בעקבות השערת הרצף, חלק י"א ואחרון: מוכיחים את העקביות של שלילת השערת הרצף

פרק המבוא שבו אנחנו חוזרים על מה שקרה קודם בפעם האחרונה

זהו, הגענו לרגע האמת: בפוסט הזה נסיים להוכיח את אי-התלות של השערת הרצף באקסיומות ZFC. מה שנשאר לנו לעשות הוא ההוכחה ששלילת השערת הרצף, מה שאני מסמן ב-\( \neg\text{CH} \), מתיישבת עם ZFC - כלומר, לבנות מודל שבו ZFC ו-\( \neg\text{CH} \) מתקיימות בו זמנית. האתגר של לעשות את זה נותר בעיה פתוחה מסוף המאה ה-19 ועד ל-1963, אז פול כהן הוכיח זאת באמצעות טכניקת הכפייה שפיתח וראינו במשך סדרת הפוסטים הזו. מכיוון שאני עוקב אחרי הספר של Weaver בכל הפוסטים אני אפילו לא יודע לומר אם מה שנראה הפעם הוא בדיוק מה שכהן עשה או גרסה מודרנית יותר.

השערת הרצף היא הטענה ש-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)\cong\aleph_{1} \) - עוצמת קבוצת החזקה של הטבעיים זהה לעוצמה הקטנה ביותר שגדולה מעוצמת \( \mathbb{N} \). הרעיון בכפיה הוא להצטמצם ל”יקום מתמטי זעיר” \( \mathcal{M} \) שהוא טרנזיטיבי בן מניה אבל איכשהו מצליח במובן מסויים לקיים את כל ZFC. ביקום הזה \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) הוא אוסף כל קבוצות הטבעיים ששייכות ל-\( \mathcal{M} \) ואילו \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) הוא הסודר הקטן ביותר ששייך ל-\( \mathcal{M} \) כך שאין ב-\( \mathcal{M} \) פונקציה חח”ע ועל בינו ובין \( \mathbb{N} \) (שימו לב לניואנס - קיימת פונקציה כזו, כי הרי \( \mathcal{M} \) הוא בן מניה וטרנזיטיבי כך שכל איבר שלו גם כן בן מניה; פשוט הפונקציה הזו לא שייכת ל-\( \mathcal{M} \)).

עכשיו, הרעיון הוא איכשהו להרחיב את \( \mathcal{M} \) ליקום-מתמטי-זעיר-אבל-פחות \( \mathcal{M}\left[G\right] \) שבו מובטח לנו שתכונה מועילה כלשהי מתקיימת. בפוסט הקודם עבדנו לא מעט כדי להראות שמתקיים \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\cong\aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) - כלומר, ביקום הזעיר \( \mathcal{M}\left[G\right] \) שבנינו השערת הרצף כן התקיימה כי בנינו במפורש פונקציה חח”ע ועל בין \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) ובין \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \). הפעם אנחנו רוצים לעשות את ההפך ולהוכיח שהיא לא מתקיימת. אפשר היה לקוות שאולי אפשר לבנות \( \mathcal{M}\left[G\right] \) שבו מתקיים \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\cong\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \), אבל השיטה שהשתמשנו בה בפוסט הקודם לא מסוגלת לעשות את זה (ואסביר עוד מעט למה).

במקום זה, מה שנעשה הוא לבנות \( \aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) קבוצות שונות של טבעיים ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \). זה לא מוכיח \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\cong\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) אלא “רק” \( \left|\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\right|\ge\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \), אבל זה די והותר כדי להראות ש-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\not\cong\aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) ולכן השערת הרצף לא מתקיימת. האופן הפורמלי שבו נבנה את הקבוצות הללו של הטבעיים הוא על ידי בנייה של אובייקט אחד ספציפי: פונקציה \( f:\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}}\to\left\{ 0,1\right\} \). הפוסט הולך לסבוב סביב האובייקט הזה - בעזרת איזו קבוצה \( P \) של תנאי כפייה בונים אותו, ואילו תכונות נחמדות הבניה הזו מקיימת (כפי שנראה, הבניה הזו משמרת עוצמות, כלומר הסודרים שהם עוצמות ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) הם אותם איברים בדיוק כמו ב-\( \mathcal{M} \)).

בואו ניגש לעבודה.

פרק ראשון, שבו אנו מזכירים לעצמנו איך כפיות עובדות, ורואים מה עובד ולא עובד במקרה שלנו

בואו נזכיר לעצמנו איך כפיות עובדות על ידי חזרה זריזה על מה שקרה בפוסט הקודם. ראשית, מגדירים קבוצה \( P\in\mathcal{M} \) של תנאי כפיה - בפוסט הקודם לקחנו את \( P \) להיות פונקציות חח”ע ועל בין תת-קבוצה בת מניה של \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) ותת-קבוצה בת מניה של \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \). פורמלית, פונקציות חח”ע ועל ועל \( g:A\to B \) כך ש-\( A\subseteq\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \), \( B\subseteq\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) וגם \( A,B \) בנות מניה. אחר כך לקחנו אידאל גנרי \( G\subseteq P \) של תנאי הכפיה, ובנינו את ההרחבה \( \mathcal{M}\left[G\right] \). מכיוון ש-\( G\in\mathcal{M}\left[G\right] \) (זו מהות בניית ההרחבה, שהדבר הזה יתקיים) אז \( \bigcup G\in\mathcal{M}\left[G\right] \) (אקסיומת האיחוד), אבל \( \bigcup G \) היה איחוד של פונקציות שכולן מסכימות זו עם זו כך שהתוצאה הייתה פונקציה חח”ע ועל בעצמה מתת-קבוצה של \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) אל תת-קבוצה של \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \). בשלב הזה השתמשו בתכונה המהותית של אידאל גנרי - חיתוך לא רק עם כל \( D\in\mathcal{M} \) צפופה - והראינו שעבור האיחוד הזה \( A=\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) ו-\( B=\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) כך שקיבלנו פונקציה חח”ע ועל \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \). עד כאן הכל טוב ויפה, אבל פה הגיעה נקודה עדינה שמסבכת את הכל.

הנקודה העדינה הייתה שפונקציה \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) ששייכת ל-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) לא מראה שהשערת הרצף מתקיימת ב-\( \mathcal{M} \) (כי בשביל זה היא הייתה צריכה להיות שייכת ל-\( \mathcal{M} \), לא ל-\( \mathcal{M}\left[G\right] \)), והיא גם לא מראה שהשערת הרצף מתקיימת ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) כי בשביל להראות את זה צריך למצוא פונקציה \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\to\aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \). ה”חשש” שלנו הוא שבמעבר מ-\( \mathcal{M} \) אל \( \mathcal{M}\left[G\right] \) גם ישתנו לנו מושגים בסיסיים כמו “קבוצת כל תתי הקבוצות של טבעיים” ו”המונה האינסופי הראשון שגדול מ-\( \aleph_{0} \)”. זה באמת מה שקרה בגרסה הראשונה שלנו, שבה הכפייה בוצעה עם פונקציות שהתחום שלהן סופי; לכן עברנו לדבר על תחום בן מניה, מה שפתר באופן קסום (עם עבודה טכנית) את הבעיה.

ספציפית, מה שהראינו היו שני דברים:

• ה-\( P \) הזה מקיים תכונה שנקראת "\( \omega \)-סגירות"
• כל כפייה עם \( P \) שמקיים \( \omega \)-סגירות לא יכולה להוסיף פונקציות חדשות \( f:\mathbb{N}\to X \) עבור כל קבוצה \( X \).

זה עזר לנו בשתי דרכים: ראשית, \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}=\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) כי אפשר לזהות “תת קבוצה של טבעיים” עם “פונקציה מהטבעיים אל \( \left\{ 0,1\right\} \)” (מה שנקרא הפונקציה המציינת של הקבוצה) אז אם אין פונקציות חדשות, גם אין תת-קבוצות חדשות של טבעיים.

שנית, \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}}=\aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \), כלומר יש לנו שימור עוצמה עבור העוצמה \( \aleph_{1} \); היא לא משתנה במעבר מ-\( \mathcal{M} \) אל \( \mathcal{M}\left[G\right] \). כדי להבין למה, צריך לחשוב איך היא בכלל יכולה להשתנות. יכולים לקרות שני דברים רעים מבחינתה:

1. סודר קטן ממנה, שקודם היה שקול אל \( \omega \), יפסיק להיות שקול אל \( \omega \) ולכן \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) כבר לא יהיה הסודר הקטן ביותר שלא שקול ל-\( \omega \).
2. \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) יהפוך לשקול ל-\( \omega \) בעצמו ולכן כבר לא יהיה כבר לא יהיה הסודר הקטן ביותר שלא שקול ל-\( \omega \).

מקרה 1 הוא בלתי אפשרי באופן כללי כשמבצעים כפיה; כפיה לא מסירה איברים מהעולם, רק מוסיפה להם. כדי להפסיק להיות שקול ל-\( \omega \) צריך שהפונקציה החח”ע ועל בינך ובין \( \omega \) תיעלם מהעולם, וכפיה לא משיגה את האפקט הזה.

אם מקרה 2 מתרחש, זה אומר שצצה לנו פונקציה חדשה שמראה שקילות בין \( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) ובין \( \omega \), כלומר פונקציה \( f:\mathbb{N}\to X \) חדשה כש-\( X=\aleph_{1}^{\mathcal{M}} \) (כזכור, \( \mathbb{N} \) ו-\( \omega \) הן אותה קבוצה בדיוק, אני פשוט כותב \( \omega \) כשחשוב לי לחשוב על הקבוצה הזו בתור סודר). עכשיו, כפי שאמרנו - פונקציות חדשות כאלו לא יכולות לצוץ, ולכן מקרה 2 נמנע. זה סיים את ההוכחה שראינו בפוסט הקודם: קיבלנו \( \mathcal{M}\left[G\right] \) שבה השערת הרצף כן מתקיימת.

ועכשיו השאלה - למה לא לעשות את אותו הדבר גם עבור ההוכחה שהשערת הרצף לא מתקיימת? כדי להוכיח את זה, מספיק לבנות פונקציה חח”ע ועל \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\to\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \); פונקציה כזו תוכיח שהעוצמה של \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) היא לא העוצמה הקטנה ביותר שגדולה מ-\( \omega \), וחסל. אז אנחנו מגדירים תנאי כפייה \( P \) של פונקציות חח”ע ועל מתת-קבוצות בנות מניה של \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}} \) לתת-קבוצות בנות מניה של \( \aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) ובונים את \( \mathcal{M}\left[G\right] \) כמו קודם, ואנחנו יודעים שיש לנו שם פונקציה \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\to\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \), ואנחנו יודעים מהדבר הזה עם תכונת ה-\( \omega \)-סגירות שמתקיים \( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}=\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]} \), אז מה חסר לנו?

חסר לנו \( \aleph_{2}^{\mathcal{M}}=\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \), כלומר להראות שהקטע הזה של שימור עוצמות מתקיים עבור תנאי הכפיה שלנו גם עבור עוצמות גדולות מ-\( \aleph_{1}^{\mathcal{M}} \). ואת זה פשוט אין לנו. מה שתכונת ה-\( \omega \)-סגירות נותנת לנו הוא שעוצמה לא יכולה “לקרוס” ולהפוך לשקולה ל-\( \omega \), כי זה ידרוש פונקציה חח”ע ועל חדשה מ-\( \omega \) אליה; אבל העוצמה בהחלט עלולה לקרוס אל עוצמה קטנה יותר ממנה שעדיין גדולה מ-\( \omega \), כלומר אנחנו עשויים לקבל למשל ש-\( \aleph_{2}^{\mathcal{M}}\sim\aleph_{1}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \), מה שאומר ש-\( \aleph_{2}^{\mathcal{M}}\ne\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \). במילים אחרות, אם נרצה לומר משהו על עוצמות שגדולות מ-\( \aleph_{1} \), יהיה מועיל אם קבוצת תנאי הכפייה שלנו תקיים תנאי יותר חזק מה-\( \omega \)-סגירות במובן זה שהוא מבטיח לנו יותר שימור עוצמות. זה בדיוק מה שהולך לקרות בפועל: אנחנו נשתמש בתנאי כפייה שמקיימים תכונה שמבטיחה שימור עוצמות מוחלט: כל סודר ב-\( \mathcal{M} \) שהיה עוצמה (כלומר, לא היה שקול לסודר קטן ממנו) יישאר עוצמה גם ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \).

עכשיו, מה היעד שלנו? כאמור, אנחנו לא הולכים לנסות לבנות פונקציה חח”ע ועל \( f:\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\to\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) כי תנאי הכפייה שמניבים לנו פונקציה כזו לא משמרים עוצמות. לכן אנחנו מנסים לבנות משהו אחר: פונקציה חח”ע ועל \( f:\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}}\to\left\{ 0,1\right\} \). הרעיון בפונקציה כזו היא קידוד של \( \aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) קבוצות שונות של טבעיים. תחשבו על זה ככה: לכל סודר \( \alpha\in\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) נגדיר קבוצה \( A_{\alpha}\subseteq\mathbb{N} \) על ידי \( A_{\alpha}=\left\{ n\in\mathbb{N}\ |\ f\left(n,\alpha\right)=1\right\} \) (כלומר, הפונקציה \( f_{\alpha}\left(n\right)=f\left(n,\alpha\right) \) היא הפונקציה המציינת של הקבוצה). עכשיו, אם \( A_{\alpha}\ne A_{\beta} \) לכל שתי קבוצות שמקודדות בצורה כזו, קיבלנו \( \aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) תת-קבוצות שונות של \( \mathbb{N} \), מה שמראה שבתוך \( \mathcal{M}\left[G\right] \) מתקיים \( \left|\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\right|\ge\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \).

עכשיו צריך לשים לב לשני דברים: ראשית, תכונת שימור העוצמות מראה לנו ש-\( \aleph_{2}^{\mathcal{M}}=\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \). שנית, אנחנו לא יודעים ש-\( \mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}=\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) אבל אנחנו גם לא צריכים את זה כי מה שאנחנו כן יודעים שבמעבר מ-\( \mathcal{M} \) אל \( \mathcal{M}\left[G\right] \) מספר תתי-הקבוצות של טבעיים יכול רק לגדול (הרי כפיה לא מסירה איברים מהעולם, כמו שכבר אמרתי). לכן \( \left|\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\right|\ge\left|\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}}\right|\ge\aleph_{2}^{\mathcal{M}}=\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) וקיבלנו את מה שרצינו: \( \left|\mathcal{P}\left(\mathbb{N}\right)^{\mathcal{M}\left[G\right]}\right|\ge\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) היא שלילת השערת הרצף, והיא מתקיימת בתוך \( \mathcal{M}\left[G\right] \).

איך נבנה את הפונקציה \( f:\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}}\to\left\{ 0,1\right\} \)? זה החלק הפשוט בכל העניין: כמו בנסיון הראשון והנאיבי שלנו לבנות את הפונקציה בפוסט הקודם. פשוט נסתכל על קבוצת הפונקציות מתת-קבוצה סופית של התחום אל הטווח. כלומר, \( P \) שלנו יכלול את כל הפונקציה \( f:X\to\left\{ 0,1\right\} \) כך ש-\( X\subseteq\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) ו-\( X \) סופית. בכל היתר יטפל הקסם הזה של לקחת אידאל גנרי \( G \): ניקח כזה, נגדיר \( f=\bigcup G \), ונראה בהמשך שהכל יסתדר - גם נקבל פונקציה \( f:\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}}\to\left\{ 0,1\right\} \) שמוגדרת על כל \( \mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) וגם הפונקציה הזו תקודד קבוצות שונות. זו אולי הפעם הראשונה שאני באמת מרגיש כמה תכונת ה”גנריות” הזו חזקה. אבל את זה נשמור לסוף הפוסט. ראשית נדבר על התוצאה הכללית יותר: איזה תנאי קבוצת תנאי הכפייה שלנו תקיים שיבטיח שימור עוצמות?

פרק שני, שבו ccc משמר עוצמות

אפשר לשכוח לרגע מהשערת הרצף ומכל הדיון שסביבה. אנחנו חוזרים, בפעם האחרונה, להראות תוצאה “אבסטרקטית” על קבוצה כללית \( P \) של תנאי כפיה: טענה מהצורה “אם \( P \) מקיימת כך-וכך, אז במעבר מ-\( \mathcal{M} \) אל \( \mathcal{M}\left[G\right] \) כל סודר אינסופי שהיה עוצמה ב-\( \mathcal{M} \) נשאר עוצמה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \)”. צריך להתחיל מתיאור הכך-וכך, שהוא תכונה שנקראת ccc - קיצור של Countable Chain Condition. כפי שנראה עוד רגע, זה שם קצת מטעה כי האובייקט שהמספר שלו הולך להיות בן מניה לא יהיה chain אלא דווקא antichain, והשם הוא הפוך בגלל מה שנקרא במתמטיקה “סיבות היסטוריות” שלא ניכנס אליהן. לכן אני אבדוק ב-ccc וחסל.

בשביל ההגדרה, בואו נגיד ששני איברים \( p_{1},p_{2}\in P \) הם מתואמים אם קיימת להם הרחבה משותפת, \( q\in P \) כך ש-\( p_{1}\subseteq q \) וגם \( p_{2}\subseteq q \) (בשביל אינטואיציה, תחשבו ש-\( p_{1},p_{2} \) מייצגים פונקציות; קיום הרחבה משותפת אומר שעל הקלטים שמשותפים ל-\( p_{1},p_{2} \) שתי הפונקציות הללו מסכימות, כלומר הן “מתואמות ביניהן” על קלטים משותפים). עכשיו, אנטי-שרשרת ב-\( P \) היא קבוצה של איברים שכל זוג מהם הם בלתי מתואמים (כלומר לא משנה איזה זוג איברים שונים ניקח מתוך הקבוצה, לא תהיה להם התאמה משותפת). אנחנו אומרים ש-\( P \) היא ccc אם כל אנטי-שרשרת היא בת מניה. במילים אחרות: כל הקבוצות של איברים בלתי מתואמים הן די קטנות. זה שומר את הכאוס ברמה נמוכה.

עכשיו בואו נראה רגע את התמונה הגדולה של איך להוכיח שימור עוצמות. ראשית, המספרים הטבעיים לא משתנים כשמבצעים כפייה ולכן כולם משתמרים כמות שהם ולכן כל העוצמות הסופיות משתמרות אבל זה לא עוזר לנו בכל מקרה. לכן מלכתחילה אני אדבר רק על שימור של עוצמות אינסופות. עכשיו, נניח ש-\( \alpha\in\mathcal{M} \) הוא סודר אינסופי כך ש-\( \alpha \) אינו עוצמה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \). אני רוצה להראות ש-\( \alpha \) אינו עוצמה כבר ב-\( \mathcal{M} \) (השקול הלוגי של “אם \( \alpha \) עוצמה ב-\( \mathcal{M} \) אז \( \alpha \) עוצמה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \)” הוא “אם \( \alpha \) אינו עוצמה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) אז \( \alpha \) אינו עוצמה ב-\( \mathcal{M} \)”).

אם \( \alpha \) אינו עוצמה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), המשמעות היא שקיימת פונקציה חח”ע ועל \( f:\alpha\to\beta \) כך ש-\( \beta<\alpha \) הוא סודר קטן מ-\( \alpha \). היינו רוצים כמובן להראות ש-\( f\in\mathcal{M} \) ומקלקל ל-\( \alpha \) את היכולת להיות סודר כבר ב-\( \mathcal{M} \), אבל זה קצת יותר מדי בשבילנו. במקום זה נראה שקיימת פונקציה אחת, \( g\in\mathcal{M} \), שבמובן מסוים מהווה קירוב של \( f \) ולמרות שהיא לא פונקציה חח”ע ועל מ-\( \alpha \) אל \( \beta \) היא תספיק כדי להראות ש-\( \left|\alpha\right|=\left|\beta\right| \) (ששניהם שקולי עוצמה) על ידי אחת התוצאות הבסיסיות בחשבון עוצמות: אנחנו נראה ש-\( \left|\alpha\right|=\aleph_{0}\cdot\left|\beta\right| \) ונתבסס על כך ש-\( \aleph_{0}\cdot\left|\beta\right|=\left|\beta\right| \) לכל עוצמה אינסופית. ה-\( \aleph_{0} \) הזה? הוא מגיע ישירות מכך שהגודל המקסימלי של אנטי-שרשרת ב-\( P \) הוא \( \aleph_{0} \). זה הרעיון, ועכשיו נשאר רק להיכנס לפרטים.

הנה משפט העזר על ה”קירוב”:

אם עבור \( P\in\mathcal{M} \) מתקיים ccc ו-\( G \) הוא אידאל גנרי של \( \mathcal{M} \), ו-\( f:X\to Y \) היא פונקציה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) כך ש-\( X,Y\in\mathcal{M} \) אז קיימת פונקציה \( g:X\to\mathcal{P}\left(Y\right) \) כך ש-\( g\in\mathcal{M} \) ולכל \( x\in X \) מתקיים ש-\( f\left(x\right)\in g\left(x\right) \), ו-\( g\left(x\right) \) היא בת מניה ב-\( \mathcal{M} \).

כלומר, ה”קירוב” \( g \) לא בדיוק מחזיר את \( f\left(x\right) \) לכל \( x \), אבל הוא כן מחזיר קבוצה של כמה ערכים ש-\( f\left(x\right) \) נמצא ביניהם, והקבוצה הזו היא לא גדולה מדי, כלומר היא בת מניה ב-\( \mathcal{M} \). שווה להזכיר מה זה אומר, “בת מניה ב-\( \mathcal{M} \)”: זה אומר שקיימת התאמה חח”ע ועל בין הקבוצה ובין \( \mathbb{N} \) וההתאמה הזו שייכת ל-\( \mathcal{M} \) בעצמה. לכן אני לא יכול לומר סתם “בת מניה” כי הרי כל האיברים של \( \mathcal{M} \) בני מניה.

אוקיי, בואו נוכיח את הטענה! זו תהיה הפעם האחרונה שניכנס לבפנוכו של ההגדרות של ביצוע כפיה. מה שנתון לנו הוא הפונקציה שאנחנו רוצים לקרב, \( f\in\mathcal{M}\left[G\right] \). כמו כל איבר אחר ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), \( f=\tau^{G} \) עבור שם-\( P \) כלשהו \( \tau \). עכשיו, מכיוון שב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) מתקיימת הטענה “\( \tau^{G} \) הוא פונקציה מ-\( X \) אל \( Y \)” אז המשפט היסודי של תורת הכפייה נותן לנו איבר \( p\in P \) שכופה את הפסוק “\( \tau \) הוא פונקציה מ-\( \check{X} \) אל \( \check{Y} \)” (כזכור, \( \check{X} \) הוא שם-\( P \) שמקיים \( \check{X}^{G}=X \); ראינו שקיים כזה כשהצגנו כפיה לראשונה).

עכשיו נגדיר פונקציה \( g\in\mathcal{M} \) בצורה הבאה: לכל \( x\in X \), נגדיר את \( g\left(x\right) \) להיות קבוצת כל ה-\( y\in Y \) כך שקיים \( q\supseteq p \) שכופה את הפסוק “{} \( \text{op}\left(\check{x},\check{y}\right)\in\tau \)”. פורמלית:

\( g\left(x\right)=\left\{ y\in Y\ |\ \exists q\supseteq p:q\Vdash\text{op}\left(\check{x},\check{y}\right)\in\tau\right\} \)

מה קורה כאן? כזכור, \( \text{op} \) זו הדרך שלנו לבנות שם-\( P \) עבור זוג סדור: הביטוי \( \text{op}\left(\check{x},\check{y}\right) \) בסך הכל משמעותו שם-\( P \) שמקיים \( \text{op}\left(\check{x},\check{y}\right)^{G}=\left(x,y\right) \) לכל אידאל גנרי \( G \). אז אינטואיטיבית, \( g\left(x\right) \) הוא קבוצת כל ה-\( y \)-ים שאפשר עבורם לכפות את הטענה ש-\( f\left(x\right)=y \) בעזרת איבר שמרחיב את \( p \).

עכשיו, העניין הוא שההגדרה של \( g\left(x\right) \) משתמשת כולה רק במושגים של \( \mathcal{M} \). כזכור, חלק מרכזי מהמשפט היסודי עסק בכך שאפשר להגדיר את היחס \( \Vdash \) במסגרת \( \mathcal{M} \) בלבד. זה אומר שלכל \( x \), אנו יכולים לבנות את \( g\left(x\right) \) במסגרת \( \mathcal{M} \) ולכן \( g\in\mathcal{M} \).

עכשיו, הדרישה שיתקיים \( f\left(x\right)\in g\left(x\right) \) מתקבלת מאוד בקלות: מכיוון שעבור \( y=f\left(x\right) \) אנחנו יודעים שב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) מתקיים \( \left(x,y\right)\in f \), אז מהמשפט היסודי של תורת הכפייה אנחנו יודעים שקיים \( q\in G \) שכופה את \( \text{op}\left(\check{x},\check{y}\right)\in\tau \) עבור ה-\( y \) הספציפי הזה. כרגיל, לא בטוח ש-\( p\subseteq q \) אבל אם זה לא קורה, אפשר להחליף את \( q \) בהרחבה משותפת שלו ושל \( p \), כי מעבר להרחבה משותפת הזו משמר את כל מה שהאיבר המקורי כפה.

נשאר רק להראות ש-\( g\left(x\right) \) היא לא “גדולה מדי” - שהיא בת מניה. כאן בדיוק תנאי ה-ccc אמור לבוא לידי ביטוי כי טרם השתמשנו בו. אבל הוא מופיע ממש באופן טבעי כאן: אנחנו יודעים שלכל \( y\in g\left(x\right) \) קייים \( q_{y}\supseteq p \) כך ש-\( q_{y}\Vdash\text{op}\left(\check{x},\check{y}\right)\in\tau \), פשוט כי זו ההגדרה של \( g\left(x\right) \). הפואנטה היא שעבור \( y_{1}\ne y_{2} \), בהכרח \( q_{y_{1}} \) ו-\( q_{y_{2}} \) יהיו בלתי מתואמים, כי אם קיימת להם הרחבה משותפת \( q \), אז בכל אידאל גנרי \( G^{\prime} \) שמכיל את \( q \), אנחנו נקבל שב-\( \mathcal{M}\left[G^{\prime}\right] \) גם \( \left(x,y_{1}\right)\in f \) וגם \( \left(x,y_{2}\right)\in f \), וזה כמובן בלתי אפשרי שכן \( p\subseteq q \) ולכן \( q \) כופה גם את זה שב-\( \mathcal{M}\left[G^{\prime}\right] \) \( f \) היא פונקציה. אם כן, \( g\left(x\right) \) היא אנטי-שרשרת ב-\( P \), ולכן מכיוון שב-\( \mathcal{M} \) מתקיימת תכונת ccc עבור \( P \), אנחנו יודעים שב-\( \mathcal{M} \) האנטי-שרשרת \( g\left(x\right) \) היא בת מניה. זה מסיים את משפט העזר על ה”קירוב”.

נחזור אל הדבר המרכזי שאנחנו רוצים להוכיח - שימור עוצמות. לפני שנתחיל אני מזכיר טענה שדיברנו עליה בעבר - המעבר מ-\( \mathcal{M} \) אל \( \mathcal{M}\left[G\right] \) משמר סודרים. כלומר, הסודרים ב-\( \mathcal{M} \) וב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) הם בדיוק אותן קבוצות. זה נובע מכך שסודר הוא קבוצה טרנזיטיבית שסדורה בסדר טוב על ידי יחס ה-\( \in \), וזו תכונה “פנימית” של הקבוצה שתלויה רק באיברים שלה ולא בעולם הרחב שמסביב.

עכשיו אל הטענה שלנו. אנחנו מניחים שהסודר \( \alpha \) אינו עוצמה ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \), המשמעות היא שקיימת ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) פונקציה חח”ע ועל \( f:\beta\to\alpha \) אל \( \alpha \) מסודר \( \beta\in\mathcal{M}\left[G\right] \) כלשהו שמקיים \( \beta<\alpha \). מכיוון שהם סודרים, אז \( \alpha,\beta\in\mathcal{M} \) ולכן אנחנו בסיטואציה של טענת העזר שהוכחנו לפני רגע, עם \( X=\beta \) ו-\( Y=\alpha \). לכן קיימת ב-\( \mathcal{M} \) פונקציה \( g:\beta\to\mathcal{P}\left(\alpha\right) \) כך שלכל \( \gamma\in\beta \), הקבוצה \( g\left(\gamma\right) \) היא בת מניה.

עכשיו, בואו נשים לב לכך שכל ה-\( g\left(\gamma\right) \) הללו “מכסים” את כל \( \alpha \): \( \alpha=\bigcup_{\gamma\in\beta}g\left(\gamma\right) \). כיוון אחד של ההכלה ברור: כל אברי \( g\left(\gamma\right) \) שייכים ל-\( \alpha \) כי הטווח של \( g \) הוא \( \mathcal{P}\left(\alpha\right) \). הכיוון השני, \( \alpha\subseteq\bigcup_{\gamma\in\beta}g\left(\gamma\right) \), נובע מכך שלכל \( y\in\alpha \) קיים \( \gamma\in\beta \) כך ש-\( f\left(\gamma\right)=y \) (שכן \( f \) היא על) ולכן \( y\in g\left(\gamma\right) \). עכשיו אפשר להסיק מ-\( \alpha=\bigcup_{\gamma\in\beta}g\left(\gamma\right) \) מסקנה על הקשר בין העוצמות של הקבוצות הללו:

\( \left|\alpha\right|=\left|\bigcup_{\gamma\in\beta}g\left(\gamma\right)\right|\le\left|\beta\right|\cdot\aleph_{0}=\left|\beta\right|\le\left|\alpha\right| \)

כשהמעבר האחרון נובע מכך ש-\( \beta<\alpha \) כסודרים. המסקנה משרשרת אי השוויונים הללו היא ש-\( \left|\alpha\right|=\left|\beta\right| \), וזה מה שרצינו להוכיח. סיימנו! הראינו שאם \( P \) מקיימת ccc היא משמרת עוצמות! אנחנו כבר ממש קרובים לסיום הוכחת אי התלות של השערת הרצף.

פרק שלישי, שבו אנחנו גולשים לגרפים לא בני מניה

עד עכשיו הראינו טענה כללית בתורת הכפיה: שאם קבוצת תנאי הכפיה \( P \) מקיימת ccc, אז הכפיה באמצעותה משמרת עוצמות. עכשיו אנחנו צריכים להראות שקבוצת תנאי הכפיה הספציפיים שאנחנו משתמשים בה מקיימת את ccc. גם זה ידרוש עבודה, אבל לפחות עבודה קונקרטית עם קבוצה ספציפית… לא, רגע, בואו נתחיל את השלב הזה בעוד הוכחה גנרית שנשתמש בה בהמשך.

כדי להראות ש-\( P \) מקיימת ccc אנחנו צריכים להראות שכל תת-קבוצה לא בת מניה של \( P \) בהכרח כוללת זוג איברים מתואמים. בנוסף, הרעיון ב-\( P \) הוא כזכור שאיבריו יהיו פונקציות שהתחום שלהן סופי. אנחנו הולכים לשחק בדיוק על המתח בזה של “אוסף לא בן מניה של איברים מגודל סופי” ולבנות משהו שנקרא מערכת \( \Delta \).

המשפט שנוכיח הוא זה: לכל משפחה שאיננה בת מניה \( X \) של קבוצות סופיות קיימת תת-קבוצה \( Y\subseteq X \) שגם היא אינה בת מניה, וקבוצה \( R \) כך ש-\( A\cap B=R \) לכל \( A\ne B\in Y \). הקבוצה \( Y \) הזו היא מה שנקרא מערכת-\( \Delta \).

המשפט עצמו מרגיש לי חזק במבט ראשון - הקבוצות יכולות להיות מורכבות למדי, ועם זאת אנחנו הולכים למצוא תת-קבוצה שהיא ענקית בגודלה וכל זוג קבוצות בה נחתכות בדיוק באותה הצורה - סדר שצץ במפתיע במקום מאוד מבולגן, פשוט מכוח המתח הזה בין “לא בן מניה” ובין “סופי”.

כדי להוכיח את הטענה, בואו נתחיל בלעשות סדר. הקבוצות של \( X \) כולן סופיות, אז אפשר למיין אותן לפי גודל: \( X_{k}=\left\{ A\in X\ |\ \left|A\right|=k\right\} \). יש מספר בן מניה של \( X_{k} \)-ים אבל הגודל של \( X \) הוא לא בן מניה, אז חייב להיות קיים \( k \) כלשהו כך ש-\( X_{k} \) לא בת מניה; מכאן ואילך נעבוד רק עם האיברים שלה, שכולם מגודל \( k \). סדר!

עכשיו אנחנו צריכים לחפש את \( R \) שלנו. זו קבוצה שחייבת להיות מוכלת במספר לא בן מניה של איברים של \( X_{k} \). יש כמובן קבוצה כזו - הקבוצה הריקה, \( \emptyset \), שמוכלת בכל אברי \( X_{k} \). הבעיה היא שאנחנו לא יודעים שהחיתוך של זוגות של איברים מ-\( X_{k} \) יהיה \( \emptyset \); בהחלט ייתכן שלא יהיו שתי קבוצות זרות שם בכלל. למשל, אם כל הקבוצות מכילות את 42, בוודאי שהחיתוך של זוג קבוצות לא יהיה זר, הוא תמיד יכיל את 42. אבל אם כן, אולי \( \left\{ 42\right\} \) היא מועמדת טובה להיות \( R \)? אולי, ואולי יש עוד איבר שמוכל ברוב הקבוצות… הבנו את הרעיון, אנחנו רוצים להגדיר את \( R \) להיות קבוצה מקסימלית בגודלה שעדיין מוכלת במספר לא בן מניה של קבוצות מ-\( X_{k} \). באופן כללי, כדי להראות שקיים איבר מקסימלי באוסף כלשהו (במקרה הנוכחי - אוסף “מי שמוכלות במספר לא בן מניה של קבוצות מ-\( X_{k} \)”) צריך להראות שהאוסף לא ריק (הוא לא, כי \( \emptyset \) שם) ושיש חסם מלעיל לגודל של איברים באוסף (אין באוסף קבוצה מגודל \( k+1 \) או יותר כי כל הקבוצות ב-\( X_{k} \) הן מגודל \( k \)). לכן קיימת קבוצה מקסימלית \( R \) שכזו.

המקסימליות של \( R \) פירושה שהשטיק ההוא שקרה קודם עם 42 לא יכול לחזור על עצמו. בהינתן \( x\notin R \), הקבוצה \( R\cup\left\{ x\right\} \) יכולה להיות מוכלת רק במספר בן מניה של קבוצות מ-\( X_{k} \) (אחרת \( R\cup\left\{ x\right\} \) הייתה סתירה למקסימליות של \( R \)). בואו ניקח עכשיו את אוסף כל הקבוצות שמכילות את \( R \): \( X_{k}^{\prime}=\left\{ A\in X_{k}\ |\ R\subseteq A\right\} \). זה אוסף לא בן מניה והחיתוך של כל זוג קבוצות בו מכיל את \( R \), אבל הבעיה היא שהחיתוך לאו דווקא שווה ל-\( R \). לכן זו עדיין לא \( Y \) שלנו; נצטרך איכשהו להיפטר מעוד קבוצות שם.

באופן נחמד, אפשר עכשיו לעבור לניסוח של מה שצריך לעשות בעזרת תורת הגרפים. נגדיר גרף שצמתיו הם אברי \( X_{k}^{\prime} \), ויש קשת בין \( A,B \) אם ורק אם \( A\cap B\ne\emptyset \). זה גרף עם מספר לא בן מניה של צמתים ומה שאנחנו מחפשים הוא קבוצה בלתי תלויה לא בת מניה (קבוצה בלתי תלויה היא קבוצת צמתים שאין קשת בין אף זוג צמתים בה).

בהינתן צומת \( A \), כמה שכנים יכולים להיות לו? אם \( A\cap B\ne R \) אז בהכרח קיים \( x \) כך ש-\( R\cup\left\{ x\right\} \subseteq A\cap B \). אמרנו כבר ש-\( R\cup\left\{ x\right\} \) יכולה להיות מוכלת רק במספר בן מניה של \( B \)-ים, אז ל-\( A \) יש רק מספר בן מניה של שכנים ש-\( x \) “מוכיח” את השכנות שלהם. כמה \( x \)-ים יש בסך הכל? ובכן, כל \( x \) כזה חייב להופיע גם ב-\( A \), והרי \( A \) סופית ולכן קיים רק מספר סופי של \( x \)-ים כאלו. מכאן שמספר השכנים של \( A \) הוא לכל היותר בן מניה.

והנה הגענו לטענה בתורת הגרפים האינסופיים: אם יש בגרף מספר לא בן מניה של צמתים, אבל לכל צומת יש רק מספר בן מניה של שכנים, אז קיימת קבוצה בלתי תלויה מגודל לא בן מניה. אפשר לבנות ממש קבוצה כזו באינדוקציה על-סופית: לכל סודר \( \alpha\in\aleph_{1} \) נגדיר צומת \( v_{\alpha} \) על ידי בחינת קבוצת הצמתים \( \left\{ v_{\beta}\right\} _{\beta<\alpha} \): זו קבוצה בת מניה (כל \( \alpha\in\aleph_{1} \) הוא בן מניה, זו המהות של \( \aleph_{1} \)) ולכל איבר בה יש רק מספר בן מניה של שכנים, אז אפשר מתוך המספר הלא בן מניה של צמתים בגרף למצוא אחד שאינו שכן של אף צומת שנבחר עד כה. כך קיבלנו קבוצה לא בת מניה \( Y \) של קבוצות, כך שהחיתוך של כל זוג איברים מהקבוצה הוא בדיוק \( R \). סיימנו! יש לנו מערכת-\( \Delta \)! רק נותר להשתמש בתוצאה הזו כדי להוכיח סוף סוף ש-\( P \) שלנו היא בעלת תכונת ccc.

פרק רביעי, שבו P מקיימת את ccc

אנחנו סוף סוף חוזרים לדבר קונקרטית על \( P \) שלנו. כזכור (ועד שהגענו לפה גם אני כבר שכחתי), ה-\( P \) שלנו היא אוסף הפונקציות \( f:A\to\left\{ 0,1\right\} \) כך ש-\( A \) היא קבוצה סופית ו-\( A\subseteq\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \). כדי להראות ש-\( P \) מקיימת ccc אנחנו צריכים לקחת תת-קבוצה \( S\subseteq P \) שהיא לא בת מניה, ולהראות שבהכרח קיימים בה שני איברים מתואמים. עכשיו, כל איבר של \( S \) הוא פונקציה שמוגדרת על תחום \( A \) מסוים, \( \text{dom}f=A \), אז בואו נגדיר את ה-\( X \) שעליה נפעיל את מה שמצאנו בחלק הקודם בתור \( X=\left\{ \text{dom}f\ |\ f\in S\right\} \). בשביל שנוכל להפעיל את החלק הקודם על \( X \) צריך שני דברים:

1. \( X \) צריכה להיות לא בת מניה.
2. כל \( A\in X \) צריכה להיות סופית.

את 2 יש לנו: זה בגלל ש-\( P \) הוגדר כך במפורש. בשביל 1 צריך רגע של מחשבה. \( S \) עצמה היא לא בת מניה, אבל במעבר מ-\( f \) אל \( \text{dom}f \) בוודאי שאנחנו עלולים לאבד איברים כי שתי פונקציות שונות לגמרי יכולות להיות בעלות אותו תחום. אבל כמה פונקציות כאלו כבר יש? בהינתן \( A \) קונקרטית, מספר הפונקציות הכולל מ-\( A \) אל \( \left\{ 0,1\right\} \) הוא \( 2^{\left|A\right|} \) - מספר סופי. אם \( X \) הייתה בת מניה, אז מספר הפונקציות הכולל ב-\( S \) היה מספר סופי כפול \( \aleph_{0} \), כלומר \( \aleph_{0} \), בסתירה לכך ש-\( S \) לא בת מניה. המסקנה היא ש-\( X \) לא בת מניה ולכן אפשר למצוא לה מערכת-\( \Delta \) \( Y\subseteq X \).

במערכת-\( \Delta \) שכזו קיימת קבוצה \( R \) כך שלכל \( A,B\in Y \) מתקיים \( A\cap B=R \). כל ה-\( A \)-ים הללו הם תתי-קבוצות סופיות של \( \mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) ולכן גם \( R\subseteq\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) והיא סופית.

עכשיו בואו נחזור מ-\( Y \) (אוסף של תת-קבוצות של תחום הפונקציות ב-\( S \)) אל \( S \) עצמה. נגדיר תת-קבוצה \( T\subseteq S \) על ידי בחירת נציגים לאברי \( Y \): לכל \( A\in Y \) קיימת לפחות פונקציה אחת \( f\in S \) כך ש-\( \text{dom}f=A \), אז נוסיף \( f \) אחת כזו ל-\( T \) (כמו שאנחנו רואים, אקסיומת הבחירה עובדת כאן שעות נוספות, נראה לי שהשתמשתי בה גם קודם). מה קיבלנו? לכל \( f,g\in T \), מתקיים ש-\( \text{dom}f\cap\text{dom}g=R \). וכעת הפאנץ’: יש רק מספר סופי של פונקציות מ-\( R \) אל \( \left\{ 0,1\right\} \), כי \( R \) סופית, אבל יש מספר לא בן מניה של פונקציות ב-\( T \). כשלוקחים פונקציה ב-\( T \) ומצמצמים את התחום שלה ל-\( R \) מקבלים רק אחת מבין אותו מספר סופי של פונקציות, ולכן מעקרון שובך היונים (עם מספר סופי של שובכים ומספר אינסופי של יונים) יש שתי פונקציות \( f,g \) שהתחום שמשותף לשתיהן הוא \( R \) וגם שהצמצמום שלהן ל-\( R \) הוא זהה. שתי הפונקציות הללו מתואמות וקיימת להן הרחבה משותפת, שזה מה שחיפשנו. זה מסיים את ההוכחה ש-\( P \) מקיימת את ccc ומכניס אותנו לישורת האחרונה ממש של סדרת הפוסטים הזו.

פרק חמישי ואחרון, שבו אנו מוכיחים שהשערת הרצף אינה תלויה ב-ZFC

אחרי כל מלאכת ההכנה הזו שנמשכה כמעט 3,000 מילים (ויש שיגידו - סדרה של עשרה פוסטים) הגענו סוף סוף אל המטרה שלנו, ההוכחה שלמענה הומצאה תורת הכפיה: הוכחה ש-\( \neg\text{CH} \) מתיישבת עם ZFC. כמעט עשינו את הכל, אבל עוד נשארו כמה פרטים להבהיר, וכמובן - להציג שוב את התמונה הגדולה.

ובכן, הגדרנו תנאי כפיה \( P \) שהם פונקציות \( f:A\to\left\{ 0,1\right\} \) כך ש-\( A \) תת-קבוצה סופית של \( \mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \). הראינו שתנאי הכפיה הללו מקיימים תכונה שנקראת ccc, וקיום התכונה הזו אומר שהרחבת \( \mathcal{M} \) באמצעות אידאל גנרי של \( P \) משמרת עוצמות, כלומר מתקיים \( \aleph_{2}^{\mathcal{M}}=\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \). מכיוון ש-\( G\in\mathcal{M}\left[G\right] \) הרי ש-\( f=\bigcup G\in\mathcal{M}\left[G\right] \). כל מה שנותר לעשות הוא להבין מה בדיוק הפונקציה הזו. כרגע אנחנו יודעים שזו פונקציה מתת-קבוצה של \( \mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) אל \( \left\{ 0,1\right\} \). אני טוען שני דברים:

1. \( \text{dom}f=\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \), כלומר הפונקציה תופסת את כל \( \mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) (זה דומה למה שקרה בפוסט הקודם).
2. לכל \( \alpha\in\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \), הפונקציה \( f_{\alpha} \) שמוגדרת על ידי \( f_{\alpha}\left(n\right)=f\left(n,\alpha\right) \) היא ייחודית: אם \( \alpha\ne\beta \) אז \( f_{\alpha}\ne f_{\beta} \) ולכן דה פקטו שתיהן מגדירות תתי-קבוצות שונות של \( \mathbb{N} \).

צריך את 1 כדי שאפשר יהיה להגדיר את הפונקציה \( f_{\alpha} \) ב-2, ו-2 הוא מה שנותן לנו את שלילת השערת הרצף כי הוא מראה שיש ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) לפחות \( \aleph_{2}^{\mathcal{M}}=\aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \) תתי-קבוצות שונות של \( \mathbb{N} \).

את תכונות 1 ו-2 מוכיחים בעזרת אחת מהתכונות שמגדירות אידאל גנרי: אם \( G \) אידאל גנרי ו-\( D\subseteq P \) היא קבוצה צפופה שמקיימת \( D\in\mathcal{M} \), אז \( G\cap D\ne\emptyset \). “צפיפות” של \( D \) פירושה שלכל \( p\in P \) קיימת הרחבה \( q\supseteq p \) כך ש-\( q\in D \).

בשביל 1, בואו ניקח \( \left(n,\alpha\right)\in\mathbb{N}\times\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) כלשהו, ונגדיר קבוצה \( D \) של כל הפונקציות ב-\( P \) שמוגדרות על \( \left(n,\alpha\right) \). זו קבוצה צפופה כי כל איבר ב-\( P \) הוא או מוגדר על \( \left(n,\alpha\right) \) (ואז הוא עצמו ההרחבה ששייכת ל-\( D \)) או שאפשר להרחיב אותו על ידי הגדרתו על \( \left(n,\alpha\right) \) (להיות שווה 0, נאמר). המסקנה שהיא שב-\( G \) קיימת פונקציה אחת לפחות שמוגדרת על \( \left(n,\alpha\right) \) ומכיוון ש-\( f \) התקבלה מאיחוד כל הפונקציות ב-\( G \), גם היא עצמה מוגדרת על \( \left(n,\alpha\right) \).

נשאר לנו רק 2. בואו ניקח \( \alpha,\beta\in\aleph_{2}^{\mathcal{M}} \) ונוכיח ש-\( f_{\alpha}\ne f_{\beta} \). לצורך כך, נגדיר קבוצה \( D_{\alpha,\beta} \) שכוללת את כל הפונקציות \( g\in P \) כך שקיים \( n\in\mathbb{N} \) עבורו \( g \) מוגדרת על \( \left(n,\alpha\right),\left(n,\beta\right) \) וגם \( g\left(n,\alpha\right)\ne g\left(n,\beta\right) \). למה \( D_{\alpha,\beta} \) צפופה? כי בואו ניקח פונקציה \( g\in P \) כלשהי. התחום שלה הוא סופי ולכן בהכרח קיים \( n \) טבעי שעבורו \( g\left(n,\alpha\right) \) וגם \( g\left(n,\beta\right) \) לא מוגדרות, ואנו יכולים להרחיב את \( g \) לקבלת איבר ב-\( D_{\alpha,\beta} \) על ידי הגדרת \( g\left(n,\alpha\right)=0 \) ו-\( g\left(n,\beta\right)=1 \). זה מראה את הצפיפות של \( D_{\alpha,\beta} \), ולכן מראה שב-\( G \) קיימת פונקציה שעבורה יש \( n \) שמפריד בין הקבוצות שמוגדרות על ידי \( \alpha,\beta \), ולכן גם \( f \) עצמה היא כזו: \( f_{\alpha}\ne f_{\beta} \), כנדרש.

זה מסיים את הוכחת טענות 1 ו-2 על הפונקציה \( f \) שבנינו; ולכן גם מסיים את ההוכחה שמספר תתי-הקבוצות של טבעיים ב-\( \mathcal{M}\left[G\right] \) הוא לפחות \( \aleph_{2}^{\mathcal{M}\left[G\right]} \); ולכן גם מסיים את ההוכחה ש-\( \neg\text{CH} \) מתיישבת עם ZFC, ולכן גם מסיים את ההוכחה שהשערת הרצף היא בלתי תלויה ב-ZFC. סיימנו.

אפילוג ובו סיכום מעמיק של כל מה שראינו ולמדנו בכל סדרת הפוסטים הזו

וואו, זה היה כיף!