על כדורים שטוחים וחצאי הרים

יש אנשים שאם מביאים להם כדור, נאמר כדור הארץ, מייד מתחילים להגיד שלא! זה שטוח! זה מישור! כי הנה, תראו, אני עומד על הכדור, ואני מסתכל לכל הכיוונים, ולכל אשר אני מסתכל, הכל שטוח! אז זה מישור! לא כדור!

לאנשים הללו קוראים “מתמטיקאים” ומה שהם מתארים פה הוא את המושג של יריעה שהוא אחד המושגים החשובים במתמטיקה. יריעה היא מרחב שיכול להיות מאוד מסובך מבחינת המבנה הגאומטרי שלו (למשל - כדור), אבל באופן מקומי, כשאני נעמד באיזו שהיא נקודה של המרחב ומסתכל מסביבי (אחרי שוידאתי שאני מוריד משקפיים והראייה שלי ממש לא משהו) מה שמסביב נראה לי פחות או יותר כמו מישור (באופן כללי יותר - כמו מרחב אוקלידי, אבל נעזוב את זה).

יריעה היא מושג מגניב מכיוון ש… אה, רגע, רגע, מודיעים לי שעוד לא הגיע הזמן לפוסט על יריעות והכוונה בפוסט הזה היא בכלל לדבר על אנשים שמביאים להם את כדור הארץ והם אומרים שלא! זה שטוח! זה מישור! אבל שמתכוונים לזה בשיא הרצינות ולא בצורה מתמטית. ולא בגלל שהם חובבי טרי פראצ’ט.

על פניו, זה עשוי להישמע לכם מוזר. הרי את העובדה שהארץ אינה שטוחה ידעו עוד משחר ההיסטוריה. ידוע במיוחד ארטוסתנס היווני שחישב את רדיוס כדור הארץ ברמת דיוק יפה מאוד לזמנו בדרך מחוכמת ויפה שראויה לפוסט בבלוג, מתישהו. הנימוקים לכך שהארץ אינה שטוחה הם רבים ומגוונים, אבל הטובים ביותר נוגעים בכלל לשמש ולירח - הצל שהארץ מטילה על הירח, למשל, או העובדה שאם הארץ הייתה שטוחה השמש הייתה צריכה להאיר את כל היבשות בו זמנית, וכדומה. בימינו המודרניים גם יש לנו תמונות לווין של הארץ שלא ממש משאירות מקום לספק באשר לצורתה. הנה מאמר נחמד שמסכם כמה מהגישות אם אתם סקרנים.

ועדיין, אנשים שמאמינים בכל ליבם שהארץ שטוחה ושכל העדויות הן שקרים וטעויות קיימים ופעילים וכנראה יהיו פעילים לעד. הנה, ממש עכשיו העניין קפץ שוב לכותרות עם איזה ראפר שהתחיל להפיץ בטוויטר שלל שטויות הקשורות לנושא. והטריגר לפוסט הוא אחת מהן. הנה היא:

אז מה יש לנו פה? תמונה יפה שבה אנחנו רואים את ההר הגבוה באמריקה הצפונית - הר דנאלי (שבעבר נקרא גם הר מקינלי) כפי שהוא נראה מהעיר אנקורג’ באלסקה, ועוד כמה נתונים מספריים, ועוד טענה שיש כאן סתירה כלשהי. הסתירה נובעת לכאורה מכך שאם כדור הארץ הוא עגול, אז עצמים מרוחקים אמורים להיות מוסתרים בחלקם התחתון. זו הסיבה, למשל, לכך שאם אנחנו רואים ספינה מגיעה מהאופק, קודם כל נראה את התורן שלה ורק אחרי שתתקרב קצת נראה את כולה (זו הייתה אחת האבחנות עוד מימי קדם).

