האם גוגולפלקס הוא הסמל של סוף המספרים? (לא)

לפני מספר ימים נתקלתי בספר בשם “מתמטיקסם” של יעל רוטנברג. למי שרוצים להתרשם ממנו, הנה לינק לצילומי מסך ממנו בעמוד הפייסבוק של הספריה הלאומית. כפי שניתן לראות שם, וכפי שגם אני התרשמתי בעלעול שלי, מדובר על ספר נחמד מאוד שמציג דברים יפים במתמטיקה עבור ילדים, ובאופן כללי עושה את זה היטב. זו הסיבה שבגללה כל כך הזדעזעתי (לא באמת הזדעזעתי, אין צורך לדבר על כך בתגובות) כשהגעתי לדף שכותרתו “גוגולפלקס - הסמל של סוף המספרים”.

כבר הכותרת מעלה דאגות, עבור מי שמכיר את המושגים, והטקסט הוא אכן בעייתי מאוד, ברמה שאני אוהב לכנות Not even wrong (בפרפראזה לא מדויקת על הציטוט הידוע של פאולי). אצטט אותו, ואז אסביר מה הבעיות שם. כרגיל, המטרה של הפוסט הזה היא לא (רק) להגיד “מה לא” אלא גם להגיד “מה כן”, וכאן יש נושא מעניין למדי שאפשר לדבר עליו. למען הסר ספק - אני לא רוצה שיתקבל מהפוסט הזה הרושם שלא כדאי להורים לקנות לילדיהם את הספר; מהתרשמותי ממנו אני חושב שבהחלט כדאי שהם יקנו את הספר; רק שיקפידו לתלוש את הדף על גוגולפלקס.

מה שהולך שם הוא דיאלוג בין שני דוברים, אחד כתוב באדום ואחד בכחול; אני אקרא להם אליס ובוב. והנה הוא:

אליס: מי יודע מהו המספר האחרון? בוב: אני יודע: מיליארד! אליס: מה פתאום? בכלל לא! תמיד אפשר לספר מיליארד ואחת, מיליארד ושתים, מיליארד ושלוש, מיליארד וארבע... ככה בלי סוף. בוב: אז אולי טריליון? אליס: לא נכון! הרי שוב: תמיד אפשר לספר טריליון ואחת, טריליון ושתים, טריליון ושלוש, טריליון וארבע... בוב: אה... רגע... אז בעצם אין סוף למספרים, כי לכל מספר אפשר להוסיף עוד מספרים, שיגדילו אותו... אליס: אתה צודק. באמת אין סוף למספרים! בוב: אז למה קודם שאלת מהו המספר האחרון? הרי אין כזה דבר - "המספר האחרון"! אליס: נכון, אין כזה דבר "המספר האחרון". הוא לא קיים. אבל יש לו כינוי. בוב: ומה הכינוי הזה? אליס: "גוגולפלקס" בוב: גוגולפלקס? חה-חה-חה! איזה כינוי מצחיק! אליס: הנה, ככה הוא נראה: 10,000,000,000,000,000,000,0 00,000,000,000,000,000,000,0 00,000,000,000,000,000,000,0 00,000,000,000,000,000 בוב: וואי וואי וואי... מה זה? אליס: זה המספר 10 ואחריו מאה אפסים... זה גוגולפלקס. בוב: אז בכל פעם שארצה לכתוב "גוגולפלקס" אצטרך לציר מאה אפסים? זה מאוד קשה! אליס: אכן זה מאוד קשה. לכן במקום זה אפשר לכתוב עשר בחזקת מאה, כך: \( 10^{100} \). בוב: אני עדיין לא מבין איך אפשר לתת שם למשהו שלא קים. חוץ מזה, כיצד ייתכן שגוגולפלקס הוא המספר האחרון? הרי אחריו בא גוגולפלקס ואחת, גוגולפלקס ושתים, גוגולפלקס ושלוש, כמו שהסברת לי קודם... אליס: הבן: גוגולפלקס אינו מספר; הוא סמל. אכן, לכל מספר אפשר להוסיף עוד מספרים, אבל לסמל הזה, גוגולפלקס, אי אפשר להוסיף עוד מספרים. לכן אין גוגולפלקס ואחת! הבנת? בוב: אני חושב שכן, אבל תגידי לי: יש כזה דבר - גוגולפלקס ואחת, גוגולפלקס ושתיים, גוגולפלקס ושלוש?

