בעקבות השערת הרצף, חלק י': מוכיחים את העקביות של השערת הרצף

פרק המבוא שבו אנחנו חוזרים בפעם ה-\( \omega \) על כל מה שקרה עד כה

בשעה טובה ומוצלחת הגענו אל הישורת האחרונה של סדרת הפוסטים על השערת הרצף. כל עבודת ההכנה הסתיימה, וכעת אפשר לגשת לעיקר - ההוכחות שהשערת הרצף מתיישבת עם ZFC, וההוכחה ששלילת השערת הרצף מתיישבת עם ZFC. שתי אלו ביחד מראות שהשערת הרצף בלתי תלויה ב-ZFC.

התוצאה הקלה יותר היא ההוכחה שהשערת הרצף מתיישבת עם ZFC. היא הוכחה על ידי קורט גדל ב-1940 בעזרת משהו שנקרא “היקום הניתן לבניה” ומסומן ב-L. זה נושא מעניין בפני עצמו, אבל בסדרת הפוסטים הזו אני לא נכנס אליו, מכיוון שיש לנו כאן סיטואציה של “שניים במחיר אחד”. ב-1963 פול כהן הוכיח ששלילת השערת הרצף מתיישבת עם ZFC; לשם כך הוא פיתח את טכניקת הכפייה שאותה הצגנו בפירוט בפוסטים הקודמים. הטכניקה הזו חזקה וכללית למדי, הרבה מעבר לשימוש המקורי שלה, ושימוש פשוט למדי שלה הוא כדי להוכיח בדרך שונה את מה שקורט גדל הוכיח ב-1940. זה מה שנעשה בפוסט הזה.

לפני שנצלול אל הבניה עצמה, בואו נזכיר את הרקע הרלוונטי ככל הניתן כך שגם מי שהתייאשו מהפוסטים הקודמים יוכלו להצטרף מחדש כאן (אני הייתי מתייאש מהם ומדלג לכאן; למעשה, זה מה שעשיתי כשלמדתי לראשונה את אי-תלות השערת הרצף, ורק כתיבת הפוסטים הכריחה אותי להיכנס לפרטים).

השערת הרצף, בניסוח שאנחנו רוצים להתבסס עליו כאן, היא הטענה \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)\cong\aleph_{1} \). כלומר, שיש התאמה חח”ע ועל בין קבוצת כל תתי-הקבוצות של המספרים הטבעיים ובין \( \aleph_{1} \) - הסודר הקטן ביותר שאינו שווה עוצמה ל-\( \omega=\left\{ 0,1,2,\ldots\right\} \). כדי להראות שהשערת הרצף מתיישבת עם ZFC צריך להראות שקיים יקום מתמטי כלשהו שבו א) כל ZFC מתקיימת ב) השערת הרצף מתקיימת.

ובכן, בנינו “יקום מתמטי זעיר” \( \mathcal{M} \) שהיה קבוצה בת מניה וטרנזיטיבית שמקיימת את כל ZFC (ליתר דיוק, מקיימת כל אקסיומה ב-ZFC שנזדקק לה). מה שהיינו שמחים אם היה קורה הוא ש-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\cong\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \). אבל רגע אחד, מה זה \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \)? ובכן, זה אומר “הסודר הקטן ביותר ב-\( \mathcal{M} \) שאינו שווה עוצמה ל-\( \omega=\left\{ 0,1,2,\ldots\right\} \)”. יש כאן נקודה עדינה שקריטי להבין בשלב הזה: כל האיברים של \( \mathcal{M} \) הם קבוצות בנות מניה; זה נובע מייד מכך ש-\( \mathcal{M} \) היא בת מניה וטרנזיטיבית (כלומר אם \( x\in\mathcal{M} \) אז \( x\subseteq\mathcal{M} \)). לכן אני קורא ל-\( \mathcal{M} \) יקום “זעיר”. לכן, גם \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) הולך להיות קבוצה בת מניה, בדיוק כמו \( \omega \). אם שניהם קבוצות בנות מניה, אז ממש על פי הגדרה זה אומר שיש פונקציה \( f:\omega\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) שהיא חח”ע ועל. העניין הוא שהפונקציה הזו לא שייכת ל-\( \mathcal{M} \). ה”זעירות” של \( \mathcal{M} \) מתבטאת גם בכך שחסרים בו איברים שאולי נראה לנו ש”אמורים להיות שם”.

אפשר, וצריך, לשאול שאלות כמו “רגע, אז למה \( \omega \) בכלל שייך ל-\( \mathcal{M} \)? ומנין לנו שבכלל קיים סודר שאינו שווה עוצמה ל-\( \omega \) בתוך \( \mathcal{M} \)?” ואלו שאלות מצוינות עם התשובה הסופר-מצוינות שאפשר להוכיח את הקיום של \( \omega \) ושל סודר שאינו שווה עוצמה ל-\( \omega \) ב-\( \mathcal{M} \), כי קיימת הוכחה כללית לקיום של הדברים הללו בהתבסס על אקסיומות ZFC, ואמרנו ש-\( \mathcal{M} \) מקיימת את ZFC. זה קסם, ללא ספק; וזה הקסם הראשון שביצענו בסדרת הפוסטים הזו.

להבדיל מ-\( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) שהוא יצור שונה מ-\( \aleph_{1} \) “הרגיל” (מה שזה לא אומר), \( \omega^{\mathcal{M}} \) הוא בדיוק, אבל בדיוק, \( \omega \). כלומר, הקבוצה \( \left\{ 0,1,2,\ldots\right\} \) כאשר \( 0=\emptyset \) ו-\( 1=\left\{ 0\right\} \) ו-\( 2=\left\{ 0,1\right\} \) וכן הלאה. גם כל המספרים הטבעיים ב-\( \mathcal{M} \) הם המספרים הטבעיים “הרגילים” - על זה אמרנו שאלו מושגים אבסולוטיים - הם אותו הדבר בכל מודל של ZFC. לכן, האיברים של \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) הם עדיין תת-קבוצות של מספרים טבעיים ולא משהו מוזר יותר; ו-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) היא אוסף כל תתי הקבוצות של טבעיים ששייכות ל-\( \mathcal{M} \) (וכאמור, יש רק מספר בן מניה של קבוצות כאלו).

אם כן, מה שאולי חסר לנו ב-\( \mathcal{M} \) הוא פונקציה \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) שהיא חח”ע ועל. אנחנו יודעים ש”ביקום המתמטי האמיתי” קיימת פונקציה כזו, כי הרי שתי הקבוצות הן בנות מניה; הבעיה היא רק ש-\( f \) הזו אולי לא שייכת ל-\( \mathcal{M} \) בעצמה. אבל גם אם היא לא שייכת, רסיסים שלה בהכרח כן שייכים ל-\( \mathcal{M} \) - רסיסים שהם פשוטים מספיק כדי שהם יהיו חייבים להיות שם. ומהרסיסים הללו נבנה את \( f \) מחדש.

בואו ננסה לבנות את \( f \) מהרסיסים, ניכשל, נבין למה נכשלנו, ואז נלמד מכך איך לתקן את הבניה כך שתצליח.

הפרק שבו אנו מנסים לבצע כפייה עם פונקציות סופיות ונכשלים באופן לא סופי

הנה לנו רעיון איך לבנות פונקציה \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) חח”ע ועל: נגדיר, בעזרת אקסיומת ההפרדה, קבוצה \( P\subseteq\mathcal{M} \) שאבריה הם כל הפונקציות \( g:A\to B \) שהן חח”ע ועל, כך ש-\( A\subseteq\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) היא קבוצה סופית וגם \( B\subseteq\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) היא קבוצה סופית. כמובן, הפונקציות ב-\( P \) יכולות להיות שונות מאוד זו מזו ולא להסכים זו עם זו, ולכן אם אנחנו רוצים לבנות מהמהומה הזו פונקציה \( f \) אנחנו צריכים לבחור איכשהו חתיכה מ-\( P \) שמתנהגת יפה. בשביל זה יש לנו את המושג של אידאל גנרי \( G\subseteq P \), שכבר הוכחנו את קיומו בעבר. אידאל גנרי כזה יקיים את התכונות הנחמדות הבאות:

• אם \( g_{1},g_{2}\in G \) אז יש להן הרחבה משותפת \( g\in G \). בפרט \( g_{1},g_{2} \) מסכימות על ערכים ששתיהן מוגדרות עליהם.
• החיתוך של \( G \) ושל כל קבוצה צפופה \( D\in\mathcal{M} \) לא ריק.

“קבוצה צפופה” פה היא קבוצה של פונקציות כך שלכל \( g\in P \) קיימת הרחבה ב-\( D \). התכונה הזו מסייעת לנו כך: לכל קבוצה של טבעיים ב-\( \mathcal{M} \), כלומר \( x\in\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \), נגדיר את \( D_{x}\subseteq P \) בתור אוסף הפונקציות ב-\( P \) שמוגדרות על \( x \) (כלומר, \( x \) שייך לתחום שלהן, לא משנה איזה ערך הן נותנות לו). זו קבוצה צפופה כי הרי כל פונקציה היא או ב-\( D_{x} \) או שאפשר להרחיב אותה בצורה קונסטרוקטיבית על ידי הגדרה שלה על \( x \) להיות איבר שרירותי של \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \), נאמר 0. בנוסף, \( D_{x}\in\mathcal{M} \) כי קל לקבל אותה בעזרת אקסיומת ההפרדה מתוך \( P \) עצמה. המסקנה היא של-\( G \) יש חיתוך לא ריק עם \( D_{x} \), כלומר קיימת ב-\( G \) פונקציה כלשהי שמוגדרת על \( x \), וזה לכל \( x\in\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \). לכן \( \bigcup G \) (האיחוד של כל הפונקציות ב-\( G \); זכרו שכל פונקציה היא בסך הכל קבוצת זוגות סדורים) הולכת להיות פונקציה שמוגדרת לכל \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) והיא חח”ע ועל.

כדי לראות שהיא חח”ע, נניח בשלילה ש-\( \left(x_{1},y\right),\left(x_{2},y\right)\in\bigcup G \) עם \( x_{1}\ne x_{2} \), אז זה אומר שקיימות \( g_{1},g_{2} \) כך ש-\( g_{1}\left(x_{1}\right)=g_{2}\left(x_{2}\right)=y \), אבל אז ניקח \( g \) שמרחיבה אותן והיא תקיים \( g\left(x_{1}\right)=g\left(x_{2}\right) \) כלומר לא תהיה חח”ע ועל, בסתירה להנחה ש-\( g\in P \). באותו אופן גם מראים ש-\( \bigcup G \) היא פונקציה במובן זה שאין \( \left(x,y_{1}\right),\left(x,y_{2}\right)\in\bigcup G \) עבור \( y_{1}\ne y_{2} \). לראות ש-\( \bigcup G \) מוגדרת לכל \( x\in\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) הראיתי קודם; נשאר רק להראות שלכל \( y\in\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) יש \( x \) שמחזיר אותו, ואת זה עושים עם טריק דומה לזה שעשינו קודם עם \( D \), רק הפעם מגדירים \( D_{y} \) בתור אוסף הפונקציות ב-\( P \) ש-\( y \) נכלל בתמונה שלהן.

אם כן, הצלחנו! בנינו פונקציה \( f=\bigcup G \) שהיא התאמה חח”ע ועל בין \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) ו-\( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \)! אלא שאין סיבה להניח ש-\( f\in\mathcal{M} \). כמובן, אם היה מתקיים \( G\in\mathcal{M} \) אז מאקסיומת האיחוד היינו מקבלים \( \bigcup G\in\mathcal{M} \). אבל אין לנו את \( G\in\mathcal{M} \).

“אה-הא!” אתן אומרות, ובצדק, “הנה מה שעבדנו עבורו כל כך קשה!”. אכן, רוב העבודה שלנו הייתה לבנות קבוצה \( \mathcal{M}\left[G\right] \) שעדיין מקיימת את ZFC ומתקיים בה \( G\in\mathcal{M}\left[G\right] \). אז אכן מתקבל מה שרצינו: ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) קיימת פונקציה חח”ע ועל \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) והפונקציה הזו היא… לא מה שאנחנו רוצים.

שיהיה ברור, זו הייתה הפונקציה שרצינו. בזמן עבר. קודם. כשהיקום המתמטי שלנו היה \( \mathcal{M} \). אבל עכשיו היקום המתמטי שלנו התרחב והפך להיות \( \mathcal{M}\left[G\right] \), ולכן ביקום המתמטי הרחב יותר הזה מה שאנחנו מחפשים הוא פונקציה \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \), ואת זה הבניה שעשינו לא נותנת לנו ולכן כל ההוכחה היפה הזו נכשלה לחלוטין.

הפרק שבו אנו מנסים לבצע כפייה עם פונקציות בנות מניה ומצליחים מעבר לכל שיעור

בואו ננסה להתאושש מהשברים. דרך אחת להתאושש: לתהות האם אולי יש שיטה פשוטה להרחיב את \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) כדי לקבל \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \). אולי יש כזו, אבל אני לא יודע מה היא; זה לא הכיוון שנלך בו.

דרך אחרת להתאושש: להבין מה בעצם יכול לקרות שיוביל לכך ש-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\ne\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) או ש-\( \aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]}\ne\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \), ללמוד מזה לקח, ולבנות מראש את \( P \) בצורה כזו שתבטיח ש-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}=\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) ו-\( \aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]}=\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) כך שהבניה שראינו כן תעבוד.

מה בעצם משתנה במעבר מ-\( \mathcal{M} \) אל \( \mathcal{M}\left[G\right] \)? אנחנו רק מוסיפים קבוצות ל-\( \mathcal{M} \), אז לא ייתכן שקבוצות קיימות ייעלמו; אבל בהחלט ייתכן שיתווספו קבוצות חדשות של מספרים טבעיים, כך ש-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) תהיה גדולה יותר מ-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \). ומה יכול לגרום לכך ש-\( \aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) כבר ל יהיה שווה אל \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \)? זה טיפה יותר טריקי: אנחנו יודעים שכל סודר שבא לפני \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) הוא שווה עוצמה אל \( \omega \), כלומר יש ב-\( \mathcal{M} \) את הפונקציה \( f \) שמראה את שוויון העוצמה הזה. מה שיכול להשתבש מבחינת \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) הוא שגם עבורו פתאום תתווסף פונקציה כזו, ותדיח את \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) ממעמדו - הוא כבר לא יהיה הסודר הקטן ביותר שאינו שווה עוצמה ל-\( \omega \) (כי כאמור, “שווה עוצמה” כאן פירוש שקיימת פונקציה שמראה את שוויון העוצמה הזה). פונקציה כזו אפשר לתאר בתור פונקציה \( g:\mathbb{N}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \). כמו כן, אם הוספנו קבוצה \( X \) של טבעיים, אז אפשר לבנות פונקציה \( g_{X}:\mathbb{N}\to\left\{ 0,1\right\} \) שהיא הפונקציה המציינת שלה: \( g_{X}\left(a\right)=\begin{cases} 1 & a\in X\\ 0 & a\notin X \end{cases} \). את הפונקציה הזו ניתן לבנות בעזרת ZFC מתוך \( X \), כך שאם \( X \) התווספה בהרחבה אל \( \mathcal{M}\left[G\right] \), גם \( g_{X} \) התווספה בהרחבה הזו. מה שאנחנו רואים פה הוא שאת שתי ה”בעיות” אפשר לתאר באותו האופן: התווספה איזו פונקציה מעצבנת מהטבעיים לקבוצה \( X \) כלשהי, וכדי לצמצם את ה”כלשהי” בצורה שתשאיר לנו תקווה להתמודד עם זה, אפשר להניח ש-\( X\in\mathcal{M} \), כלומר הוספנו פונקציה מהטבעיים לקבוצה שכבר הייתה קיימת (אנחנו צריכים לפסול רק את המקרים \( X=\left\{ 0,1\right\} \) ו-\( X=\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) שבשניהם \( X\in\mathcal{M} \), אז לא הגבלנו את עצמנו). אנחנו צריכים איכשהו לשנות את \( P \) בצורה שתמנע את הסיטואציה הזו.

למרבה השמחה, השינוי שאנחנו צריכים לבצע ב-\( P \) הוא פשוט יחסית מבחינה רעיונית: נבנה קבוצה \( P \) שאבריה הם כל הפונקציות \( g:A\to B \) שהן חח”ע ועל, כך ש-\( A\subseteq\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) היא קבוצה בת מניה וגם \( B\subseteq\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) היא קבוצה בת מניה. כאן שוב צריך להיזהר מהניואנס שמאפיין את הסיטואציה הזו: אנחנו הרי יודעים שכל \( A,B \) כאלו הם קבוצות בנות מניה בגלל היקום הזעיר של \( \mathcal{M} \), אבל כשאמרתי קודם “בת מניה” הכוונה הייתה “בת מניה ב-\( \mathcal{M} \)”, כלומר שקיימת ב-\( \mathcal{M} \) פונקציה חח”ע ועל מהקבוצות הללו אל \( \mathbb{N} \).

מה שנרצה להוכיח הוא שכאשר נבנה את \( \mathcal{M}\left[G\right] \) עבור אידאל גנרי \( G \) שנבנה מתוך ה-\( P \) הזו, לא יתווספו לנו בכלל פונקציות מהצורה \( g:\mathbb{N}\to X \) אל \( \mathcal{M}\left[G\right] \) עם \( X\in\mathcal{M} \). כלומר, כל פונקציה כזו ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) כבר הייתה קיימת ב-\( \mathcal{M} \) עצמה. אפשר יהיה להוכיח את זה כחלק מטענה כללית קצת יותר:

נאמר שקבוצה \( P \) היא \( \omega \)-סגורה אם לכל סדרה עולה אינסופית \( p_{1}\subseteq p_{2}\subseteq p_{3}\subseteq\ldots \) של אברי \( P \) גם האיחוד שלה \( \bigcup_{i=1}^{\infty}p_{i} \) שייך ל-\( P \). הטענה שנרצה להוכיח היא שאם \( P \) היא \( \omega \)-סגורה ב-\( \mathcal{M} \) ו-\( G\subseteq P \) הוא אידאל גנרי, אז לכל \( X\in\mathcal{M} \) וכל פונקציה \( g:\mathbb{N}\to X \) כך ש-\( g\in\mathcal{M}\left[G\right] \) מתקיים \( g\in\mathcal{M} \).

לפני שנוכיח את הטענה, למה \( P \) הספציפית שלנו היא \( \omega \)-סגורה? פשוט מאוד, מכיוון שאם יש לנו סדרה \( f_{1}\subseteq f_{2}\subseteq\ldots \) של פונקציות עם תחום בן מניה, אז גם האיחוד האינסופי שלהן יהיה פונקציה, ובגלל שהאיחוד בן מניה גם התחום יישאר בן מניה (איחוד של קבוצות בנות מניה הוא בן מניה). זה היה פשוט, וכל מה שנשאר לנו כדי לסיים את כל ההוכחה הוא להוכיח את הטענה על “לא מתווספות פונקציות חדשות”. כאן יגיע מה שהסתתר כל הפוסט - החלק הטכני שבו אנחנו מסתמכים יותר לעומק על הדברים הטכניים שראינו.

הפרק שבו אנחנו מגיעים לחלק הטכני!

טוב, בואו ניגש לעבודה ללא רחמים (וב”ללא רחמים” אני מתכוון “אני אשתמש כאן חופשי במושגים שראינו בפוסטים הקודמים בלי להסביר אותם מחדש”). עבור קבוצה \( X\in\mathcal{M} \) כלשהי ניקח פונקציה \( g:\mathbb{N}\to X \) ששייכת ל-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) ונראה שהיא שייכת כבר ל-\( \mathcal{M} \). כמו כל איבר אחר של \( \mathcal{M}\left[G\right] \), גם \( g=\tau^{G} \) כאשר \( \tau \) הוא שם-\( P \). מה שנרצה להוכיח הוא זה: אם \( S \) היא קבוצת הפונקציות מ-\( \mathbb{N} \) אל \( X \) ששייכות ל-\( \mathcal{M} \), אנחנו רוצים להראות \( g\in S \). לשם כך מספיק להראות שיש ב-\( G \) איבר שכופה את \( \tau\in\check{S} \). ראינו בעבר טריק כדי להוכיח דברים כאלו: אם \( D\in\mathcal{M} \) היא קבוצה צפופה מעל \( p\in G \) כלשהו, אז \( G\cap D\ne\emptyset \). אצלנו \( D \) יהיה אוסף האיברים של \( P \) שכופה את \( \tau\in\check{S} \), אבל כדי לומר משהו מועיל על \( D \) נזדקק להכנה מוקדמת.

עכשיו, קיימים שני שמות-\( P \), \( \mathbb{\check{N}},\check{X} \) כך ש-\( \mathbb{\check{N}}^{G}=\mathbb{N} \) ו-\( \check{X}^{G}=X \) (כי \( \mathbb{N},X\in\mathcal{M} \)), אז אם נתבונן בפסוק שאומר “\( \tau \) הוא פונקציה מ-\( \mathbb{\check{N}} \) אל \( \check{X} \)”, הפסוק הזה מסתפק ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), ולכן מהמשפט היסודי של תורת הכפייה קיים \( p\in G \) כך כך ש-\( p \) כופה את הפסוק הזה. זו התחלה טובה, אבל שימו לב שזה לא אומר ש-\( \tau\in\check{S} \), כי \( S \) היא לא סתם קבוצת הפונקציות מ-\( \mathbb{N} \) אל \( X \) אלא אותן פונקציות שגם שייכות ל-\( \mathcal{M} \). מה שנעשה יהיה לבנות במסגרת \( \mathcal{M} \) פונקציה ספציפית שכזו, ולהראות שיש \( p^{*} \) שכופה על \( \tau \) להיות הפונקציה הספציפית הזו.

עכשיו, בואו נסתכל על היחס \( q\Vdash\text{op}\left(\check{n},\check{x}\right)\in\tau \), כלומר \( q \) כופה על הזוג הסדור של \( \check{n},\check{x} \) להיות שייכים ל-\( \tau \). זה אוסף שלשות מהצורה \( \left(q,\check{n},\check{x}\right) \) והמשפט היסודי של תורת הכפייה מראה לנו שהוא שייך ל-\( \mathcal{M} \). מכיוון ש-\( \mathcal{M} \) מקיימת את ZFC אנחנו יכולים במסגרתה לשחזר מ-\( \left(q,\check{n},\check{x}\right) \) את השלשה \( \left(q,n,x\right)\in P\times\mathbb{N\times X} \), ולכן אם נסמן ב-\( T\subseteq P\times\mathbb{N\times X} \) את אוסף השלשות הללו כך ש-\( q\Vdash\text{op}\left(\check{n},\check{x}\right)\in\tau \), נקבל ש-\( T\in\mathcal{M} \). עכשיו בואו נראה איך \( T \) הזה מתקשר אל \( p \).

לכל \( n\in\mathbb{N} \), נסתכל על אוסף ה-\( q \)-ים כך שקיים \( x \) עבורו \( \left(q,n,x\right)\in T \). האוסף הזה צפוף מעל \( p \), כלומר לכל הרחבה של \( p \) יש הרחבה ששייכת לאוסף. בואו נוכיח את זה: ניקח הרחבה \( p\subseteq p^{\prime} \) וניקח אידאל גנרי \( G^{\prime} \) כך ש-\( p^{\prime}\in G^{\prime} \) (כזכור, ראינו בניה שמחזירה אידאל גנרי שמכיל איבר ספציפי). מכיוון ש-\( p\subseteq p^{\prime} \) הרי ש-\( p^{\prime} \) כופה כל דבר ש-\( p \) כופה (גם את הטענה הזו ראינו בעבר) ולכן, מכך ש-\( p^{\prime}\in G^{\prime} \) ומכך ש-\( p \) כופה ש-\( \tau \) הוא פונקציה, נקבל שב-\( \mathcal{M}\left[G^{\prime}\right] \) מתקיים ש-\( \tau^{G^{\prime}} \) היא פונקציה מ-\( \mathbb{N} \) אל \( X \). לכן, עבור ה-\( n \) שלקחנו בתחילת הפסקה הזו, אנחנו יודעים שקיים \( x\in X \) כך ש-\( \left(n,x\right)\in\tau^{G^{\prime}} \). עכשיו נשתמש שוב במשפט היסודי של תורת הכפייה: אם ב-\( G^{\prime} \) מתקיים \( \left(n,x\right)\in\tau^{G^{\prime}} \), זה אומר שיש \( q\in G^{\prime} \) שכופה את זה - זה בדיוק \( q\Vdash\text{op}\left(\check{n},\check{x}\right)\in\tau \). אם \( p^{\prime} \) לא מוכל ב-\( q \) ניקח, כרגיל, הרחבה משותפת לשניהם; היא עדיין תעבוד.

אז מה יש לנו? ראשית, יש לנו את \( p\in G \) שכופה את הפסוק שאומר ש-\( \tau \) היא פונקציה מ-\( \mathbb{\check{N}} \) אל \( \check{X} \). עכשיו אנחנו לוקחים הרחבה \( p\subseteq p^{\prime} \) של \( p \) כי המטרה שלנו היא בסוף להראות שקבוצה \( D \) כלשהי היא צפופה מעל \( p \), כלומר שכל הרחבה \( p^{\prime} \) שכזו ניתנת להרחבה נוספת שתהיה בתוך \( D \). עכשיו נשיג את ההרחבה הנוספת על ידי שימוש בצפיפות של \( T \) שזה עתה הראינו כדי לבנות את הסדרה האינסופית \( p^{\prime}\subseteq p_{0}\subseteq p_{1}\subseteq p_{2}\subseteq\ldots \) באופן הבא: ראשית, עבור \( n=0 \), אוסף ה-\( q \)-ים כך שקיים \( x \) עבורו \( \left(q,0,x\right)\in T \) הוא צפוף מעל \( p \) ולכן עבור \( p^{\prime} \) (הרחבה כלשהי של \( p \)) קיימים \( p_{0} \) ו-\( x_{0} \) כך ש-\( p^{\prime}\subseteq p_{0} \) וגם \( p_{0} \) כופה את \( \text{op}\left(\check{0},\check{x}_{0}\right)\in\tau \). עכשיו, אינדוקטיבית, נניח שכבר בנינו את כל אברי הסדרה עד \( p_{n-1} \), אז כעת אוסף ה-\( q \)-ים כך שקיים \( x \) עבורו \( \left(q,n,x\right)\in T \) הוא צפוף מעל \( p \) ולכן עבור \( p_{n-1} \) (שגם הוא הרחבה כלשהי של \( p \)) קיימים \( p_{n} \) ו-\( x_{n} \) כך ש-\( p_{n-1}\subseteq p_{n} \) וגם \( p_{n} \) כופה את \( \text{op}\left(\check{n},\check{x}_{n}\right)\in\tau \).

בנינו סדרה אינסופית וכזכור, ההנחה שלנו בתחילת ההוכחה הייתה ש-\( P \) היא \( \omega \)-סגורה, אז עכשיו הרגע להשתמש בה ולקבל שקיים \( p^{*}=\bigcup_{n=0}^{\infty}p_{n}\in P \). מכיוון ש-\( p^{*} \) מכיל כל \( p_{n} \), הוא כופה כל טענה מהצורה \( \text{op}\left(\check{n},\check{x}\right)\in\tau \) לכל \( n\in\mathbb{N} \), ולכן בכל אידאל \( G^{\prime} \) שמכיל את \( p^{*} \), מתקיים ש-\( \tau^{G^{\prime}} \) הוא א) פונקציה מ-\( \mathbb{N} \) אל \( X \) (כי \( p\subseteq p^{*} \) כופה את זה) וב) זו בדיוק הפונקציה \( h\left(n\right)=x_{n} \) כאשר ה-\( x_{n} \) הם האיברים שאספנו בשלב הבניה הקודם.

עכשיו, וזו נקודה עדינה, שלב הבניה הזה התבצע כולו במסגרת \( \mathcal{M} \). כלומר, את הסדרה \( x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \) (שהיא בעצם הפונקציה \( h \) הזו) בנינו במסגרת \( \mathcal{M} \), ולכן \( h\in\mathcal{M} \), ובפרט \( h\in S \) כאשר \( S \) היא הקבוצה שדיברתי עליה בהתחלה, של הפונקציות מ-\( \mathbb{N} \) אל \( X \) שהן ב-\( \mathcal{M} \). כלומר, לכל \( G^{\prime} \) שמכיל את \( p^{*} \) מתקיים ש-\( \tau^{G^{\prime}}\in\check{S}^{G^{\prime}} \), מה שאומר ש-\( p^{*} \) כופה את \( \tau\in\check{S} \).

בואו נסכם מה עשינו פה. יש לנו פונקציה \( g:\mathbb{N}\to X \) כך ש-\( g\in\mathcal{M}\left[G\right] \) ואנחנו רוצים להראות ש-\( g\in S \). מכיוון ש-\( g=\tau^{G} \), מספיק לנו להראות שיש ב-\( G \) איבר כלשהו שכופה את \( \tau\in\check{S} \). מובטח לנו שיהיה איבר כזה אם הקבוצה \( D \) של האיברים שכופים את \( \tau\in\check{S} \) תהיה א) שייכת ל-\( \mathcal{M} \) וב) צפופה מעל \( p \). בשביל א) יש לנו את המשפט היסודי שהראה שיחס כפיה כזו הוא משהו שניתן לנסח במסגרת \( \mathcal{M} \), ובשביל ב) הראינו שלכל הרחבה \( p\subseteq p^{\prime} \) קיימת הרחבה \( p^{\prime}\subseteq p^{*} \) ששייכת ל-\( D \), מה שמראה ש-\( D \) אכן צפופה מעל \( p \), מה שמסיים את ההוכחה.

סיכום זריז לפני שממשיכים אל מה שהיה היעד שלנו לכל אורך הדרך

הצלחנו! הוכחנו את הטענה הבאה: “אם ZFC עקבית, אז גם ZFC+CH עקבית”. בואו נבין את התמונה הגדולה של ההוכחה, עכשיו משסיימנו לטבוע בפרטים הקטנים.

1. הגדרנו קבוצת תנאי כפיה \( P \) של פונקציות חח"ע ועל מתת קבוצה בת מניה של \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) אל תת-קבוצה של \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \).
2. לקחנו אידאל גנרי \( G\subseteq P \) והרחבנו את \( \mathcal{M} \) לקבלת \( \mathcal{M}\left[G\right] \) שמקיימת את ZFC על פי הטכניקה שראינו בפוסטים הקודמים.
3. הראינו ש- \( G\in\mathcal{M}\left[G\right] \) ושבמקרה שלנו, \( \bigcup G \) נותן לנו פונקציה חח"ע ועל \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \)
4. הראינו שבהרחבה הזו לא נוצרות פונקציות חדשות מהטבעיים, ולכן \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}=\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) וגם \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]}=\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \).
5. המסקנה היא שבתוך \( \mathcal{M}\left[G\right] \) יש לנו התאמה חח"ע ועל \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \), כלומר השערת הרצף CH מתקיימת בתוך \( \mathcal{M}\left[G\right] \).
6. קיבלנו "יקום מתמטי זעיר" שבו גם ZFC וגם CH מתקיימים בו זמנית, ולכן המסקנה היא ש-CH מתיישבת עם ZFC, כלומר לא ניתן להפריך את CH מתוך ZFC.

כל מה שנשאר לנו כדי להשלים את ההוכחה שהשערת הרצף בלתי תלויה ב-ZFC הוא לבנות \( \mathcal{M}\left[G\right] \) אחר שבו דווקא \( \neg\text{CH} \) (שלילת השערת הרצף) מתקיימת. את זה נעשה בפוסט הבא, שיהיה האחרון בסדרת הפוסטים הזו!