חבורות פתירות

הפוסט הזה בא להשלים כמה פינות קטנות שחסרות לי בתורת החבורות על מנת לסגור את הקשר שגלואה יצר בין חבורות ובין פתרונות של משוואות פולינומיות. אני רוצה לעשות פה כמה דברים שקשורים למושג של חבורה פתירה:

1. להסביר מה זה בכלל (כי מי זוכר).
2. להוכיח את האפיון ההוא שמשתמש בחבורות ציקליות ובו השתמשתי בפוסט הקודם שהתעסק בתורת גלואה.
3. להוכיח שחבורת מנה של חבורה פתירה היא פתירה (גם בזה השתמשתי בפוסט הקודם).
4. להוכיח ש-\( S_{n} \) (חבורת התמורות על \( n \) איברים) היא לא פתירה עבור \( n\ge5 \) (זה הדבר הגדול הבא שאזדקק לו בהמשך הדרך).

פתירות של כל מני דברים

בואו נתחיל עם ההגדרה שאני אוהב, למרות שהיא זו שפחות רלוונטית לענייננו, כי אני מרגיש שיותר קל לעכל אותה במבט ראשון: אם \( a,b \) הם שני איברים בחבורה, אז הקומוטטור שלהם מוגדר בתור \( \left[a,b\right]\triangleq a^{-1}b^{-1}ab \). אם \( a,b \) מתחלפים בכפל אז \( \left[a,b\right]=e \) - היחידה; לכן באופן עקרוני אפשר לחשוב על הקומוטטור בתור מדד של “עד כמה \( a,b \) לא מתחלפים בכפל”. עכשיו, אם \( H,K\subseteq G \) הן שתי תת-חבורות כלשהן, אז אפשר להגדיר את הקומוטטור שלהן באופן הבא: \( \left[H,K\right]\triangleq\left\{ \left[a,b\right]\ |\ a\in H,b\in K\right\} \). בעזרת ההגדרה הזו אפשר להגדיר את תת-החבורה הנגזרת של חבורה \( G \), באופן הבא: \( G^{\prime}=\left[G,G\right] \). הרעיון מאחורי תת-החבורה הזו היא שהיא תמיד נורמלית ב-\( G \), ואם מחלקים בה את \( G \) מקבלים חבורה אבלית - המנה האבלית הגדולה ביותר של \( G \).

למה? ובכן, יהיו \( a,b\in G \) כלשהם, אז נרצה להראות שהם מתחלפים ב-\( G/G^{\prime} \). כלומר, צריך להראות \( abG^{\prime}=baG^{\prime} \), כלומר צריך להראות ש-\( a^{-1}b^{-1}ab\in G^{\prime} \) אבל היי, זו בדיוק ההגדרה של \( G^{\prime} \). הקטע של “הגדולה ביותר” נובע מכך שאם \( H \) תת-חבורה נורמלית ו-\( G/H \) אבלית אז לכל \( a,b\in G \) מתקיים ש-\( abH=baH \), כלומר \( a^{-1}b^{-1}ab\in H \) ולכן \( G^{\prime}\subseteq H \), מה שאומר ש-\( G/G^{\prime}\supseteq G/H \). כמובן, אפשר לחשוב על זה גם הפוך - תת-החבורה הנגזרת של \( G \) היא החבורה הקטנה ביותר שנדרשת כדי לקבל מנה אבלית.

אם אפשר לגזור חבורה פעם אחת, אפשר לעשות את זה שוב - להגדיר \( G^{\prime\prime}=\left[G^{\prime},G^{\prime}\right] \) וכן הלאה. ואם עושים את זה עוד ועוד, עדיף סימון קצת אחר: אני מסמן \( G^{0}\triangleq G \) ומכאן ואילך, \( G^{n+1}\triangleq\left[G^{n},G^{n}\right] \). עכשיו הגענו להגדרה: \( G \) היא חבורה פתירה אם קיים \( n\ge0 \) כך ש-\( G^{n}=\left\{ e\right\} \).

אם \( G \) פתירה, המשמעות היא שקיימת סדרה של תתי-חבורות, \( G^{0}\supseteq G^{1}\supseteq G^{2}\supseteq\dots\supseteq G^{n} \) כך ש-\( G^{0}=G \) ו-\( G^{n}=\left\{ e\right\} \) ו-\( G^{i+1}=\left[G^{i},G^{i}\right] \). העובדה ש-\( G^{i+1} \) היא הקומוטטור של \( G^{i} \) פירושה ש-\( G^{i}/G^{i+1} \) היא אבלית, כך שהוכחנו את המשפט הבא: אם \( G \) חבורה פתירה אז קיימת סדרה \( \left\{ e\right\} =G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq\dots\subseteq G_{n}=G \) כך ש-\( G_{i} \) נורמלית ב-\( G_{i+1} \) ו-\( G_{i+1}/G_{i} \) אבלית לכל \( 0\le i<n \) (שימו לב להיפוך הסדר של האינדקסים, עכשיו הסדרה עולה ולא יורדת). ההגדרה הזו היא ההגדרה הנפוצה יותר לחבורה פתירה.

כמובן, כדי לראות ששתי ההגדרות שקולות צריך גם להוכיח את הכיוון השני: שאם קיימת סדרה \( \left\{ e\right\} =G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq\dots\subseteq G_{n}=G \) כזו עם התנאי על האבליות, אז קיים \( k \) כך ש-\( G^{k}=\left\{ e\right\} \). קל למדי להוכיח את זה אם זוכרים שחבורה נגזרת היא החבורה הקטנה ביותר שנדרשת כדי לקבל מנה אבלית: אפשר להוכיח באינדוקציה ש-\( G^{i}\subseteq G_{n-i} \) ולכן בפרט \( G^{n}\subseteq\left\{ e\right\} \), אבל ייתכן שהסדרה תסתיים אפילו קודם לכך.

אני אזדקק בעיקר להגדרה השניה, עם המנות האבליות, אבל ההגדרה עם תת-החבורה הנגזרת מועילה כדי להוכיח בזריזות את אחת מהטענות שאני צריך להוכיח: שאם \( G \) פתירה ו-\( N\subseteq G \) היא תת-חבורה נורמלית שלה, אז \( G/N \) גם פתירה. ליתר דיוק, אני אוכיח שאם \( \varphi:G\to H \) הומומורפיזם ו-\( G \) פתירה, אז \( \varphi\left(G\right) \) פתירה (מה שמסיים מכיוון ש-\( G/N \) היא בדיוק התמונה של ההומומורפיזם \( \varphi\left(a\right)=a+N \) על \( G \)).

ההוכחה מאוד טבעית ופשוטה: \( \varphi\left(a^{-1}b^{-1}ab\right)=\varphi\left(a\right)^{-1}\varphi\left(b\right)^{-1}\varphi\left(a\right)\varphi\left(b\right) \) על פי התכונות הבסיסיות של הומומורפיזם, כלומר \( \varphi\left(\left[a,b\right]\right)=\left[\varphi\left(a\right),\varphi\left(b\right)\right] \), ולכן \( \varphi\left(\left[H,K\right]\right)=\left[\varphi\left(H\right),\varphi\left(K\right)\right] \), ובפרט \( \varphi\left(G^{i}\right)=\varphi\left(G\right)^{i} \). כאשר \( G^{i}=\left\{ e\right\} \) אז נקבל \( \varphi\left(G\right)^{i}=\varphi\left(G^{i}\right)=\varphi\left(\left\{ e\right\} \right)=\left\{ e\right\} \) וסיימנו.

אותו תעלול גם מוכיח טענה אחרת שתהיה לי שימושית בהמשך - שאם \( H\subseteq G \) היא תת-חבורה של \( G \) פתירה, אז גם \( H \) פתירה. הרעיון הוא אותו רעיון - מוכיחים באינדוקציה ש-\( H^{i}\subseteq G^{i} \) ולכן ברור שאם \( G^{n}=\left\{ e\right\} \) גם \( H^{n}=\left\{ e\right\} \).

אלו היו משפטים פשוטים; עיקר האקשן שלנו בפוסט יהיה עם עניין המנות הציקליות. כדי להבין מה הולך פה, בואו ניזכר בנושא שדיברתי עליו בעבר - סדרות הרכב. הרעיון בסדרות הרכב הוא לתת משהו דומה למשפט היסודי של האריתמטיקה - דרך “לפרק” חבורה לחלקים כך שהפירוק הזה הוא יחיד. רק מה, ה”יחידות” הייתה קצת יותר מסובכת מאשר במשפט היסודי של האריתמטיקה. לא אכנס כאן לכל הפרטים, אבל אזכיר שסדרת הרכב של חבורה \( G \) היא סדרה

\( \left\{ e\right\} =A_{0}\subset A_{1}\subset\dots\subset A_{k}=G \)

של תתי-חבורות כך ש-\( A_{i} \) נורמלית ב-\( A_{i+1} \) ו-\( A_{i+1}/A_{i} \) היא חבורה פשוטה. מהי חבורה פשוטה? זו חבורה \( G \) שאין לה תתי-חבורות נורמליות לא טריוויאליות, כלומר תתי-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן \( G \) ו-\( \left\{ e\right\} \). הסיווג הכללי של חבורות פשוטות היה אחד מהפרוייקטים המתמטיים האדירים ביותר בכל הזמנים; אבל למרבה המזל, הסיווג של חבורות אבליות פשוטות הוא קל במיוחד: מכיוון שכל תת-חבורה של חבורה אבלית היא נורמלית, הסיכוי היחיד של חבורה אבלית להיות פשוטה הוא שלא יהיו לה תתי-חבורות לא טריוויאליות. בפרט, זה אומר שכל איבר שונה מ-\( e \) בחבורה חייב להיות בחזקת סדר החבורה (אחרת הוא ייצור תת-חבורה לא טריוויאלית) ומכאן נובע שהחבורה ציקלית; ורק לחבורות ציקליות מסדר ראשוני אין תתי-חבורות לא טריוויאליות. בקיצור, החבורות האבליות הפשוטות היחידות הן \( \mathbb{Z}_{p} \) עבור \( p \) ראשוני.

עכשיו בואו ניקח חבורה \( G \) שהיא פתירה וסופית. אני ארצה להראות שיש לה סדרה \( \left\{ e\right\} =G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq\dots\subseteq G_{n}=G \) של תת-חבורות כך ש-\( G_{i} \) נורמלית ב-\( G_{i+1} \) ו-\( G_{i+1}/G_{i} \) ציקלית. זה במובן מסויים “הדבר הכי רחוק” מהסדרה של תתי-החבורות הנגזרות; אינטואיטיבית מנה ציקלית היא המנה הפשוטה ביותר האפשרית, בעוד שעם הסדרה הנגזרת קיבלנו את המנות “הכי מסובכות” שהיה אפשר כל עוד נשמרה התכונה של האבליות. בהתאם לכך, החבורות בסדרה הנגזרת היו “קטנות ככל הניתן” בעוד שבסדרה הנוכחית אנחנו דווקא ניתן להן להיות “גדולות ככל הניתן”. כל המרכאות פה הכרחיות כי אלו נפנופי ידיים למטרות אינטואיציה; תכף נראה מה המשמעות האמיתית של האמירות הללו פה.

מכת האינטואיציה האחרונה היא המשפט היסודי של האריתמטיקה שוב. אני יכול לפרק את \( 60 \) למכפלה בצורה הבאה: \( 60=20\cdot3 \). העניין הוא ש”לא פירקתי עד הסוף” - חלק מהגורמים אינם ראשוניים. לכן אני יכול לפרק שוב, ולקבל \( 60=2\cdot10\cdot3 \) והופס - הפירוק התארך. בסופו של דבר אני אקבל את \( 60=2\cdot5\cdot2\cdot3 \) שהוא הפירוק הכי ארוך ועם הגורמים הכי פשוטים. במובן מסויים יש לי מזל שאני בכלל מסוגל לפרק “עד הסוף” - אם אתם זוכרים, כדי להוכיח שיש באופן כללי פירוק לגורמים בתחום ראשי נזקקתי לאקסיומת הבחירה כדי להוכיח שאין איבר שאפשר פשוט לפרק עוד ועוד עד אינסוף. במספרים הטבעיים הסיטואציה קצת יותר פשוטה מהבחינה הזו בזכות הגודל של המספר - מספר שגודלו סופי לא יכול להיות מכפלה של אינסוף ראשוניים.

זה בדיוק מה שיש גם אצלנו. הסופיות של החבורה \( G \) מבטיחה שיש חסם פשוט על האורך של סדרה \( \left\{ e\right\} =G_{0}\subset G_{1}\subset\dots\subset G_{n}=G \) שבה אני מקפיד שכל תת-החבורות יהיו שונות: מכיוון שכל תת-חבורה מוסיפה לקודמתה לפחות איבר אחד, מספרן הכולל לא יכול לעלות על הגודל של \( G \). כאן באה הסופיות של \( G \) לידי ביטוי.

עכשיו, מכיוון ש-\( G \) פתירה, יש לה סדרה אחת לפחות \( \left\{ e\right\} =G_{0}\subset G_{1}\subset\dots\subset G_{n}=G \) שבה \( G_{i+1}/G_{i} \) היא חבורה אבלית לכל \( 0\le i<n \). אז בואו ניקח את הסדרה הארוכה ביותר מבין כל הסדרות הללו; אני טוען שהיא חייבת להיות סדרת הרכב. כלומר, שהמנות הן חבורות פשוטות. אבליות ופשוטות. כלומר ציקליות. כלומר סיימתי.

ואיך אני אוכיח שכל המנות הן פשוטות? פשוט! אני אניח שיש מנה שאינה פשוטה, ואראה איך אני יכול להגדיל את הסדרה, בסתירה לכך שלקחתי את זו מהאורך המקסימלי. זה בדיוק מה שקורה עם המשפט היסודי של האריתמטיקה: אם יש לי גורם שאינו ראשוני, אני יכול להגדיל את המכפלה על ידי פירוק של הגורם הלא ראשוני הזה לשני גורמים שמרכיבים אותו איכשהו.

בואו ניקח שתי תתי-חבורות סמוכות בסדרה, נקרא להן \( G,H \), כך ש-\( G/H \) אינה פשוטה. אם היא לא פשוטה, יש בה תת-חבורה נורמלית לא טריוויאלית שאסמן \( N^{\prime} \). עכשיו, אני יודע ש-\( N^{\prime} \) מתאימה לאיזו שהיא תת-חבורה \( N\subseteq G \) שמקיימת \( H\subseteq N \) ומוגדרת באופן הבא: \( N=\left\{ a\in G\ |\ aH\in N^{\prime}\right\} \) (הראיתי את זה בבלוג כשדיברתי על משפטי האיזומורפיזם של חבורות). קל לראות ש-\( N \) נורמלית ב-\( G \): אם ניקח \( g\in G \) ו-\( a\in N \) אז \( aH\in N^{\prime} \) וניתן להשתמש בנורמליות של \( N^{\prime} \) כדי להסיק

\( \left(g^{-1}ag\right)H=g^{-1}H\left(aH\right)\left(gH\right)\in N^{\prime} \)

כלומר, \( g^{-1}ag\in N \) ולכן \( N \) סגורה להצמדה והיא נורמלית ב-\( G \). מכיוון ש-\( H \) נורמלית ב-\( G \), היא בוודאי גם נורמלית ב-\( N \) (היא סגורה להצמדה על ידי כל איבר של \( G \) ולכן בוודאי שגם אם נוריד חלק מהאיברים הללו עדיין תהיה סגירות להצמדה על ידי הנותרים). כמו כן מכיוון ש-\( N \) לא הייתה טריוויאלית אז \( H\ne N \) וגם \( G\ne N \). כלומר, אפשר להחליף את \( H\subset G \) בסדרה ב-\( H\subset N\subset G \) - וזאת בתנאי ש-\( G/N \) וגם \( N/H \) שתיהן אבליות.

המקרה של \( N/H \) הוא פשוט: \( N/H\subseteq G/H \), ואנחנו כבר יודעים ש-\( G/H \) אבלית, וכל תת-חבורה של חבורה אבלית היא אבלית. המקרה של \( G/N \) יותר מעניין ובשבילו אני שולף את משפט האיזומורפיזם השלישי. המשפט אומר שבסיטואציה \( H\subseteq N\subseteq G \) יש לנו את האיזומורפיזם \( G/N\cong\left(G/H\right)/\left(N/H\right) \) - מעין “כלל הצמצום” לחבורות מנה. כעת, \( G/H \) היא אבלית ולכן גם כל חבורת מנה שלה היא אבלית, ו-\( G/N \) איזומורפית לחבורת מנה שכזו, מה שמסיים את ההוכחה.

אי-הפתירות של \( S_{n} \)

סיימנו עם התכונות של חבורות פתירות שעניינו אותנו, ונשאר לנו עוד דבר אחד, הגביע הקדוש: להוכיח ש-\( S_{n} \) איננה חבורה פתירה עבור \( n\ge5 \). מה זו \( S_{n} \)? זו חבורת התמורות על \( n \) איברים, ואני אניח מכאן ועד סוף הפוסט שאתם מכירים אותה היטב, לפחות ברמה שאליה הגעתי בפוסט שלי בנושא. אבל למען האמת, \( S_{n} \) לא תהיה החבורה שנתמקד בה אלא תת-חבורה שלה, \( A_{n} \) - חבורת כל התמורות הזוגיות ב-\( S_{n} \), כלומר כל התמורות שהן מכפלה של מספר זוגי של חילופים. אם \( S_{n} \) פתירה אז כל תת-חבורה שלה היא פתירה ובפרט \( A_{n} \) אמורה להיות פתירה; אנחנו נראה ש-\( A_{n} \) אינה פתירה עבור \( n\ge5 \). ליתר דיוק, נראה משהו חזק קצת יותר: ש-\( A_{n} \) היא חבורה פשוטה עבור \( n\ge5 \). למה זה גורר ש-\( A_{n} \) היא לא פתירה? כי אם היא פשוטה, הסדרה היחידה של תת-חבורות שנורמליות אחת בשניה שאפשר לבנות מתוך \( A_{n} \) היא \( \left\{ e\right\} \subset A_{n} \) - אין שום דבר “באמצע”. מכיוון ש-\( A_{n}/\left\{ e\right\} \cong A_{n} \) הרי שהמנה לא תהיה אבלית אם \( A_{n} \) איננה אבלית, וכבר עבור \( n\ge4 \) קל לראות שהיא איננה אבלית, למשל כי

\( \left(1\ 2\ 3\right)\left(1\ 3\ 4\right)=\left(3\ 4\ 2\right) \)

\( \left(1\ 3\ 4\right)\left(1\ 2\ 3\right)=\left(1\ 2\ 4\right) \)

ומצאנו שני איברים ב-\( A_{n} \) שאינם מתחלפים בכפל. אם כן, העובדה שכל חבורה פשוטה פתירה היא אבלית מסיימת את הסיפור, בהינתן שנוכיח ש-\( A_{n} \) פשוטה.

לפני שנעשה את זה, כי זו הוכחה טכנית למדי, בואו ננסה להבין למה \( S_{n} \) כן פתירה עבור \( n\le4 \). המקרים \( n=1,2 \) לא מעניינים: \( S_{1}\cong\mathbb{Z}_{1} \) ו-\( S_{2}\cong\mathbb{Z}_{2} \) ואלו חבורות אבליות ולכן פתירות. החל מ-\( n\ge3 \) מקבלים ש-\( S_{n} \) לא אבלית וזה כבר מעניין.

גם פה אפשר להיעזר ב-\( A_{n} \): זו תת-חבורה מאינדקס 2 של \( S_{n} \) (יש בה בדיוק חצי מאיברי \( S_{n} \)) ותת-חבורה מאינדקס 2 היא תמיד נורמלית (הקוסטים של \( H \) ב-\( G \) יהיו שניים: \( H,aH \) עבור \( a\notin H \); כעת קל להשתכנע ש-\( aH=Ha \) פשוט כי אם \( Ha=H \) אז נובע \( a\in H \); עכשיו נשתמש באפיון ה”קוסט שמאלי הוא קוסט ימני” של תת-חבורה נורמלית).

מכיוון ש-\( A_{n} \) תמיד נורמלית ב-\( S_{n} \) היא מועמדת טובה להתחיל סדרה שמוכיחה ש-\( S_{n} \) פתירה. המנה \( S_{n}/A_{n}\cong\mathbb{Z}_{2} \) היא בוודאי אבלית, ולכן השאלה שאנחנו נשארים איתה היא האם אפשר להמשיך את הסדרה בתוך \( A_{n} \).

במקרה \( n=3 \) מתקיים \( \left|A_{3}\right|=3 \) ולכן בהכרח \( A_{3}\cong\mathbb{Z}_{3} \) והיא אבלית וסיימנו. המקרה המעניין באמת היחיד הוא \( n=4 \) שבו \( \left|A_{4}\right|=12 \). כאן ברור שנסיים אם נמצא תת-חבורה נורמלית מסדר 4 ב-\( A_{4} \), כי אז המנה של שתיהן תהיה מסדר 3 (ולכן \( \mathbb{Z}_{3} \)), וחבורה מסדר 4 היא תמיד אבלית (או \( \mathbb{Z}_{4} \) או \( \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2} \)). איך בונים תת-חבורה נורמלית של תמורות? אנחנו יודעים שהצמדה של תמורה \( \sigma \) על ידי תמורה אחרת משאירה על כנו את מבנה המעגלים של \( \sigma \) (כלומר, המספר והגודל של מעגלים בייצוג של \( \sigma \) כמכפלת מעגלים זרים) ולכן אם ניקח את כל התמורות עם אותו מבנה מעגלי מסויים, ונתפלל ממש חזק שכפל של תמורות בעלות המבנה הזה מותיר את המבנה הזה על כנו, נקבל תת-חבורה נורמלית - ולא סתם נורמלית ב-\( A_{4} \) אלא אפילו נורמלית ב-\( S_{4} \). למרבה המזל, זה בדיוק מה שקורה עם מבנה מעגלי של \( 2.2 \), כלומר שני מעגלים מאורך 2 כל אחד: החבורה \( V_{4}\triangleq\left\{ \text{id},\left(1\ 2\right)\left(3\ 4\right),\left(1\ 3\right)\left(2\ 4\right),\left(1\ 4\right)\left(2\ 3\right)\right\} \) היא תת-חבורה נורמלית של \( A_{4} \), מה שמסיים את ההוכחה גם במקרה הזה.

נשארנו עם האתגר הטכני העיקרי שלנו - להוכיח ש-\( A_{n} \) פשוטה לכל \( n\ge5 \). ההוכחה היא שילוב של שני רעיונות פשוטים:

• \( A_{n} \) נוצרת על ידי כל ה-\( 3 \)-מעגלים ב-\( S_{n} \) (כלומר, כל התמורות מהצורה \( \left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right) \)).
• אם \( \left\{ e\right\} \ne N\subseteq A_{n} \) תת-חבורה נורמלית אז \( N \) כוללת 3-מעגל.

שני אלו מסיימים את ההוכחה, שכן אם \( N \) כוללת 3-מעגל אז על ידי הצמדות נקבל שהיא כוללת את כל ה-3 מעגלים, ולכן היא מכילה את \( A_{n} \) ולכן שווה לה.

האם הצלחתי לעבוד עליכם? השורה למעלה לא פשוטה כמו שזה נשמע. לא מספיק לומר ש”על ידי הצמדות” נקבל את כל ה-3-מעגלים; אנחנו יודעים רק ש-\( N \) נורמלית ב-\( A_{n} \), לא שהיא נורמלית ב-\( S_{n} \). ההצמדות חייבות להיות עם איבר מ-\( A_{n} \). למרבה המזל, קל לעשות את זה אם \( n\ge5 \). נניח שאנחנו רוצים להעביר את \( \left(1\ 2\ 3\right) \) למעגל \( \left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right) \). אז נגדיר את התמורה הבאה:

\( \sigma=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & x & y \end{array}\cdots\right) \)

כאשר \( x,y \) איברים שרירותיים לחלוטין ששונים מ-\( a_{1},a_{2},a_{3} \). אז אנחנו יודעים איך הצמדה נראית (תיארתי את זה בפוסט שלי על תמורות):

\( \sigma\left(1\ 2\ 3\right)\sigma^{-1}=\left(\sigma\left(1\right)\ \sigma\left(2\right)\ \sigma\left(3\right)\right)=\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right) \)

הבעיה היא שייתכן ש-\( \sigma \) איננה זוגית. אבל אם היא איננה זוגית, הרי ש-\( \left(x\ y\right)\cdot\sigma \) כן זוגית כי כפלנו אותה בחילוף; והתמורה הזו היא בעלת אותה השפעה בדיוק על \( \left(1\ 2\ 3\right) \), ולכן סיימנו.

להוכיח ש-\( A_{n} \) נוצרת על ידי 3-מעגלים זה קל, אם כי אין פה רעיון יפה במיוחד. אם \( \sigma=A_{n} \) אז אפשר לכתוב אותה בתור מכפלה של זוגות של חילופים, כשכל זוג הוא מהצורה \( \left(a\ b\right)\left(x\ y\right) \). אני אראה איך אני יכול לקחת זוג שרירותי ולהחליף אותו ב-3 מעגל או במכפלה של שני 3-מעגלים. לב העניין כאן הוא בכך שאיבר ב-\( A_{n} \) הוא מכפלה של מספר זוגי של חילופים, כי אם המספר היה אי זוגי לא הייתי יכול לטפל בכל החילופים “זוגות-זוגות” בצורה הזו.

אני לא יכול להניח ששני המעגלים \( \left(a\ b\right),\left(x\ y\right) \) בהכרח זרים, אבל הם בוודאי לא זהים אחרת המכפלה שלהם הייתה מבטלת את עצמה. לכן אני אניח ש-\( a\ne x,y \) ואטפל בשני מקרים: כאשר \( b\ne x \) וכאשר \( b=x \). במקרה הראשון אפשר לכתוב:

\( \left(a\ b\right)\left(x\ y\right)=\left(a\ b\ x\right)\left(x\ y\ b\right) \)

במקרה השני אפשר לכתוב:

\( \left(a\ b\right)\left(b\ y\right)=\left(a\ b\ y\right) \)

וזה מסיים את העניין הזה - הוכחנו ש-\( A_{3} \) נוצרת על ידי 3-מעגלים. רק נותר להראות שאם \( N \) נורמלית ב-\( A_{3} \) אז יש בה לפחות 3-מעגל אחד. הרעיון פה יהיה דומה לרעיון שבעזרתו הוכחנו שלחבורה פתירה סופית יש סדרה עם גורמים ציקליים - שם לקחנו את הסדרה הארוכה ביותר, וכאן ניקח את התמורה הפשוטה ביותר ב-\( N \) שהיא עדיין לא \( \text{id} \). מה הופך תמורה לפשוטה? ובכן, כמה מספרים בכלל לא צריכים להופיע כשכותבים אותה. למשל, התמורה \( \left(1\ 2\ 3\right) \) ב-\( S_{5} \) היא בעצם התמורה \( \left(1\ 2\ 3\right)\left(4\right)\left(5\right) \), רק שאת \( 4,5 \) אין צורך לכתוב כי הם עוברים לעצמם - הם נקודות שבת של התמורה. ניקח אם כן \( \sigma\in N \) שהיא בעלת המספר המקסימלי של נקודות שבת מבין כל אברי \( N \) שאינם \( \text{id} \); אני רוצה להוכיח ש-\( \sigma \) היא 3-מעגל.

בואו נסתכל על הפירוק של \( \sigma \) למעגלים זרים. אם יש בפירוק לפחות מעגל אחד עם שלושה איברים, אז

\( \sigma=\left(1\ 2\ 3\ \dots\right)\cdots \)

כאשר אני מניח בלי הגבלת הכלליות שהמספרים הם 1,2,3 רק כי זה קריא יותר.

אם אין בפירוק של \( \sigma \) מעגל עם שלושה איברים או יותר, אז הפירוק כולל כולו חילופים. אפס חילופים פירושם ש-\( \sigma=\text{id} \) והנחנו שזה לא המצב; חילוף אחד פירושו ש-\( \sigma\notin A_{n} \) כי היא לא זוגית; לכן

\( \sigma=\left(1\ 2\right)\left(3\ 4\right)\cdots \)

אלו שני המקרים שאטפל בהם. בשניהם אני אעשה תעלול כלשהו ואקבל מ-\( \sigma \) תמורה חדשה שיש לה את כל נקודות השבת של \( \sigma \) אבל עוד אחת, בסתירה למקסימליות של \( \sigma \).

נתחיל עם המקרה \( \sigma=\left(1\ 2\ 3\ \dots\right)\cdots \). אם \( \sigma=\left(1\ 2\ 3\right) \) ותו לא, סיימנו; אז אנחנו מניחים שזה לא המצב. זה אומר שיש \( x\ne1,2,3 \) כך ש-\( \sigma\left(x\right)\ne x \), אבל זה למעשה לא מספיק וחייב להיות גם \( y\ne x,1,2,3 \) כך ש-\( \sigma\left(y\right)\ne y \). למה? כי אם אין \( y \) כזה, אז בהכרח \( \sigma=\left(1\ 2\ 3\ x\right) \) אבל אז \( \sigma \) איננו תמורה זוגית.

עכשיו בואו נצמיד את \( \sigma \) עם התמורה הזוגית \( \left(3\ x\ y\right) \). נקבל תמורה

\( \tau=\left(1\ 2\ x\ \dots\right)\cdots \)

מכיוון ש-\( x\ne3 \) הרי ש-\( \tau\ne\sigma \), ולכן \( \tau\sigma^{-1}\ne\text{id} \). זה אומר שאם אראה של-\( \tau\sigma^{-1} \) יש יותר נקודות שבת מאשר ל-\( \sigma \), הגעתי לסתירה. עכשיו, שימו לב ש-\( \tau \) התקבל על ידי הצמדת \( \sigma \) עם תמורה שמערבת רק את \( 3,x,y \) שכולן אינן נקודות שבת של \( \sigma \) ולכן כל נקודת שבת של \( \sigma \) היא עדיין נקודת שבת גם ב-\( \tau \), ולכן עדיין נקודת שבת גם של \( \tau\sigma^{-1} \). אבל בנוסף לכך \( \tau\sigma^{-1}\left(1\right)=\tau\left(2\right)=1 \) ולכן \( 1 \) היא נקודת שבת חדשה, והגענו לסתירה במקרה הזה.

במקרה שבו \( \sigma=\left(1\ 2\right)\left(3\ 4\right)\cdots \) מטפלים בצורה מאוד דומה, אבל הוא אפילו יותר פשוט: נצמיד את \( \sigma \) עם התמורה \( \left(3\ 4\ 5\right) \) ונקבל \( \tau=\left(1\ 2\right)\left(4\ 5\right) \). כעת \( \sigma\ne\tau \) (כי הן לא מסכימות על 4) ולכן \( \tau\sigma^{-1}\ne\text{id} \), אבל מצד שני המעגל \( \left(1\ 2\right) \) הופיע בשתי התמורות ולכן ב-\( \tau\sigma^{-1} \) הוא התבטל - גם 1 וגם 2 הן נקודות שבת חדשות של \( \tau\sigma^{-1} \). כמה נקודות שבת “הרסנו”? כשהצמדנו עם \( \left(3\ 4\ 5\right) \) מנענו מ-\( 3,4,5 \) להיות נקודות שבת, אבל הרי \( 3,4 \) לא היו כאלו קודם; לכל היותר הרסנו את נקודת השבת 5, אבל מכיוון שהרווחנו שתיים חדשות, שוב הגענו לסתירה, מה שמסיים את ההוכחה.

יש משהו קצת מעציב בהוכחה הזו - אני לא מרגיש שיש בה “תובנה אמיתית” לגבי הסיבה שבגללה \( S_{4} \) עדיין פתירה ואילו \( S_{5} \) לא. האינטואיציה שלי היא בסך הכל “\( S_{4} \) היא טיפה’לה מסובכת ועדיין יש בה סדר, אבל \( S_{5} \) היא כבר כאוס ומהומה”. אני לא מכיר הוכחה אלגנטית יותר, או שנותנת תובנות טובות יותר, לכך ש-\( A_{5} \) היא פשוטה. זה קצת מתסכל, כי זו הסיבה להבדל הגדול שבין “משוואה פולינומית כללית ממעלה רביעית ומטה פתירה על ידי רדיקלים” ובין “למשוואה פולינומית כללית ממעלה חמישית ומעלה אין פתרון על ידי רדיקלים”. אבל לא נורא; את האלגנטיות שחסרה לנו בחבורות נשלים בפוסט הזה, כשנראה את האלגנטיות הגדולה שבטיפול במושג המוזר “משוואה פולינומית כללית”.