בואו נמיין חבורות!

מבוא

בסדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות היעד הצנוע שאני שואף אליו הוא להבין בדיוק איך נראות כל החבורות עד וכולל סדר 20. למה היעד השרירותי הזה? כי כדי להגיע אליו אנחנו זקוקים בדיוק לסט הכלים והמושגים הבסיסיים של תורת החבורות; מיון החבורות עד סדר 20 זה פשוט דרך לצאת “לשטח” ולראות איך זה בא לידי ביטוי. חלק מהמשימה הזו הושגה כבר בפוסט קודם כאשר הצגתי (ללא הוכחה) את משפט המיון לחבורות אבליות סופיות והשתמשתי בו כדי לתת סיווג של כל החבורות האבליות (כלומר, כאלו שבהן \( ab=ba \)). עדיין נותרה המשימה היותר מסובכת, של למיין חבורות לא אבליות שלרוב יש בהן הרבה יותר מהומה. לצורך כך הכנסתי לתמונה מושגים ומשפטים חדשים: משפטי סילו, המושג של מכפלה חצי ישרה, הדוגמא הקונקרטית שלחבורות של תמורות, הדוגמא הקונרטית של חבורות דיהדרליות… בואו נביא את כל אלו לידי ביטוי בפוסט הזה.

האם נגיע אל היעד שלנו? חד משמעית לא. אני מתכוון לעצור בחבורות לא אבליות מסדר 12, פרט למקרים הטריוויאליים אחר כך שקל לטפל בהם. למה? ובכן, כפי שנראה, זה פשוט הופך להיות מאוד מסובך וטכני וכדי לקבל את התחושה לא צריך יותר מאשר את מה שאני הולך להראות. למשל, יש כבר לא פחות מאשר 9 חבורות לא אבליות מסדר 16; אני לא הולך להראות איך מוצאים את כולן.

ראשית, בואו נבין מה בעצם יש לנו לעשות וממה אנחנו פטורים. אנחנו כבר יודעים שיש רק חבורה אחת מסדר 1 (\( \mathbb{Z}_{1} \)) ואנחנו גם יודעים שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית (ולכן אבלית, ולכן כבר טופלה). גם את החבורות מסדר 4 כבר מיינו בעבר. אז מה נשאר לנו? חבורות מהסדרים הבאים: 6,8,9,10,12,14,15,16,18,20. עכשיו, אני מניח שזה לא יהיה מפתיע במיוחד שהאופי של המיון של החבורות מסדר \( n \) יהיה מושפע מאוד מהפירוק לגורמים של \( n \). הרי ראינו שבמקרה ה”קיצוני” של הפירוק לגורמים (המספר ראשוני) יש לזה השפעה קריטית על המיון; וגם ראינו איך במקרה של חבורה אבלית הפירוק לגורמים מספר לנו את רוב הסיפור אם לא את כולו, אז גם כאן. המקרה הפשוט ביותר שאינו “סתם” ראשוני הוא זה של חבורה מסדר \( p^{2} \) עבור \( p \) ראשוני - במקרה שלנו זה רק המקרה של 9. בפוסט על משוואת המחלקה הוכחנו כבר בעזרתה שחבורה כזו חייבת להיות אבלית, ולכן 9 פשוט יורד מהפרק.

המקרה של שני ראשוניים

בואו נעבור כעת לחבורות שהפירוק שלהן עדיין פשוט אבל כולל שני ראשוניים: \( n=pq \) כאשר \( p<q \) הם ראשוניים. זה תופס את המקרים של \( 6=2\cdot3 \) ושל \( 10=2\cdot5 \) ושל \( 14=2\cdot7 \) ושל \( 15=3\cdot5 \). כלומר, כמעט חצי מהמקרים שלנו יטופלו אם נמצא שיטה כללית למיון חבורות מסדר \( n=pq \).

הכלי הבסיסי שלנו הוא משפטי סילו. משפט סילו הראשון מבטיח לנו שקיימת תת-חבורה \( P \) מסדר \( p \) ותת-חבורה \( Q \) מסדר \( q \) של \( G \). עכשיו, \( P\cap Q=\left\{ e\right\} \) בהכרח כי הסדר איבר ששייך לשתי תתי-החבורות הללו חייב לחלק את הסדר של שתיהן, כלומר לחלק בו זמנית את הראשוניים \( p,q \), ולכן בהכרח יהיה שווה ל-1 (כאן נכנסת לתמונה הדרישה ש-\( p\ne q \); עבור \( 9=3\cdot3 \) זה לא עובד). אם כן, מספיק אם אראה ש-\( Q \) נורמלית ב-\( G \) כדי שזה יוכיח ש-\( G\cong Q\rtimes P \), וזו התחלה טובה למדי.

בואו ניזכר עכשיו בחלק האחרון של משפטי סילו. נניח ש-\( n=q^{\alpha}m \) כך ש-\( m \) לא מתחלק ב-\( q \) (אצלנו \( m=p \)). בואו נסמן ב-\( n_{q} \) את מספרי תתי-חבורות ה-\( q \)-סילו של \( G \). אז \( n_{q} \) שקול ל-1 מודולו \( q \) ובנוסף לכך הוא מחלק את \( p \). מה זה אומר ש-\( Q \) היא תת-חבורה נורמלית? ש-\( n_{q}=1 \). כעת, מכיוון ש-\( p \) ראשוני, המחלקים היחידים שלו הם 1 ו-\( p \) עצמו. אבל לא ייתכן ש-\( n_{q}=p \) כי \( p<q \) והרי או ש-\( n_{q}=1 \) או ש-\( n_{q}\ge q+1 \). מסקנה: \( n_{q}=1 \) תמיד, כלומר \( Q \) תמיד נורמלית, ולכן \( G\cong Q\rtimes P \).

ומה עם \( P \)? האם \( P \) נורמלית? אם \( n_{p}=1 \), אז כן; אחרת, \( n_{p} \) חייב לחלק את \( q \) ולהיות גדול מ-1 ולכן \( n_{p}=q \). במקרה זה, מכיוון ש-\( n_{p}\equiv1\left(\text{mod }p\right) \), נקבל ש-\( q\equiv1\left(\text{mod }p\right) \), כלומר ש-\( p|q-1 \). דהיינו, בפרט סיימנו עם כל המקרים שבהם \( p \) אינו מחלק את \( q-1 \); במקרים הללו \( n_{p}=1 \), כלומר \( P \) נורמלית. ולכן \( G\cong Q\times P \) כאשר זו מכפלה ישרה רגילה, וקיבלנו חבורה אבלית (ואפילו ציקלית). זה מסיים את המקרה של \( 15=3\cdot5 \) (אין חבורה לא אבלית מסדר 15) אבל לא את יתר השלושה.

במקרה שבו \( p \) מחלק את \( q-1 \) אנחנו רוצים להבין איך \( Q\rtimes P \) נראית. כזכור, כל מכפלה חצי ישרה שכזו נקבעת באמצעות פעולה של \( P \) על \( Q \) שהיא לא “סתם” פעולה אלא כל איבר פועל בתור אוטומורפיזם של \( Q \). דהיינו, אנחנו רוצים לבדוק אילו הומומורפיזמים \( \varphi:P\to\text{Aut}\left(Q\right) \) קיימים; כל אחד כזה יקבע לנו מכפלה חצי ישרה אחרת.

