משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות (סוג של אפילוג)
אפשר לדבר על חבורות עוד ועוד ועוד ועוד וזה לעולם לא יסתיים. לרוב מפסיקים את הדיבור הבסיסי אחרי שמציגים מספיק דברים בסיסיים שאפשר להשתמש בהם בכל רחבי המתמטיקה, וזה גם מה שאני בוחר לעשות. כדי להצדיק את המקום שבו אני עוצר, אני רוצה להקדיש את פוסט הסיכום והנעילה הזה להמחשה עד כמה אפשר לדבר על חבורות עוד ועוד ועוד. זו גם הזדמנות טובה לדבר על אחד מהפרוייקטים המתמטיים המרכזיים של המאה ה-20.
את הסיפור צריך להתחיל עם מה שהוא סוג של “המשפט היסודי של האריתמטיקה” עבור חבורות סופיות. בואו ניזכר מה המשפט היסודי של האריתמטיקה אומר: כל מספר טבעי \( n \) אפשר לכתוב באופן יחיד בתור מכפלה של מספרים ראשוניים, לאו דווקא שונים: \( n=p_{1}\cdots p_{n} \). ה”יחיד” הזה הוא עד כדי סדר: אני יכול לכתוב \( 60=2\cdot2\cdot3\cdot5 \) ואני גם יכול לכתוב \( 60=3\cdot2\cdot5\cdot2 \) ויהיה ברור לנו שזה בתכל’ס אותו הדבר. עכשיו בואו נעשה משהו קצת פחות שגרתי ונכתוב סדרה של מחלקים של 60 שמתקבלת מכך שאני כופל “על פי הסדר” את הגורמים בפירוק, כשאני מתחיל מ-1. מהפירוק הראשון אני אקבל את הסדרה
\( 1,2,4,12,60 \)
ומהפירוק השני אני אקבל את הסדרה
\( 1,3,6,30,60 \)
שתי הסדרות הללו נראות שונה למדי - פרט לאיבר הראשון והאחרון אין להן בכלל איברים משותפים. עם זאת, הן בעלות התכונה הנחמדה הבאה: כל זוג איברים סמוכים בסדרה מחלקים הראשון את השני (השמאלי את הימני), ואם אנחנו אוספים את כל המנות מהחלוקות הללו, אנחנו נקבל בסופו של דבר בדיוק את הראשוניים שמשתתפים בפירוק לגורמים של \( 60 \) (זה בעצם תהליך “שחזור” של תהליך ה”לכפול את הגורמים בפירוק על פי הסדר”).
אני לא מכיר שם לסדרות כאלו עבור מספרים טבעיים, אבל באנלוג שלהן עבור חבורות הן חשובות מספיק כדי לזכות לשם: סדרות הרכב.
בואו נעבור לדבר על חבורות. מהר מאוד אחרי שהתחלתי לדבר על חבורות, התחלתי לדבר על שני סוגים חשובים של חבורות שאפשר לקבל מתוך חבורה \( G \) כלשהי: את תתי-החבורות שלה ואת חבורות המנה שלה. אם יש לנו תת-חבורה, אפשר לחלק את \( G \) בה ולקבל חבורת מנה; ומנקודת המבט השניה אם יש לנו תמונה הומומורפית כלשהי של \( G \) אפשר אוטומטית לחשוב על התמונה הזו בתור חבורת מנה של \( G \), ולקבל מההומומורפיזם תת-חבורה מסויימת - הגרעין שלו. בשני המקרים מה שמשתתף במשחק הוא לא “סתם” תת-חבורה של \( G \) אלא אך ורק תת-חבורה נורמלית: כדי לחלק את \( G \) בתת-חבורה ולקבל חבורה, צריך לחלק בתת-חבורה נורמלית; מהצד השני, הגרעין של הומומורפיזם מ-\( G \) הוא תמיד נורמלי. משני אלו אנחנו מקבלים סוג של “פירוק לשני גורמים” של \( G \): פירוק של \( G \) לתת-חבורה נורמלית \( N \) ולחבורת מנה \( G/N \). זה מקביל לאופן שבו בהינתן מספר \( n \) אנחנו מפרקים אותו למכפלה \( n=ab \) כלשהי. כשזה קורה במספרים הרבה פעמים אנחנו יכולים להסיק מידע כלשהו על \( n \) מתוך המידע שיש לנו על \( a,b \); וגם בחבורות, הרבה פעמים אנחנו מסיקים משהו מהידע שלנו על \( N,G/N \) כדי לקבל מידע על \( G \) עצמה, וכבר ראינו לזה דוגמאות בפוסטים קודמים.
כמובן, גם את \( N \) ואת \( G/N \) אפשר לפרק הלאה ולהמשיך עם זה עוד ועוד. נשאלת השאלה - מה המקבילה לראשוניים במקרה שלנו? איזו חבורה אי אפשר לפרק ככה לתת-חבורה ולחבורת מנה? התשובה היא: חבורות שאין בהן תתי-חבורות נורמליות לא טריוויאליות. לכל חבורה \( G \) יש לפחות שתי תתי-חבורות נורמליות: \( \left\{ e\right\} ,G \). אבל שתיהן לא מעניינות במיוחד כי חלוקה של \( G \) בהן לא נותנת משהו מעניין. זה כמו שמספר ראשוני מתחלק ב-1 ובעצמו. אם כן, זו המקבילה שלנו לראשוניות. חבורה כזו, שאין בה תתי-חבורות נורמליות לא טריוויאליות, נקראת חבורה פשוטה.
אילו חבורות פשוטות אנחנו מכירים? בינתיים נציין רק את המובן מאליו. אם \( G \) היא חבורה אבלית אז כל תת-חבורה שלה היא נורמלית. לכן החבורות האבליות הפשוטות היחידות הן אלו שאין בהן תת-חבורות לא טריוויאליות בכלל. וזה יכול לקרות רק אם כל איבר שונה מהיחידה שניקח ייצור את כל החבורה. כלומר, רק בחבורות \( \mathbb{Z}_{p} \) עבור \( p \) ראשוני. הנה כי כן הראשוניים נכנסים לנו פנימה באופן לא מפתיע במיוחד. אבל זה רק המקרה האבלי; יש הרבה יותר חבורות פשוטות לא אבליות ונדבר על זה בהמשך.
עכשיו אפשר לתת הגדרות מדויקות. בהינתן חבורה \( G \), סדרת הרכב עבורה היא סדרה של תתי-חבורות \( \left\{ e\right\} =A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq\dots\subseteq A_{k}=G \) כך שלכל \( 0\le i<k \) מתקיים ש-\( A_{i} \) נורמלית ב-\( A_{i+1} \) ו-\( A_{i+1}/A_{i} \) היא חבורה פשוטה. לחבורות המנה \( A_{i+1}/A_{i} \) קוראים גורמי ההרכב של הסדרה. משפט ז'ורדן-הלדר המשפט המרכזי שלנו כאן, שלא אוכיח, מראה שאפשר גם לקרוא להם גורמי ההרכב של \( G \) עצמה: הוא אומר שגורמי ההרכב של כל סדרת הרכב זהים עד כדי סדר ואיזומורפיזם. כלומר, אם \( B_{0},B_{1},\dots,B_{t} \) היא סדרת הרכב אחרת של \( G \) אז \( k=t \) וכמו כן קיימת פרמוטציה \( \pi\in S_{k} \) כך שלכל \( 1\le i\le k \) מתקיים \( A_{i}/A_{i-1}\cong B_{\pi\left(i\right)}/B_{\pi\left(i\right)-1} \). אפשר גם להראות שלכל חבורה סופית קיימת סדרת הרכב. האם קיבלנו אנלוג מושלם למשפט היסודי של האריתמטיקה? ובכן… לא בדיוק.
אתם מבינים, בניגוד למשפט היסודי של האריתמטיקה, בהחלט ייתכן שלשתי חבורות לא איזומורפיות יהיו אותם גורמי הרכב.
בואו נראה דוגמאות פשוטות כדי לקבל תחושה של מה הולך פה. נתחיל מ-\( D_{8} \), החבורה הדיהדרלית עם 8 איברים, שאפשר לתאר עם יוצרים ויחסים על ידי \( \left\langle r,s\ |\ r^{4}=s^{2}=e,rs=sr^{-1}\right\rangle \). בואו נסתכל בסדרת ההרכב הבאה:
\( \left\{ e\right\} \subseteq\left\langle r^{2}\right\rangle \subseteq\left\langle r\right\rangle \subseteq D_{8} \)
הנורמליות של כל תת-חבורה בבאה אחריה ברורה - ראינו כבר בעבר שכל תת-חבורה מאינדקס 2 נורמלית. גורמי ההרכב? שלוש פעמים \( \mathbb{Z}_{2} \) הפשוטה. יופי. בואו נראה סדרת הרכב שונה עבור אותה חבורה:
\( \left\{ e\right\} \subseteq\left\langle s\right\rangle \subseteq\left\langle s,r^{2}\right\rangle \subseteq D_{8} \)
ושוב, גורמי ההרכב הם 3 פעמים \( \mathbb{Z}_{2} \). העניין הוא שזה אפילו לא מפתיע - גורמי ההרכב לא יכולים להיות שום דבר אחר. \( D_{8} \) היא מסדר 8. תתי-החבורות שלה יכולות להיות רק מסדרים 1,2,4. לכן הגדלים של המנות יכולים להיות רק 8,4,2. אבל \( \mathbb{Z}_{8},\mathbb{Z}_{4} \) אינן חבורות פשוטות כי \( 4,8 \) אינם ראשוניים. לכן מראש גורמי ההרכב האפשריים היחידים הם עותקים של \( \mathbb{Z}_{2} \) ומשיקולי גודל חייבים להיות שלושה כאלו: כדי לקבל את \( \mathbb{Z}_{2} \) בתור המנה של \( D_{8} \) ועוד משהו, המשהו צריך להיות מסדר 4; ואז כדי לקבל את \( \mathbb{Z}_{2} \) שוב המשהו הבא חייב להיות מסדר 2. פשוט אין ברירה.
והניתוח הזה הוא בעצם לב העניין, כי לא השתמשנו פה בשום תכונה של \( D_{8} \) פרט לגודל שלה. לכל חבורה מסדר 8 יהיו חייבים להיות אותם גורמי הרכב. למשל, עבור הקווטרניונים \( Q_{8} \) יש לנו סדרת הרכב
\( \left\{ 1\right\} \subseteq\left\langle -1\right\rangle \subseteq\left\langle i\right\rangle \subseteq Q_{8} \)
וגם פה גורמי ההרכב יהיו שלוש פעמים \( \mathbb{Z}_{2} \).
מה שנחמד במשפט היסודי של האריתמטיקה הוא שאם אנחנו יודעים את הפירוק לגורמים של מספר אנחנו גם יודעים “לבנות אותו מחדש” מתוך הפירוק הזה - פשוט מכפילים. כאן זה לא עובד. בהינתן גורמי הרכב יש הרבה דרכים שונות “לבנות מחדש” חבורות שאמנם יתנו את גורמי ההרכב הללו אבל עשויות להיות שונות מאוד זו מזו.
אז אם לסכם, יש לנו שתי בעיות לפתור: <ol>
</ol> אני לא יודע כמעט כלום על 2. אני כן יודע שזו שאלה שנחקרת כבר למעלה ממאה שנים ויש הרבה הצלחות ותוצאות שקשורות אליה, אבל אין לי מושג אפילו מה הסטטוס הנוכחי שלה. למיטב ידיעתי היא טרם נפתרה.
והשאלה הראשונה? היא נפתרה, בהחלט. יש לנו סיווג מלא של כל החבורות הפשוטות הסופיות. רק שהסיווג הזה הוא… אה… לא כל כך פשוט. הסיווג הזה היה אחד מהפרוייקטים המתמטיים הכבירים ביותר במאה ה-20, וה”פתרון” המלא כלל אלפי מאמרים של בערך מאה מתמטיקאים שכוללים בסך הכל עשרות אלפי עמודים. כדי להבהיר כמה זה מסובך אני הולך לתאר את אחת מהתוצאות הרלוונטיות בדרך להוכחה של המשפט, ולנצל את ההזדמנות כדי להזכיר שוב מושג שתיארתי בפוסט קודם - חבורה פתירה. הגדרתי שם חבורה פתירה ככזו שסדרת הנגזרות שלה מגיעה ל-\( \left\{ e\right\} \). את הדבר הזה אפשר לנסח בלשון שקצת יותר תואמת את הפוסט: אם \( G \) היא פתירה אז אפשר למצוא (על ידי גזירה אבל זה לא חשוב איך) סדרה של תת-חבורות \( \left\{ e\right\} =A_{0}\subseteq A_{1}\subseteq\dots\subseteq A_{k}=G \) כך שכל תת-חבורה נורמלית בבאה אחריה והמנות הן אבליות. זו ההגדרה המקובלת יותר לחבורה פתירה. הסדרה הזו לא חייבת להיות סדרת הרכב, כי הגורמים לא חייבים להיות חבורות פשוטות: אבל אפשר להוכיח שאם \( G \) סופית אז סדרה כזו תמיד אפשר להרחיב (מילה מדוייקת יותר היא “לעדן”, מלשון refinement) על ידי הוספת “עוד דברים באמצע” ועדיין לקבל מנות אבליות. זה מוביל אותנו להגדרה השקולה - \( G \) היא פתירה אם כל גורמי ההרכב שלה אבליים. מכיוון שהחבורות הפשוטות האבליות היחידות הן הציקליות מסדר ראשוני, קיבלנו שאם \( G \) סופית אז הגדרה שקולה לכך ש-\( G \) פתירה היא “גורמי ההרכב של \( G \) הם כולם חבורות מסדר ראשוני”. במילים אחרות, חבורה פתירה היא הדבר הכי קרוב שיש לנו לחבורה שמצייתת באופן נחמד ל”משפט היסודי של האריתמטיקה עבור חבורות” שלנו - כל היתר כבר יערבו גורמי הרכב מוזרים. אם תרצו, חבורה פתירה היא חבורה שהיא לאו דווקא אבלית אבל אפשר להרכיב אותה מתוך חבורות אבליות בדרך שונה ומשונה.
והנה כעת משפט נחמד, שנקרא משפט פייט-תומפסון: כל חבורה סופית מסדר אי זוגי היא פתירה (באופן שקול - כל חבורה פשוטה מסדר אי זוגית היא בהכרח \( \mathbb{Z}_{p} \) עבור \( p \) ראשוני, כי לחבורה פשוטה יש גורם הרכב יחיד שהוא היא עצמה, ואם היא פתירה אז הגורם הזה אבלי, וכבר ראינו מה זה אומר להיות חבורה אבלית פשוטה). אינטואיטיבית, המשפט הזה נשמע לי כמו “הדבר הגדול הבא” אחרי המשפט המרהיב של “כל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית”. רק שהמשפט על כל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית היה מסקנה זריזה ממשפט לגראנז’, שהוא משפט חשוב אבל קל להוכחה. את פייט-תומפסון, לעומת זאת, נדרשו כמה מאות עמודים (225) כדי להוכיח לראשונה ולא שמעתי שהמצב ממש השתפר מאז.
דוגמא פשוטה לחבורה לא פתירה היא \( S_{5} \). זאת מכיוון ש-\( A_{5} \), שהיא תת-חבורות כל התמורות הזוגיות שלה, היא פשוטה (זו טענה כבדה בפני עצמה שאני לא מוכיח). כלומר, אפשר לקחת את סדרת ההרכב \( \left\{ e\right\} \subseteq A_{5}\subseteq S_{5} \) שבה המנה \( S_{5}/A_{5}\cong\mathbb{Z}_{2} \) אבל \( A_{5}/\left\{ e\right\} \cong A_{5} \) אינה אבלית. זה מראה לנו שחבורות של תמורות זוגיות עשויות לתת לנו את הדוגמא הראשונה לחבורה פשוטה שאינה אבלית. אכן, לכל \( n\ge5 \), החבורה \( A_{n} \) היא פשוטה ולכן זו עוד קטגוריה של חבורות פשוטות.
וחוץ מאלו, מה עוד יש? ובכן… אני פשוט הולך למלמל פה. יש עוד קטגוריה נוספת של חבורות פשוטות - חבורות מטיפוס לי - אבל אני בכלל לא הולך להציג אף אחת מהן, זה יותר מדי לפוסט הזה. הדבר הנוסף שאני רוצה לומר הוא שבנוסף לכל שלוש הקטגוריות הללו (הציקליות, התמורות הזוגיות והטיפוס לי) יש עוד 26 חבורות ספציפיות שהן פשוטות ולא מתאימות לאף קטגוריה - הן נקראות החבורות הספורדיות. החבורות הללו אולי מעידות יותר מכל על המורכבות של מיון החבורות הפשוטות - כל מיון כללי יצטרך איכשהו להתחשב במוזריות המאוד ספציפיות של החבורות הללו. המפורסמת מבין החבורות הללו היא חבורה מסדר שהוא בערך \( 8\times10^{53} \), שנקראת חבורת המפלצת (או המפלצת של פישר-גרייס אם רוצים להיות ספציפיים). אתם בוודאי שואלים את עצמם בשלב הזה “מה…? איך? איך הגיעו דווקא לזו? למה אין עוד מיליארד כאלו מאותו סדר גודל? מה קורה פה?”. ובכן, אני תוהה לגבי זה בדיוק כמוכם וכנראה שלעולם לא אדע.
בחרתי לשמור את האזכור החטוף הזה של משפט המיון של החבורות הפשוטות עד לסוף סדרת הפוסטים שלי על תורת החבורות על מנת להזכיר לנו שכל סדרת הפוסטים שלי פה בקושי גירדה את קצה הקרחון. קיבלנו פה הצצה ראשונה לעולם של תורת החבורות, אבל חבורות, אפילו סופיות, הן עסק מסובך בצורה מדהימה. מי היה מאמין שכל כך הרבה סיבוך ינבע מפעולה אחת פשוטה שמקיימת רק שלוש תכונות מסכנות.
ועכשיו תחשבו מה יקרה אם נוסיף למשחק הזה עוד פעולה.
הפוסט הזה, וסדרת הפוסטים על תורת החבורות כולה, מוקדשים לפרופ' דוד צילג ז"ל, שהפעם הראשונה שבה שמעתי על משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות הייתה בהרצאה נפלאה שלו.
נהניתם? התעניינתם? אם תרצו, אתם מוזמנים לתת טיפ:
