משפטי סילו

מבוא

אחת מהתוצאות הבסיסיות על המבנה של חבורות שראינו הייתה משפט לגראנז': אם \( G \) חבורה סופית ו-\( H \) תת-חבורה שלה אז הסדר של \( H \) מחלק את הסדר של \( G \). המשפט הזה מייד העלה את השאלה אם גם הכיוון ההפוך נכון: אם \( G \) חבורה סופית מסדר \( n \) ו-\( k \) מחלק את \( n \), האם קיימת ל-\( G \) תת-חבורה מסדר \( k \)? התשובה היא “לא, אבל”. בפוסט הזה נדבר על הלא ועל האבל; עיקר הפוסט יהיה בלומר “אבל כן יש לנו משפט מגניב עבור חבורות כלליות שאומר לא מעט על הכיוון ההפוך” - המשפט הזה נקרא משפט סילו. ליתר דיוק, משפטי סילו כי ה”אבל” הזה כולל כמה פרטי מידע שונים שמחולקים למשפטים שונים.

אני אתחיל דווקא עם דוגמא זריזה עבור ה”לא”. הדוגמה הזו חייבת להיות של חבורה לא אבלית, כי בחבורות אבליות המשפט ההפוך דווקא כן נכון. המקור הבסיסי שלנו לחבורות לא אבליות סופיות הוא חבורות של תמורות. \( S_{3} \) היא חבורה קטנה מדי - היא מסדר 6 ובבירור יש לה תת-חבורות מסדרים 2 ו-3. לעומת זאת \( S_{4} \) היא כבר קצת גדולה מדי - יש בה 24 איברים ואפשר להסתפק בפחות: בתת החבורה החשובה ביותר שלה, שמסומנת ב-\( A_{4} \), וכוללת את כל התמורות הזוגיות. כזכור, תמורה שהיא מעגל היא זוגית אם בפירוק שלה למכפלת חילופים (מעגלים מאורך 2) יש מספר זוגי של חילופים. לא קשה לראות שתמיד אוסף כל התמורות הזוגיות הוא תת-חבורה. במקרה שלנו, תמורות זוגיות הן או הזהות, או מעגלים מאורך 3, למשל \( \left(1\ 2\ 3\right) \), או מכפלות של שני חילופים זרים כמו \( \left(1\ 2\right)\left(3\ 4\right) \). מעגלים מאורך 3 יש בדיוק 8 (יש 4 אפשרויות לבחור מי המספר שיישאר בחוץ ואז 2 אפשרויות לבחור את הסדר הפנימי בין שלושת הנותרים - זכרו שיש כאן סידור במעגל אז אין “איבר ראשון”). מכפלות של שני חילופים זרים יש בדיוק 3 (בוחרים מי יהיה עם 1 והיתר נקבע מעצמו). קיבלנו חבורה עם 12 איברים.

עכשיו, נניח ש-\( B\subseteq A_{4} \) היא תת-חבורה. ניקח מעגל כלשהו מאורך 3, \( a\in A_{4} \), ונסתכל על הקוסטים \( B,aB,a^{2}B \). אם \( B \) היא מסדר 6, אז \( \left|A_{4}:B\right|=2 \), כלומר יש ל-\( B \) רק שני קוסטים שונים זה מזה. מזה נקבל מייד ש-\( a\in B \) (אם \( B=aB \) או \( aB=a^{2}B \)) או שנקבל ש-\( a^{2}\in B \) (מ-\( B=a^{2}B \)) שממנו נובע מייד ש-\( a=\left(a^{2}\right)^{2}\in B \). במילים אחרות, הראינו ש-\( B \) חייבת להכיל את כל 8 המעגלים מאורך 3 ולכן בוודאי שאינה מסדר 6. מסקנה: לא קיימת תת-חבורה מסדר 6 ב-\( A_{4} \).

אז מה כן אפשר לומר?

משפט קושי לחבורות אבליות

בואו נתחיל מהדבר הפשוט ביותר שאפשר לומר. אם \( \left|G\right|=n \) ו-\( p \) הוא ראשוני שמחלק את \( n \), אז ב-\( G \) יש תת-חבורה מסדר \( p \). תת-חבורה כזו חייבת להיות ציקלית (חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית) אז לרוב אומרים במפורש שב-\( G \) יש איבר \( a \) מסדר \( p \). המשפט הזה נקרא משפט קושי. יש לו הוכחה מפורשת שלא אציג כרגע למרות שיהיה נחמד אולי לעשות את זה בפוסט נפרד. תחת זאת, אני אוכיח את המשפט רק במקרה שבו \( G \) אבלית, ואחר כך אשתמש בתוצאה הזו בתור בסיס למשפטי סילו, שמכלילים את משפט קושי עבור חבורה כללית.

ההוכחה במקרה של חבורה אבלית היא פשוטה למדי ומתבססת על טכניקה שימושית: אנחנו רוצים להראות שמשהו נחמד מתרחש ב-\( G \). אם זה ברור מייד שהוא מתרחש, יופי; אחרת, בואו ניקח חבורת מנה כלשהי של \( G \), נראה שבחבורת המנה הזו מתרחש המשהו הנחמד, ואז “נמשוך אותו למעלה” חזרה אל \( G \) עצמה. במקרה שלנו הדבר הנחמד הוא קיום של איבר מסדר \( p \), וכלי טכני שבו נשתמש יהיה המשפט הבא שקל להוכיח אבל לא אעשה זאת כאן: אם \( a\in G \) הוא איבר כלשהו מסדר \( o\left(a\right) \) ו-\( n \) טבעי כלשהו, אז \( o\left(a^{n}\right)=\frac{o\left(a\right)}{\gcd\left(n,o\left(a\right)\right)} \).

ההוכחה תהיה על הסדר של \( G \). אם \( \left|G\right|=p \) אז ברור שקיים ב-\( G \) איבר מסדר \( p \), ולכן אפשר להניח ש-\( \left|G\right|>p \). ניקח איבר \( e\ne a\in G \) כלשהו. אם הסדר שלו, \( o\left(a\right) \), מתחלק ב-\( p \) אז אפשר לכתוב \( o\left(a\right)=pn \) עבור \( n \) כלשהו, וכעת \( o\left(a^{n}\right)=p \) על פי המשפט שהזכרתי לעיל, כך שמצאנו איבר מסדר \( p \). נשאר לטפל רק במקרה שבו \( p \) אינו מחלק את הסדר של \( a \). במקרה הזה, אפשר להסתכל על תת-החבורה \( A=\left\langle a\right\rangle \) שנוצרת על ידי \( A \). מכיוון ש-\( G \) אבלית, \( A \) אוטומטית תהיה תת-חבורה נורמלית ולכן \( G/A \) תהיה חבורה אבלית מסדר קטן משל \( G \). ליתר דיוק, \( \left|G/A\right|=\frac{\left|G\right|}{o\left(a\right)} \) ומכיוון ש-\( p \) אינו מחלק את \( o\left(a\right) \) בהכרח הוא כן מחלק את \( \left|G/A\right| \), כך שניתן להשתמש בהנחת האינדוקציה על \( G/A \) ולקבל שקיים קוסט \( bA \) שהוא מסדר \( p \). במילים אחרות, \( b\notin A \) אבל \( b^{p}\in A \). בפרט נקבל ש-\( \left\langle b\right\rangle \ne\left\langle b^{p}\right\rangle \) (כי החבורה השמאלית כוללת גם איברים שאינם ב-\( A \)) ולכן \( o\left(b^{p}\right)<o\left(b\right) \).

עכשיו, מהמשפט המצוטט לעיל נובע ש-\( o\left(b^{p}\right)\gcd\left(p,o\left(b\right)\right)=o\left(b\right) \). מכך ש-\( o\left(b^{p}\right)<o\left(b\right) \) נסיק ש-\( \gcd\left(p,o\left(b\right)\right)>1 \) ולכן הוא בהכרח \( p \), וקיבלנו ש-\( o\left(b\right) \) מתחלק ב-\( p \), כפי שרצינו. זה מסיים את ההוכחה הזו.

משפט סילו הראשון

כאמור, משפט קושי תקף גם לחבורות לא אבליות. בואו נחזור לרגע לדוגמה הנגדית שלנו ב-\( A_{4} \): שם המחלקים הראשוניים של סדר החבורה, 12, הם 2 ו-3. בבירור יש לנו תת-חבורה מסדר 2 (שנוצרת על ידי \( \left(1\ 2\right)\left(3\ 4\right) \)) ותת-חבורה מסדר 3 (שנוצרת על ידי \( \left(1\ 2\ 3\right) \)). נניח שאנחנו רוצים להכליל את משפט קושי ולהגיד משהו יותר חזק. מה אפשר ומה אי אפשר?

