אז למה 1 אינו מספר ראשוני?

אחת מההגדרות המוכרות ביותר במתמטיקה היא זו של מספר ראשוני: “מספר שמתחלק רק ב-1 ובעצמו”. רק שעם ההגדרה הזו מגיעה לפעמים ההסתייגות ש”בכל זאת, 1 אינו נחשב ראשוני” (למרות שהוא מתחלק רק ב-1 ובעצמו. כן, עצמו זה גם כן 1), ואז כמובן מגיעה התהיה המתבקשת - למה. למה ש-1 לא יהיה ראשוני? האם יש בכך הגיון? מה זו צרות העין הזו?

אז הנה התשובה: כן, יש הגיון כלשהו בכך ש-1 לא נחשב ראשוני, אבל צריך לזכור שמדובר על הגדרה מתמטית, והגדרות מתמטיות הן מטבען שרירותיות. בפוסט הזה אני ארצה להסביר למה לומר ש-1 אינו ראשוני זה קצת פחות שרירותי מאשר לומר שהוא כן ראשוני - והסיבות הן דווקא מעניינות הרבה מעבר לויכוח ההגדרתי הזה.

אני לא יכול להתאפק מלהזכיר את הפעם הראשונה שבה אני נתקלתי בעניין הזה - בספר הנפלא “אני שונא מתמטיקה”, שדווקא בסוגיה הזו של להסביר למה 1 אינו ראשוני עושה עבודה איומה ונוראה (מה גם שלא ברור אילו חומרים משני תודעה צרך מי שתרגם את העמוד שאני שם פה ומלא טעויות וניסוחים מוזרים):

$אני שונא מתמטיקה - ראשוניים$

לענות “הוא פשוט אינו כזה ודי!” זה בדיוק מה שלא צריך לעשות. והאם מישהו מצליח להבין מה הכוונה ב”הוא בכלל לא מספר אלא תואר”? עד היום אין לי מושג, למרות שעוד מעט נראה משהו מאוד דומה לכך אצל מתמטיקאי רציני לגמרי.

על פניו, נראה שהדרך הנכונה לפתור את הויכוח הזה היא פשוט לבדוק מי האיש הראשון שהגדיר את המושג הזה של “מספר ראשוני” ולהבין מה הוא רצה לומר. זו לאו דווקא באמת הדרך הנכונה, כי במתמטיקה משנים הגדרות כל הזמן בהתאם להקשר והשימוש הנוכחיים שלהם. עדיין, זו בהחלט שאלה מסקרנת מאיפה המושג הזה בכלל הגיע לראשונה. למיטב ידיעתי, התיעוד הכתוב המוקדם ביותר של המושג הוא אצל אוקלידס, בספר יסודות. אותו הספר שבו תיאר אוקלידס את הגאומטריה שעד היום נלמדת בבתי הספר, והוא כנראה ספר המתמטיקה החשוב ביותר שנכתב אי פעם. הספר נפתח עם גאומטריה בית ספרית, אבל אחר כך עובר להתעסק גם בתורת המספרים; רק שצריך להבין שהעיסוק של אוקלידס בתורת המספרים די שונה מזה שלנו כיום. אצל אוקלידס עוד לא הייתה קיימת האלגברה - האופן שבו חשבו על מספרים הוא בתור אורכים של קטעים. עדיין, אורך לא נמדד על פי יחידות מידה סטנדרטיות כלשהן כמו “מטר” - התחילו מקטע שרירותי שחשבו עליו בתור “יחידה”, וכל קטע ארוך יותר הורכב מכמה חזרות עליו. זה מתבטא בשתי ההגדרות הראשונות בספר 7 של “יסודות”:

יחידה היא זה אשר בזכותה הדברים נקראים "אחד" (זה תרגום קלוקל שלי את הנוסח האנגלי "A unit is that by virtue of which each of the things that exist is called one."; אני לא יודע לתרגם יוונית ולא מצאתי תרגום מסודר לעברית). אני מודה שאין לי מושג מה ההגדרה הזו אומרת בכלל; באופן כללי אוקלידס אומר דברים מאוד מוזרים כשהוא מגדיר מושגי יסוד.
מספר הוא ריבוי של יחידות.

והגדרה 11 היא של ראשוני:

מספר ראשוני הוא זה אשר נמדד על ידי יחידה בלבד.

את ההגדרה של ראשוני קל להבין - “נמדד” כאן הוא במובן של “מתחלק ב-“, וההגדרה בעצם אומרת “מספר ראשוני הוא מספר שהמחלק היחיד הקטן ממנו הוא 1”. אם אני מגדיר ראשוני בצורה הזו, אני באמת אקבל ש-1 איננו ראשוני (כי עבור 1 לא קיים לו מחלק שקטן ממנו, ובפרט לא יכול להיות שיש בדיוק מחלק אחד שקטן ממנו והוא 1). זה די דומה להגדרה מודרנית של ראשוני, שבאה להותיר את 1 בחוץ - ההגדרה “ראשוני הוא מספר שיש לו בדיוק שני מחלקים”.

אלא מה? כל זה לא באמת רלוונטי לאוקלידס, כי כפי שאפשר לראות משתי ההגדרות הראשונות, אוקלידס לא מחשיב את 1 בתור מספר בכלל! אצל אוקלידס, מספר חייב לכלול ריבוי של יחידות, כלומר אצל אוקלידס המספרים מתחילים מ-2. זה נשמע ממש מוזר במבט ראשון, וכנראה יותר מעניין מכל סיפור ההאם אחד הוא ראשוני או לא. מנקודת מבט מודרנית, ההבדלה הזו בין 1 ובין יתר המספרים נראית מלאכותית ומאולצת, אבל הרי אוקלידס לא היה טיפש; אצלו ההבדלה הזו קצת יותר טבעית.

אוקלידס לא היה לבד - רק במאה ה-16 בערך התחילו לדבר על 1 בתור מספר שווה ערך ליתר. הנה מאמר סקירה עתיר רפרנסים, לסקרנים. השאלה מה בעצם השתנה ראויה לפוסט בפני עצמה, אבל התשובה הקצרה היא שיטת הכתיב העשרונית של מספרים והחישובים הנוחים שהיא איפשרה. בשיטה הזו אין שום סיבה הגיונית לבצע את ההפרדה השרירותית בין 1 לבין שאר המספרים. וזה הותיר את השאלה האם לקרוא למספר ה”חדש” 1 ראשוני או לא פתוחה. התוצאה הייתה שהיו מתמטיקאים שבחרו כך והיו מתמטיקאים שבחרו אחרת. אוילר וגאוס, גדולי המתמטיקאים של המאות ה-18 וה-19, לא הגדירו את 1 כראשוני. אחרים כן הגדירו אותו כך (למשל, “ראשוני הוא כל מספר שאיננו פריק” זו הגדרה שמכלילה את 1 בפנים). מה שצריך להבין הוא שמעולם לא היה קונצנזוס על כך ש-1 הוא ראשוני - זה דומה לשאלה “האם 0 הוא מספר טבעי?” שלא נענית גם בימינו באופן חד משמעי.

כל זה רק מחזק את התחושה שהסיבה ש-1 לא נחשב ראשוני בימינו היא “ככה”. אבל זה לא בדיוק המצב. מה כן גרם לעולם המתמטי לנטוש את 1 הראשוני? אני לא היסטוריון של המתמטיקה ולא קראתי על הנושא יותר מדי לעומק, אז אני יכול רק להציע השערה, שהיא גם ההסבר המקובל שאני מכיר, וההסבר הזה קשור לעלייה של תורת המספרים החל מהמאה ה-19 (וספציפית, החל מגאוס) והלאה.

ההסבר הנפוץ ביותר ששמעתי קשור למה שנקרא המשפט היסודי של האריתמטיקה. המשפט הזה אומר שלכל מספר טבעי קיים פירוק יחיד למכפלה של ראשוניים. בואו נסתכל שניה על 60 בתור דוגמא. אני יכול לכתוב $ 60=2\times30 $ ואני יכול לכתוב $ 60=6\times10 $ ואלו שני פירוקים שונים של 60 למכפלה, אבל בשני הפירוקים הללו יש לפחות מספר אחד שאינו ראשוני. אם אני ארצה לכתוב את 60 בתור מכפלה של ראשוניים, תהיה רק דרך אחת לעשות זאת: $ 60=2\times2\times3\times5 $. אפשר כמובן להתחכם ולומר שהנה עוד דרך לעשות זאת: $ 60=5\times3\times2\times2 $ - בסך הכל הפכנו את סדר האיברים במכפלה - אבל זו הסיבה שהמתמטיקאים אומרים שהמכפלה יחידה עד כדי סדר האיברים (ואפשר לדרוש שרירותית שהסדר יהיה סדר עולה ואז היחידות נובעת מעצמה).

המשפט היסודי נקרא “יסודי” כי הוא באמת יסודי! הרבה מאוד מתורת המספרים מתבססת על דברים שנובעים ממנו. במקור אפשר לראות אותו בצורה מובלעת מאוד כבר אצל אוקלידס, אבל הראשון (למיטב ידיעתי) שניסח אותו בניסוח המודרני שלו היה גאוס, כך שלוחות הזמנים מסתדרים. ולמה שהמשפט הזה יגרום לנו להכריז ש-1 הוא לא ראשוני? כי אם 1 היה ראשוני, היחידות הייתה מתקלקלת: אפשר לכתוב למשל $ 60=1\times2\times2\times3\times5 $ או $ 60=1\times1\times2\times2\times3\times5 $ וכדומה, וזה…

חייבים להודות שזו לא בעיה גדולה במיוחד. הנה ניסוח פורמלי של המשפט, ביקום בדיוני שבו 1 הוא כן ראשוני: לכל מספר טבעי $ n>1 $ קיימת ויחידה סדרה של ראשוניים $ 1<p_{1}\le p_{2}\le\dots\le p_{k} $ כך ש-$ n=p_{1}\times p_{2}\times\dots\times p_{k} $. כלומר, רק היינו צריכים להוסיף איזה “$ 1< $” בהתחלה כדי “לתקן” את המשפט. לא כזה סיפור.

אולי זה עדיין מספיק? הרי המשפט היסודי של האריתמטיקה הוא המשפט החשוב ביותר העוסק בראשוניים - המשפט שתופס את המהות שלהם. אם 1 לא במשחק הזה, למה לקרוא לו ראשוני בכלל? זה מצד אחד נכון, ומצד שני יש בתורת המספרים גם הרבה משפטים שמצריכים אותנו להתייחס פרטנית אל הראשוני 2 כי הוא מתנהג קצת אחרת משאר הראשוניים, אבל אנחנו לא חושבים לגרש אותו החוצה (אגב, בתקופתו של אוקלידס בהחלט היו כאלו שלא קראו ל-2 ראשוני).

לדעתי האישית, הסיבה לגירוש של 1 החוצה נובעת ממה שקורה כשמסתכלים על תורת המספרים בראייה יותר רחבה מאשר רק על המספרים הטבעיים - וזה בדיוק מה שגאוס עשה. בדיוק בפוסט הקודם תיארתי את מה שנקרא השלמים הגאוסיים: אלו מספרים מהצורה $ a+bi $ כאשר $ a,b $ שלמים ואילו $ i $ הוא המספר המדומה שמקיים $ i^{2}=-1 $. מכיוון שהיא מורכבת מהשלמים $ \mathbb{Z} $ בתוספת $ i $, מסמנים אותה ב-$ \mathbb{Z}\left[i\right] $. השלמים הגאוסיים נחקרו בידי גאוס כדי להוכיח הכללה של אחד מהמשפטים החשובים בתורת המספרים האלמנטרית שנקרא משפט ההדדיות הריבועית וכתבתי עליו פעם כאן. מבלי להיכנס לשאלה מה אומרת ההכללה, רק אגיד שבעוד שמשפט ההדדיות הריבועית עוסק בשאלה מתי מספרים פותרים משוואה מודולרית ממעלה שנייה, בהכללה של גאוס דובר על חזקה רביעית. עוד נקודה מעניינת היא שהמשפט של גאוס לא מדבר על מספרים מרוכבים - הסיבה שגאוס הכניס לתמונה את $ i $ לא הייתה שהתחשק לו לדבר על מרוכבים, אלא שהמרוכבים הועילו לו להוכיח תוצאות על מספרים רגילים. זה מסוג הדברים שמתפספס למי ששומע על מרוכבים לשתי דקות בבית הספר.

מה שמרתק בשלמים הגאוסיים הוא כמה קבוצת המספרים הזו דומה לשלמים ה”רגילים”. בשלמים הרגילים יש מושג של חלוקה עם שארית, וגם בשלמים הגאוסיים יש. בשלמים הרגילים יש אלגוריתם אוקלידי למציאת מחלק משתף מקסימלי, וגם בשלמים הגאוסיים יש. בשלמים הרגילים יש את המשפט היסודי של האריתמטיקה, וגם בשלמים הגאוסיים יש, עבור הגדרה משודרגת ל”מהו ראשוני”. כך למשל 7 הוא מספר ראשוני גם בשלמים הגאוסיים, אבל 5 אינו ראשוני כי $ 5=\left(1+2i\right)\left(1-2i\right) $, אז הנה מצאנו ל-5 שני מחלקים שהם שונים מ-1. לעומת זאת, ה-$ 1-2i $ וה-$ 1+2i $ שמופיעים כאן הם כן ראשוניים בתוך השלמים הגאוסיים, במובן זה שאי אפשר לפרק אותם למכפלה קטנה יותר.

העניין הוא שבשלמים הגאוסיים פתאום צצים לנו איברים נוספים שמתנהגים “כמו 1”. ספציפית, $ i $ הוא כזה. אמרתי ש-7 הוא ראשוני? יופי, אבל אפשר גם לכתוב $ 7=i\times i\times i\times i\times7 $. למה זה לא סותר את הפירוק היחיד לגורמים? כי לכתוב $ i^{4} $ זה בעצם לכתוב 1 בתחפושת. לאיבר כזה כמו $ i $, שאפשר לכפול אותו במשהו (במקרה שלנו, $ i^{3} $) ופתאום לקבל 1 קוראים הפיך. המשפט היסודי של האריתמטיקה, בניסוח היותר מדויק שלו, אומר שהפירוק לגורמים ראשוניים של מספר הוא יחיד עד כדי כפל בהפיך.

לכאורה, זה טררם גדול לעשות בהתחשב בעובדה שאצל השלמים הגאוסיים יש רק ארבעה הפיכים: $ 1,-1,i,-i $. העניין הוא שהשלמים הגאוסיים הם רק תחילת הסיפור. יש עוד המון, המון, המון קבוצות מספרים ש”דומות לשלמים” והן בעלות חשיבות במתמטיקה - זה מה שקראתי לו בפוסט הקודם “חוגי שלמים”. הנה דוגמא אחרת, מעניינת במיוחד לטעמי: הקבוצה $ \mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right] $ של כל המספרים מהצורה $ a+b\sqrt{2} $ כאשר $ a,b $ שלמים (קצת יותר קל לעכל את הקבוצה הזו מאשר את השלמים הגאוסיים אם לא אוהבים מספרים מרוכבים). לא קשה לראות שבקבוצה הזו, $ 1+\sqrt{2} $ הוא הפיך: נכפול אותו ב-$ -\left(1-\sqrt{2}\right) $ ונקבל $ -\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)=-\left(1-2\right)=1 $. מה שיפה פה הוא שאפשר להוכיח שכל החזקות של $ 1+\sqrt{2} $ יהיו הפיכים בקבוצה. כלומר, כל מספר מהצורה $ \left(1+\sqrt{2}\right)^{n} $ יהיה הפיך בקבוצה. לדוגמא, עבור $ n=2 $ נקבל את $ 3+2\sqrt{2} $ שהוא הפיך כי $ \left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)=9-8=1 $. עבור $ n=3 $ נקבל את $ 7+5\sqrt{2} $ שהוא הפיך כי $ -\left(7+5\sqrt{2}\right)\left(7-5\sqrt{2}\right)=-\left(49-50\right)=1 $ וכן הלאה. בצורה הזו אנחנו מקבלים אינסוף הפיכים, כך שבהחלט יש חוגי שלמים שבהם “הפיך” הוא לא קבוצה של כמה איברים יוצאי דופן שגם קל בבירור לראות שהם כאלו, אלא זו יכולה להיות קבוצה מסובכת למדי. עבור $ \mathbb{Z}\left[\sqrt{2}\right] $ ההפיכים קשורים לפתרונות של מה שנקרא משוואת פל: משוואה מהצורה $ x^{2}-2y^{2}=1 $ (אם $ a+b\sqrt{2} $ הוא הפיך אז $ x=a,y=b $ הוא פתרון למשוואת פל או למשוואה $ x^{2}-2y^{2}=-1 $).

בחוגי שלמים כלליים גם המושג של “ראשוני” מתחיל להיות מטושטש יותר. אחת מהתכונות המהותיות של ראשוניים, שאוקלידס מוכיח, היא שאם ראשוני מחלק מכפלה של שני מספרים אז הוא מחלק אחד מהם. זו תכונה שנשמעת שונה לגמרי מתכונת ה”אין פירוק” שאיתה הגדרנו ראשוני, אבל במספרים השלמים היא שקולה לה. מצד שני, בחוגי שלמים מסובכים יותר יש לנו את המושג של “אי פריק”, שהוא מספר שאי אפשר לכתוב כמכפלה של מספרים שאף אחד מהם אינו הפיך, ויש לנו את המושג של “ראשוני” שפירושו “אם הוא מחלק מכפלה הוא מחלק את אחד המוכפלים”. ראשוניות תמיד גוררת אי-פריקות, אבל ההפך כבר לא בהכרח נכון בחוגי שלמים מסובכים, שבהם וריאנטים על המשפט היסודי של האריתמטיקה לא מתקיימים (דוגמא קלאסית היא $ \mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right] $ שבו ל-6 יש שני פירוקים שונים לאי-פריקים: $ 6=2\times3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\times\left(1-\sqrt{-5}\right) $).

כאשר רואים את התמונה הגדולה הזו - שבעולם הרחב של תורת המספרים צריך להבדיל בין איברים שהם ראשוניים, איברים שהם אי פריקים ואיברים שהם הפיכים וקבוצת ההפיכים יכולה להיות מאוד מסובכת, כבר לא נראה הגיוני לקבוע שרירותית לגמרי שדווקא במספרים השלמים נוציא את 1 מקבוצת ההפיכים ונכניס אותו לקבוצת הראשונייים כי ככה. קבוצת ההפיכים היא קבוצה חשובה ומועילה ומעניינת, ו-1 הוא הנציג החשוב ביותר שלה: למה ש-1 לא יהיה הפיך? מה זו צרות העין הזו? למה לרצות לדחוף אותו בכוח לתפקיד שהוא פשוט לא אמור למלא?

נהניתם? התעניינתם? אם תרצו, אתם מוזמנים לתת טיפ: