משפטי האיזומורפיזם של חבורות

בפוסט הקודם שלי דיברתי על משפט האיזומורפיזם הראשון של חבורות שאמר ש-$ G/\ker f\cong\text{Im}f $ לכל הומומורפיזם $ f $ שמוגדר על $ G $ (או בניסוח אחר, אם $ G\to H $ הוא הומומורפיזם על, אז $ G/\ker f\cong H $). המילה “הראשון” מרמזת שיש עוד משפטי איזומורפיזמים, ואני הולך להציג אותם בפוסט הזה. בדרך כלל מדברים על שלושה משפטי איזומורפיזם, אבל אני רוצה להתחיל ממשפט שבכלל נקרא “משפט האיזומורפיזם הרביעי” וזוכה לכל מני שמות נוספים כמו “משפט ההתאמה” ו”משפט איזומורפיזם השריג” (lattice isomorphism). השם החריג הזה הוא סביר, כי בניגוד לשלושת המשפטים הראשונים שבהם תוכן המשפט הוא שחבורת מנה כלשהי היא איזומורפית למשהו, במשפט הרביעי ה”איזומורפיזם” הוא בכלל לא של חבורות אלא של משהו אחר.

אז למה אני מתחיל ממנו? כי הוא מגניב, זה למה.

משפט האיזומורפיזם הראשון אמר לנו משהו על המבנה של חבורות מנה - אם אנחנו מבינים תמונה של הומומורפיזם, אנחנו מבינים את חבורת המנה שמתקבלת מחלוקה בגרעין של אותו הומומורפיזם. גם משפט האיזומורפיזם הרביעי עוזר לנו להבין את המבנה של חבורות מנה - ליתר דיוק, מי הן כל תת-החבורות של חבורת מנה מסויימת. ליתר דיוק - מה המבנה המדויק של אוסף כל תתי-החבורות של חבורת המנה, במובן של “מי מכילה את מי”.

מה שהמשפט אומר הוא שאוסף כל תתי-החבורות של $ G/N $ נראה כמו אוסף כל תתי-החבורות של $ G $ שמכילות את $ N $; יש בין שני האוספים הללו התאמה חח”ע ועל שמשמרת את יחסי ההכלה בין תתי-החבורות השונות (זו המשמעות של “איזומורפיזם” כאן, כי תתי-החבורות עצמן אינן איזומורפיות זו לזו). אינטואיציה טובה לכך היא כאילו אנחנו לוקחים את כל תתי-החבורות של $ G $ שמכילות את $ N $ ו”מכווצים” אותן על ידי חלוקה ב-$ N $. אבל עם דיבורים באוויר קשה להבין את העניינים הללו אז בואו נתחיל עם דוגמה פשוטה מהסוג החביב עלי - $ \mathbb{Z} $.

מהן תת-החבורות של $ \mathbb{Z} $ אנחנו כבר יודעים. כל תת-החבורות הן מהצורה $ n\mathbb{Z}=\left\{ na\ |\ a\in\mathbb{Z}\right\} $ עבור $ n\ge0 $ כלשהו. אבל מה יחסי ההכלה ביניהן? בואו ניקח את תת-החבורה $ 12\mathbb{Z} $. היא נוצרת על ידי 12, ולכן כל תת-חבורה שמכילה את 12 תכיל גם אותה. אם $ 12 $ שייך ל-$ n\mathbb{Z} $ זה אומר ש-$ 12=na $ עבור $ n $ טבעי כלשהו. כלומר, $ n $ מחלק את $ 12 $. מי המחלקים של $ 12 $? קל למצוא אותם במפורש: $ 1,2,3,4,6,12 $. בואו נצייר דיאגרמה שבה מצויירות כל החבורות המתאימות, כשיש חץ מחבורה אחת אל תתי-החבורות שלה:

$\xymatrix{ & \mathbb{Z}\ar[dl]\ar[dr]\\ 3\mathbb{Z}\ar[dr] &&; 2\mathbb{Z}\ar[dl]\ar[d]\\ & 6\mathbb{Z}\ar[d] & 4\mathbb{Z}\ar[dl]\\ & 12\mathbb{Z} }$

הדיאגרמה הזו חסכונית במובן זה שאני לא מצייר את כל החצים. אין חץ מ-$ \mathbb{Z} $ אל $ 6\mathbb{Z} $ למשל, פשוט כי אין בו צורך - הכלה היא יחס טרנזיטיבי ולכן אני יכול להסיק את קיום החץ הזה מקיום החצים מ-$ \mathbb{Z} $ אל $ 3\mathbb{Z} $ ומ-$ 3\mathbb{Z} $ אל $ 6\mathbb{Z} $. הדיאגרמה מכילה רק את המידע שהכרחי לי לראות, כי זה יוצא יותר אלגנטי ככה.

עכשיו, בואו נשכח לרגע מ-$ \mathbb{Z} $ ונדבר על החבורה $ \mathbb{Z}_{12} $ - חבורת כל המספרים $ \left\{ 0,1,\dots,11\right\} $ עם חיבור מודולו 12. מי תתי-החבורות שלה? מכיוון שזו חבורה ציקלית, אנחנו יודעים שכל תתי-החבורות שלה הן ציקליות בעצמה ושיש רק תת-חבורה ציקלית אחת מכל סדר אפשרי. קל לראות, למשל, ש-$ \left\{ 0,4,8\right\} $ היא תת-חבורה ציקלית מסדר 3. אני יכול לכתוב אותה כך: $ \left\langle 4\right\rangle $, כלומר תת-החבורה שנוצרת על ידי $ 4 $, אבל אני אשתמש בסימון $ \mathbb{Z}_{3} $ במקום זאת. זה מה שנקרא abuse of notation כי $ \left\langle 4\right\rangle $ היא לא באמת החבורה $ \mathbb{Z}_{3} $, כי האיברים של $ \mathbb{Z}_{3} $ הם $ \left\{ 0,1,2\right\} $ ופעולת החיבור בה היא מודולו 3 ולא 12, אבל למי אכפת? אני יודע ש-$ \left\langle 4\right\rangle \cong\mathbb{Z}_{3} $ ולכן מבחינתי הן אותו דבר ואני יכול להשתמש בסימון $ \mathbb{Z}_{3} $ אם זה מקל על העברת המסר שלי. אני חופר על זה הרבה עכשיו כי בהמשך אני אעשה את זה כל הזמן. ככה זה באופן כללי במתמטיקה - ברגע שיש לנו מושג של איזומורפיזם, אנחנו מתחילים להתרשל ולהרשות לעצמנו להתייחס לאותו אובייקט באמצעות השמות השונים שלו באופן די חופשי, תוך שאנחנו סומכים על הקורא שיבין.

אם כן, תת-החבורות של $ \mathbb{Z}_{12} $ הן $ \mathbb{Z}_{12},\mathbb{Z}_{6},\mathbb{Z}_{4},\mathbb{Z}_{3},\mathbb{Z}_{2} $ וגם $ \left\langle e\right\rangle $ שאסמן פשוט בתור $ \mathbb{Z}_{1} $. בואו נצייר את דיאגרמת ההכלות שמתאימה לה. איך נדע מי מכיל את מי? ובכן, זכרו - חבורה ציקלית מכילה כל תת-חבורה ציקלית כך שסדר תת-החבורה מחלק את סדר החבורה. אז למשל $ \mathbb{Z}_{6} $ תכיל את $ \mathbb{Z}_{3} $ ואת $ \mathbb{Z}_{2} $. לכן נקבל את הדיאגרמה:

$\xymatrix{ & \mathbb{Z}_{12}\ar[dl]\ar[dr]\\ \mathbb{Z}_{4}\ar[dr] & & \mathbb{Z}_{6}\ar[dl]\ar[d]\\ & \mathbb{Z}_{2}\ar[d] & \mathbb{Z}_{3}\ar[dl]\\ & \mathbb{Z}_{1} }$