במקרה הנוכחי \( \text{Aut}\left(Q\right) \) היא חבורה פשוטה יחסית. \( Q \) היא חבורה מסדר ראשוני \( q \) ולכן היא ציקלית: \( Q=\left\langle b\right\rangle \). הומומורפיזם כלשהו על \( Q \) נקבע באופן יחיד על ידי האיבר שאליו מעבירים את \( b \). אם אנחנו רוצים לקבל אוטומורפיזם, אנחנו חייבים להעביר את \( b \) ליוצר אחר של \( Q \) (אחרת נאבד את החח”ע). כל איבר ב-\( Q \) הוא יוצר (כי היא מסדר ראשוני) למעט האדיש \( e \). כלומר, יש \( q-1 \) אפשרויות לאן להעביר את \( b \), ומכאן ש-\( \left|\text{Aut}\left(Q\right)\right|=q-1 \). האיברים של \( \text{Aut}\left(Q\right) \) מתאימים לאוטומורפיזמים מהצורה \( b\mapsto b^{k} \) עבור \( 1\le k\le q-1 \) כאשר הרכבת אוטומורפיזמים פועלת כמו כפל החזקות הללו מודולו \( q \). בקיצור, \( \text{Aut}\left(Q\right)\cong\mathbb{Z}_{q}^{*} \) וזו חבורה ציקלית מסדר \( q-1 \).

עכשיו נרצה להבין איך נראים ההומומורפיזמים האפשריים \( \varphi:P\to\text{Aut}\left(Q\right) \).

נשתמש בטענה הכללית הבאה: הסדר של תמונה של איבר על ידי הומומורפיזם חייב לחלק את הסדר המקורי של האיבר (תנסו להוכיח את זה: הרעיון הוא שאם איבר בחזקה כלשהי יוצא היחידה, אז הסדר שלו מחלק את החזקה הזו). כלומר, במקרה שלנו לכל \( a\in P \) שאינו היחידה ולכן הוא מסדר \( p \) חייב להתקיים שהסדר של \( \varphi\left(a\right) \) מחלק את \( p \), ולכן או ש-\( \varphi\left(a\right)=e \) או ש-\( \varphi\left(a\right) \) הוא מסדר \( p \).

זה נותן לנו הסבר אחר למה אם \( p \) לא מחלק את \( q-1 \) אז \( Q\rtimes P \) היא מכפלה ישרה; במקרה הזה כל האיברים של \( P \) חייבים לעבור ל-\( e \) ולכן מקבלים רק \( \varphi \) טריוויאלי. אם \( p \) כן מחלק את \( q-1 \) אז אנחנו יכולים למצוא \( \varphi \) נוספים פרט לטריוויאלי, אבל ארצה לשכנע אתכם בנפנוף ידיים שכולם יתנו את אותה מכפלה חצי ישרה, “משיקולי סימטריה”. מכיוון ש-\( \text{Aut}\left(Q\right) \) ציקלית יש לה רק תת-חבורה יחידה מסדר \( p \), והתמונה של \( P \) תחת כל \( \varphi \) לא טריוויאלי חייבת להיות שווה לתת-החבורה הזו. הומומורפיזם נקבע כך: בחרו יוצר של \( P \) ויוצר של תת-החבורה המתאימה ב-\( \text{Aut}\left(Q\right) \) והעבירו את הראשון אל השני. מכיוון שבחבורות ציקליות כל היוצרים הם סימטריים, נקבל בפועל שכל ההומומורפיזמים ישרו על \( Q\rtimes P \) את אותו המבנה ולכן תהיה לכל היותר רק חבורה אחת מסדר \( pq \) שאיננה אבלית. אפשר להראות באופן כללי שחבורה כזו תמיד קיימת, אבל במקרה שלנו אני לא ממש צריך להתאמץ כי כבר ראינו: המקרים שלנו הן חבורות מסדר 6, 10 ו-14, וכולן מסדר זוגי ולכן קיימות להן חבורות דיהדרליות מתאימות \( D_{6},D_{10},D_{14} \) (את \( D_{6} \) אנחנו מכירים גם בתור \( S_{3} \), ובדרך כלל נעדיף להתייחס אליה ככה). באופן כללי המצב יותר טריקי כי לא חייבים ש-\( p \) יהיה 2 (למשל אם \( p=3 \) ו-\( q=7 \), שזה בדיוק המקרה הראשון שאני לא מגיע אליו).

מי נשארו לנו? 8,12,16,18,20. יש לנו חבורה לא אבלית מכל סדר שכזה: \( D_{8},D_{12},D_{16},D_{18},D_{20} \). מה שנותר להבין הוא אילו עוד חבורות לא אבליות יהיו.

המקרה של חזקה שלישית של ראשוני

המקרה של 8 הוא מעניין במיוחד כי הוא יקפיץ לנו חבורה חדשה שטרם דיברנו עליה בשום צורה. זה כל כך מעניין שגם אם אתם מאבדים אותי לגמרי בחלק הזה אני מציע לכם לקפוץ לחלק הבא כדי לראות את הדבר החדש שקיבלנו. כרגיל, אפשר לחשוב עליו כנובע ממיון כללי יותר, של חבורות מסדר \( p^{3} \). הטריק פה דומה למה שעושים במקרה של \( p^{2} \) - מסתכלים על המרכז. אם \( G \) חבורה מסדר \( p^{3} \) ונסמן את המרכז שלה ב-\( Z\left(G\right) \), אז מסתכלים על \( G/Z\left(G\right) \). בפוסט על משוואת המחלקה הוכחנו שאם \( G/Z\left(G\right) \) היא ציקלית אז \( G \) אבלית, ולכן בפרט \( Z\left(G\right)=G \). כעת, שימו לב לכך שאם \( \left|Z\left(G\right)\right|=p^{2} \) אז \( \left|G/Z\left(G\right)\right|=p \) ולכן היא בהכרח ציקלית - אבל זה מוביל לסתירה כי אז \( \left|Z\left(G\right)\right|=p^{3} \). גם האפשרות \( \left|Z\left(G\right)\right|=1 \) נפסלת כי משוואת המחלקה מראה שהמרכז של חבורת \( p \) הוא לא טריוויאלי. כלומר, האפשרות היחידה היא \( \left|Z\left(G\right)\right|=p \) וכמו כן \( G/Z\left(G\right) \) אינה ציקלית. מכיוון ש-\( \left|G/Z\left(G\right)\right|=p^{2} \) וראינו שחבורה מסדר \( p^{2} \) היא אבלית, מה \( G/Z\left(G\right) \) יכולה להיות? משפט המיון לחבורות אבליות סופיות מראה שהיא או \( \mathbb{Z}_{p^{2}} \) (ציקלית! נפסל!) או \( \mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p} \), שזה המקרה שיעניין אותנו.

עכשיו נשתמש בתעלול הסטנדרטי של לתאר את \( G \) באמצעות חבורת המנה והחבורה שבה מחלקים כדי לקבל את חבורת המנה. מכיוון ש-\( \mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p} \) נוצרת בידי שני איברים ניקח שניים כאלו ואז נייצג אותם באמצעות נציגים מ-\( G \). כלומר, יהיו \( a,b\in G \) כך ש-\( aZ\left(G\right),bZ\left(G\right) \) יוצרים את חבורת המנה \( G/Z\left(G\right) \). כל מה שחסר לנו עכשיו הוא איבר שיוצר את את \( Z\left(G\right) \) (שהיא ציקלית כי היא מסדר \( p \)). מספיק כל איבר לא טריוויאלי שנמצא ב-\( Z\left(G\right) \). אני טוען שאיבר כזה יהיה הקומוטטור \( z=\left[a,b\right]=a^{-1}b^{-1}ab \).

בואו ניקח רגע להבין מה הולך פה. זכרו שבפוסט על קומוטטורים הראיתי ש-\( G^{\prime}=\left[G,G\right] \) - תת החבורה של \( G \) שנוצרת על ידי כל הקומוטטורים - היא תת-החבורה המינימלית שחלוקה בה נותנת מנה אבלית. הוכחנו שם שאם מחלקים את \( G \) בתת-חבורה כלשהי והתוצאה היא אבלית, אז תת-חבורת הקומוטטורים מוכלת בה. במקרה הנוכחי חילקנו את \( G \) ב-\( Z\left(G\right) \) וקיבלנו מנה אבלית, כך ש-\( G^{\prime}\subseteq Z\left(G\right) \). בפרט, \( z=\left[a,b\right]\in Z\left(G\right) \). האתגר הוא להראות ש-\( z\ne e \), ולצורך כך אני אומר את הדבר הבא: אם \( z=e \) אז \( a,b \) מתחלפים בכפל. כמו כן \( a \) מתחלף בכפל עם כל \( Z\left(G\right) \) (זו ההגדרה של \( Z\left(G\right) \) - כל האיברים שמתחלפים עם כל איבר של \( G \) בכפל). מכיוון ש-\( a,b \) בייחד עם \( Z \) יוצרים את כל \( G \) אנחנו מקבלים ש-\( a \) מתחלף בכפל עם כל \( G \) ולכן \( a\in Z\left(G\right) \) בעצמו; אבל אז \( aZ\left(G\right) \) הוא איבר היחידה של חבורת המנה \( G/Z\left(G\right) \) ולא יכול להיות אחד מהיוצרים שלה. המסקנה מכל זה: \( a,b \) לא מתחלפים בכפל, ולכן הקומוטטור \( z=\left[a,b\right] \) אינו טריוויאלי, וקיבלנו ש-\( a,b,z \) ביחד יוצרים את כל \( G \).

השלב הבא והאחרון הוא להפריד למקרים לפי הסדרים של היוצרים. הסדר של \( z \) הוא בהכרח \( p \): הוא יוצר את המרכז \( Z\left(G\right) \) שהוא מגודל \( p \). אבל בנוגע ל-\( a,b \), הסדר של כל אחד מהם עשוי להיות או \( p \) או \( p^{2} \). הסימטריה בין \( a \) ו-\( b \) גורמת לכך שבפועל יהיו שלושה מקרים: או ששניהם מסדר \( p \), או שאחד מהם מסדר \( p \) והשני מסדר \( p^{2} \), או ששניהם מסדר \( p^{2} \). בכל המקרים הללו החבורה נקבעת באופן יחיד, אבל אני אחפף בפרטים המדויקים עבור המקרה הכללי; רק אעיר שבמקרה הראשון, שבו הסדר של \( a,b \) הוא \( p \), מקבלים חבורה שניתן לתאר באמצעות מטריצות - משהו שטרם הראיתי בסדרת הפוסטים הזו. המטריצות הן מהצורה \( \left(\begin{array}{ccc} 1 & a_{12} & a_{13}\\ 0 & 1 & a_{23}\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \) כאשר \( a_{12},a_{13},a_{23}\in\mathbb{Z}_{p} \) והכפל הוא כפל מטריצות רגיל. לא קשה לראות שמטריצות שמתאימות ל-\( a,b,c \) הן \( \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \).

את החבורה הזו אפשר לתאר גם באמצעות יוצרים ויחסים. היחסים הם:

\( \left\langle a,b,z\ |\ a^{p}=b^{p}=z^{p}=e,az=za,bz=zb,\left[a,b\right]=z\right\rangle \)

במקרה \( p=2 \) החבורה הזו הופכת לפשוטה במיוחד. אם \( a^{2}=b^{2}=e \) אז \( a^{-1}=a \) ו-\( b^{-1}=b \) אז \( \left[a,b\right]=\left(ab\right)^{2}\ne e \). כלומר, קיבלנו ש-\( ab \) הוא איבר מסדר 4. זה מעביר אותנו לסיטואציה דומה לזו של המקרה השני, שבו יש לנו איבר אחד מסדר \( p \) והשני מסדר \( p^{2} \). היחסים במקרה הזה הם

\( \left\langle a,b,z\ |\ a^{4}=b^{2}=e,az=za,bz=zb,\left[a,b\right]=z\right\rangle \)

אני לא יודע אם אתם מזהים בשלב הזה, אבל זו החבורה הדיהדרלית \( D_{8} \) שכבר ידענו שאמורה לצוץ מתישהו. ההצגה שלה באמצעות יוצרים ויחסים היא

\( D_{8}=\left\langle r,s\ |\ r^{4}=s^{2}=e,rs=sr^{-1}\right\rangle \)

