שאלות ותשובות - מקבץ מס’ 6

1. "מתמטיקאי שהמציא את הסימן של אינסוף" - השימוש בסמל \( \infty \) לראשונה כדי לייצג אינסוף מיוחס למתמטיקאי ג'ון ואליס. יש מספר תיאוריות שונות מדוע הוא השתמש בסמל הזה דווקא - לא ניכנס אליהן כאן.
2. "חילוק רב איבר ברב איבר הסבר" - חלוקת פולינומים די דומה לחילוק ארוך רגיל. כותבים את הפולינום שרוצים לחלק \( p(x) \) ומימינו את הפולינום שבו רוצים לחלק אותו \( q(x) \), וחוזרים על התהליך הבא: בודקים במה צריך לכפול את \( q(x) \) כדי שכאשר יחסרו את התוצאה ממה שעוד נשאר לחלק בו, החזקה המובילה תיעלם. את הגורם הזה כותבים למעלה, ואת השארית מפעולת החיסור כותבים למטה, ואז חוזרים על התהליך שוב, עד שהשארית קטנה מ-\( q(x) \) בחזקה הגבוהה ביותר שלה.
3. "פולינום - פירוש השם" - "רב איבר". הסיבה לשם היא שפולינום מורכב מסכום של מספר איברים שונים - כל איבר הוא משתנה בחזקה אחרת. למשל, \( x^3+2x+5 \) (כאן 5 הוא איקס בחזקת 0). עולה השאלה האם הפולינום המפורסם של חיל הים נקרא כך מסיבה הגיונית אך עלומה לבני תמותה רגילים, או שאולי הכוונה הייתה לפוליגון דווקא.
4. "איך אומרים שואף לאינסוף באנגלית" - Tends to infinity.
5. "האם קיימת שלשה פיתגורית שכל מרכיביה הם מספרים אי זוגיים" - לא, והסיבה לכך פשוטה: אם a,b אי זוגיים כך גם \( a^2, b^2 \); וסכום של שני מספרים אי זוגיים הוא זוגי, ולכן \( c^2 \) זוגי; אבל שורש של מספר זוגי (שיש לו שורש שלם) הוא זוגי.
6. "כיצד לפתור אינטגרל של אקספוננט של x בחזקת 2" - אי אפשר באופן אנליטי (כלומר, להגיע לנוסחה "סגורה" שאינה כוללת אינטגרל); יש שיטות נומריות שלא אכנס אליהן כאן. האינטגרל הזה הוא מקרה פרטי של מה שמכונה אינטגרל גאוסיאני ומופיע בהקשר להתפלגות הנורמלית בסטטיסטיקה.
7. "הגדרה פורמלית של ממוצע" - במקום להביא את ההגדרה הסטנדרטית, הנה אחת שאולי קצת יותר מאירה עיניים: הממוצע של קבוצת מספרים הוא מספר מסויים, כך שאם מחליפים בו כל איבר בקבוצה, סכום האיברים יהיה עדיין זהה. למשל, הממוצע של הקבוצה של המספרים 3,4,5 הוא 4, כי סכום המספרים 4,4,4 שווה לסכום המספרים 3,4,5. לא קשה להוכיח שאם יש לנו \( n \) מספרים בקבוצה, אז הממוצע שלהם הוא סכומם חלקי \( n \). זו ההגדרה של מה שמכונה "ממוצע חשבוני"; יש סוגים נוספים. הממוצע ההנדסי הוא אותו מספר שאם נחליף את כל אברי הקבוצה בו, מכפלתם תישאר זהה.
8. "פולינום שיש לו אינסוף שורשים" - רק פולינום האפס (כלומר, הפולינום שכל מקדמיו הם 0). לפולינום מדרגה גבוהה מאפס יש מספר סופי של שורשים - לכל היותר מספר שורשים ששווה לדרגתו (שוויון מתקבל כשהפולינום מוגדר מעל שדה סגור אלגברית, למשל המרוכבים; וגם במקרה כזה צריך לספור גם את הריבוי של השורשים).
9. "הכללים של פונקצית ln" - החוקים הבסיסיים הנוגעים ללוגריתמים הם אלו שקשורים לסכום והפרש לוגריתם: \( \ln(a)+\ln(b)=\ln(a\times b) \) ו-\( \ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b) \). על בסיס כללים אלו נבנו סרגלי החישוב, שהיו הכלי החישובי המרכזי לפני המצאת מחשבון הכיס. פרט לחוקים הללו נהוג לציין גם את הכלל \( e^{\ln a}=a \) שנובע מיידית מההגדרה, ואת כלל המעבר מבסיס לבסיס: \( \log_a(b)=\frac{\ln(b)}{\ln(a)} \) שבזכותו אפשר לחשב לוגריתם על כל בסיס שהוא בעזרת חישוב של \( \ln \) (שהוא בד"כ מה שמחשבונים מציעים - ואולי גם לוגריתם על בסיס 10).
10. "פאי בתנ"ך" - אין פאי בתנ"ך. גם אם מתנגדי הדת יטענו מצד אחד שיש פסוק (מלכים א', ז', כ"ג) שממנו אפשר "להסיק" שערכו של פאי הוא שלוש, ותומכי הדת יענו להם שבעזרת תיקון הזוי במיוחד (לכפול את ה-3 הזה ביחס שבין "קוה" ו"קו" שתוקנו באותו פסוק) אפשר להגיע לקירוב טוב יותר, אלו עדיין לא התייחסויות לפאי, הקבוע המתמטי. מי שרוצה התייחסות לפאי בעת העתיקה, מוטב לו שיקרא על שיטת המיצוי של ארכימדס, שאין דבר הדומה לה בתנ"ך.