ב-\( A_{4} \) אין תת-חבורה מסדר 6, כך שנשאלת השאלה מה “השתבש” פה. התשובה היא ש-6 הוא מכפלה של הראשוניים \( 2,3 \), שהם שונים זה מזה. אם אנחנו עדיין רוצים להכליל את משפט קושי אפשר לנסות גישה אחרת - לכפול ראשוני כלשהו בעצמו. לא ייתכן שתהיה ב-\( A_{4} \) חבורה מסדר \( 9=3\cdot3 \) כי \( 9 \) לא מחלק את סדר החבורה, 12. אבל מה על \( 4=2\cdot2 \)? האם קיימת ב-\( A_{4} \) תת-חבורה מסדר 4? ובכן, קל לראות שכל התמורות שהן בעלות מבנה מעגלי 2,2 (למשל \( \left(1\ 2\right)\left(3\ 4\right) \)) יחד עם תמורת הזהות נותנות לנו תת-חבורה (ְשהיא מה שנקרא “חבורת קליין”, \( \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} \)). משפט סילו הראשון אומר שהתופעה הזו אינה מקרית: לכל \( p \) שמחלק את סדר החבורה, אפשר להעלות את \( p \) בחזקה עוד ועוד עד אשר מגיעים אל החזקה המקסימלית של \( p \) שעדיין מחלקת את סדר החבורה, ומשפט סילו מבטיח שתהיה תת-חבורה מהסדר הזה. למעשה, המשפט אומר יותר מכך - הוא גם אומר לנו כמה תתי-חבורות כאלו יהיו ומה הקשר ביניהן, אבל בואו נתחיל צעד צעד.

ראשית כל, הטרמינולוגיה. אם \( p \) ראשוני, אז השם “חבורת-\( p \)” בא לתאר כל חבורה שהסדר של הוא חזקה של \( p \). למשל, \( \mathbb{Z}_{49} \) היא “חבורת-\( 7 \)”. באופן דומה, אם \( G \) היא חבורה כלשהי ו-\( A\subseteq G \) היא תת-חבורה מסדר שהוא חזקה של \( p \), אומרים ש-\( A \) היא תת-חבורת \( p \) של \( G \). אם \( G \) היא חבורה כלשהי ו-\( A\subseteq G \) תת-חבורה מסדר \( p^{\alpha} \) כך ש-\( p^{\alpha+1} \) כבר לא מחלק את \( \left|G\right| \) (כלומר, \( A \) היא מסדר “מקסימלי” שהוא חזקה של \( p \)) אומרים ש-\( A \) היא תת-חבורת \( p \)-סילו.

עכשיו אפשר לנסח את משפט סילו הראשון: לכל חבורה \( G \) ולכל ראשוני \( p \), קיימת ל-\( G \) תת-חבורת \( p \)-סילו. כמובן, אם \( p \) לא מחלק את הסדר של \( G \) בכלל אז “החזקה הגבוה ביותר” של \( p \) שמחלקת את \( \left|G\right| \) היא פשוט 0 ואז תת-חבורת הסילו המתאימה היא בסך הכל \( \left\{ e\right\} \), ולכן המשפט מלכתחילה מעניין רק עבור אותם \( p \)-ים שכן מחלקים את \( \left|G\right| \). איך מוכיחים אותו?

