בעקבות השערת הרצף, חלק ט': מוכיחים את ZFC

מבוא

כרגיל בסדרת הפוסטים הזו כדאי להתחיל עם תזכורת למטרות העל שלנו ולכלים שיש לנו בשביל להוכיח אותן. ובכן, כדי להראות שהשערת הרצף בלתי תלויה באקסיומות ZFC יצרנו קודם כל “יקום מתמטי זעיר” \( \mathcal{M} \) שהיה קבוצה בת מניה וטרנזיטיבית שמקיימת את כל אקסיומות ZFC (בהנחה - שלא הוכחנו ולא נוכל להוכיח - שבכלל יש יקום מתמטי כלשהו שמקיים את ZFC). אחר כך דיברנו על האופן שבו ניתן להרחיב את \( \mathcal{M} \) ליקום מתמטי זעיר אבל קצת פחות \( \mathcal{M}\left[G\right] \), כאשר \( G \) הוא משהו שנקרא אידאל גנרי שנבנה מתוך קבוצה של תנאי כפיה. הרעיון הוא שתנאי כפיה מסויימים מכתיבים שהאידאל הגנרי יבטיח שב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) קורה משהו מעניין - למשל שהשערת הרצף תתקיים/לא תתקיים ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \). האתגר המרכזי שלנו בבנייה הזו היה להוכיח ש-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) מקיימת את אקסיומות ZFC. הוכחנו שחמש מהן מתקיימות כבר בפוסט שבו ראינו לראשונה את \( \mathcal{M}\left[G\right] \), כי היה קל למדי להוכיח אותן. נשארו לנו ארבע: אקסיומות ההפרדה, קבוצת החזקה, ההחלפה והבחירה. את כולן נוכיח בפוסט הזה (אבל שוב, מה המשמעות של “להוכיח” כאן? אנחנו מוכיחים הוכחה יחסית: מתוך ההנחה ש-\( \mathcal{M} \) מקיימת את האקסיומות, אנחנו מוכיחים שגם \( \mathcal{M}\left[G\right] \) תקיים אותן).

אם רוצים את האקשן, אפשר לקפוץ לחלק הבא, אבל לפני כן בואו נזכיר את הנקודות העיקריות שנזדקק להן בפוסט הזה.

ראשית, תנאי כפייה: בהינתן היקום הזעיר שלנו \( \mathcal{M} \) לקחנו קבוצה \( P\in\mathcal{M} \) כלשהי בו וקראנו לאיברים שלה תנאי כפיה. בשימוש בפועל תהיה חשיבות גדולה לצורה שבה \( P \) נבנית אבל כרגע אנחנו מוכיחים משפטים כלליים אז \( P \) יכולה להיות כל קבוצה ב-\( \mathcal{M} \). עכשיו, בתוך \( P \) קיימות תת-קבוצות “נחמדות” \( G\subseteq P \) שנקראות אידאל גנרי; לא ניכנס כרגע לתכונות שלהן. הנקודה היא ש-\( G \) היא קבוצה שהיינו מאוד רוצים להוסיף ל-\( \mathcal{M} \) כדי לקבל יקום זעיר שתואם את הדרישות שלנו. היקום הזה נקרא \( \mathcal{M}\left[G\right] \).

שנית, מה הבניה של \( \mathcal{M}\left[G\right] \): לצורך הבניה הגדרנו אובייקטים שנקראים שמות-\( P \). כל שם שכזה הוא איבר \( \tau\in\mathcal{M} \) (זה חשוב, שהוא שייך ליקום הזעיר \( \mathcal{M} \)) כך שהאיברים של \( \tau \) הם זוגות \( \left(\sigma,p\right) \) כך ש-\( \sigma \) גם הוא שם-\( P \) (מדרגה נמוכה יותר מ-\( \tau \); לא ניכנס לזה) ו-\( p\in P \) הוא תנאי כפיה ש”מתייג” את \( \sigma \). דרישה מועילה אחת על שמות היא שאם \( \left(\sigma,p\right)\in\tau \) וגם \( p\subseteq q \) אז גם \( \left(\sigma,q\right)\in\tau \); השתמשנו בזה בעבר ונשתמש בזה גם הפעם.

בהינתן שם \( \tau \) ואידאל גנרי \( G \) אנחנו נותנים לו ערך בצורה הבאה: \( \tau^{G}=\left\{ \sigma^{G}\ |\ \exists p\in G:\left(\sigma,p\right)\in\tau\right\} \). כלומר, \( G \) משמש בתור מין “מסנן” שמוחק מ-\( \tau \) את החלקים שלא מתויגים עם תנאי כפיה ששייכים ל-\( G \). וזהו, זו הבניה: אנחנו מגדירים את \( \mathcal{M}\left[G\right] \) להיות כל האיברים מהצורה \( \tau^{G} \).

הכלי המרכזי שאנחנו זקוקים לו כשבאים להוכיח דברים על \( \mathcal{M}\left[G\right] \) הוא מה שנקרא המשפט היסודי של תורת הכפיה שהוכחנו בפוסטים האחרונים. בשביל לנסח אותו צריך להכניס מושג חדש לתמונה - יחס הכפיה. אם כן, ניקח נוסחה כלשהי \( \phi\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right) \) שהמשתנים החופשיים שלה הם \( x_{1},\ldots,x_{n} \), וניקח שמות-\( P \) ספציפיים \( \tau_{1},\ldots,\tau_{n} \) ונציב אותם בתוך המשתנים החופשיים הללו כדי לקבל “תבנית נוסחה” \( \phi\left(\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \). בצורה הזו לנוסחה עדיין אין ערך אמת מוגדר, אבל ברגע שאנחנו מכניסים לתמונה אידאל גנרי \( G \), אפשר לבדוק איזה ערך הוא נותן לכל השמות שהצבנו בנוסחה, כלומר להסתכל על \( \phi\left(\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \). הנוסחה הזו כבר מקבלת ערך “אמת” או “שקר” מעל \( \mathcal{M}\left[G\right] \), ואם היא מקבלת ערך אמת אנחנו מסמנים את זה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right]\models\phi\left(\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \).

עכשיו, בהינתן תנאי כפיה \( p\in P \) כלשהו, אנחנו אומרים שהוא כופה את \( \phi\left(\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \) ומסמנים זאת \( p\Vdash\phi\left(\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \) אם לכל אידאל גנרי \( G \) כך ש-\( p\in G \), מתקיים \( \mathcal{M}\left[G\right]\models\phi\left(\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \). דהיינו, תנאי הכפיה היחיד, הבודד, הקטן, הפשוט \( p \) מספיק לבדו להבטיח ש-\( \phi\left(\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \) יהיה בעל ערך אמת בכל אידאל גנרי שמכיל את \( p \).

המשפט היסודי אומר שני דברים, שההוכחה שלהם הייתה שלובה זה בזה:

• אם \( \mathcal{M}\left[G\right]\models\phi\left(\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \) עבור \( G \) כלשהו, אז קיים \( p\in G \) כך ש-\( p\Vdash\phi\left(\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \).
• אפשר להגדיר את היחס \( p\Vdash\phi\left(\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \) במסגרת \( \mathcal{M} \) (כלומר, לבנות פורמלית את קבוצת ה-\( n+1 \)-יות \( \left(p,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \) כך ש-\( p\Vdash\phi\left(\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \)).

זה כל מה שנזדקק לו; בואו ניגש לעבודה. כרגיל, אני הולך להיצמד לספר של Weaver ולהוכחות שלו, עד לרמת הסימונים.

אקסיומת ההפרדה

כזכור, באופן לא פורמלי אקסיומת ההפרדה אומרת שאם יש לנו קבוצה \( A \) ואנחנו מסוגלים לנסח בצורה פורמלית קריטריון כלשהו שאברי \( A \) יכולים לקיים/לא לקיים, אז התת-קבוצה של \( A \) של כל האיברים שמקיימים את הקריטריון הזה קיימת.

הנה הניסוח הפורמלי שאותו נוכיח עבור \( \mathcal{M}\left[G\right] \): תהא \( \phi \) נוסחה כלשהי עם משתנים חופשיים \( u,x_{1},\ldots,x_{n} \). אז לכל קבוצה \( \tau^{G}\in\mathcal{M}\left[G\right] \) וכל אוסף של פרמטרים \( \tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\in\mathcal{M}\left[G\right] \), הקבוצה הבאה שייכת ל-\( \mathcal{M}\left[G\right] \):

\( y=\left\{ x\in\tau^{G}\ |\ \mathcal{M}\left[G\right]\models\phi\left(x,\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right)\right\} \)

האתגר שלנו הוא ממש לבנות את הקבוצה הזו יש מאין, אבל כמובן שתוך ניצול כלשהו של קיום אקסיומת ההפרדה ב-\( \mathcal{M} \) עצמו. בשביל זה צריך לזכור נקודה עדינה כלשהי: שמות-\( P \) הם כולם איברים של \( \mathcal{M} \). לכל \( \tau \), מתקיים \( \tau\in\mathcal{M} \). הנקודה שבה אנחנו פורצים “מעבר לגבולות \( \mathcal{M} \)” היא בשלב השמת הערך; בהחלט ייתכן שיתקיים \( \tau^{G}\notin\mathcal{M} \) כי תהליך הפילטור המורכב ש-\( \tau \) עבר יצר תת-קבוצות שלא היו קיימות שם קודם. אבל השמות עצמם הם כולם איברים של \( \mathcal{M} \) - ואם הם איברים של \( \mathcal{M} \), אפשר להפעיל את אקסיומת ההפרדה עליהם.

אם כן, כדי לבנות את תת-הקבוצה של \( \tau^{G} \) בואו ניקח את השם \( \tau \) ונבנה תת-קבוצה שלו, שמוגדרת כך:

\( \pi=\left\{ \left(\sigma,p\right)\in\tau\ |\ p\Vdash\phi\left(\sigma,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right)\right\} \)

כדי שאפשר יהיה להשתמש באקסיומת ההפרדה, יחס הכפיה \( \Vdash \) צריך להיות ניתן להגדרה במסגרת \( \mathcal{M} \); זה למרבה המזל בדיוק מה שהוכחנו כחלק מהמשפט היסודי. אז הבניה הזו תקפה. בנוסף לכך, צריך לשים לב לכך ש-\( \pi \) עצמה היא שם-\( P \). האיברים שלה הם בוודאי מהצורה הנכונה, אבל זה לא מספיק - צריך להראות שאם \( \left(\sigma,p\right)\in\pi \) אז גם \( \left(\sigma,q\right)\in\pi \) לכל \( p\subseteq q \). זה עוד משהו שראינו בפוסט הקודם - שאם \( p \) כופה משהו, גם כל הרחבה \( q \) של \( p \) תכפה אותו, אז לא אחזור על זה כאן.

נשאר רק להראות שאכן, \( \pi^{G}=y \). ואת זה נעשה, כמו שתמיד כיף לעשות בתורת הקבוצות החל מהסמסטר הראשון של התואר הראשון, על ידי הכלה דו כיוונית.

בכיוון אחד, ניקח איבר כלשהו של \( \pi^{G} \). איבר כזה הוא מהצורה \( \sigma^{G} \) כאשר \( \left(\sigma,p\right)\in\pi \) ובנוסף \( p\in G \). עכשיו, לפי הקריטריון שמגדיר את \( \pi \), אנחנו יודעים ש-\( p\Vdash\phi\left(\sigma,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \), ומכיוון ש-\( p\in G \) אז מהגדרת הכפיה אנחנו מסיקים ש-\( \mathcal{M}\left[G\right]\models\phi\left(\sigma^{G},\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \) ולכן \( \sigma^{G}\in y \) על פי הגדרת \( y \). זה כיוון אחד שהראה לנו \( \pi^{G}\subseteq y \), והוא פשוט כל כך כי הגדרת יחס הכפיה שירתה בדיוק את המטרה שהיא באה לשרת - להבטיח ש-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) תספק פסוק מסוים. שימו לב שבכיוון הזה לא נזקקנו בכלל למשפט היסודי.

הכיוון השני יהיה קצת יותר טריקי. אנחנו לוקחים איבר \( x\in y \), כלומר איבר \( x\in\tau^{G} \) שעבורו מתקיים \( \mathcal{M}\left[G\right]\models\phi\left(x,\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \). מכיוון ש-\( x\in\tau^{G} \) אז הוא מהצורה \( \sigma^{G} \) עבור \( \sigma \) שהופיע בתוך \( \tau \); ליתר דיוק, \( \left(\sigma,p\right)\in\tau \) עבור \( p\in G \) כלשהו. אז אפשר לכתוב \( \mathcal{M}\left[G\right]\models\phi\left(\sigma^{G},\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \) והמשפט היסודי אומר לנו שקיים \( q\in G \) כך ש-\( q\Vdash\phi\left(\sigma,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \).

עכשיו יש לנו נקודה עדינה: אנחנו יודעים ש-\( \left(\sigma,p\right)\in\tau \) ואנחנו יודעים ש-\( q \) כופה את \( \phi\left(\sigma,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \), אבל ייתכן ש-\( p\ne q \) ואנחנו צריכים תנאי כפיה שיעשה את שני אלו ביחד. כאן נכנס טריק שכבר השתמשנו בו כמה פעמים: מכיוון ש-\( p,q\in G \) אפשר להשתמש בתכונה של אידאלים שלכל שני איברים יש הרחבה משותפת בתוך האידאל, נאמר \( p^{\prime}\in G \). מכך ש-\( \left(\sigma,p\right)\in\tau \) אפשר להסיק \( \left(\sigma,p^{\prime}\right)\in\tau \) כי זה חלק מהדרישה שהייתה לנו משמות-\( P \); וכבר אמרתי קודם שראינו שאם \( q \) כופה משהו, גם כל הרחבה שלו כופה אותו. לכן עם \( p^{\prime} \) הזה יש לנו \( \left(\sigma,p^{\prime}\right)\in\pi \) ולכן \( \sigma^{G}\in\pi^{G} \). זה מראה לנו ש-\( y\subseteq\pi^{G} \), ושני הכיוונים ביחד נותנים לנו את \( y=\pi^{G} \) המבוקש. הוכחנו את אקסיומת ההפרדה!

אקסיומת קבוצת החזקה

הטענה הפורמלית שאנחנו רוצים להוכיח עכשיו היא זו: לכל קבוצה \( \tau^{G}\in\mathcal{M}\left[G\right] \), מתקיים ש-\( \mathcal{P}\left(\tau^{G}\right)\cap\mathcal{M}\left[G\right]\in\mathcal{M}\left[G\right] \). כלומר - קבוצת כל תתי-הקבוצות של \( \tau^{G} \) ששייכות ל-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) היא עצמה איבר של \( \mathcal{M}\left[G\right] \). אינטואיטיבית אולי קצת קשה לעכל את הקטע הזה שאנחנו לא דורשים שקבוצת כל תתי-הקבוצות של \( \tau^{G} \) תהיה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), אבל זו בדיוק המשמעות של רלטיביזציה של ZFC ל”יקומים מתמטיים זעירים” כמו \( \mathcal{M}\left[G\right] \) שהם מלכתחילה בני מניה ולכן אין סיכוי שיהיה בהם את כל תתי-הקבוצות של קבוצות בנות מניה אינסופיות (כי יש מספר לא בן מניה של תתי-קבוצות כאלו).

כמו קודם, אנחנו צריכים לבנות שם-\( P \) כלשהו שיהיה מי שנותן לנו את הקבוצה המבוקשת, וגם הפעם נעשה את זה מתוך \( \tau \) עצמו:

\( \hat{\tau}=\left\{ \left(\sigma,p\right)\ |\ \sigma\subseteq\tau,p\in P\right\} \), כך שכל \( \sigma \) כזה הוא בעצמו שם-\( P \) (קשה לי לכתוב בתוך הסוגריים המסולסלים את זה)

את \( \hat{\tau} \) אפשר לבנות במסגרת \( \mathcal{M} \) (שכזכור, מקיימת את כל ZFC) בתהליך הבא: ראשית כל לוקחים את קבוצת החזקה של \( \tau \) בעזרת אקסיומת קבוצת החזקה. יש בה הרבה תתי-קבוצות של \( \tau \), גם כאלו שהן לא שמות-\( P \) (כי אין את הסגירות כלפי מעלה של תנאי הכפייה). אז בעזרת אקסיומת ההפרדה משאירים רק את מי שהם שמות-\( P \). אחר כך לסיום בונים את המכפלה הקרטזית של הקבוצה שקיבלנו יחד עם \( P \) (בניה של מכפלה קרטזית של שתי קבוצות \( A\times B \) מתבצעת עם אקסיומת הזיווג שיחד עם אקסיומת האיחוד בונה את \( A\cup B \), שתי הפעלות של אקסיומת קבוצת החזקה שנותנות את \( \mathcal{P}\mathcal{P}\left(A\cup B\right) \) ולסיום הפעלה של אקסיומת ההפרדה ששולפת מהסמטוחה הזו את האיברים מהצורה \( \left(a,b\right)\triangleq\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \) כך ש-\( a\in A,b\in B \)).

\( \hat{\tau} \) הוא שם-\( P \) באופן טריוויאלי למדי: כל אבריו הם על פי הגדרה מהצורה \( \left(\sigma,p\right) \), ואם \( \left(\sigma,p\right)\in\hat{\tau} \) ו-\( p\subseteq q \) אז כמובן שגם \( \left(\sigma,q\right)\in\hat{\tau} \) כי לכל איבר של \( P \) יהיה לנו אותו כזוג עם \( \sigma \) ב-\( \hat{\tau} \). אם כן, כל מה שנותר להראות הוא ש-\( \hat{\tau}^{G} \) הוא אכן קבוצת כל תתי-הקבוצות של \( \tau^{G} \) ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \).

בכיוון אחד, כל איבר של \( \hat{\tau}^{G} \) הוא מהצורה \( \sigma^{G} \) כך ש-\( \sigma\subseteq\tau \). מכאן שגם \( \sigma^{G}\subseteq\tau^{G} \) כי כל איבר שיהיה שייך ל-\( \sigma^{G} \) התווסף לשם בזכות זוג \( \left(\pi,p\right) \) ששייך גם ל-\( \tau \) (בזכות ההכלה \( \sigma\subseteq\tau \)) ולכן מוסיף את אותו איבר.

הכיוון השני הוא המעניין יותר - אנחנו רוצים להראות שכל תת-קבוצה של \( \tau^{G} \) ששייכת ל-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) נמצאת בתוך \( \hat{\tau}^{G} \). ראשית, כל איבר של \( \mathcal{M}\left[G\right] \) הוא מצורה ספציפית: \( \pi^{G} \) עבור שם \( \pi \) כלשהו. לכן אנחנו מתחילים עם \( \pi^{G}\subseteq\tau^{G} \). מה שנרצה לעשות הוא למצוא שם \( \pi^{\prime} \) שמגדיר את אותו איבר כמו \( \pi \), כך שאנחנו יודעים בודאות ש-\( \pi^{\prime} \) מופיע כחלק מ-\( \hat{\tau} \), כלומר כך שאנחנו יודעים ש-\( \pi^{\prime}\subseteq\tau \). בשביל הבניה הזו של \( \pi^{\prime} \) שוב נגייס לעזרתנו את מושג הכפיה - הנה למה חיכינו למשפט היסודי בשביל האקסיומה הזו:

\( \pi^{\prime}=\left\{ \left(\sigma^{\prime},p\right)\in\tau\ |\ p\Vdash\sigma^{\prime}\in\pi\right\} \)

מההגדרה ברור ש-\( \pi^{\prime}\subseteq\tau \), לכן רק נשאר להראות ש-\( \pi^{G}=\pi^{\prime G} \), ואת זה נעשה… בהכלה דו כיוונית.

מצד אחד, אם \( \sigma^{\prime G}\in\pi^{\prime}{}^{G} \) זה אומר שקיים \( p\in G \) כך ש-\( \left(\sigma^{\prime},p\right)\in\pi^{\prime} \), כך ש-\( p\Vdash\sigma^{\prime}\in\pi \). מכיוון ש-\( p\in G \) יחס הכפיה הזה מלמד אותנו ש-\( \sigma^{\prime G}\in\pi^{G} \), שזה בדיוק מה שרצינו.

מצד שני, אם \( \sigma^{G}\in\pi^{G} \), אז מכיוון ש-\( \pi^{G}\subseteq\tau^{G} \) נקבל \( \sigma^{G}\in\tau^{G} \), מה שאומר שקיים \( \left(\sigma^{\prime},p_{1}\right)\in\tau \) כך ש-\( p_{1}\in G \) ו-\( \sigma^{\prime G}=\sigma^{G} \). עכשיו המשפט היסודי נכנס לתמונה: מכיוון שמתקיים השוויון \( \sigma^{\prime G}=\sigma^{G} \), אז קיים \( p_{2}\in G \) שכופה את \( \sigma^{\prime}=\sigma \), ואפשר לקחת הרחבה משותפת \( p_{1},p_{2}\subseteq p \) ולקבל \( p\in G \) שמקיים גם \( \left(\sigma^{\prime},p\right)\in\tau \) וגם \( p\Vdash\sigma^{\prime}=\sigma \).

עכשיו מגיעה נקודה עדינה. כדי להוכיח ש-\( \sigma^{G}\in\pi^{\prime G} \) מספיק להראות רק \( \sigma^{\prime G}\in\pi^{\prime G} \) כי הרי ראינו ש-\( \sigma^{\prime G}=\sigma^{G} \); אבל כדי להראות \( \sigma^{\prime G}\in\pi^{\prime G} \) צריך להראות שמתקיים הקריטריון \( p\Vdash\sigma^{\prime}\in\pi \). בפועל כל מה שראינו הוא רק \( p\Vdash\sigma^{\prime}=\sigma \). לכן בואו נוסיף עוד משהו לתמונה: מכיוון שההנחה הבסיסית שלנו בכיוון הזה הייתה \( \sigma^{G}\in\pi^{G} \), המשפט היסודי נותן לנו איבר שכופה את \( \sigma\in\pi \), ואפשר להניח שזה ה-\( p \) שלנו (אחרת שוב ניקח הרחבה משותפת).

אז יש לנו \( p\Vdash\sigma^{\prime}=\sigma \) וגם \( p\Vdash\sigma\in\pi \), ומשני אלו ניתן להסיק \( p\Vdash\sigma^{\prime}\in\pi \). פורמלית, כדי להסיק את זה, ניקח \( G^{\prime} \) כלשהו כך ש-\( p\in G^{\prime} \), אז מ-\( p\Vdash\sigma^{\prime}=\sigma \) נקבל \( \sigma^{\prime G^{\prime}}=\sigma^{G^{\prime}} \) ומ-\( p\Vdash\sigma\in\pi \) נקבל \( \sigma^{G^{\prime}}\in\pi^{G^{\prime}} \). משילוב של שניהם נקבל \( \sigma^{\prime G^{\prime}}\in\pi^{G^{\prime}} \), וזה מה שרצינו - הראינו שהשוויון הזה מתקיים בכל אידאל שמכיל את \( p \), ולכן \( p\Vdash\sigma^{\prime}\in\pi \), מה שמסיים את ההוכחה של אקסיומת קבוצת החזקה.

אקסיומת ההחלפה

אני חייב להודות, מכל האקסיומות, ההחלפה תמיד מבעיתה אותי. אפילו קשה לי עם הניסוח שלה. ראשית, היא וההפרדה הן האקסיומות היחידות שאינן “סתם” אקסיומות אלא סכמות, כלומר אינסוף אקסיומות שונות כשכל אקסיומה תלויה בפסוק \( \phi \) כלשהו. שנית, בזמן שאקסיומת ההפרדה קלה לעיכול כי היא בסך הכל אומרת “בואו ניקח תת-קבוצה”, אקסיומת ההחלפה אומרת - מה בעצם? שהפעלה של פונקציה על קבוצה נותנת קבוצה? אבל בלי שהפונקציה באמת תהיה פונקציה אלא תהיה פסוק שמתנהג כמו פונקציה? אבל כל זה הוא סתם פחד אינסטנקטיבי כזה, כי האקסיומה לא באמת כזו גרועה ולא יהיה כזה קשה להוכיח שהיא מתקיימת ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \).

הנה מה שהאקסיומה אומרת: ראשית, מתחילים עם נוסחה \( \phi\left(u,v,x_{1},\ldots,x_{n}\right) \) שכדאי לחשוב בה על \( u \) בתור “קלט”, על \( v \) בתור “פלט” ועל \( x_{1},\ldots,x_{n} \) בתור “פרמטרים”. עכשיו, ניקח קבוצה כלשהי ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), כלומר \( \tau^{G}\in\mathcal{M}\left[G\right] \), וניקח ערכים \( \tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G} \) עבור הפרמטרים. לבסוף, נניח שלכל \( x\in\tau^{G} \) קיים ויחיד \( y\in\mathcal{M}\left[G\right] \) כך שהנוסחה \( \phi\left(x,y,\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \) היא בעלת ערך אמת - אז במקרה זה, אוסף האיברים שמתקבל מהחלפת כל \( x\in\tau^{G} \) ב-\( y \) המתאים לו על פי הנוסחה הוא קבוצה ששייכת ל-\( \mathcal{M}\left[G\right] \).

לפני שניגש להוכחה, שאלה: למה בעצם צריך את אקסיומת ההחלפה ואי אפשר פשוט להשתמש באקסיומת ההפרדה כדי להוכיח שהתמונה של \( \phi \) קיימת? הרי התמונה של \( \phi \) היא אוסף של \( y \)-ים שמקיימים את התכונה “קיים \( x \) כך ש-\( \phi\left(x,y,\ldots\right) \) מתקיימת”. זה נראה מתאים להפרדה. העניין הוא שבשביל להשתמש בהפרדה, כל ה-\( y \)-ים הללו צריכים כבר להיות שייכים מראש לקבוצה קיימת, ולכן זה לא עוזר לנו כשאנחנו רוצים ללכת באומץ להיכן שאף קבוצה עוד לא הגיעה. למשל, כשבונים את \( 2\cdot\omega=\left\{ 0,1,2,3,\ldots,\omega,\omega+1,\omega+2,\omega+3,\ldots\right\} \) צריך להשתמש בהחלפה כדי לקבל מהקבוצה \( \omega=\left\{ 0,1,2,3,\ldots\right\} \) את הקבוצה \( \left\{ \omega,\omega+1,\omega+2,\omega+3,\ldots\right\} \). אין דרך להשתמש בהפרדה, כי בשלב הזה אין לנו שום קבוצה שמכילה את \( 2\cdot\omega \) (באופן מעניין, גם בלי החלפה יש לנו די והותר קבוצות כדי לפתח בהן את רוב המתמטיקה הרגילה, ויש גם כל מני הצעות לגישות אלטרנטיביות לתורת הקבוצות שמוותרות לגמרי על החלפה אבל לא ניכנס לזה).

העניין הוא שעכשיו במקרה שלנו, כשאנחנו מניחים מראש שיש החלפה ב-\( \mathcal{M} \) ורק צריכים להראות שיש החלפה גם ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), אנחנו כן נוכל להשתמש בהפרדה (ולפני רגע אכן הוכחנו שיש הפרדה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \)). עיקר העבודה שלנו יהיה, אם כן, להראות איך מוצאים את הקבוצה שבתוכה נבצע את ההפרדה כדי לקבל את התמונה של \( \phi \).

זה הזמן להיזכר שדיברתי בפוסט מוקדם יותר על משהו שנקרא ההיררכייה המצטברת, \( V_{0},V_{1},V_{2},\ldots \), שהייתה דרך לסדר באופן היררכי את כל הקבוצות הקיימות. ההגדרה שבה השתמשנו הייתה \( V_{\alpha}=\mathcal{P}\left(\bigcup_{\beta<\alpha}V_{\beta}\right) \) - הגדרה שדורשת בפני עצמה את אקסיומת ההחלפה.

עכשיו, מה שמעניין אותנו הוא לא כל היקום של תורת הקבוצות - רק החלק שלו ששייך ל-\( \mathcal{M}\left[G\right] \). נגדיר את החלק הזה בצורה פורמלית כך: לכל סודר \( \alpha\in\mathcal{M} \) נגדיר \( \tilde{V}_{\alpha}=\left\{ \sigma^{G}\ |\ \sigma\in N_{\alpha}\right\} \) כאשר \( N_{\alpha} \) היא קבוצת כל שמות ה-\( P \) מדרגה \( \alpha \) (זו קבוצה שראינו שאפשר להגדיר במסגרת \( \mathcal{M} \)). לא קשה לראות שמתקיים \( \tilde{V}_{\alpha}=\mathcal{P}\left(\bigcup_{\beta<\alpha}\tilde{V}_{\beta}\right)\cap\mathcal{M}\left[G\right] \) לכל סודר \( \alpha\in\mathcal{M} \); מה שנחמד הוא שנראה את זה עם אקסיומת קבוצת החזקה שהוכחנו ממש עכשיו.

הרעיון הוא כזה: לכל סודר \( \alpha\in\mathcal{M} \) נגדיר \( \tau_{\alpha}=\left\{ \left(\sigma,p\right)\ |\ \sigma\in N_{\alpha}\wedge p\in P\right\} \). עכשיו, ברור ש-\( \tau_{\alpha}^{G}=\tilde{V}_{\alpha} \) כי ב-\( \tau_{\alpha}^{G} \) יש את כל ה-\( \sigma\in N_{\alpha} \) כשהם מתוייגים על ידי כל האיברים של \( P \) ובפרט על ידי איברים של \( G \). עכשיו, בואו נגדיר קבוצה חדשה של שמות, \( \tau_{<\alpha}=\bigcup_{\beta<\alpha}\tau_{\beta} \). כזכור, כשהוכחתי את אקסיומת קבוצת החזקה אז לכל שם \( \tau \) השתמשתי בסימון \( \hat{\tau}=\left\{ \left(\sigma,p\right)\ |\ \sigma\subseteq\tau,p\in P\right\} \); במקרה שלנו כשזה יופעל על \( \tau_{<\alpha} \) נקבל \( \hat{\tau}_{<\alpha}=\left\{ \left(\sigma,p\right)\ |\ \sigma\subseteq\tau_{<\alpha},p\in P\right\} \). עוד מעט אראה ש-\( \tau_{\alpha}=\hat{\tau}_{<\alpha} \), מה שיוביל לכך ש-\( \tilde{V}_{\alpha}=\tau_{\alpha}^{G}=\hat{\tau}_{<\alpha}^{G}=\mathcal{P}\left(\tau_{<\alpha}^{G}\right)\cap\mathcal{M}\left[G\right] \) כאשר המעבר האחרון נובע ממה שהוכחנו עבור אקסיומת קבוצת החזקה. מכיוון ש-\( \tau_{<\alpha}=\bigcup_{\beta<\alpha}\tau_{\beta} \) אז \( \tau_{<\alpha}^{G}=\bigcup_{\beta<\alpha}\tau_{\beta}^{G}=\bigcup_{\beta<\alpha}\tilde{V}_{\beta} \) ולכן קיבלנו בסוף שרשרת הגרירות את \( \tilde{V}_{\alpha}=\mathcal{P}\left(\bigcup_{\beta<\alpha}\tilde{V}_{\beta}\right)\cap\mathcal{M}\left[G\right] \) המבוקש.

נעבור להוכיח שאכן \( \tau_{\alpha}=\hat{\tau}_{<\alpha} \), מה שיהיה טיפה טכני ומעצבן אז אפשר לדלג. אנחנו מוכיחים בהכלה דו כיוונית. \( \left(\sigma,p\right)\in\hat{\tau}_{<\alpha} \) אם ורק אם \( \sigma\subseteq\tau_{<\alpha} \), מה שמתקיים אם ורק אם לכל \( \left(\sigma^{\prime},q\right)\in\sigma \) קיים \( \beta<\alpha \) כך ש-\( \sigma^{\prime}\in N_{\beta} \), מה שקורה אם ורק אם \( \sigma\in N_{\alpha} \), וזה קורה אם ורק אם \( \left(\sigma,p\right)\in\tau_{\alpha} \).

למה “לכל \( \left(\sigma^{\prime},q\right)\in\sigma \) קיים \( \beta<\alpha \) כך ש-\( \sigma^{\prime}\in N_{\beta} \)” שקול אל “\( \sigma\in N_{\alpha} \)”? ובכן, כי כך שמות-\( P \) הוגדרו מלכתחילה. ב-\( N_{\alpha} \) יש את כל שמות ה-\( P \) שניתן לבנות במסגרת \( \mathcal{M} \) כך שכל השמות שמופיעים בתוכם הם מתוך קבוצות ברמה נמוכה יותר בהיררכיית ה-\( N \)-ים.

עכשיו, כשיש לנו גרסה של ההירכייה המצטברת עבור \( \mathcal{M}\left[G\right] \), אפשר לחזור להוכחת אקסיומת ההחלפה. אמרתי שהרעיון הוא שבהינתן \( \tau^{G} \) והנוסחה \( \phi\left(u,v,\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \), אני אראה שאוסף ה-\( v \)-ים שמתאים ל-\( u\in\tau^{G} \) הוא תת-קבוצה של איזו שהיא קבוצה \( \tilde{V}_{\alpha} \) בהיררכייה, ואז אקסיומת ההפרדה תראה לי שהאוסף הזה הוא קבוצה. אם כן, אני רק צריך למצוא \( \alpha \) מתאים ולהוכיח שכל \( v \) אכן שייך אליו. אבל למה שיהיה \( \alpha \) כזה?

אפשר להגיד - בואו ניקח את כל ה-\( v \)-ים הללו. לכל \( v \) כזה קיים איבר \( \tilde{V}_{\beta} \) בהיררכייה ש-\( v \) שייך אליו. אז ניקח את כל ה-\( \beta \) הללו, זו קבוצה של סודרים; לקבוצה \( X \) של סודרים יש סופרמום \( \sup X \), כלומר איבר קטן ביותר שגדול או שווה לכולם. הקיום של סופרמום כזה מובטח מאקסיומת האיחוד, כי לא קשה לראות ש-\( \sup X=\bigcup X \). אלא שאנחנו לא יכולים להשתמש בזה כאן, כי אין לנו קבוצה \( X \). את אוסף הסודרים שלנו קיבלנו בתהליך הבא: לוקחים \( u \) מהקבוצה \( \tau^{G} \), מחליפים אותו ב-\( v \) שמתאים לו על פי \( \phi \), ואת \( v \) מחליפים בסודר שמתאים לו - אנחנו משתמשים כאן באקסיומת ההחלפה, שהיא בדיוק מה שאנחנו באים להוכיח. אז צריך לעשות משהו שונה - לא לעבוד ישירות בתוך \( \mathcal{M}\left[G\right] \) עם פעולות על הקבוצה \( \tau^{G} \) אלא לעבוד בתוך \( \mathcal{M} \) (שכבר ידוע שמקיים את אקסיומת ההחלפה) עם פעולות על השם \( \tau \).

אז לכל \( \left(\sigma,p\right)\in\tau \) נגדיר סודר, ונגדיר אותו בצורה שמכריחה את ה-\( v \) שמתאים ל-\( \sigma \) להיות בדרגה של הסודר הזה, וכשאני אומר “מכריחה” אני מתכוון “כופה”, כי שוב אנחנו הולכים להשתמש במושג המועיל הזה. ספציפית, נסמן ב-\( \alpha_{\sigma,p} \) את הסודר המינימלי ב-\( \mathcal{M} \) שעבורו \( p\Vdash\left(\sigma,\pi,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \) עבור \( \pi\in N_{\alpha_{\sigma,p}} \), בהנחה שסודר כזה קיים בכלל. עכשיו נשתמש באקסיומת ההחלפה שמתקיימת ב-\( \mathcal{M} \) כדי להחליף את אברי \( \tau \) בסודרים שמתאימים להם, נקבל קבוצה של סודרים ונסמן את הסופרמום שלה ב-\( \alpha \). מכיוון ש-\( \mathcal{M} \) מקיימת את כל ZFC, בפרט הסופרמום הזה שייך ל-\( \mathcal{M} \) גם כן. כל מה שנשאר עכשיו הוא להראות ש-\( \tilde{V}_{\alpha} \) אכן מכילה את כל האיברים שאנחנו צריכים.

אם כן, ניקח \( u\in\tau^{G} \) כלשהו. קיים \( v\in\mathcal{M}\left[G\right] \) ייחודי כך ש-\( \phi\left(u,v,\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \) מתקיימת, ואנחנו רוצים להראות ש-\( v\in\tilde{V}_{\alpha}=\left\{ \sigma^{G}\ |\ \sigma\in N_{\alpha}\right\} \), כלומר להראות ש-\( v \) התקבל על ידי מתן ערך ב-\( G \) לאיזה שהוא שם-\( P \) מדרגה \( \alpha \) לכל היותר.

מכיוון ש-\( u\in\tau^{G} \) אנחנו יודעים ש-\( u=\sigma^{G} \) עבור \( \left(\sigma,p\right)\in\tau \) כלשהו, כך ש-\( p\in G \). אנחנו גם יודעים ש-\( v=\pi^{G} \) עבור שם \( \pi \) כלשהו. כלומר, הנוסחה \( \phi\left(\sigma^{G},\pi^{G},\tau_{1}^{G},\ldots,\tau_{n}^{G}\right) \) מתקיימת ב-\( G \), ועל פי המשפט היסודי של תורת הכפיה זה אומר שקיים \( p^{\prime}\in G \) כלשהו כך ש-\( p^{\prime}\Vdash\left(\sigma,\pi,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \). כרגיל, ניקח הרחבה משותפת של \( p,p^{\prime} \) ונקבל איבר \( q \) שגם כופה את \( \left(\sigma,\pi,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \) וגם \( \left(\sigma,q\right)\in\tau \).

עכשיו, לכל \( \left(\sigma,q\right) \) התאמנו כזכור \( \alpha_{\sigma,q} \) שהיה הסודר המינימלי שעבורו קיים \( \pi^{\prime}\in N_{\alpha_{\sigma,q}} \) כך ש-\( q\Vdash\left(\sigma,\pi^{\prime},\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \). זה הוגדר רק בתנאי שבכלל קיים סודר כזה, כלומר בכלל קיים \( \pi^{\prime} \) כלשהו כך ש-\( q\Vdash\left(\sigma,\pi^{\prime},\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \). במקרה שלנו, כבר ראינו שקיים איבר כזה - \( \pi \) (את זה ראינו בעזרת המשפט היסודי). אם כן, \( q \) כופה גם את \( \left(\sigma,\pi,\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \) וגם את \( \left(\sigma,\pi^{\prime},\tau_{1},\ldots,\tau_{n}\right) \), כלומר ב-\( G \) גם \( \pi^{G} \) וגם \( \pi^{\prime G} \) יתאימו לאיבר \( u=\sigma^{G} \) על פי \( \phi \). אבל כזכור, הדרישה שלנו מהאקסיומה הייתה שההתאמה ל-\( u \) תהיה יחידה, מה שאומר ש-\( \pi^{G}=\pi^{\prime G} \), ואנחנו יודעים ש-\( \pi^{\prime G} \) התקבל על ידי מתן ערך ב-\( G \) לשם-\( P \) מדרגה \( \alpha \) לכל היותר, כי \( \pi^{\prime}\in N_{\alpha_{\sigma,q}} \) ו-\( \alpha \) הוא הסופרמום של קבוצה שכוללת את \( \alpha_{\sigma,q} \). המסקנה: \( v=\pi^{G}=\pi^{\prime G}\in\tilde{V}_{\alpha} \), וזה מה שרצינו להראות. עכשיו אקסיומת ההפרדה מסיימת את העבודה בשבילנו.

אקסיומת הבחירה

זהו, נשארה רק אקסיומה אחת כדי לסיים להוכיח ש-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) מקיימת את ZFC! בשביל אקסיומת הבחירה אנחנו הולכים “לרמות” טיפה ולהוכיח במקומה את עקרון הסדר הטוב: לכל \( \tau^{G}\in\mathcal{M}\left[G\right] \) קיים סדר טוב על אברי \( \tau^{G} \). זה גורר את אקסיומת הבחירה, כי בהינתן אוסף של קבוצות אפשר לבנות עבורו פונקציית בחירה באופן הבא: לקחת את האיחוד של הקבוצות, לסדר את האיחוד הזה בסדר טוב, ואז לכל קבוצה להגדיר שהפונקציה תחזיר עליה את האיבר המינימלי מבין קבוצת האיברים באיחוד ששייך אליה.

אני הולך לעשות כמו הספר של Weaver ובעיקר לנפנף בידיים עכשיו, אבל מותר לנו לנפנף בידיים כי עד עכשיו הוכחנו ש-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) מקיימת את ZF, כלומר אפשר לעשות בה כל מה שעושים במתמטיקה “רגילה” חוץ מאותם דברים שדורשים את אקסיומת הבחירה (רוב המתמטיקה הרגילה לא דורשת אותה).

אני אזדקק לבניה אחת שמערבת שמות-\( P \): בניה של זוג סדור. בשביל זה בואו ניזכר מה קרה כשרציתי להוכיח את אקסיומת הזיווג: היו לנו שני שמות \( \tau_{1},\tau_{2} \) ובניתי שם חדש \( \tau_{\left\{ 1,2\right\} } \) שקיים \( \tau_{\left\{ 1,2\right\} }^{G}=\left\{ \tau_{1}^{G},\tau_{2}^{G}\right\} \): עשיתי את זה על ידי ההגדרה \( \tau_{\left\{ 1,2\right\} }=\left\{ \left(\sigma,p\right)\ |\left(\sigma=\tau_{1}\vee\sigma=\tau_{2}\right)\wedge p\in P\right\} \). עכשיו, אני רוצה לעשות משהו דומה עבור זוג סדור, כלומר לבנות \( \tau_{\left(1,2\right)} \) כך ש-\( \tau_{\left(1,2\right)}^{G}=\left(\tau_{1}^{G},\tau_{2}^{G}\right) \).

כזכור, זוג סדור הוגדר אצלנו בצורה הזו: \( \left(a,b\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a,a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \). זה מראה שאפשר לבנות זוג סדור על ידי שלוש “הפעלות” של בניית זוג לא סדור. לכן הנה הרעיון: נגדיר \( \sigma_{1}=\tau_{\left\{ 1,1\right\} },\sigma_{2}=\tau_{\left\{ 1,2\right\} } \) ואז \( \tau_{\left(1,2\right)}=\sigma_{\left\{ 1,2\right\} } \). די פשוט. כדי לחסוך לעצמי כאב ראש בסימונים אני אסמן ב-\( \text{op}\left(\tau,\sigma\right) \) את השם שמייצג את הזוג הסודר של \( \tau,\sigma \), עכשיו כשראינו איך בונים אותו.

עוד דבר שנזדקק לו הוא העובדה שלכל איבר של \( x\in\mathcal{M} \) קיים שם \( \check{x}\in\mathcal{M} \) שנותן אותו ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), דהיינו \( \check{x}^{G}=x \) (לא אחזור על הבניה שלו)

אם כן, ניקח \( \tau^{G}\in\mathcal{M}\left[G\right] \) שאני רוצה לסדר בסדר טוב, ועכשיו נגדיר קבוצה

\( \left\{ \left(\text{op}\left(\check{\left(\sigma,p\right)},\sigma\right),p\right)\ |\ \left(\sigma,p\right)\in\tau\right\} \)

מה יש לנו פה? לכל \( \left(\sigma,p\right)\in\tau \) אנחנו בונים זוג סדור שהאיבר הראשון שלו הוא הקידוד של \( \left(\sigma,p\right) \) בתור שם, והאיבר השני שלו הוא רק \( \sigma \), כשלכל זה מוצמדת התגית \( p \). כל התפלץ הזה הוא עצמו שם-\( P \) כי אם \( p\subseteq q \) אנחנו יודעים ש-\( \left(\sigma,q\right)\in\tau \) (מכיוון ש-\( \tau \) הוא שם) ולכן \( q \) עם כל התפלץ גם יהיה במה שבנינו.

כשניקח את השם שבנינו ונציב לו ערך בעזרת \( G \), מה נקבל? רק תיוגים עם \( p\in G \) יישארו בקבוצה, ועבורם \( \text{op}\left(\check{\left(\sigma,p\right)},\sigma\right) \) הולך להתפרש אל \( \left(\left(\sigma,p\right),\sigma^{G}\right) \). על אוסף הזוגות הזה אפשר לחשוב בתור פונקציה \( f \) מתת-קבוצה של \( \tau \) (שכוללת את אותם זוגות שבהם התיוג נלקח מתוך \( G \)) שהיא על \( \tau^{G} \) (כלומר, כל איבר ב-\( \tau^{G} \) מתקבל כפלט של הפונקציה). זה מאפשר לנו לבנות פונקציה בכיוון הנגדי: \( g:\tau^{G}\to\tau \) שמוגדרת כך ש-\( g\left(y\right)=\min\left\{ x\in\tau\ |\ f\left(x\right)=y\right\} \). כדי שיהיה הגיון בהגדרה הזו צריך ש-\( \tau \) תהיה מסודרת בסדר טוב שיאפשר לקחת מינימום לכל תת-קבוצה; אבל הרי \( \tau \) היא איבר של \( \mathcal{M} \) ויש לנו כבר את אקסיומת הבחירה עבור \( \mathcal{M} \), אז זה ניתן לביצוע.

אם כן, קיבלנו פונקציה חח”ע \( g:\tau^{G}\to\tau \), מה שנקרא שיכון במתמטית. מה שנחמד בשיכונים הוא שהם מאפשרים לקחת את המבנה של הקבוצה בטווח של הפונקציה ולהחיל אותו על הקבוצה שבתחום: דהיינו, ניקח את הסדר הטוב על \( \tau \) ונשרה אותו על \( \tau^{G} \) על ידי כך ש-\( y_{1}\le y_{2}\iff g\left(y_{1}\right)\le g\left(y_{2}\right) \). זה יסדר גם את \( \tau^{G} \) בסדר טוב, וסיימנו להוכיח שאקסיומת הבחירה מתקיימת עבור \( \mathcal{M}\left[G\right] \)!

סיכום הביניים המסורתי

אוקיי, אז איפה אנחנו עומדים עכשיו? המצב די טוב: סיימנו את כל עבודת ההכנה שנדרשה לנו. כל המנגנון של תורת הכפייה כבר קיים בשלמותו, רק נותר ליישם אותו פעמיים: פעם אחת כדי להראות שהשערת הרצף עקבית עם ZFC, ופעם אחת כדי להראות ששלילת השערת הרצף עקבית עם ZFC.

בואו נראה שוב מה המסלול שעברנו:

• בניית "יקום מתמטי זעיר" \( \mathcal{M} \) שבו ZFC מתקיימת (במובן מסוים, עם הסתייגויות טכניות) למרות שזה יקום בגודל של צעצוע.
• הכנסת מושגים של "תנאי כפייה" \( P \) ו"אידאל גנרי" \( G \) שבאים לתאר בניות חלקיות של הדבר שאנחנו רוצים להוסיף ל-\( \mathcal{M} \) כדי שהטענה שאנו רוצים להראות את העקביות שלה תתקיים בתוך ההרחבה של \( \mathcal{M} \).
• הגדרה של האופן שבו ההרחבה \( \mathcal{M}\left[G\right] \) הזו נבנית: אוסף של שמות-\( P \) שנבנים בתוך \( \mathcal{M} \), ואז נתינת ערך להם באמצעות \( G \) שמוציאה אותנו מגבולות \( \mathcal{M} \).
• הוכחה שכל ZFC מתקיימת גם ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), תוך שימוש אינטנסיבי במשפט היסודי שמראה לנו שאם פסוק מתקיים ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) מסוים, אז קיים ב-\( G \) איבר בודד שכופה שהפסוק יתקיים בכל הרחבה על ידי אידאל שמכיל אותו.

היה פה לא מעט לעכל, אבל זה הולך להשתלם עכשיו - עדיין נזדקק לעבודה כדי להבין את מה שהולך להגיע, אבל רוב הקושי הטכני מאחורינו ואנחנו כמעט שם.