זהו, כאן זה נגמר. מרגיש לכם קטוע? גם לי. ההשערה שלי היא שכל הטקסט היה טיוטא שהתפרסמה בטעות; וטיוטא שעירבבה בטעות שני נושאים לחלוטין לא קשורים. אחד מהם הוא המספר גוגולפלקס, והשני הוא השאלה האם קיים סוף למספרים. בטיפול בכל אחד מהנושאים נפלו טעויות, אבל הטעויות שקשורות לגוגולפלקס הן שוליות, בעוד הטעויות שקשורות לסוף המספרים… ובכן, אוי ואבוי.

נתחיל מגוגולפלקס. בטקסט זה השם שנותנים בטעות למספר גוגול, שהוא \( 10^{100} \), כלומר 1 ואז מאה אפסים אחרי (ולא 10 ואז מאה אפסים אחריו כפי שאומרים בטעות בטקסט). את השם “גוגול” המציא ילד בן 9, מילטון סירוטה, בשיחה עם דודו המתמטיקאי אדוארד קסנר. אין לגוגול חשיבות מיוחדת במתמטיקה או פיזיקה (הוא “עגול” מדי ומתאים מדי לבסיס 10 בשביל להיות משהו שצץ באופן טבעי כמו \( e \) או \( \pi \)) והמטרה שלו היא פופולריזציה שלה אצל ילדים, ואת זה הוא עושה נפלא כי זה מספר מעניין עם שם מוצלח. וכן, כמובן שהדמיון לשמה של חברת גוגל אינו מקרי - גוגל היא שיבוש (בטעות, אם איני טועה) של גוגול.

ומה הוא גוגולפלקס? מילטון המציא גם אותו, בתור “1 ואז לכתוב אפסים עד שאתה מתעייף”. קסנר הלך על הגדרה קצת יותר פורמלית (שמגדירה מספר הרבה, הרבה יותר גדול מאשר זה של מילטון): 10 בחזקת גוגול, כלומר \( 10^{\left(10^{100}\right)} \). אם גוגול הוא אדיר ממדים, גוגולפלקס הוא אדיר ברמות שלא יאומנו. את גוגול כתבתי במלואו למעלה; את גוגולפלקס לא יהיה ניתן לכתוב גם אם כל היקום הידוע יהיה הנייר שלנו.

גוגול תואר בצורה נפלאה ב”אני שונא מתמטיקה” של מרילין ברנס, שהוא הספר הראשון שגרם לי, כילד קטן, להתעניין במתמטיקה; הנה מה שהולך בגרסה העברית:

ככה עושים את זה נכון.

וחזרה למתמטיקסם - מה הקשר בין גוגול, או גוגולפלקס, ו”סוף המספרים”? אין שום קשר! אני ממש לא מבין מה גוגולפלקס עושה שם בכלל. אבל זו לא הבעיה העיקרית. הבעיה העיקרית היא שהספר עושה מיש-מש אחד גדול מכל שאלת סוף המספרים.

ההתחלה דווקא טובה - הדיון של אליס ובוב נוגע בדיוק בלב העניין. לא משנה איזה מספר ניקח בתור מועמד להיות “המספר האחרון”, תמיד אפשר להוסיף לו 1 והתוצאה תהיה מספר גדול יותר. זו הדרך לשכנע ילדים שאין מספר גדול ביותר. אבל אחרי השלב הזה בדיאלוג, אנחנו פתאום לומדים כל מני דברים:

1. שבמתמטיקה יש דברים שלא קיימים אבל יש להם כינוי.
2. שמספר שלא קיים יכול להיכתב בצורה קונקרטית בתור מספר אמיתי (\( 10^{100} \)).
3. שיש הבדל בין "מספר" ובין "סמל", ולסמל "אי אפשר להוסיף" מספרים (כלומר, \( 10^{100}+1 \) אינו מספר?)