הדיאגרמה הזו נראית בדיוק כמו הדיאגרמה הקודמת, רק עם שמות שונים עבור הצמתים. “אותו הדבר עד כדי שמות”? זו הרי ההגדרה האינטואיטיבית של איזומורפיזם; הרי לכם משפט האיזומורפיזם הרביעי במלוא הדרו. אבל זה לא נגמר כאן. יש קשר מאוד ברור בין האיברים בשתי הדיאגרמות. למשל, $ 2\mathbb{Z} $ הפכה להיות $ \mathbb{Z}_{6} $ ואילו $ 3\mathbb{Z} $ הפכה להיות $ \mathbb{Z}_{4} $ וכדומה. רואים את הקשר? תזכרו שבמקום לכתוב $ \mathbb{Z}_{6} $ אפשר גם לכתוב $ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} $ (זה משפט האיזומורפיזם הראשון), אז הנה משחק: מה זו $ 2\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} $? מכיוון שאנחנו משתמשים בסימונים של “חלוקה” כאן, מדגדג לנו בקצה האינטואיציה “לצמצמם” את הגורם המשותף ולקבל $ 2\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_{6} $. זו רק אינטואיציה, כמובן, אבל אפשר לפרמל אותה: כל איבר בדיאגרמה השניה מתקבל מלקיחת האיבר בדיאגרמה הראשונה וחלוקה שלו ב-$ 12\mathbb{Z} $.

לפני שאעזוב את הדיאגרמות הללו, בואו נעשה עוד דבר אחד. הנה שאלה תמימה: מה היא חבורת המנה $ \mathbb{Z}_{6}/\mathbb{Z}_{3} $? די קל לראות שזו תהיה חבורה בת שני איברים, כלומר $ \mathbb{Z}_{2} $. עד כאן, שום דבר מחוכם. אבל עכשיו בואו ניזכר מהן $ \mathbb{Z}_{3} $ ו-$ \mathbb{Z}_{6} $ מלכתחילה - מהדיאגרמה אפשר לראות שהן מתקבלות בתור מנות עם אותו מכנה: $ \mathbb{Z}_{3}\cong4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} $ ואילו $ \mathbb{Z}_{6}\cong2\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} $. לכן אני יכול לכתוב את המשוואה הבאה, תוך ניצול מקסימלי של סימון ה”כאילו חלוקה” שלי:

$ \mathbb{Z}_{6}/\mathbb{Z}_{3}\cong\frac{2\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}}\cong\frac{2\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}}\cong\mathbb{Z}_{2} $

המעבר האמצעי, זה שבו “ביטלנו את המכנה המשותף” $ 12\mathbb{Z} $, הוא בדיוק התוכן של משפט האיזומורפיזם השלישי שנראה בהמשך.

עד כאן עם הדוגמה הזו. כמובן, כל הפואנטה בדוגמה היא שהסתכלנו על המקרה הפשוט ביותר האפשרי - חבורות ציקליות - אבל כל משפטי האיזומורפיזם תקפים לחבורות כלליות כלשהן, גם אם הן מסובכות לאין שיעור.

הנה הניסוח הכללי של משפט האיזומורפיזם הרביעי: אם $ G $ חבורה כלשהי ו-$ N $ תת-חבורה נורמלית של $ G $, אז הפונקציה שמוגדרת על אוסף תת-החבורות של $ G $ שמכילות את $ N $ על ידי הכלל $ A\mapsto A/N $ היא התאמה חח”ע ועל. נסמן $ \overline{A}=A/N $. אני אסמן גם ב-$ \le $ את היחס “להיות תת-חבורה של”. כעת, אם $ A\le G $ ו-$ B\le G $ מכילות את $ N $, אז $ A\le B $ אם ורק אם $ \overline{A}\le\overline{B} $.

החד-חד-ערכיות של ההתאמה די מובנת מאליה (הקוסטים של $ N $ בתוך $ A $ שונים מהקוסטים של $ N $ בתוך $ B $ אם $ A\ne B $, כי הם מכילים איברים שונים). גם הקטע של $ A\le B $ אם ורק אם $ \overline{A}\le\overline{B} $ נובע מייד מההגדרה. מה שמעניין פה הוא שהיא על. השאלה היא כזו: קחו תת-חבורה כלשהי של $ G/N $. איך אנחנו יודעים שיש לה “מקור” בתוך $ G $? ולמה שהוא יכיל את $ N $ בהכרח?