ההוכחה היא בסך הכל שימוש זהיר בכלים שכבר ראינו: שימוש באינדוקציה, מעבר מהחבורה אל חבורת מנה שלה, משפט קושי לחבורות אבליות, ומתישהו תצוץ גם משוואת המחלקה מהפוסט הקודם. הדבר הראשון שנעשה, בהינתן \( G \) מסדר \( \left|G\right|=p^{\alpha}k \) כך ש-\( p \) לא מחלק את \( k \), הוא להסתכל על המרכז של \( G \), \( Z\left(G\right) \). זו תת-חבורה אבלית, כך שאם \( p \) מחלק את הסדר שלה, אפשר להשתמש במשפט קושי לחבורות אבליות ולקבל שקיימת תת-חבורה \( A\subseteq Z\left(G\right) \) מסדר \( p \). עכשיו נעשה את הדבר החביב עלינו ונסתכל בחבורת המנה \( G/A \). זו אכן חבורת מנה כי כל תתי-החבורות שמוכלות ב-\( Z\left(G\right) \) הן נורמליות; מהגדרתה, תת-חבורה מוכלת ב-\( Z\left(G\right) \) רק אם האיברים שלה מתחלפים עם כל אברי \( G \) ולכן יש אוטומטית סגירות להצמדה.

מכיוון ש-\( \left|A\right|=p \) נקבל ש-\( \left|G/A\right|=p^{\alpha-1}k \). עכשיו אפשר להשתמש בהנחת האינדוקציה על \( G/A \) ולקבל שקיימת בה תת-חבורה \( \overline{P}\subseteq G/A \) מסדר \( p^{\alpha-1} \) שנסמן \( \overline{P} \). אנחנו רוצים “להרים” את \( \overline{P} \) הזו לתת-חבורה של \( G \) המקורית. כאן נכנס לעזרתנו משפט שנקרא משפט ההתאמה וראינו בפוסט על משפטי האיזומורפיזם של חבורות שנותן לנו בדיוק את זה: קיימת תת-חבורה \( A\subseteq P\subseteq G \) כך ש-\( P/A=\overline{P} \). בפרט, \( \frac{\left|P\right|}{\left|A\right|}=\left|\overline{P}\right| \), כלומר \( \left|P\right|=\left|A\right|\cdot\left|\overline{P}\right|=p\cdot p^{\alpha-1}=p^{\alpha} \) - קיבלנו את תת-החבורה שרצינו.

זה טיפל במקרה הקל, שבו \( p \) מחלק את הסדר של המרכז של \( G \). מה קורה במקרה השני? כאן אנחנו מכניסים לתמונה את משוואת המחלקה מהפוסט הקודם. מה שהיא אומרת הוא שמתקיים \( \left|G\right|=\left|Z\left(G\right)\right|+\sum_{i=1}^{n}\left|G:C_{G}\left(a_{i}\right)\right| \) כאשר ה-\( a_{i} \)-ים הם נציגים של מחלקות הצמידות של \( G \) שאינן סינגלטונים. מכיוון ש-\( p \) מחלק את \( \left|G\right| \) אבל לא מחלק את \( \left|Z\left(G\right)\right| \), לא ייתכן שהוא יחלק את כל הסכום \( \sum_{i=1}^{n}\left|G:C_{G}\left(a_{i}\right)\right| \) (אחרת תעבירו את הסכום הזה אגף ותקבלו שכל אגף שמאל מתחלק ב-\( p \) ולכן גם אגף ימין). כלומר, יש לנו איבר \( a \) כך ש-\( \left|G:C_{G}\left(a\right)\right| \) לא מתחלק ב-\( p \). מכיוון ש-\( \left|G:C_{G}\left(a\right)\right|=\frac{\left|G\right|}{\left|C_{G}\left(a\right)\right|} \) נובע שבהכרח \( \left|C_{G}\left(a\right)\right|=p^{\alpha}\cdot t \) עבור \( t \) שלא מתחלק ב-\( p \) כלשהו, כי המכנה של \( \frac{\left|G\right|}{\left|C_{G}\left(a\right)\right|} \) חייב לקזז את כל החזקות של \( p \) שבמונה. נראה מתבקש, אם כן, להשתמש בהנחת האינדוקציה על \( C_{G}\left(a\right) \) עצמה, למצוא לה תת-חבורת \( p \)-סילו מסדר \( p^{\alpha} \), ואז אותה תת-חבורה בדיוק תהיה גם תת-חבורת \( p \)-סילו המבוקשת של \( G \). רק צריך לתת נימוק למה אפשר להשתמש פה בהנחת האינדוקציה - כלומר, למה \( C_{G}\left(a\right)\ne G \). זה פשוט למדי: \( C_{G}\left(a\right) \) היא אוסף כל האיברים שמתחלפים עם \( a \). מלכתחילה הנחנו ש-\( a\notin Z\left(G\right) \), כלומר קיימים איברים ב-\( G \) שאינם מתחלפים עם \( a \). זה מסיים את המשפט.