האם אכן יש כאן בעיה? אני לא יודע. אני בקושי מצליח להבין מה רואים בתמונה. רואים הר, אבל האם רואים את כל ההר? אין לי מושג, לי אישית לא נראה שרואים את כולו. ונניח שרואים את כולו, האם זו בעיה? החישוב שהם ביצעו שם ומניב את ה-9,220 מתבסס על ההנחה שכדור הארץ הוא, ובכן, כדור, אבל במציאות הוא לא כדור - הצורה שלו פחוסה יותר באיזורי הקטבים (אלסקה קרובה לקוטב הצפוני) ופרט לכך הוא כמובן מלא שקעים ובליטות, ושקע בכדור הארץ מאפשר לנו לראות יותר כי אין מה שיסתיר. בקיצור, אין לי משהו מעניין לומר על התמונה הזו מלבד זאת שאני לא הייתי ממהר לחשוב עליה בתור “הפרכה” לטענה שכדור הארץ אינו שטוח. אז למה התמונה מעניינת אותי? כי היא עשתה לי חשק לחשב בעצמי כמה מההר אמור להיות מוסתר (כמובן שיש מחשבוני אינטרנט שעושים זאת, אבל גיליתי אותם רק אחר כך). מה שנחמד בחישוב הזה הוא שגם תלמיד תיכון שלמד טריגונומטריה יכול לעשות אותו - כלומר, אנחנו רואים פה שימוש אמיתי למתמטיקה תיכונית!

כמובן, אני לא רוצה שתתלהבו יותר מדי - כמו רוב מה שאנחנו עושים במתמטיקה, החישוב הזה יניח את ההנחה האידאלית והלא נכונה שכדור הארץ הוא כדור מושלם. כפי שאמרתי קודם, זה לא המצב בפועל, ולכן תוצאת החישוב שלי לא תהיה נכונה. היא ככל הנראה תהיה קירוב טוב למה שנכון, אבל אין לי יכולת להעריך את גודל השגיאה. לכן מה שאני אעשה מכאן והלאה יהיה יותר משחק מתמטי מאשר טענה עובדתית רצינית.

ראשית כל, בואו נצייר תמונה של מה שאנחנו מנסים לתאר פה. כדור הארץ הוא אמנם אובייקט תלת ממדי, אבל כל עוד אני מתעניין רק במיקום שלי ובמיקום של אובייקט אחר על כדור הארץ מספיק לחשוב רק על מישור דו ממדי - זה שבו נמצא הישר שמחבר ביני ובין האובייקט הזה. לכן אני אצייר את כדור הארץ בתור מעגל:

מה הולך כאן? הנקודה האדומה זה אני, הצופה, שנמצא בגובה כלשהו שנסמן \( a \) מעל פני כדור הארץ. אני מביט אל “הר” שמתואר כאן בתור קו זהוב, וציירתי שתי קרניים - את זו שנעה בכיוון מאוזן (מבחינתי) ואת זו שפוגשת את האופק, דהיינו משיקה למעגל שהוא כדור הארץ. כל קטן נמוכה יותר ממנה “תתקע” בכדור הארץ ולא תעבור אותו. הציור הזה מעלה מספר שאלות: ראשית, מה המרחק עד האופק? המרחק הזה יהיה מן הסתם תלוי בגובה שלי, והנה למדנו משהו - ככל שאנחנו גבוהים יותר מעל פני השטח של כדור הארץ, כך אנחנו רואים רחוק יותר. ולא בגלל שחפצים על הקרקע הסתירו לנו או שיש לנו עיניים לא משהו - ככל שאנחנו גבוהים יותר, כך קרני אור שמתקדמות בקו ישר מגיעות אלינו מעוד מקומות על פני כדור הארץ.

