתמיד בין שני ערכים \( \varepsilon>0 \) של הפונקציה \( f\left(x\right) \) שמקורו \( \delta>0 \) ב-\( x \) ניתן להקטינם ולמצוא תמיד ערכים של \( x,f\left(x\right) \) קטנים יותר הקרובים לגבול \( X_{0},f\left(X_{0}\right) \) וכך מגיעים לגבול.

הצלחתם להבין מה הוא אומר כאן? באמת? כי אני לא הצלחתי. זה טקסט מבולבל לגמרי. כמובן, אני יכול לנחש שהכוונה היא כזו: אם יש לנו \( X \) כך ש, נאמר, \( X_{0}<X \) ו-\( \left|X-X_{0}\right|<\delta \) ומתקיים \( \left|f\left(X\right)-L\right|<\varepsilon \) אז קיים \( X^{\prime} \) בין \( X_{0} \) ו-\( X \) שגם מקיים זאת, כלומר \( X_{0}<X^{\prime}<X \) כך ש-\( \left|f\left(X^{\prime}\right)-L\right|<\varepsilon \). זה אכן מתקיים במספרים הממשיים, בגלל שהמספרים הממשיים הם מה שנקרא קבוצה צפופה - קבוצה שבה בין כל זוג מספרים יש אחד שנמצא “ביניהם”. אבל חשוב להבין שזה לא באמת קשור להגדרת הגבול, לא מסביר אותה ולא מוכיח אותה. בעולמות לא צפופים אפשר עדיין להגדיר גבולות וההגדרה תתנהג בצורה נחמדה גם בלי התכונה של ה”פירוש הדבר”. ולמה זה חשוב? כי עכשיו הוא גוזר מסקנות מהתיאור המוזר שלו:

אך, כך למעשה שאיפה לגבול אינה מובילה לגבול לעולם ותמיד תישאר שארית כלשהי בכל זמן שייבדק. לכן, לעולם לא קיימת רציפות בטבע, אלא, התקרבות לרציפות, שכן, הגעה לגבול היא עיגול פינות ואינה רציפות.

כאן אנחנו כמובן נוטשים לגמרי את העמדת הפנים של טקסט מתמטי ועוברים לנפנף בידיים ולזרוק מונחים שצצו משום מקום (“לעולם”? איך נכנס אספקט של זמן לתמונה?) וסתם עלבונות (“עיגול פינות”). אין שום טענה מתמטית במשפט הזה, ולכן כל מה שאני יכול לעשות הוא לנחש מה הוא רוצה לומר בו. בואו ניקח דוגמה טריוויאלית - הפונקציה \( f\left(x\right)=2x \). ניקח גם את הנקודה \( X_{0}=1 \). בבירור הפונקציה הזו מקיימת \( \lim_{x\to1}f\left(x\right)=2 \) (ומכיוון ש-\( f\left(1\right)=2 \) הפונקציה גם רציפה בנקודה זו - ובכל מקום אחר). אז אם נציב ערך שרק קרוב אל \( 1 \), למשל \( 0.95 \), הפלט יהיה ערך שרק קרוב אל \( 2 \), למשל \( 1.9 \). זה מוביל לתחושה שאם פונקציה שואפת לגבול מסויים היא עדיין לא “מגיעה” אליו אף פעם, כי לפני שנגיע להציב 1 ב-\( f \) נצטרך לעבור קודם בכל הערכים שנמצאים לפני 1, ויש אינסוף כאלו, ובאף אחד מהם הפונקציה לא מחזירה את הערך בגבול. תכף נדבר על זה יותר כי זה הכיוון שאליו הוא חותר בהמשך.

אבל כמובן, הטענה הזו לא נכונה מבחינה מתמטית - עבור פונקציות מסויימות מגיעים אל הגבול יותר מוקדם. דוגמה נאיבית במיוחד היא פונקציה קבועה, למשל \( f\left(x\right)=0 \), שתמיד מחזירה את הערך שלה בגבול. אבל מילא, תגידו, בואו נדבר רק על הפונקציות שבהן זה לא קורה, וכבר נתתי דוגמה לאחת פשוטה שכזו. עדיין, אי אפשר לראות איפה כאן בעצם הסתירה, כי כל מה שעשינו היה לתאר את הגדרת הגבול. ברור שאין ולא תהיה כאן סתירה למושג המתמטי של רציפות אלא למושג הרלוונטי ב”טבע”, שלא הוגדר.