משפטי סילו השני והשלישי

משפט סילו הראשון אמר לנו שתת-חבורות \( p \)-סילו קיימות לכל חבורה \( G \). זה נחמד אבל בפני עצמו זה עדיין לא שימושי מספיק. מידע רלוונטי נוסף יכול להיות כמה חבורות \( p \)-סילו קיימות, ומה הקשר ביניהן. בואו נתחיל עם הדוגמא של \( A_{4} \) שכבר ראינו: הייתה שם תת-חבורת 4-סילו אחת ויחידה, אבל היו בה ארבע תת-חבורות \( 3 \)-סילו, אחת לכל מעגל מאורך 3. האם זה מקרי שכל תתי-חבורות \( 3 \)-סילו של \( A_{4} \) נוצרות בידי איברים עם אותו מבנה מעגלי? משפט סילו השני אומר שלא. האם זה מקרי שיש בדיוק 4 כאלו? משפט סילו השלישי אומר שהייתה יכולה להיות רק אחת, או ארבע וערכים אחרים הם בלתי אפשריים. בואו נעבור לניסוחים הכלליים.

משפט סילו השני נותן את הקשר הזה: כל שתי תת-חבורות \( p \)-סילו הן צמודות. בואו נזכיר מהי הצמדה: אם \( a\in G \) הוא איבר כלשהו, אז ההצמדה של \( a \) בידי \( x\in G \) היא האיבר \( xax^{-1} \). אפשר להכליל את זה לתת-קבוצות: אם \( P\subseteq G \) היא תת-קבוצה, אז \( xPx^{-1}\triangleq\left\{ xax^{-1}\ |\ a\in P\right\} \). משפט סילו השני אומר - בואו ניקח את תת-חבורת \( p \)-סילו \( P \) שמשפט סילו הראשון מראה את קיומה, ונתבונן על קבוצת כל ההצמדות שלה: \( S\triangleq\left\{ xPx^{-1}\ |\ x\in G\right\} =\left\{ P_{1},P_{2},\dots,P_{r}\right\} \). אז כל תת-חבורת \( p \)-סילו של \( G \) שייכת ל-\( S \). אפשר אפילו לומר משהו חזק יותר: אם \( Q\subseteq G \) היא תת-חבורת \( p \) של \( G \) (לאו דווקא \( p \)-סילו; כלומר \( Q \) היא תת-חבורה כלשהי של \( G \) שמספר האיברים בה הוא חזקה של \( p \)) אז קיים \( P_{i}\in S \) כך ש-\( Q\subseteq P_{i} \) (כלומר, קיים \( x\in G \) כך ש-\( Q\subseteq xPx^{-1} \) כאשר \( P \) היא תת-חבורת \( p \)-סילו מהמשפט הראשון).

לא קשה לראות שהצמדה של תת-חבורה מחזירה תת-חבורה, ומכיוון שהיא פונקציה הפיכה היא גם משמרת גודל; כלומר, הצמדה של תת-חבורת \( p \)-סילו מחזירה תת-חבורת \( p \)-סילו אחרת, מה שאומר ש-\( S=\left\{ P_{1},P_{2},\dots,P_{r}\right\} \) כוללת רק תת-חבורות \( p \)-סילו; המשפט השני אומר שאלו כולן. כלומר, \( r \) הוא מספר תת-חבורות \( p \)-סילו של \( G \). בואו נסמן \( n_{p}\triangleq r \): כלומר, \( n_{p} \) אומר “כמה תת-חבורות \( p \)-סילו קיימות ב-\( G \)”. משפט סילו השלישי אומר לנו משהו על \( n_{p} \). ראשית, שהוא מחזיר שארית 1 כאשר מחלקים אותו ב-\( p \) (במקרה של \( A_{4} \) עבור \( p=2 \) קיבלנו \( n_{2}=1 \) ועבור \( p=3 \) קיבלנו \( n_{3}=4 \)). שנית, משפט סילו השלישי אומר לנו ש-\( n_{p} \) מחלק את \( \left|G\right| \). מכיוון שסימנתי \( \left|G\right|=p^{\alpha}k \) כך ש-\( p \) לא מחלק את \( k \), בהכרח נובע ש-\( n_{p} \) מחלק את \( k \) (כי \( n_{p} \) לא מחלק אף חזקה של \( p \) מכיוון שהוא שקול ל-\( p \) מודולו 1). בדוגמא של \( A_{4} \) זה אומר ש-\( n_{3} \) היה חייב לחלק את 4, כלומר הערכים האפשריים היחידים עבורו היו 1 או 4; שימו לב שאת כל המידע הזה סילו נתן לנו בלי לדעת כלום על המבנה של \( A_{4} \), רק מהיכרות עם מספר האיברים שם.