אבל השאלה המעניינת באמת היא מה קורה מעבר לאופק. אני כבר לא יכול לראות את פני כדור הארץ, אבל עצם כמו הר, שמתנשא מעל פני כדור הארץ, אני אראה, חלקית - והשאלה היא איזה חלק יוסתר. התשובה לשאלה הזו תלויה במרחק שלי מהעצם, כמו שמתואר עם הר דנאלי; אבל מה זה בעצם ה”מרחק” כאן? אפשר למדוד את המרחק על פני כדור הארץ - את אורך הקשת שמפרידה בין הנקודה על פני הכדור שמתחתי ובין הבסיס של ההר; ואפשר גם למדוד מרחק אווירי ממני עד להר בכיוון שהוא מבחינתי המאוזן. לדעתי הכוונה המתבקשת היא להגדרה הראשונה, ובה אטפל בפוסט הזה; אבל אפשר לטפל בשתיהן.

בואו נתחיל עם שאלת המרחק מהאופק. לצורך כך אני אשתמש במה שידוע לנו על גאומטריה אוקלידית של מעגלים, ובבניית עזר פשוטה: אני אעביר שני רדיוסים של המעגל מתוך מרכזו - האחד אל הנקודה על פני השטח שאני נמצא מעליה, והשניה אל הנקודה שבה הקו המשיק לאופק שלי נוגע בכדור הארץ. הגאומטריה האוקלידית יודעת ש”רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה”, ולכן קיבלנו משולש ישר זווית שאורך היתר שלו הוא \( R+a \) ואילו אורכי הניצבים הם \( R \) ו-\( x \), כאשר \( x \) הוא המרחק אל האופק שאני מחפש. עכשיו נכנס לתמונה משפט פיתגורס שאומר שריבוע היתר במשולש ישר זווית שווה לסכום ריבועי הניצבים, ואומר לנו ש-\( \left(R+a\right)^{2}=R^{2}+x^{2} \), ולכן קיבלנו ש-\( x=\sqrt{a^{2}+2Ra} \).

בואו נחשב מה זה אומר על הר דנאלי, כלומר נציב את הנתונים בתמונה שלהם. אצלם \( a=102 \), אבל 102 מה? כאן צריך להתחשב ביחידות האורך שלהם. ואלו, באופן מצער, יחידות מדידה אמריקאיות מופרעות. לא נורא - גיגול קצר נותן לנו את הקבועים שבהם צריך לכפול את המספרים כדי לקבל אורך בקילומטרים. עכשיו נשאר רק לפתוח מחשבון, או במקרה שלי, את Sage:

sage: f_to_k = 0.0003048
sage: m_to_k = 1.60934<br />sage: a = 102*f_to_k
sage: S = 25000 * m_to_k
sage: S 40233.5000000000<br />sage: R = S / (2*pi)
sage: x= sqrt(a^2+2*R*a)
sage: x.n()
19.9538666359798

קיבלנו שמהגובה של אנקורג’, שהוא בערך 30 מטרים מעל פני הים, קו האופק הוא במרחק 20 ק”מ, בזמן שההר הוא במרחק 210 ק”מ, כך שכמובן שלא יוכלו לראות את כולו אלא אם הארץ שטוחה (דם דם דם דם דרמטי!). בואו נשווה את זה עם משהו שאני מכיר - הר טללים בחיפה, שעליו נמצאת אוניברסיטת חיפה, כולל נקודת תצפית יפה שממנה ניתן לראות בקלות את עכו (השטוחה) ואת החרמון (שהוא הר) ובימים טובים גם את ראש הנקרה (שהיא הנקודה הצפונית ביותר במישור החוף בישראל והרחוקה ביותר שאני עוד מצליח לזהות בעין). מה המרחקים כאן? ראשית, הר טללים הוא בגובה 470 מטרים מעל גובה פני הים, ולכן אם נחזור על החישוב של קודם נקבל:

sage: a = 0.47
sage: x = sqrt(a^2+2*R*a)
sage: x.n()
77.5846613623756

כלומר, אפשר לראות כמעט למרחק של 78 ק”מ. המרחק מהאוניברסיטה לעכו הוא בקושי 18 ק”מ. המרחק עד ראש הנקרה הוא 55.6 ק”מ, אז בכך שאני מסוגל לראות עד לשם אין קסם. ניסוי מעניין יותר יהיה לרדת באופן הדרגתי בגובה נקודות התצפית שלנו בחיפה ולראות מתי אנחנו כבר לא מצליחים לראות את ראש הנקרה יותר. למעשה, באופן תיאורטי היה אפשר לראות אפילו עד הכנרת (67 ק”מ), אבל יש הרים שמסתירים. תל אביב (בערך 80 ק”מ) כבר בלתי נראית, וטוב שכך!

בואו נעבור לחישוב המעניין יותר - כמה מההר מוסתר. לשם כך אשתמש בבניית עזר של עוד רדיוס - הפעם כזה שממשיך את ההר “פנימה” לתוך כדור הארץ:

סימנתי ב-\( b \) רק את החלק מההר שמוסתר. קיבלנו משולש שמורכב משני הרדיוסים וההמשכים שלהם, ועוד הקו המשיק. המשולש הזה מחולק לשני משולשים קטנים יותר, ישרי זווית, עם אורכי יתר שהם \( R+a \) ו-\( R+b \), וניצב אחד שהוא באורך \( R \). זה נותן לנו את הזהויות הבאות, עבור הזוויות \( \alpha,\beta \) שמופיעות שם:

\( \cos\alpha=\frac{R}{R+a} \)

\( \cos\beta=\frac{R}{R+b} \)

עכשיו, את \( a \) אנחנו יודעים, ולכן את \( \alpha \); אבל את \( b \) אנחנו מחפשים, ולכן אנחנו רוצים לקבל את \( \beta \) בדרך אחרת ואז להשתמש בכך ש-\( b=\frac{R}{\cos\beta}-R \). למזלנו, אנחנו יודעים מהו \( \alpha+\beta \) כי ידוע לנו מה המרחק בין אנקורג’ להר דנאלי. בואו נסמן את המרחק הזה ב-\( d \). זה אורך קשת כלשהו של המעגל, כשאורך הקשת כולה הוא \( S \). זה אומר שהחלק היחסי שהקשת הזו תופסת מכלל המעגל הוא \( \frac{d}{S} \). הזווית שתיווצר על ידי הקשת הזו תהיה, אם כן, בעלת אותו יחס אל הזווית הכוללת של המעגל, שהיא \( 2\pi \) (אנחנו מודדים זוויות ברדיאנים כאן). במילים אחרות, \( \frac{\alpha+\beta}{2\pi}=\frac{d}{S} \), או \( \beta=\frac{2\pi d}{S}-\alpha \). בואו נבצע כעת את החישובים:

sage: d = 130*m_to_k
sage: alpha = acos(R / (R+a))
sage: beta = ((2*pi*d) / S) - alpha
sage: b = (R / cos(beta)) - R
sage: b.n()
2.79794815830519

קיבלנו גובה של 2.8 ק”מ. כמה זה ברגליים? 9180 רגל בערך. שזה… אה… קצת שונה מה-9,220 שלהם. לא בצורה משמעותית, אבל זה גורם לי לתהות מה הם עשו שונה. אני מניח שהם השתמשו במחשבון רשת כלשהו, אבל חשבתי שכולם פועלים בדיוק על פי אותם עקרונות. יש לכם רעיונות?

מכל מקום, האם הגענו לסתירה כלשהי בכדור הארץ או ביקום בכלל? כאמור, לא. גם בגלל שתוצאות החישוב לאו דווקא תקפות עבור הטופוגרפיה של האיזור הזה באלסקה, וגם בגלל שמי בכלל מבין מה רואים בתמונה הזו וכמה מההר מוסתר. אז בשביל מה זה היה טוב? כדי להראות שטריגונומטריה יכולה להיות מגניבה לפעמים, כמובן.