ועכשיו מגיע החלק הכיפי.

הנחת רציפות תנועה בטבע פירושה כי אין אפשרות לשום אגיד A להיפרד/לעזוב את קו ההתחלה שהוא נקודת האפס (0), כיוון שהאגיד A צמוד לאפס ואינו יכול לעולם להתנתק מהאפס. אחרת, הנחת הרציפות בטלה כיוון שאז חייב להיווצר הפרש ריק מתנועה בגודל \( S>0 \) בין האגיד לאפס. לפיכך, זה בלתי אפשרי ליצור איזו שהיא תנועה במקרה של הנחת הרציפות. למשל, נניח כי אתם רוצים לספור/לצעוד החל מהאפס (0) עד 100 מטר. כדי לעשות זאת עליכם בהכרח להיפרד מהאפס, אחרת תהיו תקועים שם באפס (0) ללא ספירה/צעד לעולם. לכן, כדי להתחיל בספירה/צעד, אתם חייבים שהמספר/צעד ככל שיהיה קטן חייב תמיד להיות \( < \) אפס (0) אחרת לא קיימת תנועה בטבע. אך בפועל כן קיימת תנועה! זה סותר רציפות. לכן, גם כאשר תמשיכו הלאה להקטין את המספר/צעד עוד ועוד לפי הנחת הרציפות, תהליך ההקטנה חייב להיות סופי, כיוון שאחרת לא תוכלו לספור/לצעוד לעולם ולהגיע ל- 100 מטר. אם הנחת הרציפות נכונה, אין אפשרות להתחיל בשום מספר/צעד. כך לא תוכלו לבצע שום צעד, לחשוב שום מחשבה, לא תוכלו לדבר, לא תוכלו לנוע, לא תוכלו לבנות, לא תוכלו לעשות כלום. בפועל, עובדה שאתם סופרים, צועדים, בונים וחושבים, וזאת משום שהטבע קיים בפועל. מכאן שהנחת הרציפות מופרכת. מש"ל.

הפסקה הראשונה מבצעת את פשע הטרחנות הקלאסי: משתמשת במושג חדש ולא מוכר - “אגיד” כאילו לכולם ברור מה לעזאזל. מה זה באמת “אגיד”, חוץ מצורת גוף ראשון עתיד של “להגיד”? ובכן, זים של דג (gill). אני לא מכיר שימוש במילה הזו בהקשר מתמטי או פיזיקלי. כדי להבין אותה צריך להסתכל באתר של מיקסומיה - עושה רושם שהמשמעות היא של “עצם”. מילא. לכתוב “עצם” זה משעמם, אז בואו נבחר עצם קונקרטי. אולי משהו שמתחיל ב-A? אה, אני יודע! אכילס! הגיבור היווני הידוע, שבהקשר מתמטי מפורסם בגלל הפרדוקסים של זנון! שאומרים ש… רגע, משהו פה נראה לי חשוד.

כן, קרוב לודאי שאלו מכם שמכירים את הפרדוקסים של זנון כבר ראו שבשתי הפסקאות הללו מתואר מה שנקרא “פרדוקס הדיכוטומיה” של זנון, שעליו ועל שני הפרדוקסים הנוספים שבדרך כלל מתוארים איתו יש לי פוסטים. פרדוקס הדיכוטומיה אומר, בניסוח אחד שלו, משהו כזה: אכילס עומד בתחילת מסלול בן 100 מטרים. האם הוא יכול להגיע לקצה שלו? ובכן, קודם כל עליו לעבור באמצע, כלומר לעבור 50 מטרים. האם הוא יכול לעבור 50 מטרים? ובכן, קודם כל עליו להגיע לאמצע, כלומר לעבור 25 מטרים. והאם הוא יכול להגיע לשם? נו, הבנתם את הרעיון. בכל פעם כדי להגיע למקום מסויים עליו קודם כל להגיע למחצית מהמקום הזה, ועכשיו מה?

ובכן, זנון חי לפני אלפי שנים ובטח לפני שהמציאו את החדו”א או את המתמטיקה המודרנית, כך שאני לא בא בטענות לפרדוקס שלו. זה אחלה פרדוקס והוא לא סתם שרד אלפי שנים וגם כיום יש אנשים שמתייחסים אליו ברצינות. אל מר מיקסומיה, לעומת זאת, יש לי טענות - ראשית, שהוא גונב ככה את הקרדיט מזנון, ושנית שהוא חושב שהפרדוקס הזה רלוונטי למשהו בימינו (ולמה אני אומר “גונב את הקרדיט מזנון” ולא מניח שהוא לא מכיר את זנון? כי הוא מזכיר בחטף את פרדוקס אכילס והצב - עוד אחד מהפרדוקסים של זנון - בהמשך המאמר).

לדעתי האישית הפרדוקס לא רלוונטי בימינו כי הוא לא מתייחס אל המודל הפיזיקלי של תנועה שאנחנו עובדים איתו. ה”שקר” הבסיסי שיש בו הוא שהוא מניח שהמקום ניתן לחלוקה עד אין קץ, אבל הזמן לא; ספציפית, שחייב להיות “צעד ראשון” שאכילס מבצע. זו כמובן הטעיה, כי “צעד” הוא משהו בדיד, אבל התנועה עצמה מתחילה עוד לפני שאכילס מניח את הרגל על הקרקע, ואין סיבה להניח שהיא בדידה. במודל המתמטי, הזמן הוא רציף (מספר ממשי, כמו המקום) ותנועה מתוארת על ידי פונקציה שלכל זמן נתון מתאימה את המיקום המתאים. הנה פונקציה שמתארת את המיקום של אכילס כפונקציה של הזמן: \( f\left(t\right)=10t \). על פי הפונקציה הזו, אכילס מגיע תוך 10 שניות אל קו 100 המטרים. ותגידו - אבל קודם הוא חייב לעבור ב-50, מתי הוא עבר שם? ואני אתן לכם את התשובה על ידי פתרון המשוואה \( 10t=50 \): קיבלנו שבזמן \( t=5 \) אכילס הגיע לשם. ומתי הוא הגיע ל-25? ובכן, בזמן 2.5. וכן הלאה וכן הלאה. לא משנה איזה מקום תביאו לי, אני אוכל להצביע על נקודת הזמן המדוייקת שאכילס הגיע בה אל המקום הזה. אז מה הסתירה פה?

בואו ננסה לעקוב בזהירות אחרי הטיעון של מר מיקסומיה. אולי יש פה סתירה שאני מדלג מעליה בנפנופי ידיים. אני מסכים שכדי לצעוד מ-0 אל 100 עלי “להיפרד מהאפס”. אבל מה זה אומר, “להיפרד מהאפס”? זה לא מוגדר היטב. האם זה אומר “חייב להיות זמן \( t \) שבו \( f\left(t\right)\ne0 \)”? עם זה אני מסכים, ואצלי כל \( t\ne0 \) הוא זמן כזה. אבל קרוב לודאי שמר מיקסומיה רוצה לומר משהו אחר - ש”חייב להיות זמן \( t \) מינימלי שבו \( f\left(t\right)\ne0 \)”, דהיינו שקיים \( t_{0} \) כלשהו כך ש-\( f\left(t_{0}\right)\ne0 \) ואילו \( f\left(t\right)=0 \) לכל \( t<t_{0} \).

והנה טענה מתמטית אמיתית: אם \( f \) רציפה, אז זמן מינימלי שכזה אכן אינו קיים. מדוע? כי קחו \( t_{0} \) כלשהו כך ש-\( f\left(t\right)=0 \) לכל \( t<t_{0} \); כעת, בהכרח \( \lim_{t\to t_{0}}f\left(t\right)=0 \), כי אם \( \lim_{t\to t_{0}}f\left(t\right)=L\ne0 \) (אני מניח שהגבול קיים תמיד כי הפונקציה רציפה) אז נבחר \( \varepsilon=\frac{L}{2} \) ונקבל שקיים \( \delta \) כך שלכאורה אם \( \left|t-t_{0}\right|<\delta \) אז \( \left|f\left(t\right)-L\right|<\frac{L}{2} \), אבל אם ניקח \( t<t_{0} \) שקרוב אליו עד כדי \( \delta \) נקבל ש-\( f\left(t\right)=0 \) ולכן \( \left|L\right|<\frac{L}{2} \) וזו כמובן סתירה (אם \( L=0 \) אז הבחירה \( \varepsilon=\frac{L}{2} \) היא לא חוקית כי נדרש מאיתנו שאפסילון יהיה תמיד חיובי).

אם כן, זמן מינימלי שבו \( f\left(t\right)>0 \) אינו קיים. אבל מה שאני אומר הוא - אז מה? איפה הסתירה כאן? מה הקושי כאן, פרט לקושי של האינטואיציה שלנו לעכל מודל מתמטי כזה לתנועה?

ובכן, מיקסומיה אומר שתהליך ההקטנה “חייב להיות סופי”. אבל למה? איך זה מתחייב מהמתמטיקה? הוא אומר שזה בגלל שאחרת “לא נוכל לספור/לצעוד”. מה הקשר ליכולת האישית שלנו לבצע ספירה? ומדוע סופיות כזו נדרשת על מנת לבצע צעד? לא, צר לי, אלו טענות כבדות משקל שיש להוכיח, אבל בדיוק הוכחה כזו היא משהו שלא קיים אף פעם בטקסטים מודרניים שמנסים לקדם את פרדוקס הדיכוטומיה.

בפועל, אגב, אין לנו שום הכרח להניח שהיקום הוא רציף - ייתכן מאוד שהוא דווקא בדיד. כל מה שהחדו”א נותנת לנו הוא מודל מתמטי שבא לתאר תנועה - מודל שהוא נוח לעבודה מבחינה מתמטית, ומספק תיאור של המציאות בדיוק מספיק טוב כדי שלא נבדיל בינו ובין “מה שקורה באמת”. לכן מסוכן ובעייתי להשתמש בטיעונים “מציאותיים” בנסיון להסביר למה המודל לא נכון. צריך לטעון טיעון בסגנון “המדידות שאנחנו מבצעים בטבע אינן מסכימות עם הנתונים שנובעים מהמודל”, לא “המודל נראה לנו מוזר ולא מתאים לאינטואיציה שלנו”.

טוב, מספיק לצטט את הברנש פסקה-פסקה, נראה לי שכבר הבנו את הקטע, מה גם שמעכשיו הוא בעיקר חוזר על עצמו. יותר מעניין לאתר בטקסט שלו משפטים טרחניים “קלאסיים” מהסגנון של “כל העולם טועה ורק אני צודק וראיתי את האור”, וגם אזכור של כל מני מושגים לא קשורים בעליל כמו “ננו טכנולוגיה”. הנה כמה:

"אילו קושי היה פועל בדרך המוצעת על ידי תורת מיקסומיה, שהיא בעצם דרכו, וממשיך עוד צעד אחד בלבד, היה מגלה טעותו הקריטית שמשמעותה כי אין אפשרות לקיום הטבע" "גם ניוטון ולייבניץ לפניו שגו בדרך דומה וכך גם שגו כל המתמטיקאים והפיזיקאים עד עתה. מש"ל." "יש לבטל את חדו"א וליצור במקומו מתמטיקה אחרת המבוססת על אי רציפות הטבע." "חדו"א השגוי והמבוסס הנחת הרציפות יוצר אילוזיה כי הוא מדויק. אך, כולו שגיאה אחת גדולה המוכחת בגדלים אינפיניטיסימליים בננו טכנולוגיה, שם בולט השסע העמוק בינו לבין מציאות הטבע הלא רציף." "כל עוד ניוטון, לייבניץ והמדענים שבויים בקונספציית הרציפות של הטבע שבאה לידי ביטוי בקונספציית הרציפות של הטבע ובחדו"א, לעולם אין באפשרותם לדעת כי הטבע אינו רציף."

אבל שמעו, כל זה בטל בשישים לעומת ציטוט המחץ מסוף המאמר:

"היום המתמטיקה נחשבת למדע עזר למדעים השונים, ואינה עומדת בפני עצמה למרות חשיבותה הרבה"

באמת? חצוף! אני מזמין אותך לבלוג ובוא נדבר על זה!