בואו נוכיח את שני המשפטים הללו - זה ידרוש קצת יותר עבודה מאשר המשפט הראשון. ראשית, בואו נסתכל על הקבוצה \( S=\left\{ P_{1},P_{2},\dots,P_{r}\right\} \) שכוללת את כל תת-חבורות \( p \)-סילו שצמודות אל תת-החבורה שאנחנו יודעים שקיימת. קיבלנו אותן על ידי הצמדה שלה עם כל האיברים של \( G \). בואו ניקח עכשיו \( Q\subseteq G \) שהיא חבורת-\( p \) כלשהי, ונפעיל את \( Q \) על הקבוצה \( S \) באמצעות הצמדה. מה נקבל? לא קשה לראות שזו אכן מה שקראנו לו בפוסט הקודם “פעולה של חבורה על קבוצה”, והמשמעות היא שהצמדה באיבר של \( Q \) מבצעת תמורה על האיברים של \( S \). בפוסט הקודם דיברנו על האופן שבו פעולה של חבורה על קבוצה מחלקת את הקבוצה למסלולים - במקרה שלנו, מחלקות צמידות של אברי \( S \) - אז ניתן לכתוב את \( S \) בתור איחוד כל המסלולים הללו, \( S=\mathcal{O}_{1}\cup\dots\cup\mathcal{O}_{s} \). בפרט, נקבל ש-\( n_{p}=\left|S\right|=\left|\mathcal{O}_{1}\right|+\dots+\left|\mathcal{O}_{s}\right| \). אני הולך להראות שאפשר לבחור את \( Q \) בצורה כזו שהגודל של כל המסלולים בסכום יתחלק ב-\( p \), למעט מסלול בודד שהגודל שלו יהיה בדיוק 1. זה יתן לי את התוצאה ש-\( n_{p} \) שקול ל-1 מודולו \( p \).

השאלה הראשונה שיש לנו היא מהו בעצם הגודל של מסלול \( \left|\mathcal{O}\right| \) כלשהו בפעולה של \( Q \) על \( S \). בשביל זה אפשר לגייס מהפוסט הקודם את משפט מסלול-מייצב: אם \( P\in\mathcal{O} \) היא איבר כלשהי של המסלול \( \mathcal{O} \), אז הגודל של המסלול שווה ל-\( \left|Q:Q_{P}\right| \) כאשר \( Q_{P} \) הוא הסימון של המייצב של \( P \) ב-\( Q \): כל האיברים \( a\in Q \) כך ש-\( aPa^{-1}=P \).

זה זמן טוב להזכיר מושג שלא הראיתי עד כה בסדרת הפוסטים למרות שהוא נפוץ למדי - פשוט לא נזקקתי לו. המושג הזה נקרא המנרמל של תת-חבורה. אם \( A\subseteq G \) אז המנרמל של \( A \) ב-\( G \) הוא כל האיברים של \( G \) שכשמצמידים את \( A \) איתם מקבלים את \( A \) בחזרה: \( N_{G}\left(A\right)\triangleq\left\{ x\in G\ |\ xAx^{-1}=A\right\} \). השם “מנרמל” מגיע מכך ש-\( A\subseteq N_{G}\left(A\right) \) ו-\( A \) תת-חבורה נורמלית של \( N_{G}\left(A\right) \); אפשר להראות ש-\( N_{G}\left(A\right) \) היא תת-החבורה הגדולה ביותר של \( G \) שמכילה את \( A \) ו-\( A \) נורמלית בה. במקרה הנוכחי שלנו, \( Q \) רחוקה מלהיות כל \( G \); למעשה, מכיוון ש-\( P \) היא תת-חבורת \( p \)-סילו ואילו \( Q \) היא “סתם” חבורת \( p \)-כלשהי, בהחלט סביר ש-\( Q \) כלל לא מכילה את \( P \). עדיין, קל להראות ש-\( Q_{P}=N_{G}\left(P\right)\cap Q \). אני רוצה עכשיו להסיק תוצאה חזקה יותר: ש-\( Q_{P}=P\cap Q \). כלומר, שבמקרה הספציפי שלנו, מכיוון ש-\( P \) היא תת-חבורת \( p \)-סילו (“חבורת \( p \) מקסימלית”) ואילו \( Q \) גם היא חבורת-\( p \), אז אין ל-\( P \) מייצבים ב-\( Q \) שנמצאים מחוץ ל-\( P \) עצמה.