קל לראות ש-\( a \) מתאים ל-\( r \) ו-\( b \) מתאים ל-\( s \) ואילו \( z \) מתאים ל-\( r^{2} \). זה מטפל בשני המקרים הראשונים ומותיר אותנו עם המקרה שבו \( a,b \) שניהם מסדר \( p^{2} \), כלומר במקרה הנוכחי, שניהם מסדר 4 וקיבלנו את החבורה

\( \left\langle a,b,z\ |\ a^{4}=b^{4}=e,z^{2}=e,az=za,bz=zb,\left[a,b\right]=z\right\rangle \)

החבורה הזו מעניינת במיוחד. בואו נקדיש לה חלק נפרד.

חבורת הקווטרניונים

לטובת מי שאיבדו אותי בחלק הקודם, הנה סיכום קצר: הראינו שיש שתי חבורות לא אבליות מסדר 8. אחת היא החבורה הדיהדרלית \( D_{8} \) שאנחנו כבר מכירים והשני היא חבורה שאנחנו לא מכירים בכלל אבל יודעים שהיא נוצרת על ידי שני איברים \( a,b \) ששניהם מסדר 4, עם התכונה הנוספת שהקומוטטור שלהם הוא מסדר 2 ומתחלף איתם. אני רוצה לעבור להשתמש בסימון הסטנדרטי של איברים עבור החבורה הזו ולכן לאחד מהיוצרים אני אקרא \( i \) וליוצר השני אני אקרא \( j \). לקומוטטור שלהם אני אקרא \( -1 \); מכיוון שהוא מסדר 2 השם הזה נשמע סביר, אם אני מסמן את \( e \) ב-\( 1 \). נשים לב שבגלל שהקומוטטור מתחלף עם האיברים, אנחנו מקבלים \( ij=-ji \) (אם לא היה מתחלף רק היינו מקבלים \( ij=ji\left(-1\right) \)). עכשיו, שימו לב לכך ש-\( i^{2} \) מתחלף עם \( i \) (חזקות של אותו איבר תמיד מתחלפות) אבל גם מתחלף עם \( j \) בגלל שהקומוטטור הוא מסדר 2: \( i^{2}j=iij=-iji=-\left(-i^{2}j\right)=i^{2}j \). אם \( i^{2} \) מתחלף עם \( j \) אז גם הוא במרכז של החבורה, אבל בחלק הקודם ראינו שבאופן כללי בחבורה מסדר \( p^{3} \) המרכז חייב להיות מסדר \( p \), כלומר מכיל רק את היחידה והקומוטטור במקרה הנוכחי. המסקנה: \( i^{2}=-1 \) ובגלל שאותו טיעון עובד גם עבור \( j \) אז \( j^{2}=-1 \).

בואו נעשה סיכום ביניים של האיברים שיש לנו: \( 1,-1,i,-i,j,-j \). חסרים עוד שניים שטרם נתנו להם שם נחמד. מיהם? ובכן, עוד לא דיברנו על \( ij \). בואו ניתן גם לו סימון: \( k=ij \). כעת, מה החזקות של \( k \)? \( k^{2}=ijij=-\left(i^{2}j^{2}\right)=-1 \) ולכן \( k^{3}=-k \) ואילו \( k^{4}=-k^{2}=1 \). במילים אחרות, החזקות של \( k \) מתנהגות כמו החזקות של \( i,j \) ובאופן כללי ה-\( k \) הזה נראה סימטרי אליהם. לא קשה לראות שמתקיים \( jk=i \), כלומר היינו יכולים לקחת את \( j,k \) מלכתחילה בתור יוצרים של החבורה ואז לקבל מהם את \( i \), ובאופן דומה גם \( ki=j \).

אם כן, בואו נכתוב במפורש את כל 8 האיברים שקיבלנו: \( Q_{8}=\left\{ 1,-1,i,-1,j,-j,k,-k\right\} \), כאשר לוח הכפל של החבורה נתון על ידי הכללים הבאים:

1. \( i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1 \)
2. \( ij=k,ji=-k \)
3. \( jk=i,kj=-i \)
4. \( ik=j,ki=-j \)

ועוד הנחות מובלעות ש-\( \left(-1\right) \) מתנהג “כרגיל”.

