אז למה שורשים הם לא רציונליים?

נפש תועה הגיעה לאתר בחיפוש אחר הוכחה ש”שורש 6 אינו רציונלי”. הוא אמנם הגיע, ככל הנראה, אל ההוכחה שהצגתי לכך ששורש 2 אינו רציונלי, כלומר אינו ניתן להצגה כמנה של שני מספרים שלמים. אפשר היה להשאיר את הרחבת ההוכחה עבור 6 כתרגיל, אך נראה לי שכדאי להקדיש להרחבה הזו פוסט בפני עצמו ולא להשאיר אותה לקורא הטרוד. בכך אפשר גם לענות על שאלה שאולי צצה למי שקורא את ההוכחה לאי הרציונליות של שורש 2 - למה אי אפשר להשתמש בהוכחה גם כדי להוכיח ש-4, למשל, אינו רציונלי? איך ההוכחה “מזהה” את הריבועיות של המספרים שעליהם היא נכשלת?

אני מזהיר מראש שהפוסט הזה טיפה טכני, ומצד שני גם קצת מחפף, כך שאני יוצא קרח מכאן ומכאן. אם משהו לא ברור, או ברור מדי, אפשר להעיר על כך בתגובות. אם כן, הבה ננסה להכליל את ההוכחה באופן הישיר ביותר שרק אפשר. נתון מספר $latex n$ שאנו רוצים להוכיח שהשורש שלו איננו רציונלי. נניח בשלילה שהוא כן רציונלי, אז אפשר לכתוב את השורש בתור $latex \frac{a}{b}$ עבור $latex a,b$ טבעיים זרים זה לזה, כלומר שאין מספר גדול מ-1 שמחלק את שניהם בו זמנית. מכאן שמתקיים $latex \frac{a^2}{b^2}=n$, כלומר $latex nb^2=a^2$. עד כאן - שום דבר חדש. כעת ההוכחה עבור שורש 2 מתחילה לדבר על הזוגיות של $latex a$; היא אומרת “מכך ש-$latex a^2=2b^2$ נובע ש-$latex a^2$ זוגי, ולכן גם $latex a$ זוגי”.

מה ההכללה של הטענה הזו עבור $latex n$ כללי? מה שמתבקש לומר הוא “אם $latex n$ מחלק את $latex a^2$ אז הוא מחלק גם את $latex a$” - אם זה נכון, שאר ההוכחה עוברת באופן חלק - נובע מכך שאפשר לכתוב את $latex a$ בתור $latex a=nc$ ולכן $latex n^2c^2=nb^2$, ולכן $latex nc^2=b^2$, כלומר $latex b^2$ מתחלק ב-$latex n$ ולכן (שוב, אם ההכללה של הטענה עובדת) גם $latex b$ מתחלק ב-$latex n$, כלומר קיבלנו סתירה - $latex a,b$ מתחלקים שניהם ב-$latex n$ למרות שהנחנו שהם זרים. רק מה, יש לנו בעיה קטנה - הטענה הזו שאם מספר מחלק את $latex a^2$ הוא מחלק גם את $latex a$ - וזאת למזלנו, כי אחרת היינו מוכיחים שהשורש של כל מספר הוא אי רציונלי.

איך מתמודדים עם הקושי? מנסים לראות היכן הטענה נופלת והיכן לא. די ברור ש-36 יחלק את 36 אבל לא את 6, אבל יש דוגמאות נגד מחוכמות יותר - למשל, 12 יחלק את 36 אבל לא את 6. אם כן, מה המאפיין החשוב לנו, שמבטיח שהמשפט יתקיים? כאן נחלצים לעזרתנו המספרים הראשוניים ונותנים לנו דרך מסודרת להתמודד עם השאלה. כל מספר ניתן לפרק למכפלה של ראשוניים (שאולי כמה מהם יחזרו על עצמם). הריבוע של המספר יהיה גם הוא מכפלה של אותם ראשוניים, אבל כך שכל ראשוני מופיע במכפלה פי שתיים יותר פעמים. כך למשל 6 הוא פשוט הראשוני 2 כפול הראשוני 3; הריבוע 36 הוא פשוט 2 כפול 2 כפול 3 כפול 3.

