ההוכחה הטופולוגית לקיום אינסוף ראשוניים

בפוסט הזה אני רוצה לתת דוגמה מקסימה ביותר לאופן שבו שני תחומים לכאורה שונים במתמטיקה מתנגשים חזיתית, כשאחד התחומים הוא תורת המספרים האלמנטרית, והתחום השני הוא הטופולוגיה הקבוצתית. הוכחות טופולוגיות לדברים שלכאורה אינם קשורים לטופולוגיה הן דבר מקסים - הן באלגנטיות שלהן (עבור מי שכבר “שוחה” במושגים הטופולוגיים) והן בגורם ההפתעה שהן טומנות בתוכן. כבר הראיתי בעבר הוכחה טופולוגית למשפט בלוגיקה (משפט הקומפקטיות); ההוכחה הפעם היא של עובדה טריוויאלית בהרבה, ובמובנים מסויימים היא מסובכת הרבה יותר מההוכחה הסטנדרטית; ועם זאת, אני סבור שרוב המתמטיקאים יסכימו שהיא הוכחה יפהפיה בתכלית (כמו שפאול ארדש היה אומר, “הוכחה מהספר” - ואכן, היא מופיעה בספר “Proofs From THE BOOK”).

נתחיל בתזכורת. מספר ראשוני הוא מספר טבעי גדול מ-1 שמתחלק רק ב-1 ובעצמו. כתוצאה מההגדרה הזו נובע שכל מספר טבעי אחר ניתן לכתיבה כמכפלה של ראשוניים (ועם עוד קצת עבודה אפשר להראות שצורת הכתיבה הזו היא יחידה), ולכן המספרים הראשוניים הם במובן מסויים “אבני הבניין” של המספרים הטבעיים. שאלה מעניינת שצצה מיידית היא האם קיים מספר סופי של “אבני בניין” שכאלו או שהוא אינסופי. ההוכחה הסטנדרטית של אוקלידס לכל שמספר הראשוניים הוא אינסופי היא כה פשוטה ויפה שראוי להביא אותה כאן: נניח שיש רק מספר סופי של ראשוניים, \( p_1,\dots,p_n \), אז נתבונן במספר \( a=p_1\cdot p_2\cdots p_n+1 \). כאמור, כל מספר ניתן לכתיבה כמכפלת ראשוניים ולכן בפרט יש ראשוני \( q \) שמחלק אותו; אבל אם אכן \( p_1,\dots,p_n \) הם כל הראשוניים הקיימים אז \( q \) הוא אחד מהם ולכן מחלק את מכפלתם, \( p_1\cdots p_n \). לכן הוא מחלק גם את \( a-p_1,\dots,p_n=1 \), וזו סתירה (כי אם מספר טבעי מחלק את 1, הוא עצמו 1 ובפרט אינו ראשוני).

אם כן, לטענה על קיום אינסוף ראשוניים יש הוכחה אלמנטרית ופשוטה. משהסכמנו על כך, והסכמנו על כך שמטרת ההוכחה הטופולוגית היא לא לתת גישה “טובה יותר” או “נכונה יותר” להוכחה אלא פשוט לתת דוגמה להוכחה יפה לכשעצמה, אפשר לעבור לטופולוגיה.

תזכורת קצרה מאוד לגבי המושגים שנעסוק בהם - המושג הבסיסי בטופולוגיה הוא “קבוצה פתוחה”. עבור כל קבוצת איברים \( X \),  (שבהקשר הזה מכנים “המרחב”) ניתן להגדיר טופולוגיה - אוסף תתי קבוצות של \( X \), שכל אחת מהן נקראת “קבוצה פתוחה”. יש מוטיבציה עמוקה מאחורי השם הזה, ולא ניכנס אליה בכלל. הדרישה היחידה מקבוצות פתוחות היא שתתי הקבוצות ה”טריוויאליות” \( X,\emptyset \) (כלומר, המרחב והקבוצה הריקה) יוגדרו כפתוחות; שאיחוד כלשהו של קבוצות פתוחות יהיה בעצמו פתוח; ושחיתוך של מספר סופי של קבוצות פתוחות יהיה פתוח. הסופיות שדורשים בהקשר לחיתוכים היא קריטית - מי שיש לו ולו מעט נסיון בטופולוגיה קבוצות נתקל ודאי במקרים רבים שבהם הדרישה הזו היא מה שמפריד בין משפט נכון ומשפט שגוי. הסופיות הזו היא גם מה שעומד בבסיס ההוכחה שאציג בקרוב, כך שמי שחסר את האינטואיציה הטופולוגית לגבי חשיבות ה”סופי” הזה ייהנה כנראה קצת פחות, וחבל.