בואו ניזכר שבפוסט הקודם ראינו פונקציה $ \pi:G\to G/N $ של “ההטלה הטבעית” מ-$ G $ אל חבורת המנה $ G/N $. היא הוגדרה פשוט על ידי $ \pi\left(a\right)=aN $. עכשיו בואו ניקח תת-חבורה כלשהי $ H\le G/N $ ונסתכל על מה שנקרא המקור (preimage) של $ H $ תחת הפונקציה $ \pi $: הדבר הזה מסומן ב-$ \pi^{-1}\left(H\right) $ ומוגדר להיות $ \pi^{-1}\left(H\right)=\left\{ a\in G\ |\ \pi\left(a\right)\in H\right\} $ (שימו לב שהסימון $ \pi^{-1} $ כאן לא אומר ש-$ \pi $ היא הפיכה וקיימת לה פונקציה הופכית $ \pi^{-1} $; מה שנכון הוא שאם $ \pi $ הפיכה אז המקור של $ H $ תחת $ \pi $ הוא גם התמונה של $ H $ תחת $ \pi^{-1} $ כך שהסימון הגיוני). מההגדרה הזו מייד מקבלים ש-$ \pi^{-1}\left(\overline{A}\right)=A $ אם $ A $ היא תת-חבורה של $ G $.

עכשיו הכל מסתדר. ראשית, אם $ H $ היא תת-חבורה של $ G/N $ אז $ \pi^{-1}\left(H\right) $ היא תת-חבורה של $ G $, פשוט על ידי הקריטריון הסטנדרטי: ניקח $ x,y\in\pi^{-1}\left(H\right) $, אז על פי הגדרה $ xN=\pi\left(x\right)\in H $ וגם $ yN\in H $, ומכיוון ש-$ H $ תת-חבורה אז $ xN\cdot\left(yN\right)^{-1}=\left(xy^{-1}\right)N\in H $. מהגדרת $ \pi^{-1}\left(H\right) $ נקבל עכשיו ש-$ xy^{-1}\in\pi^{-1}\left(H\right) $ ולכן זו אכן תת-חבורה. היא מכילה את $ N $ כי למרות שאנחנו לא יודעים כמעט כלום על $ H $ אנחנו יודעים שהיא מכילה את איבר היחידה של $ G/N $, כלומר את הקוסט $ N $, כלומר לכל $ a\in N $ מתקיים $ \pi\left(a\right)=aN=N\in H $ ולכן $ N\subseteq\pi^{-1}\left(H\right) $.

אם כן, זה היה משפט האיזומורפיזם הרביעי, ועכשיו אני רוצה לעבור אל השלישי דווקא. הניסוח הכללי שלו הוא זה: אם $ G $ חבורה עם תתי-חבורות נורמליות $ H,K $ כך ש-$ K $ מכילה את $ H $ ולכן יש לנו שרשרת הכלות $ H\le K\le G $, אז אפשר לדבר על חבורת המנה שמתקבלת כשמחלקים את כל העסק הזה ב-$ H $. במקרה הזה, $ G $ עוברת לחבורת מנה $ G/H $ וכפי שראינו, $ K $ עוברת לתת-חבורת מנה $ K/H $. השאלה של משפט האיזומורפיזם השלישי היא מה קורה בחבורת המנה הזו שהתקבלה אם אנחנו רוצים לבנות עוד חבורת מנה: לקחת את החבורה $ G/H $ ולחלק אותה בתת-החבורה $ K/H $. התשובה היא שאפשר לעשות את זה - כלומר, ש-$ K/H $ נורמלית ב-$ G/H $, ושמקבלים משהו שאיזומורפי ל-$ G/K $, דהיינו $ \left(G/H\right)/\left(K/H\right)\cong G/K $. זה מעין “כלל צמצום” שכזה. הנה דיאגרמה של הסיטואציה (לא דיאגרמה קומוטטיבית; סתם כלי עזר להמחשה).