החבורה הזו מזכירה מאוד את המספרים המרוכבים - שם יש \( i \) שמתנהג בצורה דומה, עם חזקה שהיא מינוס 1 וכאלה. אבל פה יש לנו שלושה איברים שמתנהגים כמו \( i \), ואנחנו מאבדים את הקומוטטיביות. זה לא מקרי: אנחנו משתמשים כאן בסימונים שבהם משתמשים כדי לתאר את הקווטרניונים, שהם הכללה של המספרים המרוכבים שהמציא המתמטיקאי המילטון. הקווטרניונים הם יותר מסתם החבורה הזו - הם כל הצירופים מהצורה \( a+bi+cj+dk \) כאשר \( a,b,c,d\in\mathbb{R} \), עם פעולות חיבור וכפל מתאימות, שמתבססות על פעולות החיבור והכפל הרגילות של ממשיים ועל לוח הכפל של \( i,j,k \) שנתתי למעלה. המקום הנכון לדיון בקווטרניונים הוא כאשר מדברים על חוגים (ולמעשה, על סוג מסויים של חוגים שנקראים אלגבראות) ולכן לא אעשה את זה כרגע. עדיין, היה לי חשוב לציין שמצאנו סוף סוף במהלך המיון שלנו חבורה מפורסמת כלשהי שטרם הזכרתי בפוסטים קודמים.

חבורות מסדר 12

זה המיון האחרון שאני הולך לבצע בפוסט הזה ובכך אסיים את אתגר מיון החבורות שלי. אז תהא \( G \) חבורה מסדר 12. כרגיל, נסתכל על תת-חבורות הסילו שלה: כאן יש חבורת 2-סילו (מסדר 4) \( A \) וחבורת 3-סילו \( B \) (מסדר 3). החיתוך בין שתיהן חייב להיות טריוויאלי (מלגראנז’) ולכן אם לפחות אחת מהן נורמלית נקבל את כל \( G \) כמכפלה שלהן. אם שתיהן נורמליות ב-\( G \) נקבל חבורה אבלית. האם ייתכן ששתיהן לא נורמליות? בואו נסמן את מספר תתי-חבורות ה-\( 2 \)-סילו ב-\( n_{2} \) ואת מספר תתי-חבורות ה-3-סילו ב-\( n_{3} \). אנחנו יודעים ש-\( n_{3} \) שקול ל-1 מודולו 3 ומחלק את סדר החבורה, 12. כלומר, הוא יכול להיות שווה ל-\( 1 \) (ואז סיימנו) או 4. אם יש 4 תתי-חבורות \( 3 \) סילו, בואו נשים לב לכך שהן נחתכות רק ב-\( e \) (כי כל איבר אחר בהן יוצר אותן). בכל חבורה כזו יש 2 איברים מסדר 3, ולכן בסך הכל קיבלנו שיש לנו 8 איברים מסדר 3 ב-\( G \).

עכשיו מגיע תעלול נחמד. אנחנו מפעילים את \( G \) על קבוצת תתי-חבורות ה-\( 3 \)-סילו שלה באמצעות הצמדה. מכיוון שיש יותר מתת-חבורה אחת כזו הצמדה מחליפה ביניהן, ובפרט אין איבר שונה מהיחידה שהצמדה בו פשוט מקבעת אותן. המסקנה היא שקיים הומומורפיזם \( \varphi:G\to S_{4} \) שהוא חח”ע, כלומר מקבלים ממשפט האיזומורפיזם הראשון ש-\( G \) איזומורפית לתת-חבורה מסדר 12 של \( G \). איזו תת-חבורה זו? לא הגדרתי אותה במפורש עד כה בסדרת הפוסטים, אבל תכף נראה שזו תת-חבורה שמכונה \( A_{4} \) וכוללת את כל התמורות ב-\( S_{4} \) שהן זוגיות (את המושג הזה כן הגדרתי בפוסט על תמורות). כדי להיווכח בכך נשים לב לכך שתמורה ב-\( S_{4} \) מסדר 3 חייבת להיות 3-מעגל, וזו תמורה זוגית. אנחנו יודעים שב-\( G \) יש 8 איברים מסדר 3 ולכן בתמונה של \( G \) יש 8 איברים שהם 3-מעגלים. כעת, אם התמונה של \( G \) לא הייתה \( A_{4} \), אז החיתוך של התמונה עם \( A_{4} \) היה תת-חבורה, וכפי שאנחנו רואים הוא היה חייב להיות מסדר לפחות 8. משפט לגראנז’ לא מאפשר את זה אלא אם החיתוך הוא מגודל 12, כלומר אם התמונה של \( G \) אכן שווה ל-\( A_{4} \).

קיבלנו שבמקרה שבו תת-חבורת ה-\( 3 \)-סילו \( B \) אינה נורמלית, אז החבורה איזומורפית ל-\( A_{4} \). נניח כעת ש-\( B \) כן נורמלית ואילו דווקא \( A \) (תת-חבורת ה-\( 2 \) סילו מסדר 4) אינה נורמלית. זה אומר ש-\( G \) היא מכפלה חצי ישרה \( B\rtimes A \) וצריך להבין מה המכפלות האפשריות. כל מכפלה נקבעת באמצעות הומומורפיזם מ-\( A \) אל \( \text{Aut}\left(B\right) \). כבר הסברנו במקרה של שני ראשוניים בהתחלה למה \( \text{Aut} \) של חבורה ציקלית מסדר ראשוני \( p \) היא \( \mathbb{Z}_{p-1} \) ולכן במקרה הנוכחי \( \text{Aut}\left(B\right) \) היא מסדר 2.

כעת נפריד למקרים בהתאם לשאלה מהי \( A \): ייתכן ש-\( A\cong\mathbb{Z}_{4} \) וייתכן ש-\( A\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} \). במקרה הראשון, הומומורפיזם \( \varphi:A\to\text{Aut}\left(B\right) \) נקבע ביחידות על פי ערכו על היוצר של \( A \); אם נרצה שהוא לא יהיה טריוויאלי, הוא יהיה חייב להעביר את היוצר הזה אל היוצר של \( \text{Aut}\left(B\right) \). זה נותן לנו מכפלה חצי ישרה שאין לנו תיאור פופולרי אחר עבורה ולכן לא ארחיב עליה כאן מעבר לכך; מה שחשוב הוא שאנחנו מקבלים בדיוק מכפלה חצי ישרה אחת לא אבלית במקרה הזה.

אם \( A\cong\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} \) אז הומומורפיזם לא טריוויאלי \( \varphi:A\to\text{Aut}\left(B\right) \) יהיה בעל גרעין מגודל 2 (אם יהיה מגודל 4 הוא יהיה טריוויאלי; אם יהיה מגודל 1 נקבל סתירה לכך ש-\( A,\text{Aut}\left(B\right) \) הן מגדלים שונים). כלומר, הוא יהיה אחת משלוש תת-החבורות מסדר 2 של \( A \). שוב אנפנף בידיים ואצהיר שכל תת-החבורות הללו סימטריות ולכן נקבל בתכל’ס רק הומומורפיזם אחד. בדיקה ישירה ולא כל כך מהנה מראה שמקבלים פה בסופו של דבר את \( D_{12} \), שידענו שאמורה לצוץ מתישהו. זה מסיים את המיון - קיבלנו בדיוק 3 חבורות לא אבליות מסדר 12. זה גם מסיים את הפוסט - קיבלנו טעימה של הסיבוך שנלווה כבר למיון של חבורות פשוטות יחסית; בפוסט הבא נקבל עוד משמעויות למילים “חבורות פשוטות” ו”סיבוך שנלווה למיון של חבורות פשוטות”.