כדי לתאר באופן נוח את אוסף כל הקבוצות הפתוחות במרחב, לרוב נהוג לתאר אותו באמצעות בסיס - אוסף של קבוצות פתוחות כך שכל קבוצה פתוחה במרחב ניתנת לתיאור כאיחוד של אברי הבסיס. למשל, עבור המרחב \( X=\mathbb{R} \) נהוג להגדיר טופולוגיה שהבסיס שלה הוא אוסף כל הקטעים הפתוחים, \( (a,b) \). מכאן עולה שהקבוצות הפתוחות במרחב הזה הן בדיוק איחודים של קטעים פתוחים (חשבו למה \( \mathbb{R} \) עצמו הוא קבוצה פתוחה על פי הגדרה זו).

משהגדרנו קבוצות פתוחות, אפשר להגדיר מושג מקביל שנקרא “קבוצה סגורה”. קבוצה סגורה היא קבוצה שהמשלים שלה (ביחס ל-\( X \)) הוא קבוצה פתוחה. בדוגמה שנתתי, אפשר להראות שכל קטע סגור יהיה קבוצה סגורה, למשל. קבוצות סגורות מקיימות תכונות מקבילות לאלו של קבוצות פתוחות - המרחב כולו והקבוצה הריקה הן קבוצות סגורות (ולכן הן קבוצות שהן גם סגורות וגם פתוחות בו זמנית - זה אפשרי בהחלט), חיתוך של מספר כלשהו של קבוצות סגורות הוא סגור, ואיחוד סופי של קבוצות סגורות הוא סגור.

כעת ניגש להוכחה עצמה, שאינה דורשת שום ידע נוסף בטופולוגיה. הרעיון הוא להגדיר מרחב טופולוגי על קבוצת המספרים השלמים \( \mathbb{Z} \), כשהבסיס לטופולוגיה הוא אוסף כל הסדרות החשבוניות ה”דו כיווניות”. כלומר: לכל שני מספרים שלמים \( a,d \) נגדיר קבוצה \( S_{a,d}=\left\{a+nd|n\in\mathbb{Z}\right\} \). הקבוצה הזו היא כל המספרים שמתקבלים כאשר לוקחים את \( a \) ומחברים אליו או מחסירים ממנו את \( d \) מספר כלשהו של פעמים. אם היינו מצטצמים ל”מחברים אליו את \( d \)” היינו מקבלים את ההגדרה הרגילה של סדרה חשבונית; מכיוון שאנו גם מרשים חיסור, אנו מקבלים משהו כללי יותר.

נגדיר את כל הקבוצות \( S_{a,d} \) הללו בתור הבסיס לטופולוגיה שלנו. לא ניכנס כאן להוכחה שהבסיס “חוקי”, כלומר שאם לוקחים את אוסף כל הקבוצות שמתקבלות מאיחודים של אברי הבסיס, מה שמתקבל אכן מקיים את הדרישות מטופולוגיה; זה אכן מתקיים ואתם מוזמנים לעשות זאת כתרגיל. האבחנה המעניינת על \( S_{a,d} \) היא שקבוצות אלו, פרט להיותן פתוחות, הן גם סגורות; הסיבה לכך היא שהמשלים של \( S_{a,d} \) הוא איחוד כל הקבוצות \( S_{a^\prime,d} \) כך ש-\( a^\prime \) אינו שקול ל-\( a \) מודולו \( d \) (כלומר, השארית שהם מחזירים בחלוקה ב-\( d \) היא שונה). כל הקבוצות הללו הן פתוחות, ולכן גם האיחוד שלהן פתוח.

כעת המשפט נובע כמעט מייד. נתבונן באיחוד \( \bigcup_{p}S_{0,p} \) שנלקח על כל הראשוניים \( p \). אם מספר הראשוניים סופי, הרי שזהו איחוד סופי של קבוצות סגורות, ולכן הוא בעצמו סגור. אבל המשלים של האיחוד הזה הוא בדיוק הקבוצה \( \left\{1,-1\right\} \), שכן כל מספר אחר מתחלק על ידי ראשוני \( p \) כלשהו, ולכן שייך לסדרה החשבונית שהאיבר הכללי שלה הוא \( np \). אלא שפרט לקבוצה הריקה, כל קבוצה פתוחה היא אינסופית (כי היא מכילה לפחות סדרה חשבונית אחת), בסתירה לכך שקיבלנו קבוצה פתוחה סופית - מכאן שהאיחוד שלעיל חייב להיות אינסופי (ובכך לא יהיה סגור) ולכן יש מספר אינסופי של ראשוניים.

ולנקודה היהודית - ההוכחה התגלתה על ידי הלל פורסטנברג, בזמן שעוד היה סטודנט לתואר ראשון בישיבה יוניברסיטי.