אם כן, פעולת ההעלאה בריבוע לא “מוסיפה ראשוניים מסוג חדש” למכפלה; היא רק מגדילה את מספרם של הראשוניים שכבר ישנם. כעת אפשר להשתמש בכך שהמכפלה היא של ראשוניים: אם $latex n$ מחלק את $latex a$ אז בהכרח כל גורם ראשוני של $latex n$ הוא גם גורם ראשוני של $latex a$. הסיבה? כל גורם ראשוני של $latex n$ מחלק אותו, ומכיוון ש-$latex n$ מחלק את $latex a$, אז הוא מחלק גם את $latex a$.

אם כן, נצמצם את עצמנו ל-$latex n$-ים פשוטים יחסית - מכפלות של ראשוניים כך שכל ראשוני מופיע בדיוק פעם אחת (כלומר, אף ראשוני לא מופיע בפירוק לגורמים עם חזקה גבוהה מ-1). למשל, 6 הוא כזה אך 12 לא. במילים אחרות, מספרים שאף ריבוע לא מחלק אותם. מספרים כאלו מכונים “חופשיים מריבועים” (Square-free). לא קשה להוכיח פורמלית, בהתבסס על מה שאמרנו כבר, שאם $latex n$ שהוא חופשי מריבועים מחלק את $latex a^2$  אז הוא בהכרח מחלק גם את $latex a$ (כי כל גורם של $latex n$ מחלק את $latex a^2$, כלומר מופיע בפירוק שלו לגורמים; והפירוק הזה מכיל רק גורמים שנמצאים גם ב-$latex a$).

טראח! אולי לא שמנו לב לכך, אבל ברגע זה סיימנו את ההוכחה של טענה חזקה למדי: השורש של כל מספר חופשי מריבועים איננו רציונלי. עם זאת, יש לנו שאיפות גדולות יותר - להוכיח ששורש של כל מספר שאינו ריבוע, אינו רציונלי. התוצאה הזו היא הרחבה פשוטה של מה שעשינו כאן: בהינתן מספר כלשהו שאיננו ריבוע, אפשר להציג אותו כמכפלה של ריבוע ושל מספר חופשי מריבועים (נסו להוכיח זאת בהתבסס על הפירוק של מספר לגורמים; זה קל). כאשר נוציא שורש לריבוע נקבל מספר שלם; כאשר נוציא שורש למספר החופשי מריבועים נקבל מספר אי רציונלי. דהיינו, השורש של כל מספר טבעי שאיננו ריבוע הוא מכפלה של מספר אי רציונלי ומספר שלם - אבל מכפלה כזו היא בהכרח אי רציונלית (כי אם $latex x$ אי רציונלי, $latex y$ שלם וגם $latex xy$ שלם, אז $latex x$ הוא רציונלי כי ניתן לכתוב $latex x=\frac{xy}{y}$ - מנה של שני מספרים שלמים).

היוצאים מן הכלל היחידים בהוכחה שלנו הם הריבועים, שכן אותם לא ניתן להציג בתור מכפלה של ריבוע ושל מספר חופשי מריבועים - ההצגה שלהם היא “ריבוע כפול 1” (אנחנו לא מחשיבים כאן את 1 כחופשי מריבועים כדי שזה יתאים לנו להגדרה המקורית של מכפלת ראשוניים).

ההוכחה שהצגתי כאן היא כנראה לא הפשוטה ביותר, אך לדעתי יש בה טעם כי היא מכלילה את ההוכחה ה”קלאסית”. אפשר לנסח את ההוכחה בצורה קצת יותר פשוטה בעזרת טענות כמו “אם שני מספרים זרים אז גם ריבועיהם זרים” (ולכן מספר רציונלי שהוא שבר יישאר כזה גם כשיעלו אותו בריבוע), אך ההוכחה של טענה זו גם כן מתבססת על תכונות הראשוניים שכבר תיארתי ולכן אין בה תוספת משמעותית. אשמח לשמוע פתרונות אלגנטיים שונים.


נהניתם? התעניינתם? אם תרצו, אתם מוזמנים לתת טיפ:

Buy Me a Coffee at ko-fi.com