חוגי שברים

הפוסט הקודם שלי על חוגים הציג בסופו “שיטה” ליצירת שדות (חוגים קומוטטיביים שבהם כל איבר שונה מאפס הוא הפיך) על ידי לקיחת חוג קומוטטיבי וחלוקה שלו באידאל מקסימלי. כאשר עושים את התעלול הזה עבור החוג \( \mathbb{Z} \), למשל, מקבלים את כל השדות מהצורה \( \mathbb{Z}_{p} \) של המספרים מ-0 עד \( p-1 \) עם חיבור וכפל מודולו \( p \), עבור ראשוני \( p \). השדות הללו הם הבסיס לכל השדות הסופיים (נדבר על זה בהמשך) והם מאוד מעניינים בפני עצמם, אבל קשה לומר שהם השדה הראשון שעולה לי לראש כשאני מדבר על השלמים, \( \mathbb{Z} \). יש שדה הרבה יותר פשוט שמערב את \( \mathbb{Z} \) שמוכר לנו עוד מבית הספר היסודי - השברים. המספרים הרציונליים. \( \mathbb{Q} \). בטרמינולוגיה שלנו, \( \mathbb{Z}_{p} \) הם חוגי מנה של \( \mathbb{Z} \) או, באופן שקול, תמונות הומומורפיות של \( \mathbb{Z} \), ולעומת זאת \( \mathbb{Q} \) ממלא תפקיד אחד לגמרי - הוא מהווה הרחבה של \( \mathbb{Z} \), במובן זה ש-\( \mathbb{Z} \) הוא תת-חוג של \( \mathbb{Q} \).

אז בפוסט הזה אני אעסוק בשאלה הבאה: נניח שיש לנו חוג קומוטטיבי \( R \) (אני לא אדבר על חוגים לא קומוטטיביים הפעם), ולשם שינוי אני לא מניח אפילו שיש ב-\( R \) איבר יחידה. האם ומתי קיים חוג \( S \) כך ש-\( R \) הוא תת-חוג של \( S \) וכל איבר שונה מאפס ב-\( R \) הוא הפיך ב-\( S \)? השאלה הזו היא רק נקודת המוצא שלנו - אנחנו הולכים לעשות משהו קצת יותר כללי מזה בפוסט הזה.

נתחיל מהמקרה הקלאסי שנותן השראה לכולם - האופן שבו בונים את \( \mathbb{Q} \) מתוך \( \mathbb{Z} \). מה זה בסך הכל מספר רציונלי? אנחנו אוהבים לדבר עליו בתור משהו מהצורה \( \frac{a}{b} \) כאשר \( a,b \) שלמים ו-\( b\ne0 \). זה אמנם נכון, אבל צריך לשים לב לכך ש-\( \frac{a}{b} \) זה יותר מאשר “סתם זוג” של מספרים שלמים. את המספר הרציונלי “חצי” אנחנו יכולים לכתוב גם בתור \( \frac{1}{2} \) וגם בתור \( \frac{2}{4} \), למשל, אז הזוג \( \left(1,2\right) \) והזוג \( \left(2,4\right) \) הם לא שונים אחד מהשני אם אנחנו חושבים עליהם כמייצגים מספרים רציונליים: הם בדיוק אותו המספר.

דרך אחת להתמודד עם הבעיה הזו היא לבחור איזו הצגה “קנונית”. למשל, לומר ש-\( \frac{a}{b} \) הוא שבר מצומצם, במובן זה שאין ל-\( a,b \) מחלק משותף מקסימלי, ובנוסף גם לדרוש ש-\( b \) יהיה חיובי. שימו לב למושגים שאנחנו משתמשים בהם פה: “מחלק משותף מקסימלי”, “חיובי”. אלו מושגים שרלוונטיים ל-\( \mathbb{Z} \) אבל לאו דווקא לחוג כללי \( R \). כמובן, יש להם הכללות גם לחוגים כלליים יותר מ-\( \mathbb{Z} \), אבל לא לחוג קומוטטיבי כללי \( R \). לכן אני מוותר על הדרך הזו להתמודדות עם הבעיה ועובר לדרך היותר נכונה מבחינה מתמטית: יחס שקילות. בעזרת יחס שקילות אנחנו לוקחים איברים שונים זה ומזה ו”מדביקים” אותם יחד. זה מה שקרה גם בחוגי מנה, וזה גם מה שיקרה כאן, עם ההבדל שכאן אנחנו לא בונים חוג מנה כלשהו אלא מייצרים קבוצה של זוגות, שהיא לכשעצמה לא חוג, ואז לוקחים את קבוצת המנה שלה עבור יחס שקילות מסויים ששונה מיחסי השקילות שאיתם בונים חוגי מנה.

כשמדובר על שברים רגילים, מתי שני שברים מייצגים את אותו דבר? אם \( \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \) אז מחוקי החשבון הרגילים שלנו נקבל \( ad=bc \). המשוואה הזו היא מועילה, כי אפשר לנסח אותה בלשון כללית של חוגים - היא כוללת רק כפל ושוויון של איברים. אז \( \mathbb{Q} \) מוגדר כך: לוקחים את אוסף הזוגות \( \mathcal{F}=\left\{ \left(a,b\right)\ |\ a,b\in\mathbb{Z},b\ne0\right\} \), מגדירים עליו את יחס השקילות \( ad=bc\iff\left(a,b\right)\sim\left(c,d\right) \), ואז מגדירים \( \mathbb{Q}=\mathcal{F}/\sim \).

ההגדרה הזו נותנת לנו קבוצה של איברים; זה עדיין לא חוג כי אין לנו פעולות חיבור וכפל. בשביל להגדיר אותן, בואו ניזכר שוב במה שאנחנו מכירים מבית הספר לגבי חיבור וכפל של שברים:

• \( \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \)
• \( \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \)

זה טוב, כי אלו גם כן הגדרות שמשתמשות רק במונחים הבסיסיים של חוג ולכן אפשר יהיה להכליל אותן. נגדיר אם כן על \( \mathbb{Q} \) “כללי חשבון” באמצעות נציגים למחלקות השקילות:

• \( \left[\left(a,b\right)\right]+\left[\left(c,d\right)\right]=\left[\left(ad+bc,bd\right)\right] \)
• \( \left[\left(a,b\right)\right]\cdot\left[\left(c,d\right)\right]=\left[\left(ac,bd\right)\right] \)

הגדרות כאלו דורשות בדיקה מעייפת שהן אכן “מוגדרות היטב” - כלומר, לא תלויות בבחירה של הנציג למחלקת השקילות. בואו בכל זאת נעשה את זה במפורש, כי אם לא עכשיו אימתי. אז אני אניח ש-\( \left(a_{1},b_{1}\right)\sim\left(a_{2},b_{2}\right) \) ו-\( \left(c_{1},d_{1}\right)\sim\left(c_{2},d_{2}\right) \) ואוכיח ש-\( \left[\left(a_{1},b_{1}\right)\right]+\left[\left(c_{1},d_{1}\right)\right]=\left[\left(a_{2},b_{2}\right)\right]+\left[\left(c_{2},d_{2}\right)\right] \).

מה שאני רוצה להראות הוא שמתקיים \( \left(a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1},b_{1}d_{1}\right)\sim\left(a_{2}d_{2}+b_{2}c_{2},b_{2}d_{2}\right) \), כלומר אני רוצה להראות ש:

• \( \left(a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1}\right)b_{2}d_{2}=\left(a_{2}d_{2}+b_{2}c_{2}\right)b_{1}d_{1} \)

לשם כך אני אשתמש בכך שאני יודע ש-

• \( a_{1}b_{2}=a_{2}b_{1} \)
• \( c_{1}d_{2}=c_{2}d_{1} \)

ולכן:

\( \left(a_{1}d_{1}+b_{1}c_{1}\right)b_{2}d_{2}=\left(a_{1}b_{2}\right)d_{1}d_{2}+\left(c_{1}d_{2}\right)b_{1}b_{2} \)

\( =\left(a_{2}b_{1}\right)d_{1}d_{2}+\left(c_{2}d_{1}\right)b_{1}b_{2}=\left(a_{2}d_{2}\right)b_{1}d_{1}+\left(b_{2}c_{2}\right)b_{1}d_{1} \)

\( =\left(a_{2}d_{2}+b_{2}c_{2}\right)b_{1}d_{1} \)

שזה בדיוק מה שרצינו להראות.

רואים? לא היה כזה נורא! בואו נעשה את זה גם לכפל! אני רוצה להראות ש

• \( \left(a_{1}c_{1}\right)\left(b_{2}d_{2}\right)=\left(a_{2}c_{2}\right)\left(b_{1}d_{1}\right) \)

וזה לא דורש יותר מאשר פתיחת סוגריים והחלפת סדר המוכפלים:

\( \left(a_{1}c_{1}\right)\left(b_{2}d_{2}\right)=\left(a_{1}b_{2}\right)\left(c_{1}d_{2}\right)=\left(a_{2}b_{1}\right)\left(c_{2}d_{1}\right)=\left(a_{2}c_{2}\right)\left(b_{1}d_{1}\right) \)

אני מקווה שבשלב הזה גם ברור למה אנחנו מדברים רק על חוגים קומוטטיביים; בחוגים לא קומוטטיביים אפשר לשכוח מכך שנקבל פה יחס שקילות עם פעולות חשבון מוגדרות היטב.

צריך עדיין להשתכנע שהבניה הזו לא רק מוגדרת היטב אלא גם נותנת לנו חוג, וכזה שבו לכל איבר של \( \mathbb{Z} \) ששונה מאפס קיים הופכי; אבל בואו כבר נדבר על זה כחלק מהבניה הכללית יותר. הבניה הכללית יותר הולכת כך: ניקח חוג \( R \) (כאמור - קומוטטיבי, לא נדרוש יותר מזה). אני רוצה להראות שקיים חוג \( S \) ש-\( R \) הוא תת-חוג שלו שבו יש הופכיים - אבל לאו דווקא עבור כל איבר שונה מאפס ב-\( R \) אלא עבור תת-קבוצה \( D\subseteq R \) שרירותית ככל הניתן. השלב הראשון הוא להבין מה \( D \) חייבת לקיים כדי שה-\( S \) הזה יהיה קיים בפועל. ובכן, מן הסתם \( D\ne\emptyset \) כי אם \( D \) ריקה מה אנחנו בכלל עושים פה. כמו כן די ברור שאסור ל-\( D \) להכיל את 0 או מחלקי אפס כלשהם, כי אם \( a\in R \) הוא מחלק אפס או אפס זה אומר שקיים \( 0\ne b\in R \) כך ש-\( ab=0 \). עכשיו, נניח שב-\( S \) יש ל-\( a \) הופכי, כלומר \( a^{-1}a=1 \), אז \( b=\left(a^{-1}a\right)b=a^{-1}\left(ab\right)=0 \), וזו סתירה. זו המהות של איברים שהם מחלקי אפס; הם תמיד, תמיד, תמיד לא יהיו הפיכים כל עוד אנחנו שומרים על המבנה של החוג המקורי ולא מצמצמים אותו או מחלקים אותו במשהו.

תכונה קצת פחות מובנת מאליה שנדרשת מ-\( D \) היא שהיא תהיה סגורה לכפל, כלומר אם \( a,b\in D \) אז \( ab\in D \). למה זה הכרחי? ובכן, בואו נציץ לרגע שוב בחוקי החיבור והכפל של השברים שאנחנו רוצים לבנות:

• \( \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \)
• \( \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \)

הרעיון יהיה שאברי \( D \) הם בדיוק מה שיוכל להיות במכנה של השברים הללו, ואנחנו רואים שכדי להגדיר את פעולות החיבור והכפל אנחנו צריכים להבטיח שאם \( b,d\in D \) הם איברים שיכולים להופיע במכנה, אז גם \( bd \) צריך להיות איבר שיכול להופיע במכנה, ומכאן הדרישה הזו. מרגע ש-\( D \) מקיימת את התכונות הללו, כל מה שעשינו עד עכשיו עובר חלק: נגדיר על \( \mathcal{F}\triangleq\left\{ \left(a,b\right)\ |\ a\in R,b\in D\right\} \) את יחס השקילות \( ad=bc\iff\left(a,b\right)\sim\left(c,d\right) \) ונגדיר את חוג השברים המתאים בתור \( S\triangleq\mathcal{F}/\sim \) ועל זה נגדיר את פעולות החיבור והכפל שלעיל. ההוכחה שכבר ראינו מראה שפעולות החיבור והכפל מוגדרות היטב. צורת הכתיב של \( \left(a,b\right) \) היא כמובן מסורבלת; מעכשיו והלאה אכתוב פשוט \( \frac{a}{b} \) כפי שאנחנו רגילים לעשות.

מה נשאר לעשות? ובכן, ראשית כל צריך להוכיח את כל מה שלאף ספר לימוד אין כוח להוכיח - שעם פעולות החיבור והכפל הללו אנחנו מקבלים חוג קומוטטיבי. זה אומר שצריך לבדוק ש-\( S \) היא חבורה אבלית ביחס לחיבור, ושהכפל הוא קומוטטיבי ואסוציאטיבי ושמתקיימת דיסטריביוטיביות… זה תרגיל לא מעניין, ואני לא אעשה את זה בפוסט (כמובן, כולנו תוהים בסתר ליבנו האם מישהו אי פעם בדק את הדברים הללו או שזו התרמית הגדולה בתולדות המתמטיקה).

מה כן מעניין להוכיח? ראשית שב-\( S \) יש איבר יחידה - מה שהיה לאו דווקא נכון עבור \( R \), כזכור - ושכל איבר של \( D \) הוא הפיך. זה קל להפתיע. מכיוון ש-\( D\ne\emptyset \) אז ניקח \( d\in D \) כלשהו ואז נסמן \( 1=\frac{d}{d} \). על פי חוקי הכפל שלנו, \( \frac{a}{b}\cdot1=\frac{ad}{bd} \) ומתקיים \( \frac{a}{b}=\frac{ad}{bd} \) כי \( \left(a,b\right)\sim\left(ad,bd\right) \) (הרי \( abd=bad \)). אז יופי, יש לנו איבר יחידה.

השלב הבא הוא להיווכח בכך ש-\( R \) הוא תת-חוג של \( S \). כלומר, אני רוצה להציג לכם הומורפיזם חח"ע מ-\( R \) לתוך \( S \), ואז \( R \) יהיה איזומורפי (על פי משפט האיזומורפיזם הראשון) לתמונה של ההומומורפיזם הזה. גם זה קל: \( \varphi\left(a\right)=\frac{ad}{d} \) כש-\( d\in D \) הוא ידידינו מהשלב הקודם. כמובן, מתבקש לתהות למה אני מסתבך כל כך ולא פשוט מגדיר \( \varphi\left(a\right)=\frac{a}{1} \) כמו שעושים עם \( \mathbb{Z} \); כזכור, התשובה היא שאני לא מניח ש-\( 1\in D \) כי אין לי צורך בכך, למרות הסרבול הקל הנוסף שהמחסור של 1 גורר.

קל לבדוק ש-\( \varphi \) הוא הומומורפיזם, אבל למה הוא חח”ע? ובכן, בואו נבחן את \( \ker\varphi \). אם \( \varphi\left(a\right)=0 \) זה אומר ש-\( \frac{ad}{d}=\frac{0}{e} \) עבור \( e\in D \) כלשהו. אז \( ade=d\cdot0=0 \), מה שבפרט מוכיח ש-\( d \) הוא מחלק אפס (או אפס), בסתירה לכך שאין כאלו ב-\( D \). אם היינו מוותרים על כך שב-\( D \) לא יהיו מחלקי אפס, זה המקום המדויק בהוכחה שהיה נשבר. אני מדגיש את זה כי לפעמים זה בדיוק מה שעושים - בונים “חוג שברים” עבור \( D \) שכן מכילה מחלקי אפס, תוך המחיר ש-\( R \) כבר לא יהיה תת-חוג של ה-\( S \) שמקבלים. לפעמים הבניה הכללית יותר הזו נקראת לוקליזציה (זה מונח טעון; יש לו עוד שימושים קרובים אך לא זהים). ולא ארחיב עליה יותר מדי עכשיו - השימושים שלה מתקדמים מדי בשבילנו כרגע.

עכשיו בואו ניקח איבר \( d\in D \) כלשהו, לאו דווקא ה-\( d \) מקודם. אנחנו חושבים עליו בתור איבר של \( S \), כשהאיבר בפועל הוא \( \frac{de}{e} \) או כל נציג אחר של מחלקת השקילות הזו. אנחנו רוצים להשתכנע שהאיבר הזה הפיך ב-\( S \); ההופכי כמובן יהיה \( \frac{e}{de} \), שאסמן פשוט \( d^{-1} \). כעת, אם ניקח איבר כללי של \( S \), \( \frac{a}{b} \), אז \( b\in D \) ומתקיים \( \frac{a}{b}=\frac{e}{be}\cdot\frac{ae}{e} \), כלומר כתבתי את האיבר הכללי של \( S \) בתור מכפלה מהצורה \( b^{-1}a \) - אפשר לחשוב על כל איבר של \( S \) בתור “איבר של \( R \) כפול הופכי של איבר מ-\( D \)”. זו הסיבה שבנייה של חוג שברים (וגם הבניה של לוקליזציה שהזכרתי) מסומנת לרוב ב-\( D^{-1}R \).

בואו נראה עוד כמה דוגמאות לעניין הזה. ראשית, פולינומים: לכל תחום שלמות \( R \), חוג הפולינומים עם מקדמים מ-\( R \) במשתנה יחיד \( R\left[x\right] \) הוא בעצמו תחום שלמות, ולכן אפשר לבחור \( D=R\left[x\right]\backslash\left\{ 0\right\} \) וחוג השברים שמתקבל יהיה שדה - שדה הפונקציות הרציונליות מעל \( R \). אברי השדה הזה הן ביטויים מהצורה \( \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} \) כאשר \( g\left(x\right)\ne0 \) (למשל \( \frac{x^{2}+3x+1}{1-x} \) זו פונקציה רציונלית).

עוד שאלה מעניינת היא מה קורה אם ניקח את \( R \) להיות חוג ללא יחידה שמוכל בחוג עם יחידה - נאמר \( R=2\mathbb{Z} \). במקרה הזה נקבל שחוג השברים המתאים כולל את כל האיברים מהצורה \( \frac{a}{2b} \) עבור \( a,b\in\mathbb{Z} \) ו-\( b\ne0 \). די ברור שהחוג הזה כולל את כל הרציונליים: הרציונלי \( \frac{x}{y} \) מיוצג פה על ידי \( \frac{2x}{2y} \). כלומר, חוג השברים של \( 2\mathbb{Z} \) זהה לזה של \( \mathbb{Z} \), ואיבר היחידה של \( \mathbb{Z} \) “צץ מעצמו” במהלך הבניה.

ועכשיו הנה דוגמא כללית מעניינת: נניח ש-\( I \) הוא אידאל ראשוני של החוג \( R \). כלומר, בנוסף לכך שהוא אידאל, הוא גם מקיים שאם \( ab\in I \) עבור \( a,b\in R \) כלשהם אז \( a\in I \) או \( b\in I \). נגדיר כעת את המשלים שלו: \( D=R\backslash I \). המשלים הזה חייב להיות סגור לכפל; אם \( a,b\in D \) אבל \( ab\notin D \) אז \( ab\in I \) ולכן בלי הגבלת הכלליות \( a\in I \) בסתירה לכך ש-\( a\in D \). אם כן, \( D \) היא סגורה לכפל והיא בוודאי לא כוללת את 0. נניח שאין בה מחלקי אפס (כאמור, זה לא הכרחי, בבניה הכללית יותר), אז \( D^{-1}R \) יהיה חוג שמרחיב את \( R \). החוק הזה נקרא הלוקליזציה של \( R \) סביב הראשוני \( I \). כדי להבין את האינטואיציה בואו נראה דוגמא קונקרטית: ניקח את \( R=\mathbb{Z} \) ואת \( I=7\mathbb{Z} \) - זה האידאל שמייצג את הראשוני 7, וקל לראות שזה אכן אידאל ראשוני. אז מה יהיה \( S=D^{-1}R \) במקרה הזה? זה יהיה החוק \( \left\{ \frac{a}{b}\ |\ b\notin7\mathbb{Z}\right\} \), או במילים אחרות - חוג השברים \( \frac{a}{b} \) שבהם 7 לא מחלק את המכנה. למשל, \( \frac{3}{14} \) לא יהיה איבר שם, אבל \( \frac{2}{5} \) כן.

זה חוג מעניין. הוא לא כל \( \mathbb{Q} \) ולכן הוא לא שדה - אין ל-\( 14 \) הופכי, למשל. אם הוא לא שדה, אז יש בו אידאלים לא טריוויאליים - מי הם? אם אידאל מכיל איבר הפיך אז הוא טריוויאלי, ולכן צריך להסתכל על האיברים הלא הפיכים - אלו בדיוק האיברים שמתחלקים ב-7 (כי אם \( a \) לא מתחלק ב-7 אז \( \frac{1}{a} \) יהיה שייך ל-\( S \)). כלומר, האידאל \( 7\mathbb{Z} \) ש”סביבו” ביצענו את הלוקליזציה הופך להיות האידאל שכולל בדיוק את כל הלא הפיכים, ולכן הוא האידאל המקסימלי היחיד שנשאר בחוג, וכל שאר האידאלים הלא טריוויאליים בחוג יהיו מוכלים בו (למשל, האידאל שנוצר על ידי 49 ובאופן כללי כל אידאל שנוצר על ידי חזקה של 7). שימו לב מה קרה פה: בשלמים אנחנו רגילים לזהות את הראשוניים עם האידאל המקסימלי שהם יוצרים, והנה פה “ניטרלנו” את כל הראשוניים למעט את 7. לרוב נהוג לסמן את החוג הזה ב-\( \mathbb{Z}_{\left(7\right)} \) (כדי שלא להתבלבל עם \( \mathbb{Z}_{7} \)) וזה כמובן עובד לכל ראשוני \( p \) ומניב חוג \( \mathbb{Z}_{\left(p\right)} \), אבל זה נכון גם לחוגים כלליים יותר. הבניה הזו כל כך חשובה שלפעמים כשאומרים “לוקליזציה” מתכוונים במובלע ספציפית ללוקליזציה סביב ראשוני מסויים. כמובן, בפוסט הזה לא ארמוז בכלל על השימושים שלה (זה מצריך גלישה לאלגברה מתקדמת מדי) אבל היא כבר מעניינת לכשעצמה בגלל שהיא חשפה אותנו לחוגים חדשים, ה-\( \mathbb{Z}_{\left(p\right)} \)-ים, שלא דיברנו עליהם קודם.

הייתי מסיים כאן את הפוסט, אבל בעצם עוד לא סיימתי את המשפט על קיום חוג השברים, כי טרם התייחסתי לנקודה מציקה שהציקה לי עוד יותר עכשיו כשכתבתי את הפוסט, למרות שאני יודע מה התשובה לה - האם חוג השברים שהצגנו הוא הדרך “הנכונה” היחידה לבנות חוג שברים? שימו לב לתהליך המחשבתי שעברנו - אמרנו “אוקיי, אנחנו יודעים איך בונים את הרציונליים, אז בואו נחקה את הבניה הזו”. בשום שלב לא עצרנו לשאול האם אנחנו חייבים לחקות את הבניה הזו, או שמא אפשר להציג בניה שונה לגמרי, שגם כן תניב חוג \( S \) שמרחיב את \( R \) ובו לכל איבר של \( D \) יש הופכי, אבל \( S \) הזה יהיה שונה לגמרי מחוג השברים שבנינו. ובכן, התשובה היא שלילית במובן הבא: נניח ש-\( Q \) הוא חוג השברים של \( R \) שנבנה באופן שתיארנו פה, ונניח ש-\( S \) הוא חוג כלשהו שמרחיב את \( R \) כך שלכל איבר של \( D \) יש הופכי ב-\( S \). אז נובע מכך ש-\( Q \) עצמו הוא תת-חוג של \( S \) שמכיל את \( R \). במילים אחרות, המבנה הספציפי של \( Q \) הוא מובנה אוטומטית בכל הרחבה של \( R \) שכוללת הופכיים של \( D \). בפרט גם נקבל ש-\( Q \) הוא החוג הכי קטן שמרחיב את \( R \) ובעל התכונה הזו.

הניסוח הפורמלי של מה שכתבתי כרגע צריך להיות זהיר קצת יותר, כי לומר ש-\( R \) או \( Q \) הם תתי-חוגים של \( S \) זה לא לגמרי מדויק. כבר ראינו קודם שבבניה שהצגנו, אפילו \( R \) הוא לא באמת תת-חוג של \( S \); הוא רק איזומורפי לתת-חוג של \( S \) (מבחינת אלגבראיסטים ההבדל הזה לא כזה חשוב). אז פורמלית הטענה היא זו: אם \( \varphi:R\to S \) הוא הומומורפיזם חח”ע כלשהו כך שלכל \( d\in D \) מתקיים ש-\( \varphi\left(d\right) \) הפיך ב-\( S \), אז קיים הומומורפיזם חח”ע \( \Phi:Q\to S \) כך שלכל \( a\in R \) מתקיים \( \Phi\left(a\right)=\varphi\left(a\right) \) (שימו לב ש-\( \Phi\left(a\right) \) זה בעצמו לא כתיב מדויק כל כך; במקום \( a \) צריך לכתוב \( \frac{ad}{d} \) או משהו דומה).

נניח אם כן שיש לנו את \( \varphi \) הנ”ל; איך נבנה ממנו את \( \Phi \)? אין פה חוכמה גדולה. איבר כללי של \( Q \) הוא מהצורה \( \frac{a}{b} \) כאשר \( b\in D \), אז נגדיר \( \Phi\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{\varphi\left(a\right)}{\varphi\left(b\right)} \), מה שהוא חוקי לגמרי כי הנחנו ש-\( \varphi\left(b\right) \) הפיך ב-\( S \). לא קשה לבדוק שזה אכן מניב לנו הומומורפיזם חח”ע, וזה מסיים את הבניה.

לסיום אפשר לחזור לדוגמא של \( \mathbb{Z} \) ו-\( \mathbb{Q} \) שממנה התחלנו. מה שראינו עכשיו הוא ש-\( \mathbb{Q} \) הוא “הדרך הנכונה” לקבל שדה מתוך \( \mathbb{Z} \) על ידי הרחבה שלו; למעשה, \( \mathbb{Q} \) הוא השדה הקטן ביותר שמכיל את השלמים. זה הופך את \( \mathbb{Q} \) לאובייקט הבסיסי ביותר במה שנקרא תורת השדות (עבור מה שנקרא “שדות ממציין 0”; השדה \( \mathbb{Z}_{p} \) הוא אובייקט בסיסי בפני עצמו עבור מה שנקרא “שדות ממציין \( p \)”). לתורת השדות נגיע בהמשך; כרגע יש לנו עדיין תכונות מעניינות של \( \mathbb{Z} \) שישתלם לנו להכליל.