לצורך כך נשתמש בטיעון שמבוסס, כרגיל בהקשר הזה, על תכונות של מספרים וגדלים של חבורות וכאלה. אנחנו מסתכלים על הקבוצה \( PQ_{P} \) שהגדרנו בפוסט על מכפלת חבורות. תנאי מספיק כדי שהקבוצה הזו תהיה חבורה היא שיתקיים \( PQ_{P}=Q_{P}P \), כלומר \( P=Q_{P}PQ_{P}^{-1} \) - דהיינו, שהצמדה של \( P \) על ידי אברי \( Q_{P} \) מותירה את \( P \) ללא שינוי, מה שנובע מיידית מכך ש-\( Q_{P} \) מוכל במנרמל של \( P \). אם כן, \( PQ_{P} \) היא תת-חבורה של \( G \). מאיזה סדר? בפוסט שבו הנושא הוצג ראינו ש-\( \left|PQ_{P}\right|=\frac{\left|P\right|\left|Q_{P}\right|}{\left|P\cap Q_{P}\right|} \). כעת נשים לב לכך ש-\( \left|P\right| \) היא חבורת \( p \)-סילו ולכן מסדר שמתחלק ב-\( p \) ואילו \( Q_{P} \) היא תת-חבורה של \( Q \) שהייתה חבורת \( p \) כך שגם הסדר שלה מתחלק ב-\( p \) וכן גם הסדר של החיתוך של שתיהן. דהיינו, \( \left|P\right|\cdot\frac{\left|Q_{P}\right|}{\left|P\cap Q_{P}\right|} \) תהיה חבורה מסדר שהוא חזקה של \( p \). יותר מכך - הסדר הזה יהיה לפחות כמו הסדר של \( \left|P\right| \); אבל מכיוון ש-\( P \) היא \( p \)-סילו, הסדר שלה הוא המקסימלי שהוא חזקה של \( p \). לכן בהכרח \( \left|Q_{P}\right|=\left|P\cap Q_{P}\right| \), כלומר \( Q_{P}=P\cap Q_{P} \), כלומר \( Q_{P}\subseteq P \). זה מסיים את הסיפור ומראה ש-\( Q_{P}=P\cap Q \).

חזרה לענייננו. \( Q_{P} \) הזו עניינה אותנו כי היא הייתה המייצב של \( P \) ב-\( Q \), ולכן איפשרה לנו לדעת מה גודל המסלול של \( P \): \( \left|\mathcal{O}\left(P\right)\right|=\left|Q:Q_{P}\right|=\left|Q:P\cap Q\right| \). כאן, כזכור, \( Q \) היא חבורת \( p \) כלשהי. אנחנו יכולים לבחור אותה איך שנרצה. לכן בואו נבחר \( Q=P \), כאשר \( P \) היא תת-חבורת הסילו שאנחנו יודעים שקיימת. נקבל מייד ש-\( \left|\mathcal{O}\left(P\right)\right|=\left|P:P\cap P\right|=\left|P:P\right|=1 \) (אין כאן משהו מפתיע - כשמצמידים תת-חבורה עם עצמה הסגירות שלה מכתיבה שנקבל רק את עצמה). מה בדבר המסלולים האחרים של פעולת \( P \) על \( S \)? לכל \( P_{i}\ne P \) נקבל \( \left|\mathcal{O}\left(P_{i}\right)\right|=\left|P:P\cap P_{i}\right| \). מהו \( \left|P\cap P_{i}\right| \)? מכיוון ש-\( P_{i} \) ו-\( P \) שתיהן מסדר שהוא חזקה של \( p \), גם \( P\cap P_{i} \), שהיא תת-חבורה של שתיהן, תהיה מסדר כזה. אבל היא לא יכולה להיות מאותו הסדר כמו \( P,P_{i} \) כי אז נקבל \( P=P_{i} \) (זכרו - אלו שתי תתי-חבורות שהן בדיוק מאותו הסדר - חזקה מקסימלית של \( p \)). מכאן ש-\( \left|P:P\cap P_{i}\right|=\frac{\left|P\right|}{\left|P\cap P_{i}\right|} \) היא חזקה של \( p \) שגדולה מ-1, ולכן \( \left|\mathcal{O}\left(P_{i}\right)\right| \) מתחלק ב-\( p \).

סיכום ביניים: הגדרנו בהתחלה \( S\triangleq\left\{ P_{1},P_{2},\dots,P_{r}\right\} \) בתור אוסף כל חבורות ה-\( p \)-סילו שצמודות ל-\( P \). ראינו עכשיו חלוקה מסויימת של הקבוצה הזו למסלולים (של הפעלת \( P \) עליה באמצעות הצמדה) שבה \( p \) חילק את גודל כל המסלולים למעט אחד, והאחד הנותר הזה היה מגודל 1. קיבלנו ש-\( r\equiv1\left(\text{mod }p\right) \). זה עדיין לא נותן לנו את משפט סילו השלישי, שאומר כזכור ש-\( n_{p} \), מספר תתי-חבורות ה-\( p \)-סילו של \( G \), שקול ל-1 מודולו \( p \). למה לא? כי כדי לטעון ש-\( r=n_{p} \) צריך קודם כל את משפט סילו השני - להראות בפרט שכל שתי תתי-חבורות \( p \)-סילו הן צמודות ולכן \( S \) אכן מכילה את כל תתי-חבורות ה-\( p \) סילו האפשריות.

לצורך כך, בואו נשתמש בתוצאה שלעיל עבור \( Q \) שהיא חבורת-\( p \) כלשהי. אם נניח ש-\( Q \) אינה מוכלת באף תת-חבורת \( p \)-סילו שצמודה ל-\( P \), המשמעות היא ש-\( \left|Q:P_{i}\cap Q\right|>1 \) לכל ה-\( P_{i}\in S \) (כי \( \left|Q:P_{i}\cap Q\right|=1 \) פירושו \( Q=Q\cap P_{i} \), כלומר \( Q\subseteq P_{i} \)). זה אומר שבחלוקה של \( S \) למסלולים ש-\( Q \) משרה, הגודל של כל מסלול יתחלק ב-\( p \) (כבר הסכמנו שאם \( \left|Q:P_{i}\cap Q\right|>1 \) עבור חבורת \( p \) אז הגודל הזה הוא בהכרח חזקה של \( p \)) ולכן גם סכום הגדלים שלהם, שהוא \( r \), יתחלק ב-\( p \) - אבל זו סתירה, כי ראינו שהוא שקול ל-1 מודולו \( p \). במכה אחת סיימנו את הוכחת משפט סילו השני ואת הוכחת החלק הראשון של משפט סילו השלישי.

החלק השני, והאחרון, של משפט סילו השלישי טוען ש-\( n_{p} \) מחלק את הסדר של \( G \). גם החלק הזה נובע ממשפט מסלול-מייצב. הפעולה שלנו תהיה הפעולה ש-\( G \) פועלת על תתי-החבורות שלה באמצעות הצמדה. ראינו ש-\( n_{p} \) הוא בדיוק גודל המסלול של \( P \) תחת הפעולה הזו, ולכן זה גם האינדקס של המייצב של \( P \) תחת הפעולה הזו. האינדקס של תת-חבורה מחלק את סדר החבורה, מה שמסיים את ההוכחה.

כן, זה היה קצת ארוך. לא, אין כאן משהו מסובך ממש, אבל יש כאן כמה מרכיבים לא טריוויאליים שחוברים להם יחד. האם יש הוכחות פשוטות יותר, או לפחות כאלו שאפשר לכתוב יותר בקיצור? כן, אבל אני לא בטוח שיהיה קל יותר להבין אותן או “להרגיש” מהן למה המשפט עובד.