גם סגנון הכתיבה פתאום הופך להיות פסקני ומעיק. מה זה ה”הבן” הזה? מי מדבר ככה? ומה זו הנחרצות של “לסמל הזה אי אפשר להוסיף עוד מספרים”? למה אי אפשר? איזו מין דרך זו להציג דברים במתמטיקה, לומר “אי אפשר כי אי אפשר וזהו”?

אני מנחש שמה שרצו לדבר עליו כאן במקור הוא \( \omega \). מה זה \( \omega \)? זה משהו שמכונה במתמטיקה מספר סודר. יש לי פוסטים על הפורמליזם של סודרים ולא אכנס אליו כאן. הרעיון האינטואיטיבי הוא שסודרים משמשים אותנו בשביל ספירה מסודרת, לא של כמות אלא של סדר: נאמר, בתור כלשהו יש את המקום הראשון, השני, השלישי, הרביעי וכן הלאה; המספרים הטבעיים משמשים אותנו כדי לתאר את הסדר של האיברים בתור. על כן, המספרים הטבעיים נקראים סודרים. השאלה היא רק האם יש משהו שמגיע “אחרי” כל המספרים הטבעיים - מספר כלשהו שגדול מכולם. התשובה היא שאין מספר טבעי שגדול מכל הטבעיים, כי אם \( n \) הוא מספר טבעי, גם \( n+1 \) הוא מספר טבעי, אבל שאפשר לתת הגדרה כללית יותר למספרים סודרים, ובה נקבל שאכן, קיימים מספרים סודרים שגדולים מכל הטבעיים. למספר הסודר הקטן ביותר שמקיים את זה קוראים \( \omega \) (אומגה ביוונית). אם אתם תוהים איך אפשר לדעת שמשהו כמו אומגה קיים בכלל - הרעיון האינטואיטיבי הוא שכל סודר שווה לקבוצת כל הסודרים שקטנים ממנו, כך שאומגה הוא בסך הכל קבוצת המספרים הטבעיים; בפוסטים שקישרתי אליהם נכנסים אל העניין בצורה יותר מסודרת.

האם \( \omega \) הוא “הסוף של המספרים”? ובכן, לא; אפשר להוסיף גם לו 1! כלומר, \( \omega+1 \) גם הוא סודר חוקי (פורמלית זו הקבוצה שכוללת את כל המספרים הטבעיים ואת \( \omega \)), וגם לסודר הזה אפשר להוסיף 1, וכן הלאה. למעשה, טריק ה”אפשר להוסיף 1” שגם ילדים ללא ידע במתמטיקה מסוגלים להבין הוא גם ההוכחה הפורמלית שאפשר לתת לכך שאין סודר גדול ביותר - אין ולא יהיה “מספר אחרון”.

מה שנכון הוא שאפשר לחשוב על \( \omega \) בתור “סוף המספרים הטבעיים”, במובן זה שכל המספרים הטבעיים קטנים מ-\( \omega \) ואין עוד מספרים סודרים בין \( \omega \) ובין הטבעיים. חשבו על \( \omega \) בתור מעין “קו גבול” שהוא בעצמו אינו מספר טבעי, והטבעיים הולכים ומתקרבים אליו אבל אף פעם אינם מגיעים אליו - הגבול הזה הוא ה”סוף” עבור המספרים הטבעיים. אבל זה שונה מהדיון על “המספר הטבעי האחרון” מכיוון ש-\( \omega \) אינו מספר טבעי, ולכן בוודאי שאינו המספר הטבעי האחרון; פשוט לא קיים מספר טבעי אחרון.

זו תחושת ההחמצה העיקרית שלי לגבי מה שהספר עשה - הייתה לו הזדמנות להציג את הרעיון הכל כך יפה ומגניב ונפלא הזה של \( \omega \), והוא לא עשה את זה. מילא שלא עשה את זה (נראה לי קשה להציג את \( \omega \) לילדים בצורה טובה) אבל מה שהוא עשה במקום זה…

אה, וגם לא ראיתי שמדברים בספר על המלון של הילברט. וזה באמת חבל.