$\xymatrix{G\ar[r]^{\pi}\ar[d] & G/H\ar[d]\\ K\ar[r]^{\pi}\ar[d] & K/H\ar[d]\\ H\ar[r]^{\pi} & \left\{ e\right\} }$

איך מוכיחים את זה? צריך לעשות שני דברים - להוכיח ש-$ K/H $ נורמלית ב-$ G/H $, ולהוכיח שהמנה איזומורפית ל-$ G/K $. את שני אלו אפשר לעשות במכה אחת, תוך הסתמכות על משפט האיזומורפיזם הראשון. כזכור, תת-חבורה היא נורמלית אם ורק אם היא גרעין של הומומורפיזם. אז בואו ננסה למצוא הומומורפיזם שתחומו $ G/H $ והגרעין שלו הוא בדיוק $ K/H $. זה יוכיח מייד ש-$ K/H $ נורמלית; כמו כן זה יוכיח ש-$ \left(G/H\right)/\left(K/H\right) $ איזומורפית לתמונה של ההומומורפיזם הזה, אז משתלם לנו לנסות למצוא הומומורפיזם שכזה שיהיה על החבורה $ G/K $.

אם כן, אני מחפש פונקציה $ f:G/H\to G/K $ בעלת התכונות הבאות:

$ f $ הומומורפיזם.
$ f $ על.
הגרעין של $ f $ הוא $ K/H $.

זו מסוג ההוכחות שפשוט כותבות את עצמן, כי הסיטואציה כל כך מוגבלת שברור מייד מה לעשות. ראשית, איך נראה קלט של $ f $? הוא תמיד מהצורה $ aH $ עבור $ a\in G $. כלומר מה שיש ל-$ f $ ביד בסופו של דבר הוא איבר של $ G $. לאן טבעי לנסות להעביר אותו בתוך $ G/K $? יש רק דבר ברור אחד שאפשר לעשות - להעביר אותו אל הקוסט $ aK $. כדי שזה יהיה מוגדר היטב צריך להתקיים ש-$ aH=bH $ גורר $ aK=bK $. מה זה אומר $ aH=bH $? זה מתקיים אם ורק אם $ ab^{-1}\in H $. מכיוון ש-$ H\le K $ אז $ ab^{-1}\in K $ ולכן $ aK=bK $.

אז $ f $ מוגדרת היטב. היא הומומורפיזם כי $ f\left(aH\right)f\left(bH\right)=\left(aK\right)\left(bK\right)=\left(abK\right)=f\left(abH\right) $ - כאן השתמשנו בכך ש-$ H,K $ הן תתי-חבורות נורמליות כך שכפל קוסטים יכול להתבצע על ידי כפל נציגים. כמו כן $ f $ היא כמובן על כי אם $ aK $ הוא קוסט כלשהו ב-$ G/K $ אז $ f\left(aH\right)=aK $.

נותר עניין הגרעין, וגם הוא פשוט למדי: אם $ f\left(aH\right)=K $ (איבר היחידה של $ G/K $ הוא $ K $) אז $ aK=K $, כלומר $ a\in K $. גם בכיוון השני זה עובד: אם $ a\in K $ אז $ f\left(aH\right)=K $.

במילים אחרות, הגרעין של $ f $ כולל את כל הקוסטים של $ H $ שמתקבלים על ידי כפל של $ H $ באיברים של $ K $. זו בדיוק $ K/H $: ההגדרה הפורמלית של הקבוצה $ K/H $ היא $ \left\{ aH\ |\ a\in K\right\} $. זה מסיים את ההוכחה. שימו לב עד כמה בעצם לא היה לנו שום דבר לעשות כאן - החוכמה של המשפט הזה מתבטאת בניסוח שלו, לא בהוכחה שלו.

נעבור עכשיו אל משפט האיזומורפיזם השני. במובן מסויים הוא הבעייתי מבין המשפטים שראינו עד כה, מכיוון שהניסוח שלו דורש מושג חדש שטרם תיארתי - מכפלה של תתי-חבורות. אם $ G $ היא חבורה ו-$ A,B $ הן תתי-חבורות שלה, אז אפשר להגדיר תת-קבוצה של $ G $ באופן הבא: $ AB\triangleq\left\{ a\cdot b\ |\ a\in A,b\in B\right\} $. כלומר, אנחנו לוקחים זוגות של איברים מ-$ A $ ומ-$ B $ וכופלים אותם בפעולת הכפל הרגילה של $ G $. הקבוצה שנקבל אפילו לא תהיה בהכרח תת-חבורה, ולכן צריך להיזהר כאן קצת.

הסיטואציה די דומה לזו של חבורות מנה: אם $ a_{1}b_{1} $ ו-$ a_{2}b_{2} $ הם שני איברים של $ AB $ אז המכפלה שלהם שווה ל-$ a_{1}b_{1}a_{2}b_{2} $. אין לנו דרך להבטיח שהיצור הזה יהיה ניתן לייצוג בתור מכפלה של איבר כלשהו מ-$ A $ באיבר כלשהו מ-$ B $. מה כן היה מבטיח את זה? אם היינו יכולים להחליף את הסדר בין $ b_{1} $ ו-$ a_{2} $. ובכן, כבר ראינו משהו דומה לזה עבור חבורות מנה: אם $ N $ היא תת-חבורה נורמלית של $ G $ ואם $ b\in N $ בזמן ש-$ a\in G $ הוא איבר כלשהו, אז $ ab=b^{\prime}a $ עבור $ b^{\prime}\in N $ : אפשר להחליף את הסדר של הכפל בין איבר כללי של $ G $ ואיבר של $ N $ ב”מחיר” של החלפת האיבר של $ N $ באיבר אחר מ-$ N $. זה נובע מכך ש-$ aNa^{-1}\subseteq N $: ההצמדה של $ N $ על ידי איבר כלשהו מ-$ A $ משאירה אותנו ב-$ N $.

העניין הוא שבסיטואציה הנוכחית שלנו, $ A,B $ שתיהן תת-חבורות של $ G $. אף אחד לא אומר לנו ש-$ B $ היא תת-חבורה של $ A $, כך שאין משמעות לומר משהו כמו “$ B $ היא תת-חבורה נורמלית של $ A $”. עדיין, בהחלט אפשר לומר משהו בסגנון “לכל $ a\in A $, ההצמדה מקיימת $ aBa^{-1}\subseteq B $”. פורמלית, נהוג לקרוא לאוסף כל האיברים $ a\in G $ כך ש-$ aBa^{-1}\subseteq B $ בשם המנרמל של $ B $, ואז $ B $ היא תת-חבורה נורמלית של $ G $ אם ורק אם המנרמל שלה הוא $ G $, אבל זה לא חשוב כרגע. רק חשוב שמכאן ואילך נניח ש-$ A $ מוכלת במנרמל של $ B $ ולכן $ AB $ יוצאת תת-חבורה (רגע רגע רגע, תגידו, הראית סגירות לכפל אבל מה עם הופכי? ובכן, $ \left(ab\right)^{-1}=b^{-1}a^{-1} $, ועכשיו תחליפו את הסדר בכפל).

טרם הצגתי את $ AB $ עד כה כי אני מחכה לפוסט שבו אדבר בפירוט על בניה של חבורות חדשות מתוך חבורות קיימות - למשל, כבר תיארתי סוג אחר של מכפלה, $ A\times B $, ועכשיו אפשר לתהות מה הקשר בין $ A\times B $ ובין $ AB $. עדיין, אני רוצה להציג פה את משפטי האיזומורפיזם אז צריך להכיר את הטרמינולוגיה. כעת, משפט האיזומורפיזם השני מתעסק בשאלה מהי $ AB/B $. כרגיל, מה האינטואיציה? אם, במובן מסויים, $ A,B $ היו “נפרדות לגמרי” אז לחלק ב-$ B $ פשוט היה מעלים את הרכיב של $ B $ בתוך המכפלה $ AB $ והיינו נשארים עם $ A $. אבל בקצה השני של הסיטואציה, מה אם $ A=B $? במקרה הזה, $ AA=A $ (תבדקו!) ולכן $ AA/A=A/A\cong\left\{ e\right\} $. כלומר, $ AB/B $ עשוי לצאת איזומורפי לכל דבר שבין $ A $ ובין תת-החבורה הטריוויאלית $ \left\{ e\right\} $. מה קובע? ובכן, רמת הקשר בין $ A,B $; ספציפית, מה האיברים המשותפים שלהם. ספציפית, המשפט אומר ש-$ AB/B\cong A/\left(A\cap B\right) $. בואו נראה דיאגרמה גם עבור הדבר הזה:

$\xymatrix{ & G\ar[d]\\ & AB\ar[dl]\ar[dr]\\ A\ar[dr] & & B\ar[dl]\\ & A\cap B\ar[d]\\ & \left\{ e\right\} }$

לפעמים קוראים למשפט הזה “משפט איזומורפיזם היהלום” בגלל הצורה דמויית היהלום של הדיאגרמה הזו. התוכן של המשפט מדבר על שני החצים האלכסוניים למטה-ימינה - ליתר דיוק, על חבורות המנה שנקבל אם נחלק את ראשית החצים הללו בקצה שלהם.

ואיך מוכיחים את המשפט? כרגיל, כלי הנשק הראשון שעליו חושבים בסיטואציה הזו הוא משפט האיזומורפיזם הראשון. אני רוצה להראות ש-$ A/\left(A\cap B\right) $ איזומורפי למשהו? בואו ננסה למצוא הומומורפיזם מ-$ A $ שהוא על $ AB/B $; בתקווה הגרעין שלו יצא $ A\cap B $ ונהיה מרוצים. אם כן, איך אגדיר את $ f\left(a\right) $? כרגיל, יש רק דרך אחת “טבעית” לעשות את זה - אני רוצה להחזיר קוסט של $ B $ בתוך $ AB $? אז נחזיר את הקוסט של $ a $. דהיינו, $ f\left(a\right)=aB $. הפונקציה הזו מוגדרת היטב בבירור. גם ברור שהגרעין הוא $ A\cap B $ שכן $ f\left(a\right)=B $ אם ורק אם $ a\in B $ ($ B $ הוא איבר היחידה של $ AB/B $). הפונקציה היא הומומורפיזם כי $ AB/B $ היא חבורה, ולכן $ f\left(a_{1}a_{2}\right)=\left(a_{1}a_{2}\right)B=\left(a_{1}B\right)\left(a_{2}B\right)=f\left(a_{1}\right)f\left(a_{2}\right) $. אם כן, מה נשאר?

נשאר רק להראות ש-$ f $ היא על. זה מרגיש קצת טריקי. אני רוצה להיות על כל $ AB/B $. ואילו התמונה של הפונקציה שלי כוללת רק קוסטים של $ B $ שמתקבלים על ידי הזזה עם איבר מ-$ A $, בעוד ש-$ AB/B $ זה אוסף כל הקוסטים של $ B $ שמתקבלים על ידי הזזה עם איבר שהוא מכפלה של איבר מ-$ A $ באיבר מ-$ B $. האינטואיציה היא שהאיבר הזה מ-$ B $ “ייבלע” בהזזה של הקוסט. פורמלית, ניקח איבר כלשהו ב-$ AB/B $, אז הוא מהצורה $ \left(ab\right)B $ כך ש-$ a\in A,b\in B $. מכיוון ש-$ AB/B $ היא חבורה, אפשר לפרק: $ \left(ab\right)B=\left(aB\right)\left(bB\right)=aB $, כי $ bB=B $ הוא איבר היחידה של $ AB/B $. קיבלנו שהמקור של $ \left(ab\right)B $ הוא $ a $, וסיימנו.

אם כן, גם ההוכחה של המשפט הזה היא פשוטה ו”טבעית” מאוד. הקושי היחיד הוא לזכור את הניסוח בכלל. זו המחשה נאה למה שקורה באלגברה מודרנית בסיסית באופן כללי - הגאונות מצויה בהגדרות ובניסוחי המשפטים; מרגע שיש לנו את נקודת המבט הזו, התוצאות מסתדרות מעצמן. והן ימשיכו להסתדר מעצמן ככה גם כשנגיע לדברים מתוחכמים הרבה יותר, כאלו שפתרו תעלומות מתמטיות בנות אלפי שנים.

נהניתם? התעניינתם? אם תרצו, אתם מוזמנים לתת טיפ: