שאלות ותשובות - מקבץ מס’ 5

1. "למה הבבלים לא השתמשו בשיטה העשרונית". שאלה קשה, בערך כמו "למה אנחנו לא משתמשים בשיטה על בסיס 12" (יש כאלו שטוענים שלבסיס 12 יתרונות על בסיס 10 ואולי הצדק עמם, מתמטית). המספר 60 הוא לא כל כך מקרי - הוא מתחלק ב-2, ב-3, ב-4, ב-5 וב-6 (ולכן גם ב-30, ב-20, ב-15, ב-12 וב-10), כך שביצוע פעולות חשבוניות וזיהוי התחלקויות הוא יחסית פשוט. הבעיה בבסיס היא שצריך לייצג את כל המספרים מ-1 עד 59 עם סימון שונה, ולכן הבבלים השתמשו בשיטת ספירה משנית - היה להם סימן אחד לאחדות, וסימן אחד לעשרות, והמספר 32, למשל, נכתב בתור 3 מופעים של סימן העשרות ו-2 מופעים של סימן האחדות. זה אמנם מסורבל יחסית אבל כשמתרגלים זה כנראה ממש לא נורא - ובבסיסי ספירה, התרגלות זה לב העניין.
2. "מה היה קורה אם אוילר לא היה קיים" - שאלה נפלאה, בעיקר כשמדובר במתמטיקאי סופר-פורה כמו אוילר. הניחוש שלי - המתמטיקה אמנם הייתה מגיעה לרמתה הנוכחית, אבל באיחור של כמה שנים טובות (אין לי מושג כמה), ובוודאי שהסימונים שבהם אנחנו משתמשים (שאוילר המציא חלק מהם) היו שונים.
3. "מחזוריות בפאי בסופו-של-דבר" - אין ולא תהיה. אם מספר הוא מחזורי החל ממקום מסויים (דהיינו, כל הספרות בפיתוח העשרוני שלו החל ממקום מסויים הן חזרה על סדרה סופית של ספרות) אז הוא רציונלי. לא אכנס כאן עמוק לפרטי ההוכחה; הרעיון הוא שאפשר יהיה לכתוב את המספר כסכום של שני מספרים, \( a+b \), כך של-\( a \) מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה ולכן רציונלי, ואילו \( b \) הוא מחזורי כבר מההתחלה, ולכן ניתן לכתוב אותו כסכום של טור הנדסי מתכנס, וטור שכזה תמיד מתכנס למספר רציונלי. לעומת כל זאת, פאי הוא (באופן מוכח) מספר אי רציונלי, ולכן לא ייתכן שתהיה בו מחזוריות.
4. "אין סוף x^2+y^2=z^2" - אני מניח שהכוונה לאינסוף פתרונות של המשוואה המדוברת, שמגדירה שלשה פיתגורית (צלעות בגודל שלם של משולש ישר זווית). זה שיש אינסוף פתרונות הוא טריוויאלי בהינתן פתרון אחד שכבר ידוע, למשל 3,4,5: פשוט מכפילים את כל אברי הפתרון באותו מספר. לכן מה שמעניין הוא לחפש פתרונות רבים ושונים שלא יכולים להתקבל האחד מהשני באמצעות התעלול הזה - יצורים שכאלה מכונים "שלשות פיתגוריות פרימיטיביות" (וכל אחד מהם מגדיר משולש ישר זווית ש"נראה שונה", בעוד שהתעלול שהצגתי נותן משולש שהוא יותר גדול אבל נראה זהה - בלשון מתמטית פורמלית, הוא דומה למשולש המקורי). מסתבר שגם מהם יש אינסוף, ויתר על כן - יש נוסחה פשוטה יחסית שיוצרת את כולם; קחו \( a,b \) שזרים זה לזה (לא מתחלקים בו זמנית באף מספר ששונה מ-1), ושלפחות אחד מהם זוגי, ותגדירו \( x=a^2-b^2, y=2ab, z=a^2+b^2 \). בצורה הזו תקבלו את כל השלשות הפיתגוריות הפרימיטיביות. אני מקווה להרחיב על השאלה למה זה עובד ואיך מגיעים לזה בפוסט נפרד.
5. "כפל חילוק חיסור חיבור לפי איזה סדר זה עובד" - קודם כפל וחילוק, אחר כך חיבור וחיסור. אם יש סוגריים, תמיד עושים קודם את מה שבתוך הסוגריים. בין כל שתי פעולות "שוות בכוחן" צריך לבצע את הפעולות משמאל לימין. הדוגמה הקלאסית היא \( 8\div 2\times 3 \); אם קודם מחלקים ואז כופלים מקבלים 12, אבל אם קודם כופלים, ולכן מחלקים 8 ב-6, מקבלים איכסה פיכסה לא שלם (1 ושליש).
6. "למה במעגל יש 360 מעלות" - התשובה היא שאין סיבה; זה מספר שרירותי לגמרי, ואפשר היה לבחור כל מספר אחר במקומו. הסיבה ה"היסטורית" היא שהמספר הזה נבחר בידי הבבלים, שהשתמשו בבסיס 60 ואהבו כפולות שלו; וייתכן מאוד שגם לעובדה שיש בשנה כמעט 360 יום יד בעניין. אם חושבים על כך, 360 הוא מספר די טוב למעגל, כי אז הרבה מאוד זווית שמגדירות חלק ממעגל יוצאות שלמות. למשל, רבע מעגל הוא 90 מעלות - שלם. שמינית היא 45 מעלות - עדיין שלם. חמישית מעגל (מספר חשוב למדי, כי הוא מופיע בצורה "טבעית" פה ושם) הוא 72 - גם שלם. בקיצור, אפילו שאפשר לבחור כל מספר שרוצים, 360 הוא בחירה די טובה. כמובן שיש שיטת מדידה יותר "טבעית" ובעלת סיבות טובות מאוד לקיומה - שיטת הרדיאנים.
7. "מה ההגיון בלהגדיר מחלקות שלא ניתן ליצור מ" - אני מנחש ש"לא ניתן ליצור מהן אובייקטים" הוא ההמשך. הרעיון הוא פשוט - לספק ממשק משותף (שמות של פונקציות) שהרבה מחלקות שונות (שכן ניתן יהיה לממש) יירשו ממנו. זה הרעיון הבסיסי בפולימורפיזם תכנותי.
8. "להראות שכל מספר מורכב מסכום שני מספרים ראשוניים" - הויסה, עדיין לא ברור אפילו אם כל מספר זוגי מורכב מסכום שני מספרים ראשוניים.
9. "חומר קל להבנה בתורת המספרים" - שאלה קשה יחסית, שכן תורת המספרים היא דווקא אחד מתחומי המתמטיקה שאליו "מתנקזים" רוב התחומים המתמטיים הבסיסיים, החל באלגברה מופשטת קלה יחסית וכלה באנליזה מסובכת של פונקציות מרוכבות. הספר שממנו למדתי את הבסיס הוא A Classical Intoduction to Modern Number Theory של Ireland ו-Rosen שמתחיל מדברים פשוטים יחסית ומגיע לטעימה קלה שבקלות מהנושאים המורכבים; הוא דורש ידע מוקדם במתמטיקה ברמה של סמסטר ראשון או שני לערך (תלוי מה לומדים). איני מכיר (והאמת, אשמח להכיר) טקסטים מתמטיים (לא מדע-פופולריים) פשוטים יותר שעוסקים בנושא.
10. "כמה זה מיליון בחזקת 0?"  כמו כל מספר אחר בחזקת 0 (למעט אולי 0 עצמו): 1. יש לזה מספר הצדקות. ראשית, אם אנחנו רוצים שכללי החזקות יתקיימו, אז לכל \( x \) צריך להתקיים \( x^0=x^1\cdot x^{-1}=\frac{x}{x}=1 \) (רק כאשר איקס הוא אפס ההצדקה לא עובדת כי לא ניתן לחלק באפס). שנית, אפשר להגדיר את \( a^b \) בתור מספר הגלידות בנות \( b \) כדורים שאפשר להרכיב מ-\( a \) טעמים, כאשר מותר לחזור על אותו טעם ויש חשיבות לסדר הכדורים ("וניל-שוקולד" שונה מ"שוקולד-וניל", כפי שכל מי שאכל גלידה אי פעם יוכל להעיד). אם אין לנו בכלל כדורים בגלידה (\( b \) הוא אפס) אז בכל זאת יש גלידה אחת שאנחנו יכולים להרכיב - "הגלידה הריקה" שיש בה רק ופל.